Analisis de fourier para señales

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  • 1. ANALISIS DE FOURIER PARA EL TRATAMIENTO DE SEÑALES Julio MEDINA XII Encuentro de Matemática y susAplicaciones EPN- Quito, Ecuador- 28 junio a 2 julio 20101
  • 2. 1. INTRODUCCIONLa noción de señal es bastante amplia y aparece en diferentessituaciones en las cuales ciertas cantidades varían en el tiempo o elespacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por tanto estáligada al concepto de función.El Procesamiento de Señales es una disciplina de las ciencias de laIngeniería que desarrolla las técnicas de procesamiento, análisis einterpretación de señales. Entre las operaciones posibles con lasseñales tenemos control, filtrado, compresión de datos,deconvolución, predicción, etc.Se pueden procesar señales analógicas (representadas por funcionescontinuas) o señales digitales (dadas por funciones discretas). En elprocesamiento de señales existen diferentes ramas dependiendo de lanaturaleza de las señales consideradas (audio, voz, imagen, video).El procesamiento de señales puede tener diferentes objetivos:detección de una señal, estimación de los valores de una señal,codificación, compresión para su almacenamiento y transmisión. Susaplicaciones son amplias en telecomunicaciones, audio, video,imagen (médica, satelital), geofísica.La Teoría de Señales es la rama matemática que estudia las señales ylos sistemas que los transmiten e involucra herramientas del Análisisarmónico (generalización del Análisis de Fourier), de los espaciosvectoriales, de los procesos estocásticos, entre otras.En este documento se presentan algunos elementos del Análisis deFourier relacionados con el estudio y procesamiento de señales. Dosson los instrumentos fundamentales: las series de Fourier (quepermiten la representación de una señal como superposición deondas de base llamadas armónicos) y la transformada de Fourier,tanto en su versión continua como en su versión discreta. 2
  • 3. En la sección 2 se aborda los conceptos básicos relativos a lasseñales. En las dos siguientes secciones se tratan las series deFourier y las transformadas de Fourier, respectivamente. La“función” delta de Dirac es el tema de la quinta parte. Enseguida seaborda la transformada discreta de Fourier y la transformada . Lasección 7 concierne a ciertas operaciones del procesamiento deseñales en los cuales se aplica el Análisis de Fourier (espectro,filtros, muestreo)2. CONCEPTOS BASICOS2.1 . Definición de señalUtilizaremos como definición de señal: la variación en el tiempo o elespacio de una magnitud física o de otra naturaleza.Por ejemplo: La intensidad de la corriente eléctrica El nivel de gris de los puntos de una imagen Un electrocardiograma Un sonido La evolución del índice de la bolsa de valoresLa representación matemática (el modelo matemático) de una señalcorresponde a la noción de función (de una o varias variables:tiempo, espacio, etc.…). Sin embargo las distribuciones (o funcionesgeneralizadas) constituyen un modelo más general y satisfactorio.2.2. Tipos de señales.Las señales que representaremos por, donde es lavariable independiente, la variable dependiente, admitendiferentes caracterizaciones: 3
  • 4. a) Según la presencia o no de elementos probabilísticos:  Estocástica  Determinística (consideradas en este documento)b) Según la variable independiente  Continua (Analógica) si la variable es continua  Discreta (Digital) si solo está definida para ciertos valoresdeterminados:En muchos casos una señal discreta se obtiene por discretización deuna señal analógica, generalmente mediante un convertidor, peroalgunas señales son discretas por su propia naturaleza: edades de unapoblación, estado en el tiempo de una válvula (abierto o cerrado),etc.c) Según la periodicidad  Periódica si se repite cada cierto intervalo de la variableindependiente, dicho intervalo se dice período: No periódica en el caso contrarioLa frecuenciaes una medida para indicar el número derepeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidadde tiempo, por tantod) Según la exactitud de los valores  Exacta si los valores de la señal (función) sean reales ocomplejos se consideran exactos (precisión infinita)  Aproximada los valores son aproximados, por ejemplo parapoder utilizarlos computacionalmente. La operación deaproximación de valores exactos se dice cuantificaciónEvidentemente una señal puede combinar varios de estos atributos,los mismos que serán tomados en cuenta para su procesamiento.4
  • 5. 2.3. Algunas señales elementalesa) Escalón unitario de HeavisideEsta señal se denota pory se define porLa función no está definida en y modela el establecimientoinstantáneo de un régimen constante, por ejemplo la señal obtenida alcerrar un interruptor en un instante dado y mantenerlo cerradoindefinidamente.También se le nota por . Para tener simetría a veces se le asignael valor . Función escalón unitariob) Señal rectangularEs la señal, notada, definida pordondedado.c) Señal sinusoidal pura (o monocromática)Se representa mediantedonde es la amplitud es el pulso o velocidad angular es el (más pequeño) período5
  • 6. es la frecuencia (número de veces que este fenómeno periódicose repite por unidad de tiempo) es el ángulo de fasees la fase inicial (cuando )(Más útil que conocer el ángulo de fase es el desfase o diferencia defase entre dos instantes)Aunque los valores de una señal son, en principio, números reales yla frecuencia un número positivo, por comodidad se utiliza unafunción con valores complejoslo que daHay que observar que el coseno o cualquier combinación lineal deseno y de coseno con la misma frecuencia se pueden transformar enuna sinusoide simple y viceversa:conOtra representación posible para la sinusoide es Sinusoide 6
  • 7. 3. SERIES DE FOURIERFue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX,quien encontró que una función periódicase puede representarcomo una suma infinita ponderada de términos en senos y cosenos(la serie de Fourier), mientras que en el caso de funciones noperiódicas la representación se da por medio de una integral (latransformada de Fourier).Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática queestudia la representación de funciones o señales como superposiciónde ondas de base (los armónicos). En el caso de las series de Fourierestos son sinusoidales y por tanto las series son trigonométricas.A partir de la segunda mitad del siglo XIX se aplica esta teoría adatos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen, el clima,la mecánica cuántica o las neurociencias.Existen también versiones discretas de la serie y de la transformadade Fourier.3.1. Polinomios trigonométricosUna funciónse dice periódica de períodosiLa funciónes periódica con períodoparacualquier entero , y lo mismo la funciónque se denomina polinomio trigonométrico de grado inferior o iguala N.Este polinomiopuede escribirse como combinación lineal de senos y cosenos:7
  • 8. donde sie inversamenteSea.Con las operaciones usuales para las funciones es un espaciovectorial, al cual se le puede dotar del producto escalarque da origen a la norma=Se puede mostrar quey quees una base ortogonal de, espacio de dimensiónAdemás para todode dondeque da de manera explícita los coeficientes de Fourier enfunción de p.Los coeficientesyse obtienen por las fórmulas 8
  • 9. ObservaciónEn razón de la periodicidad dePor tanto sip es función par (impar),()3.2. Series de FourierUn contexto matemático adecuado para desarrollar el Análisis deFourier es el de los espacios de Hilbert (espacios vectorialesnormados, cuya norma proviene de un producto escalar ycompletos). Aquí trabajaremos en el espacio de las funcionescontinuas por tramos.Una funciónes continua por tramos en un intervalo siadmite un número finito de discontinuidades de salto.Evidentemente, una función continua en un intervalo es continuapor tramos en Función continua por tramos 9
