Calculo de varias variables 7 edicion - james stewart

Engineering

kevin-lopez
  • 1. / CENGAGELeamlng-JAME SM
  • 2. C Á L C U L ODE V A R I A S V A R I A B L E ST R A S C E N D E N T E S T E M P R A N A SS É P T I M A EDI CIÓNJ AME S S TEWA RTMcMASTER UNIVERSITYYUNIVERSITY OF TORONTOT r a d u c c i ó nMaría del Carmen Rodríguez PedrozaR e v i s ió n t é c n i c aDr. Ernesto Filio LópezUnidad Profesional en Ingeniería y Tecnologías AplicadasInstituto Politécnico NacionalM. en C. Manuel Robles BernalEscuela Superior de Física y MatemáticasInstituto Politécnico NacionalDr. Abel Flores AmadoCoordinador de la materia de CálculoInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus PueblaMtro. Gustavo Zamorano MontielUniversidad Popular Autónoma del Estado de Puebla« CENGAGE** Learníng1Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos* Japón • México • Reino Unido • Singapur
  • 3. CENGAGEt+ Learning1Cálculo de varias variables.Trascendentes tempranasSéptima ediciónJames StewartPresidente de Cengage LearningLatinoaméricaFernando Valenzuela MigoyaDirector Editorial, de Producción y dePlataformas Digitales para LatinoaméricaRicardo H. RodríguezGerente de Procesos para LatinoaméricaClaudia Islas LiconaGerente de Manufactura para LatinoaméricaRaúl D. Zendejas EspejelGerente Editorial de Contenidos en EspañolPilar Hernández SantamarinaCoordinador de ManufacturaRafael Pérez GonzálezEditoresSergio Cervantes GonzálezGloria Luz Olguín SarmientoDiseño de portadaIrene MorrisImagen de portadaIrene MorrisComposición tipográfica6Ns© D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,una Compañía de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe núm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, México, D.F.Cengage LearningR es una marca registradausada bajo permiso.DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte deeste trabajo amparado Dor la Ley Federal delDerecho de Autor, podrá ser reproducida,transmitida, almacenada o utilizada encualquier forma o por cualquier medio, ya seagráfico, electrónico o mecánico, incluyendo,pero sin limitarse, a lo siguiente: fotocopiado,reproducción, escaneo, digitalización,grabación en audio, distribución en Internet,distribución en redes de información oalmacenamiento y recopilación en sistemasde información, a excepción de lo permitidoen el Capítulo III, Artículo27 de la Ley Federaldel Derecho de Autor, sin el consentimientopor escrito de la Editorial.Traducido del libro Calculus. Earlytrascendentals. Seventh Edition.James StewartPublicado en inglés porBrooks/Cole, una compañía deCengage Learning ©2012ISBN: 0-538-49790-4Datos para catalogación bibliográficaStewart JamesCálculo de varias variables. Trascendentes tempranas.Séptima ediciónISBN: 978-607-481-8987Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.comImpreso en México1 2 3 4 5 6 7 1 5 1 4 1 3 1 2
  • 4. ContenidoP r e f a c io ixA l e s t u d i a n t e x x i iiE x ám e n e s d e d i a g n ó s t i c o x x vEcuaciones paramétricas y coordenadas polares 63510.1 Cu rv a s de f inida s p o r me d io d e e cua c ione s p a ramé t r ic a s 636Proyecto de laboratorio • Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 6441 0 .2 Cá lculo con c u rv a s p a ramé t r ic a s 645Proyecto de laboratorio • Curvas de Bézier 65310 .3 Co o rd e n ad a s p ola re s 654Proyecto de laboratorio • Familias de curvas polares 6641 0 .4 Áre a s y lo ngitude s en c o o rd e n a d a s polares 6651 0 .5 Se c c io n e s c ó n ic a s 6701 0 .6 Se c c io n e s c ó n ic a s en c o o rd e n a d a s polares 678Re p a so 685P r o b l ema s a d i c i o n a l e s 688Sucesiones y series infinitas 68911.1 S u c e s io n e s 690Proyecto de laboratorio • Sucesiones logísticas 7031 1 .2 Se r ie s 70311 .3 L a p ru e b a d e la integral y e s tima ción de suma s 7 1 41 1 .4 Prueba s p o r c omp a ra c ió n 7221 1 .5 Se r ie s a lte rnantes 7271 1 .6 C o n v e rg e n c ia ab so lu ta y las pruebas d e la razón y la raíz 73211 .7 Es t ra teg ia pa ra p ro b a r series 7391 1 .8 Se r ie s de potenc ia s 7411 1 .9 Re p re s en ta c ió n de las func ione s c omo series de p o tenc ia s 7461 1 .1 0 Se r ie s de T a y lo r y d e Ma c laur in 753Proyecto de laboratorio • Un límite escurridizo 767Redacción de proyecto • Cómo descubrió Newton la serie binomial 767v
  • 5. V i CONTENIDO11.11 Ap l ic a c io n e s de los p o l in omio s de T aylor 768Proyecto de