  • 10. Sea. Conlas operaciones usuales de funciones es un espacio vectorial. Sidefinimos sucede que no cumple con lacondición de producto escalar (basta tomar unafunción que sea nula en salvo en un número finito de puntos)Para evitar este problema debemos tomar el espacio de las clases deequivalencias de la funciones de , donde la relación deequivalencia se define por . Estees un espacio vectorial euclidiano (dotado de producto escalar). Parasimplificar el lenguaje y la notación trataremos a estos vectores(colecciones de funciones) como si fueran funciones ordinariasutilizando un representante de la clase de equivalencia.En el marco de los espacios de Hilbert se trabaja en, el espaciode las funciones de cuadrado integrable en el sentido de Lebesgue.Aquí se identifican dos funciones si coinciden casi en todas partes(salvo en un conjunto de medida nula). Este espacio es el completadodel espacio de las funciones de cuadrado integrable en el sentido deRiemann.3.2.1 Definición.Se llama serie de Fourier a la sucesión de sumas parciales (depolinomios trigonométricos) en forma complejao en forma real.Otra representación se obtiene a partir del armónico (sinusoide)donde 10
  • 11. ,,Siendo estas representaciones equivalentes, su uso dependerá de lasaplicacionesEn todo punto donde la serie converge se notarásu sumaEvidentemente, si la función existe tendrá período3.2.2. Representación en serie de Fourier de una funciónEl problema de descomponer una función dadaen serie deFourier no siempre tiene respuesta positiva.Ahora supongamos que una función con período se puedeexpresar como serie de Fourier, es decir queEntonces integrando ambos miembros de la igualdad en el intervalo y usando las propiedades de ortogonalidad de lasfunciones seno y coseno se obtiene los coeficientes de Fouriermientras que . 11
  • 12. Se puede remplazar el intervalo simétrico porcualquier otro intervalo de la formaPara precisar mejor la diferencia entre la función y la serie deFourier que se le asocia se usa la notacióndonde los coeficientes están dados por las fórmulas anteriores.En efecto puede suceder que para ciertas funciones los coeficientesno existan y por tanto tampoco la serie de Fourier, o que la serieexista y sea divergente o que aunque sea convergente no lo hagahacia la función.Se define una función es suave por tramos en un intervalo si tanto la función como primera derivadason continuaspor tramos en . También se dice que es de clase por tramos.Teorema de DirichletSea una función de período . Sies de suave por tramosen entonces la serie de Fourier asociada converge haciasies continua en y hacia )] si no es continua en .3.2.3.Series de senos y de cosenos Si es un función par (y desarrollable en seriede Fourier entoncesy.12
  • 13. Por tanto la serie de Fourier solo contiene términos cosenos: ,Si la función es impar la serie de Fourier solo tendrá términos senos: ,----------En algunos casos la función es continua por tramos en un intervalo y se quiere desarrollarle en serie de Fourier. Se procede así:(i) se hace una extensión de al intervalo –llamada(ii)se hace la extensión periódica de a todo con períodopara esta nueva función se halla la serie de Fourier.Las extensiones más convenientes son la par y la impar dadas por ypues conducen a series de Fourier que contienen solo cosenos osenos cuyos coeficientes son, respectivamenteyEjemploSe considera la funcióndefinida pory .13
  • 14. Como la función es par su serie de Fourier esSi toma el valor dese tiene el siguiente resultado conocido3.2.4. Propiedades de las series de Fouriera) AproximaciónSi aproximamos la función por la suma finitael errorse define pory el error cuadrático medio porSe puede mostrar queEl fénomeno de GibbsCuandoes suficientemente grande, Gibss observó que en lospuntos de discontinuidadel valor dado por la aproximacióncontinua produce un error de aproximadamente el 9% del saltode discontinuidad.14
  • 15. Efecto de Gibbs15
  • 16. b) Teorema de ParsevalSeauna función de períododesarrollable en serie de Fourier.Entonces+La última igualdad muestra que el valor cuadrático medio de unafunción periódica es igual a la suma de los valores cuadráticosmedios de sus armónicos. Se observa que el contenido de potencia dela función periódica, definido pordependeúnicamente de la amplitud de sus armónicos y no de sus fases.c) Continuidad de una serie de Fourier¿Bajo qué condiciones sobre su serie de Fourier es continua?Seauna función suave a trozos, su serie de Fourier es continuaen –si y solo sicontinua ySi el desarrolla la serie de Fourier de cosenos o de senos a partir deun “medio” intervalo , se tiene queSeauna función suave a trozos, su serie de Fourier(i) de cosenos es continua en si y solo si es continua(ii)de senos es continua ensi y solo sies continua yd) Derivación término a término de una serie de FourierNo siempre se puede derivar término a término una serie de Fourier.16
  • 17. Veamos el siguiente contraejemplo:El desarrollo en serie de Fourier de senos de sies. Al derivar la serie término atérmino se obtieney mientras que laderivada de es 1. No se mantiene la igualdad pues laserie decosenos de 1 es 1.Si una serie de Fourier dees continua y suave por tramosentonces se puede derivar término a términoPara las series de Fourier de cosenos y de senos se tienen resultadossimilares:(i) Sicontinua y suave por tramos entonces la serie deFourier de cosenos dese puede derivar término a término(ii) Sicontinua,y suave por tramosentonces la serie de Fourier de senos de se puede derivartérmino a términoe) Integración término a término de una serie de FourierSe puede integrar series de Fourier sin mayores dificultadesSea una función suave por tramos, su serie de Fourier se puedeintegrar término a término, la serie infinita resultante es convergentey siempre converge a la integral de para El resultado es válido incluso si la serie de Fourier original tienediscontinuidades de salto La serie obtenida al integrar será continua pero nonecesariamente será de Fourier.17
  • 18. 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIERLas series de Fourier permiten tratar varios problemas queinvolucran funciones periódicas, ahora se busca extender esteanálisis cuando las funciones no son periódicas para asociarles unespectro en frecuencias.4.1. Definiciones► Sea una función integrable sobre, , sutransformada de Fourier es la función dada por la fórmula► Si la transformada de Fourier de es una función integrable, lafórmula dicha transformada inversa de Fourier, operación notada, permite encontrar a partir deLa variable corresponde al tiempo y la variable a la frecuencia.Se dice queestá en el dominio temporal y que está en eldominio frecuencial.Este par de transformadas de Fourier tendrán propiedades análogaspues solo cambian el coeficiente multiplicativo y – que se vuelveEn general la funciónes compleja y se tendrá quedonde es el espectro de amplitud deyel espectrode fase de18
  • 19. ObservacionesSi es una función real entoncesa) yson funciones par e impar deb) y son funciones par e impar de4.2. Propiedades de las transformadas de Fouriera) Linealidad : Si ,funciones integrables enb) Escalonamiento : Si, entonces(La expansión en el dominio del tiempo es equivalente a lacontracción en el dominio de la frecuencia y viceversa)c) Desplazamiento en el tiempo: Sientoncesd) Desplazamiento en la frecuencia: Si entoncese) Convolución► La convolución de dos funcionesy, notada ,sedefine por la función 19
  • 20. La convolución es una operación conmutativa, asociativa ydistributiva respecto a la suma.Convolución en el tiempo:SiyentoncesConvolución en la frecuencia:Siy entonces(El interés principal de calcular el producto de convolución portransformadas de Fourier es que estas operaciones son menoscostosas en tiempo para una computadora que el cálculo directo de laintegral)f) Teorema de ParsevalSi entonces=(La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señales igual a la energía total de su transformada de Fourieralo largo de todas sus componentes frecuenciales)g) ContinuidadLa transformada de Fourier de es una función continua, delímite nulo al infinito y acotada pordonde,20
  • 21. h) DerivabilidadSi la funciónes integrable, entonces se puedederivar la transformada de Fourier bajo el signo de integración y setienei) Transformada de la derivadaSies derivable, de límite nulo al infinito y si la derivada de f(t)es integrable entonces.Este resultado se puede generalizar para derivadas de orden superior:.Estas propiedades se pueden demostrar sin mayor dificultad usandolas propiedades de la integral y aplicando la técnica de la integraciónpor partes.Por ejemplo para la propiedad del desplazamiento en el tiempo:entonces con el cambio de variable se obtiene =y por tanto21
  • 22. 5. LA “función” DELTA DE DIRACLa delta de Dirac , llamada por abuso de lenguaje función deDirac, se puede considerar informalmente como una función quetoma el “valor” infinito en cero y el valor 0 en los demás puntos, ycuya integral en vale 1. En realidad la delta de Dirac no es unafunción sino una función generalizada o distribución. También se lellama función impulso.Delta de Dirac (función impulso)Es muy útil para aproximar funciones cuya representación gráficatiene la forma de una gran punta estrecha y modela una cargapuntual. La delta de Dirac permite definir la derivada generalizada defunciones discontinuas.La delta de Dirac viene dada por la fórmula:por tantodondees una función continua , que se anula fuera de algún intervalofinito (soporte de la función) y que se conoce como función test 22
  • 23. 5.1. Algunas propiedades de1.2.3. ,4. La derivadadeestá dada por5. La derivada de la función escalón unitario (Heaviside) es6.=, por tanto7. Para la convolución se tiene5.2. AplicacionesAlgunas de estas propiedades pueden utilizarse para: (i) investigar elcomportamiento de las series de Fourier para las derivadas de formasde ondas con un número finito de discontinuidades en un período,(ii) calcular los coeficientes de las series de Fourier de algunas23
  • 24. funciones, (iii) hallar las transformadas de Fourier de ciertasfunciones que no satisfacen la condición suficiente , como la constante, ,, el escalónunitarioetc.Se tiene así:,5.3. Función peine de DiracLa función peine de Diraces una suma de deltas de Diracespaciadas de :A esta función también se le conoce como tren de impulsosunitarios, que aparece en la siguiente figura:Como esta función tiene período T, se calcula su serie de Fourier yse tiene,que consiste de un término constante y una suma de armónicostodos con la misma amplitudLa propiedad conduce a24
  • 25. es decir el cálculo aproximado de una integral por el método de losrectángulos es equivalente al cálculo de la integral de la funciónmultiplicada por un peine de Dirac.La transformada de Fourier de un peine de Dirac en el tiempo estambién un peine similar en la frecuencia:6. ANALISIS DE FOURIER DISCRETOEn muchos procesos del tratamiento de señales se trabaja con señalesdiscretas o digitales. La discretización de una señal continua se hacea través de una operación llamada muestreo.6.1. Transformada de Fourier discreta(TFD)El equivalente a la transformada de Fourier para señales continuas esla transformada de Fourier discreta (TFD). Su definición para unaseñal x de N valores viene dada por paray su transformada inversa discreta por 25
  • 26. Los factores de normalización y los signos de lasexponenciales son convencionales, pueden cambiar a condición deque los signos sean contrarios y que el producto de dichos factoressea .Si notamosy la TFD se puede expresarmatricialmente mediante ,La TFD permite evaluar una representación espectral (enfrecuencias) discreta de una señal discreta en una ventana de tiempofinita. Este análisis es relativamente sencillo y además eficaz enaplicaciones de eliminación del ruido que contamina una señal y enotros tipos de filtrados (pasa bajos, filtros para altos, filtros pasabanda,etc.)TFD de algunas funcionesa)b)c) Si entonces6.2. Transformada rápida de Fourier (TRF)La transformada rápida de Fourier (TRF) es un algoritmo eficienteque permite calcular la transformada de Fourier discreta (TFD) y suinversa. Sus aplicaciones no solamente están en el tratamiento digitalde funciones y filtrado digital sino que se extienden a las ecuaciones 26
  • 27. diferenciales. Este algoritmo fue presentado originalmente en 1965por James Cooley y John Tukey.Evaluar directamente las sumas de la TFD cuestaproductos complejos ysumas complejas mientras que laTRF utiliza solo productos y sumas.Así para N=1024 el tiempo de cálculo del algoritmo rápido puede ser100 veces más pequeño que el cálculo que utiliza la definición de laTFD.La idea es utilizar el principio “dividir para conquistar”:descomponer la transformada a tratar en otras más simples y éstas asu vez hasta llegar a transformadas de 2 elementos donde k puedetomar los valores 0 y 1. Una vez resueltas las transformadas mássimples hay que agruparlas en otras de nivel superior que debenresolverse de nuevo y así sucesivamente hasta llegar al nivel másalto. Al final de este proceso, los resultados obtenidos debenreordenarse.El procedimiento es similar para el cálculo de la transformadainversa.6.3. La transformadaLa transformada es una generalización de la transformada deFourier discreta (TFD). Es una aplicación que transforma unasucesión en una función de una variable compleja , talque sea convergente.Para una señalla variable representa al tiempo discretizado,mientras que la variable no representa nada en particular (es unacreación abstracta) pero por analogía con la transformada de Fourierse le llama frecuencia.La TFD se encuentra evaluando en(es decir sobre elcírculo unidad):27
  • 28. La transformada tiene las propiedadesde linealidad,desplazamiento, convolución.Si consideramos el impulso de Dirac y el escalón unitarioyparaLa transformadainversa viene dada porDonde es un camino recorrido en sentido contrario a las agujas delreloj y completamente contenido en el dominio de convergencia7. ANALISIS DE FOURIER Y PROCESAMIENTODE SEÑALESEn este capítulo desarrollaremos algunas técnicas del procesamientode señales que involucran series y transformadas de Fourier,particularizaremos sobre el análisis del espectro y de sistemas, elfiltrado y el muestreo de señales.7.1. Análisis espectralLas series de Fourier permiten describir una señal, función deltiempo, como superposición de señales más simples (sinusoides) devarias frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental . Elespectro de frecuencia es una medida de la distribución deamplitudes o de las fases de cada frecuencia. El proceso quecuantifica las diversas intensidades de cada frecuencia se conocecomo análisis espectral.28
  • 29. Una señal periódica se puede representar mediante un gráfico deflechas paralelas al eje de las ordenadas de altura(intensidad) enla frecuencia. Se obtiene así una representación del espectro deamplitudes en rayas de la señal. Recordemos queUna representación similar con rayas se puede hacer para el espectrode fases, donde ahora las flechas tendrán alturas iguales a losargumentos .Estos espectros son discretos. En el caso que lossean reales laseñal tiene una sola representación en frecuencia.Para la señal dada por la siguiente gráfica, sus coeficientes sony su espectro de magnitud29
  • 30. Para la transformada de Fourier el espectro será continuo. Para lafunción escalón unitariose dan las gráficas de su transformadade Fouriery de sus espectros:7.2 Sistemas y filtrosUn sistema es un proceso (o un aparato) que produce transformaciónde señales. Se distinguen por tanto, una señal de entrada, una desalida y un mecanismo de transformación representadomatemáticamente por un operadorEntonces si ,se tieneconSi hay múltiples señales de entrada o de salida las funcionestienen valores vectoriales.Como ejemplos de sistemas tenemoscircuitos eléctricos,amplificadores, teléfonos.Las señales de entrada y de salida no son necesariamente de lamisma naturaleza (por ejemplo en un modem). Se dirá que un30
  • 31. sistema es analógico (discreto) si transforma una señal analógica(discreta) en otra señal analógica (discreta).7.2.1. Propiedades de los sistemasSi se dota a e de la estructura de espacios vectoriales (reales ocomplejos) un sistema puede tener alguna o algunas de lassiguientes propiedades:a) Linealidad: una combinación lineal de entradas produce la misma combinación de salidas:A la linealidad se le conoce también como “principio desuperposición”. Hay que observar que algunos sistemas nolineales pueden ser “adecuadamente” linearizados.b) Invariancia: un desplazamiento en la entrada produce el mismo desplazamiento en la salida: SientoncesUn sistema invariante también se dice estacionarioc) Causalidad: la salida no depende de entradas futuras, es decir la respuesta en un instante dado solo depende del pasado anterior a ese instante. Sientoncesd) Continuidad: S es continuo si para toda sucesión que tiende hacia , la sucesión tiende hacia.Esta noción expresa la idea que si dos señales de entrada soncercanas las salidas correspondientes también lo son.La continuidad está ligada al concepto de norma pues:31
  • 32. significa que . Por tanto se dotará a los espacios de funciones de normas.e) Memoria: si un sistema no tiene memoria entonces la salida en un instante depende de la entrada en ese instantef) Invertibilidad: entradas distintas producen salidas distintas: SientoncesEntre los sistemas más interesantes a tratar están los lineales,invariantes y continuos.7.2.2. Algunos Sistemasa) Amplificadorconstante fijab) Línea con retardo, constante realc) Diferencial7.2.3. Sistemas lineales, continuos e invariantesEl término filtro designa a la vez un sistema físico que permitemodificar señales (por ejemplo un ecualizador) y su modelomatemático dado por un sistema lineal, continuo e invariante . Elpapel de un filtro es modificar la fase y la amplitud de lascomponentes de una señal. Los sistemas a), b) y c) son filtros.Otra definición de sistema lineal invariante es que las señales deentrada y de salida (o respuesta) están relacionadas por una ecuacióndiferencial lineal con coeficientes constantes o un sistema con estetipo de ecuaciones. Este modelo da cuenta de la relación existenteentre las variaciones de la señal de salida y los valores o las 32
  • 33. variaciones de la señal de entrada. Aparece en circuitos eléctricos ysistemas mecánicos.a) Salida de una señal periódicaEnunciemos en primer lugar el siguiente resultadoLa respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señalexponenciales también una señal exponencial yproporcional a la entrada, es decirDicho de otra manera,es función propia deasociada al valorpropio .Este resultado es importante ya que la serie de Fourier asociada auna señal periódicase escribey por tantopor linealidad se tendrá .Es decir que la imagen de la señal periódica está determinadacompletamente por las salidas que corresponden a los elementos dela base .Tanto la serie de entrada como la serie de salida tienen las mismasfrecuencias, lo que no es el caso para sistemas no lineales que creannuevas frecuencias. Por tanto la localización de las rayas del espectrono cambia. El filtrado consistirá entonces en disminuir, amplificar oseleccionar ciertas rayas.b) Salida de una señal cualquieraAhora se estudiará la respuesta a un señal cualquiera. Para ellonotaremos la salida del impulso unitario (delta deDirac), llamada respuesta impulsional.33
  • 34. La respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señalcualquiera está dada por el producto de convolución de estaentrada y de la respuesta del sistema al impulso unitario:En lugar de calcular explícitamente la respuesta del sistema en eltiempo, cuyo cálculo puede resultar laborioso, muchas veces interesadeterminar su contenido en frecuencias y se tiene el siguienteresultado en términos de transformadas de Fourier:Si, ,entonces,A, se le conoce como la función de transferencia del sistema,y se acostumbra a escribirle como cociente . Lafunción de transferencia tipifica al filtro pues determina la forma enla que la señal entrante cambia en amplitud y fase al pasar a travésdel filtro.ObservaciónEl valor de para la salida de la exponencial tratada en el literal6.2.3.a) es justamente7.2.4. Filtros digitalesLos filtros digitales modifican una señal discreta medianteoperaciones matemáticas.Los filtros analógicos utilizan componentes físicas (resistencias,condensadores, transistores, etc.), los filtros digitales actúan con 34
  • 35. circuitos integrados, procesadores programables o software de unacomputadora (por ejemplo los programas para retocar imágenes).La representación matemática en el dominio temporal discreto se damediante ecuaciones en diferencias. Para un filtro de orden parauna señalse tieneEn el dominio de las frecuencias, usando la transformada , lafunción de transferencia de orden viene dada porLos valores de los coeficientesy determinarán el tipo de filtro(pasa bajo, pasa alto, etc.). En general se toma.7.3. MuestreoEl muestreo es la operación que consiste en tomar muestrasperiódicas de los valores de una señal continua (analógica) aintervalos regulares de tiempo (o de la variable independiente).La frecuencia a la cual se capturan los valores se dice frecuencia demuestreo.El muestreo es el primer proceso que interviene en la conversión deuna señal analógica en digital. Los otros procesos matemáticos sonla cuantificación (asignación de un margen de valor a un único nivelde salida por ejemplo por redondeo o truncamiento sobre unaprecisión determinada) y la codificación (traducción de los valorescuantificados a un código, generalmente binario). La cuantificación,al contrario del muestreo, no es reversible pues se produce unapérdida de información que se traduce en un error llamado ruido de 35
  • 36. cuantificación. Durante el muestreo la señal es aún analógica (puedetomar cualquier valor), a partir de la cuantificación la señal se vuelvedigital (toma ya valores finitos).Esta transcripción a señales digitales se realiza con el objetivo defacilitar su procesamiento (compresión, etc.) y darle a la señalresultante mayor inmunidad al ruido y otras interferencias a las queson más sensibles las señales analógicas.Según el teorema de Nyquist-Shannon para replicar con exactitud laforma de la señal la frecuencia de muestreo debe ser superior aldoble de la máxima frecuencia a muestrear. Esa frecuencia límite sellama frecuencia de Nyquist. Por ejemplo un CD de audio contienedatos musicales muestreados a 44,1kHz (44 100 muestras porsegundo) ya que el oído humano puede captar los sonidos hasta16kHz y a veces hasta 22kHz.Teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempoSea una señal analógica, cuya frecuencia más alta es (o seaque la señal es de banda limitada). Si se realiza un muestreo regularde ) con frecuencia de muestreo mayor o igual a, entonces se puede determinar por completo a partir de la señal discreta.Dicho de otra manera, la información completa de la señal analógicaoriginal que cumple el criterio anterior se describe completamentepor la serie total de muestras resultantes del proceso de muestreo, dela siguiente manera:o36
  • 37. dondeySe observa que cada muestra está multiplicada por la función“muestreadora”y todas estas funciones resultantes se suman para obtenerMuestreo y reconstitución de 37
  • 38. En caso de que la señal sea muestreada a una tasa inferior a laindicada las trasladadas vecinas se superponen dando origen alfenómeno llamado “aliasing” y no se puede recuperar la señalinicial. Si se cumple con la condición indicada de nada sirveaumentar la frecuencia de muestreo.Encabalgamiento de señales. “aliasing”Como se constata con las fórmulas expuestas la señal analógica no seobtiene mediante interpolación lineal de los puntos resultantes delmuestreo.También existe un teorema similar cuando se considera el dominiode las frecuencias.Teorema del muestreo uniforme en el dominio de la frecuenciaSeauna señal analógica, cuyo banda es –(es decir fuerade ese intervalo), entonces su transformada de Fourier se puede determinar en forma unívoca a partir de los valores detomados en los puntos equidistantes , mediante la fórmula38
  • 39. REFERENCIAS[1] Claude GASQUET, Patrick WITOMSKI Analyse de Fourier etapplications, Université de Grenoble I, Dunod (1996)[2] Hwei P. HSU, Análisisde Fourier, Addison-WesleyIberoamérica,(1987)[3] http://www.jhu.edu/~signals/index.html39
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    El Analisis de señales se estudia usando métodos de Fourier (series y transformadas)
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    • 1. ANALISIS DE FOURIER PARA EL TRATAMIENTO DE SEÑALES Julio MEDINA XII Encuentro de Matemática y susAplicaciones EPN- Quito, Ecuador- 28 junio a 2 julio 20101
  • 2. 1. INTRODUCCIONLa noción de señal es bastante amplia y aparece en diferentessituaciones en las cuales ciertas cantidades varían en el tiempo o elespacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por tanto estáligada al concepto de función.El Procesamiento de Señales es una disciplina de las ciencias de laIngeniería que desarrolla las técnicas de procesamiento, análisis einterpretación de señales. Entre las operaciones posibles con lasseñales tenemos control, filtrado, compresión de datos,deconvolución, predicción, etc.Se pueden procesar señales analógicas (representadas por funcionescontinuas) o señales digitales (dadas por funciones discretas). En elprocesamiento de señales existen diferentes ramas dependiendo de lanaturaleza de las señales consideradas (audio, voz, imagen, video).El procesamiento de señales puede tener diferentes objetivos:detección de una señal, estimación de los valores de una señal,codificación, compresión para su almacenamiento y transmisión. Susaplicaciones son amplias en telecomunicaciones, audio, video,imagen (médica, satelital), geofísica.La Teoría de Señales es la rama matemática que estudia las señales ylos sistemas que los transmiten e involucra herramientas del Análisisarmónico (generalización del Análisis de Fourier), de los espaciosvectoriales, de los procesos estocásticos, entre otras.En este documento se presentan algunos elementos del Análisis deFourier relacionados con el estudio y procesamiento de señales. Dosson los instrumentos fundamentales: las series de Fourier (quepermiten la representación de una señal como superposición deondas de base llamadas armónicos) y la transformada de Fourier,tanto en su versión continua como en su versión discreta. 2
  • 3. En la sección 2 se aborda los conceptos básicos relativos a lasseñales. En las dos siguientes secciones se tratan las series deFourier y las transformadas de Fourier, respectivamente. La“función” delta de Dirac es el tema de la quinta parte. Enseguida seaborda la transformada discreta de Fourier y la transformada . Lasección 7 concierne a ciertas operaciones del procesamiento deseñales en los cuales se aplica el Análisis de Fourier (espectro,filtros, muestreo)2. CONCEPTOS BASICOS2.1 . Definición de señalUtilizaremos como definición de señal: la variación en el tiempo o elespacio de una magnitud física o de otra naturaleza.Por ejemplo: La intensidad de la corriente eléctrica El nivel de gris de los puntos de una imagen Un electrocardiograma Un sonido La evolución del índice de la bolsa de valoresLa representación matemática (el modelo matemático) de una señalcorresponde a la noción de función (de una o varias variables:tiempo, espacio, etc.…). Sin embargo las distribuciones (o funcionesgeneralizadas) constituyen un modelo más general y satisfactorio.2.2. Tipos de señales.Las señales que representaremos por, donde es lavariable independiente, la variable dependiente, admitendiferentes caracterizaciones: 3
  • 4. a) Según la presencia o no de elementos probabilísticos:  Estocástica  Determinística (consideradas en este documento)b) Según la variable independiente  Continua (Analógica) si la variable es continua  Discreta (Digital) si solo está definida para ciertos valoresdeterminados:En muchos casos una señal discreta se obtiene por discretización deuna señal analógica, generalmente mediante un convertidor, peroalgunas señales son discretas por su propia naturaleza: edades de unapoblación, estado en el tiempo de una válvula (abierto o cerrado),etc.c) Según la periodicidad  Periódica si se repite cada cierto intervalo de la variableindependiente, dicho intervalo se dice período: No periódica en el caso contrarioLa frecuenciaes una medida para indicar el número derepeticiones de cualquier fenómeno o suceso periódico en la unidadde tiempo, por tantod) Según la exactitud de los valores  Exacta si los valores de la señal (función) sean reales ocomplejos se consideran exactos (precisión infinita)  Aproximada los valores son aproximados, por ejemplo parapoder utilizarlos computacionalmente. La operación deaproximación de valores exactos se dice cuantificaciónEvidentemente una señal puede combinar varios de estos atributos,los mismos que serán tomados en cuenta para su procesamiento.4
  • 5. 2.3. Algunas señales elementalesa) Escalón unitario de HeavisideEsta señal se denota pory se define porLa función no está definida en y modela el establecimientoinstantáneo de un régimen constante, por ejemplo la señal obtenida alcerrar un interruptor en un instante dado y mantenerlo cerradoindefinidamente.También se le nota por . Para tener simetría a veces se le asignael valor . Función escalón unitariob) Señal rectangularEs la señal, notada, definida pordondedado.c) Señal sinusoidal pura (o monocromática)Se representa mediantedonde es la amplitud es el pulso o velocidad angular es el (más pequeño) período5
  • 6. es la frecuencia (número de veces que este fenómeno periódicose repite por unidad de tiempo) es el ángulo de fasees la fase inicial (cuando )(Más útil que conocer el ángulo de fase es el desfase o diferencia defase entre dos instantes)Aunque los valores de una señal son, en principio, números reales yla frecuencia un número positivo, por comodidad se utiliza unafunción con valores complejoslo que daHay que observar que el coseno o cualquier combinación lineal deseno y de coseno con la misma frecuencia se pueden transformar enuna sinusoide simple y viceversa:conOtra representación posible para la sinusoide es Sinusoide 6
  • 7. 3. SERIES DE FOURIERFue el matemático francés Joseph Fourier, a principios del siglo XIX,quien encontró que una función periódicase puede representarcomo una suma infinita ponderada de términos en senos y cosenos(la serie de Fourier), mientras que en el caso de funciones noperiódicas la representación se da por medio de una integral (latransformada de Fourier).Esto dio origen al Análisis Armónico, rama de la Matemática queestudia la representación de funciones o señales como superposiciónde ondas de base (los armónicos). En el caso de las series de Fourierestos son sinusoidales y por tanto las series son trigonométricas.A partir de la segunda mitad del siglo XIX se aplica esta teoría adatos de fenómenos relacionados con el sonido, la imagen, el clima,la mecánica cuántica o las neurociencias.Existen también versiones discretas de la serie y de la transformadade Fourier.3.1. Polinomios trigonométricosUna funciónse dice periódica de períodosiLa funciónes periódica con períodoparacualquier entero , y lo mismo la funciónque se denomina polinomio trigonométrico de grado inferior o iguala N.Este polinomiopuede escribirse como combinación lineal de senos y cosenos:7
  • 8. donde sie inversamenteSea.Con las operaciones usuales para las funciones es un espaciovectorial, al cual se le puede dotar del producto escalarque da origen a la norma=Se puede mostrar quey quees una base ortogonal de, espacio de dimensiónAdemás para todode dondeque da de manera explícita los coeficientes de Fourier enfunción de p.Los coeficientesyse obtienen por las fórmulas 8
  • 9. ObservaciónEn razón de la periodicidad dePor tanto sip es función par (impar),()3.2. Series de FourierUn contexto matemático adecuado para desarrollar el Análisis deFourier es el de los espacios de Hilbert (espacios vectorialesnormados, cuya norma proviene de un producto escalar ycompletos). Aquí trabajaremos en el espacio de las funcionescontinuas por tramos.Una funciónes continua por tramos en un intervalo siadmite un número finito de discontinuidades de salto.Evidentemente, una función continua en un intervalo es continuapor tramos en Función continua por tramos 9
  • 10. Sea. Conlas operaciones usuales de funciones es un espacio vectorial. Sidefinimos sucede que no cumple con lacondición de producto escalar (basta tomar unafunción que sea nula en salvo en un número finito de puntos)Para evitar este problema debemos tomar el espacio de las clases deequivalencias de la funciones de , donde la relación deequivalencia se define por . Estees un espacio vectorial euclidiano (dotado de producto escalar). Parasimplificar el lenguaje y la notación trataremos a estos vectores(colecciones de funciones) como si fueran funciones ordinariasutilizando un representante de la clase de equivalencia.En el marco de los espacios de Hilbert se trabaja en, el espaciode las funciones de cuadrado integrable en el sentido de Lebesgue.Aquí se identifican dos funciones si coinciden casi en todas partes(salvo en un conjunto de medida nula). Este espacio es el completadodel espacio de las funciones de cuadrado integrable en el sentido deRiemann.3.2.1 Definición.Se llama serie de Fourier a la sucesión de sumas parciales (depolinomios trigonométricos) en forma complejao en forma real.Otra representación se obtiene a partir del armónico (sinusoide)donde 10
  • 11. ,,Siendo estas representaciones equivalentes, su uso dependerá de lasaplicacionesEn todo punto donde la serie converge se notarásu sumaEvidentemente, si la función existe tendrá período3.2.2. Representación en serie de Fourier de una funciónEl problema de descomponer una función dadaen serie deFourier no siempre tiene respuesta positiva.Ahora supongamos que una función con período se puedeexpresar como serie de Fourier, es decir queEntonces integrando ambos miembros de la igualdad en el intervalo y usando las propiedades de ortogonalidad de lasfunciones seno y coseno se obtiene los coeficientes de Fouriermientras que . 11
  • 12. Se puede remplazar el intervalo simétrico porcualquier otro intervalo de la formaPara precisar mejor la diferencia entre la función y la serie deFourier que se le asocia se usa la notacióndonde los coeficientes están dados por las fórmulas anteriores.En efecto puede suceder que para ciertas funciones los coeficientesno existan y por tanto tampoco la serie de Fourier, o que la serieexista y sea divergente o que aunque sea convergente no lo hagahacia la función.Se define una función es suave por tramos en un intervalo si tanto la función como primera derivadason continuaspor tramos en . También se dice que es de clase por tramos.Teorema de DirichletSea una función de período . Sies de suave por tramosen entonces la serie de Fourier asociada converge haciasies continua en y hacia )] si no es continua en .3.2.3.Series de senos y de cosenos Si es un función par (y desarrollable en seriede Fourier entoncesy.12
  • 13. Por tanto la serie de Fourier solo contiene términos cosenos: ,Si la función es impar la serie de Fourier solo tendrá términos senos: ,----------En algunos casos la función es continua por tramos en un intervalo y se quiere desarrollarle en serie de Fourier. Se procede así:(i) se hace una extensión de al intervalo –llamada(ii)se hace la extensión periódica de a todo con períodopara esta nueva función se halla la serie de Fourier.Las extensiones más convenientes son la par y la impar dadas por ypues conducen a series de Fourier que contienen solo cosenos osenos cuyos coeficientes son, respectivamenteyEjemploSe considera la funcióndefinida pory .13
  • 14. Como la función es par su serie de Fourier esSi toma el valor dese tiene el siguiente resultado conocido3.2.4. Propiedades de las series de Fouriera) AproximaciónSi aproximamos la función por la suma finitael errorse define pory el error cuadrático medio porSe puede mostrar queEl fénomeno de GibbsCuandoes suficientemente grande, Gibss observó que en lospuntos de discontinuidadel valor dado por la aproximacióncontinua produce un error de aproximadamente el 9% del saltode discontinuidad.14
  • 15. Efecto de Gibbs15
  • 16. b) Teorema de ParsevalSeauna función de períododesarrollable en serie de Fourier.Entonces+La última igualdad muestra que el valor cuadrático medio de unafunción periódica es igual a la suma de los valores cuadráticosmedios de sus armónicos. Se observa que el contenido de potencia dela función periódica, definido pordependeúnicamente de la amplitud de sus armónicos y no de sus fases.c) Continuidad de una serie de Fourier¿Bajo qué condiciones sobre su serie de Fourier es continua?Seauna función suave a trozos, su serie de Fourier es continuaen –si y solo sicontinua ySi el desarrolla la serie de Fourier de cosenos o de senos a partir deun “medio” intervalo , se tiene queSeauna función suave a trozos, su serie de Fourier(i) de cosenos es continua en si y solo si es continua(ii)de senos es continua ensi y solo sies continua yd) Derivación término a término de una serie de FourierNo siempre se puede derivar término a término una serie de Fourier.16
  • 17. Veamos el siguiente contraejemplo:El desarrollo en serie de Fourier de senos de sies. Al derivar la serie término atérmino se obtieney mientras que laderivada de es 1. No se mantiene la igualdad pues laserie decosenos de 1 es 1.Si una serie de Fourier dees continua y suave por tramosentonces se puede derivar término a términoPara las series de Fourier de cosenos y de senos se tienen resultadossimilares:(i) Sicontinua y suave por tramos entonces la serie deFourier de cosenos dese puede derivar término a término(ii) Sicontinua,y suave por tramosentonces la serie de Fourier de senos de se puede derivartérmino a términoe) Integración término a término de una serie de FourierSe puede integrar series de Fourier sin mayores dificultadesSea una función suave por tramos, su serie de Fourier se puedeintegrar término a término, la serie infinita resultante es convergentey siempre converge a la integral de para El resultado es válido incluso si la serie de Fourier original tienediscontinuidades de salto La serie obtenida al integrar será continua pero nonecesariamente será de Fourier.17
  • 18. 4. LA TRANSFORMADA DE FOURIERLas series de Fourier permiten tratar varios problemas queinvolucran funciones periódicas, ahora se busca extender esteanálisis cuando las funciones no son periódicas para asociarles unespectro en frecuencias.4.1. Definiciones► Sea una función integrable sobre, , sutransformada de Fourier es la función dada por la fórmula► Si la transformada de Fourier de es una función integrable, lafórmula dicha transformada inversa de Fourier, operación notada, permite encontrar a partir deLa variable corresponde al tiempo y la variable a la frecuencia.Se dice queestá en el dominio temporal y que está en eldominio frecuencial.Este par de transformadas de Fourier tendrán propiedades análogaspues solo cambian el coeficiente multiplicativo y – que se vuelveEn general la funciónes compleja y se tendrá quedonde es el espectro de amplitud deyel espectrode fase de18
  • 19. ObservacionesSi es una función real entoncesa) yson funciones par e impar deb) y son funciones par e impar de4.2. Propiedades de las transformadas de Fouriera) Linealidad : Si ,funciones integrables enb) Escalonamiento : Si, entonces(La expansión en el dominio del tiempo es equivalente a lacontracción en el dominio de la frecuencia y viceversa)c) Desplazamiento en el tiempo: Sientoncesd) Desplazamiento en la frecuencia: Si entoncese) Convolución► La convolución de dos funcionesy, notada ,sedefine por la función 19
  • 20. La convolución es una operación conmutativa, asociativa ydistributiva respecto a la suma.Convolución en el tiempo:SiyentoncesConvolución en la frecuencia:Siy entonces(El interés principal de calcular el producto de convolución portransformadas de Fourier es que estas operaciones son menoscostosas en tiempo para una computadora que el cálculo directo de laintegral)f) Teorema de ParsevalSi entonces=(La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señales igual a la energía total de su transformada de Fourieralo largo de todas sus componentes frecuenciales)g) ContinuidadLa transformada de Fourier de es una función continua, delímite nulo al infinito y acotada pordonde,20
  • 21. h) DerivabilidadSi la funciónes integrable, entonces se puedederivar la transformada de Fourier bajo el signo de integración y setienei) Transformada de la derivadaSies derivable, de límite nulo al infinito y si la derivada de f(t)es integrable entonces.Este resultado se puede generalizar para derivadas de orden superior:.Estas propiedades se pueden demostrar sin mayor dificultad usandolas propiedades de la integral y aplicando la técnica de la integraciónpor partes.Por ejemplo para la propiedad del desplazamiento en el tiempo:entonces con el cambio de variable se obtiene =y por tanto21
  • 22. 5. LA “función” DELTA DE DIRACLa delta de Dirac , llamada por abuso de lenguaje función deDirac, se puede considerar informalmente como una función quetoma el “valor” infinito en cero y el valor 0 en los demás puntos, ycuya integral en vale 1. En realidad la delta de Dirac no es unafunción sino una función generalizada o distribución. También se lellama función impulso.Delta de Dirac (función impulso)Es muy útil para aproximar funciones cuya representación gráficatiene la forma de una gran punta estrecha y modela una cargapuntual. La delta de Dirac permite definir la derivada generalizada defunciones discontinuas.La delta de Dirac viene dada por la fórmula:por tantodondees una función continua , que se anula fuera de algún intervalofinito (soporte de la función) y que se conoce como función test 22
  • 23. 5.1. Algunas propiedades de1.2.3. ,4. La derivadadeestá dada por5. La derivada de la función escalón unitario (Heaviside) es6.=, por tanto7. Para la convolución se tiene5.2. AplicacionesAlgunas de estas propiedades pueden utilizarse para: (i) investigar elcomportamiento de las series de Fourier para las derivadas de formasde ondas con un número finito de discontinuidades en un período,(ii) calcular los coeficientes de las series de Fourier de algunas23
  • 24. funciones, (iii) hallar las transformadas de Fourier de ciertasfunciones que no satisfacen la condición suficiente , como la constante, ,, el escalónunitarioetc.Se tiene así:,5.3. Función peine de DiracLa función peine de Diraces una suma de deltas de Diracespaciadas de :A esta función también se le conoce como tren de impulsosunitarios, que aparece en la siguiente figura:Como esta función tiene período T, se calcula su serie de Fourier yse tiene,que consiste de un término constante y una suma de armónicostodos con la misma amplitudLa propiedad conduce a24
  • 25. es decir el cálculo aproximado de una integral por el método de losrectángulos es equivalente al cálculo de la integral de la funciónmultiplicada por un peine de Dirac.La transformada de Fourier de un peine de Dirac en el tiempo estambién un peine similar en la frecuencia:6. ANALISIS DE FOURIER DISCRETOEn muchos procesos del tratamiento de señales se trabaja con señalesdiscretas o digitales. La discretización de una señal continua se hacea través de una operación llamada muestreo.6.1. Transformada de Fourier discreta(TFD)El equivalente a la transformada de Fourier para señales continuas esla transformada de Fourier discreta (TFD). Su definición para unaseñal x de N valores viene dada por paray su transformada inversa discreta por 25
  • 26. Los factores de normalización y los signos de lasexponenciales son convencionales, pueden cambiar a condición deque los signos sean contrarios y que el producto de dichos factoressea .Si notamosy la TFD se puede expresarmatricialmente mediante ,La TFD permite evaluar una representación espectral (enfrecuencias) discreta de una señal discreta en una ventana de tiempofinita. Este análisis es relativamente sencillo y además eficaz enaplicaciones de eliminación del ruido que contamina una señal y enotros tipos de filtrados (pasa bajos, filtros para altos, filtros pasabanda,etc.)TFD de algunas funcionesa)b)c) Si entonces6.2. Transformada rápida de Fourier (TRF)La transformada rápida de Fourier (TRF) es un algoritmo eficienteque permite calcular la transformada de Fourier discreta (TFD) y suinversa. Sus aplicaciones no solamente están en el tratamiento digitalde funciones y filtrado digital sino que se extienden a las ecuaciones 26
  • 27. diferenciales. Este algoritmo fue presentado originalmente en 1965por James Cooley y John Tukey.Evaluar directamente las sumas de la TFD cuestaproductos complejos ysumas complejas mientras que laTRF utiliza solo productos y sumas.Así para N=1024 el tiempo de cálculo del algoritmo rápido puede ser100 veces más pequeño que el cálculo que utiliza la definición de laTFD.La idea es utilizar el principio “dividir para conquistar”:descomponer la transformada a tratar en otras más simples y éstas asu vez hasta llegar a transformadas de 2 elementos donde k puedetomar los valores 0 y 1. Una vez resueltas las transformadas mássimples hay que agruparlas en otras de nivel superior que debenresolverse de nuevo y así sucesivamente hasta llegar al nivel másalto. Al final de este proceso, los resultados obtenidos debenreordenarse.El procedimiento es similar para el cálculo de la transformadainversa.6.3. La transformadaLa transformada es una generalización de la transformada deFourier discreta (TFD). Es una aplicación que transforma unasucesión en una función de una variable compleja , talque sea convergente.Para una señalla variable representa al tiempo discretizado,mientras que la variable no representa nada en particular (es unacreación abstracta) pero por analogía con la transformada de Fourierse le llama frecuencia.La TFD se encuentra evaluando en(es decir sobre elcírculo unidad):27
  • 28. La transformada tiene las propiedadesde linealidad,desplazamiento, convolución.Si consideramos el impulso de Dirac y el escalón unitarioyparaLa transformadainversa viene dada porDonde es un camino recorrido en sentido contrario a las agujas delreloj y completamente contenido en el dominio de convergencia7. ANALISIS DE FOURIER Y PROCESAMIENTODE SEÑALESEn este capítulo desarrollaremos algunas técnicas del procesamientode señales que involucran series y transformadas de Fourier,particularizaremos sobre el análisis del espectro y de sistemas, elfiltrado y el muestreo de señales.7.1. Análisis espectralLas series de Fourier permiten describir una señal, función deltiempo, como superposición de señales más simples (sinusoides) devarias frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental . Elespectro de frecuencia es una medida de la distribución deamplitudes o de las fases de cada frecuencia. El proceso quecuantifica las diversas intensidades de cada frecuencia se conocecomo análisis espectral.28
  • 29. Una señal periódica se puede representar mediante un gráfico deflechas paralelas al eje de las ordenadas de altura(intensidad) enla frecuencia. Se obtiene así una representación del espectro deamplitudes en rayas de la señal. Recordemos queUna representación similar con rayas se puede hacer para el espectrode fases, donde ahora las flechas tendrán alturas iguales a losargumentos .Estos espectros son discretos. En el caso que lossean reales laseñal tiene una sola representación en frecuencia.Para la señal dada por la siguiente gráfica, sus coeficientes sony su espectro de magnitud29
  • 30. Para la transformada de Fourier el espectro será continuo. Para lafunción escalón unitariose dan las gráficas de su transformadade Fouriery de sus espectros:7.2 Sistemas y filtrosUn sistema es un proceso (o un aparato) que produce transformaciónde señales. Se distinguen por tanto, una señal de entrada, una desalida y un mecanismo de transformación representadomatemáticamente por un operadorEntonces si ,se tieneconSi hay múltiples señales de entrada o de salida las funcionestienen valores vectoriales.Como ejemplos de sistemas tenemoscircuitos eléctricos,amplificadores, teléfonos.Las señales de entrada y de salida no son necesariamente de lamisma naturaleza (por ejemplo en un modem). Se dirá que un30
  • 31. sistema es analógico (discreto) si transforma una señal analógica(discreta) en otra señal analógica (discreta).7.2.1. Propiedades de los sistemasSi se dota a e de la estructura de espacios vectoriales (reales ocomplejos) un sistema puede tener alguna o algunas de lassiguientes propiedades:a) Linealidad: una combinación lineal de entradas produce la misma combinación de salidas:A la linealidad se le conoce también como “principio desuperposición”. Hay que observar que algunos sistemas nolineales pueden ser “adecuadamente” linearizados.b) Invariancia: un desplazamiento en la entrada produce el mismo desplazamiento en la salida: SientoncesUn sistema invariante también se dice estacionarioc) Causalidad: la salida no depende de entradas futuras, es decir la respuesta en un instante dado solo depende del pasado anterior a ese instante. Sientoncesd) Continuidad: S es continuo si para toda sucesión que tiende hacia , la sucesión tiende hacia.Esta noción expresa la idea que si dos señales de entrada soncercanas las salidas correspondientes también lo son.La continuidad está ligada al concepto de norma pues:31
  • 32. significa que . Por tanto se dotará a los espacios de funciones de normas.e) Memoria: si un sistema no tiene memoria entonces la salida en un instante depende de la entrada en ese instantef) Invertibilidad: entradas distintas producen salidas distintas: SientoncesEntre los sistemas más interesantes a tratar están los lineales,invariantes y continuos.7.2.2. Algunos Sistemasa) Amplificadorconstante fijab) Línea con retardo, constante realc) Diferencial7.2.3. Sistemas lineales, continuos e invariantesEl término filtro designa a la vez un sistema físico que permitemodificar señales (por ejemplo un ecualizador) y su modelomatemático dado por un sistema lineal, continuo e invariante . Elpapel de un filtro es modificar la fase y la amplitud de lascomponentes de una señal. Los sistemas a), b) y c) son filtros.Otra definición de sistema lineal invariante es que las señales deentrada y de salida (o respuesta) están relacionadas por una ecuacióndiferencial lineal con coeficientes constantes o un sistema con estetipo de ecuaciones. Este modelo da cuenta de la relación existenteentre las variaciones de la señal de salida y los valores o las 32
  • 33. variaciones de la señal de entrada. Aparece en circuitos eléctricos ysistemas mecánicos.a) Salida de una señal periódicaEnunciemos en primer lugar el siguiente resultadoLa respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señalexponenciales también una señal exponencial yproporcional a la entrada, es decirDicho de otra manera,es función propia deasociada al valorpropio .Este resultado es importante ya que la serie de Fourier asociada auna señal periódicase escribey por tantopor linealidad se tendrá .Es decir que la imagen de la señal periódica está determinadacompletamente por las salidas que corresponden a los elementos dela base .Tanto la serie de entrada como la serie de salida tienen las mismasfrecuencias, lo que no es el caso para sistemas no lineales que creannuevas frecuencias. Por tanto la localización de las rayas del espectrono cambia. El filtrado consistirá entonces en disminuir, amplificar oseleccionar ciertas rayas.b) Salida de una señal cualquieraAhora se estudiará la respuesta a un señal cualquiera. Para ellonotaremos la salida del impulso unitario (delta deDirac), llamada respuesta impulsional.33
  • 34. La respuesta de , sistema lineal e invariante, a una señalcualquiera está dada por el producto de convolución de estaentrada y de la respuesta del sistema al impulso unitario:En lugar de calcular explícitamente la respuesta del sistema en eltiempo, cuyo cálculo puede resultar laborioso, muchas veces interesadeterminar su contenido en frecuencias y se tiene el siguienteresultado en términos de transformadas de Fourier:Si, ,entonces,A, se le conoce como la función de transferencia del sistema,y se acostumbra a escribirle como cociente . Lafunción de transferencia tipifica al filtro pues determina la forma enla que la señal entrante cambia en amplitud y fase al pasar a travésdel filtro.ObservaciónEl valor de para la salida de la exponencial tratada en el literal6.2.3.a) es justamente7.2.4. Filtros digitalesLos filtros digitales modifican una señal discreta medianteoperaciones matemáticas.Los filtros analógicos utilizan componentes físicas (resistencias,condensadores, transistores, etc.), los filtros digitales actúan con 34
  • 35. circuitos integrados, procesadores programables o software de unacomputadora (por ejemplo los programas para retocar imágenes).La representación matemática en el dominio temporal discreto se damediante ecuaciones en diferencias. Para un filtro de orden parauna señalse tieneEn el dominio de las frecuencias, usando la transformada , lafunción de transferencia de orden viene dada porLos valores de los coeficientesy determinarán el tipo de filtro(pasa bajo, pasa alto, etc.). En general se toma.7.3. MuestreoEl muestreo es la operación que consiste en tomar muestrasperiódicas de los valores de una señal continua (analógica) aintervalos regulares de tiempo (o de la variable independiente).La frecuencia a la cual se capturan los valores se dice frecuencia demuestreo.El muestreo es el primer proceso que interviene en la conversión deuna señal analógica en digital. Los otros procesos matemáticos sonla cuantificación (asignación de un margen de valor a un único nivelde salida por ejemplo por redondeo o truncamiento sobre unaprecisión determinada) y la codificación (traducción de los valorescuantificados a un código, generalmente binario). La cuantificación,al contrario del muestreo, no es reversible pues se produce unapérdida de información que se traduce en un error llamado ruido de 35
  • 36. cuantificación. Durante el muestreo la señal es aún analógica (puedetomar cualquier valor), a partir de la cuantificación la señal se vuelvedigital (toma ya valores finitos).Esta transcripción a señales digitales se realiza con el objetivo defacilitar su procesamiento (compresión, etc.) y darle a la señalresultante mayor inmunidad al ruido y otras interferencias a las queson más sensibles las señales analógicas.Según el teorema de Nyquist-Shannon para replicar con exactitud laforma de la señal la frecuencia de muestreo debe ser superior aldoble de la máxima frecuencia a muestrear. Esa frecuencia límite sellama frecuencia de Nyquist. Por ejemplo un CD de audio contienedatos musicales muestreados a 44,1kHz (44 100 muestras porsegundo) ya que el oído humano puede captar los sonidos hasta16kHz y a veces hasta 22kHz.Teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempoSea una señal analógica, cuya frecuencia más alta es (o seaque la señal es de banda limitada). Si se realiza un muestreo regularde ) con frecuencia de muestreo mayor o igual a, entonces se puede determinar por completo a partir de la señal discreta.Dicho de otra manera, la información completa de la señal analógicaoriginal que cumple el criterio anterior se describe completamentepor la serie total de muestras resultantes del proceso de muestreo, dela siguiente manera:o36
  • 37. dondeySe observa que cada muestra está multiplicada por la función“muestreadora”y todas estas funciones resultantes se suman para obtenerMuestreo y reconstitución de 37
  • 38. En caso de que la señal sea muestreada a una tasa inferior a laindicada las trasladadas vecinas se superponen dando origen alfenómeno llamado “aliasing” y no se puede recuperar la señalinicial. Si se cumple con la condición indicada de nada sirveaumentar la frecuencia de muestreo.Encabalgamiento de señales. “aliasing”Como se constata con las fórmulas expuestas la señal analógica no seobtiene mediante interpolación lineal de los puntos resultantes delmuestreo.También existe un teorema similar cuando se considera el dominiode las frecuencias.Teorema del muestreo uniforme en el dominio de la frecuenciaSeauna señal analógica, cuyo banda es –(es decir fuerade ese intervalo), entonces su transformada de Fourier se puede determinar en forma unívoca a partir de los valores detomados en los puntos equidistantes , mediante la fórmula38
  • 39. REFERENCIAS[1] Claude GASQUET, Patrick WITOMSKI Analyse de Fourier etapplications, Université de Grenoble I, Dunod (1996)[2] Hwei P. HSU, Análisisde Fourier, Addison-WesleyIberoamérica,(1987)[3] http://www.jhu.edu/~signals/index.html39
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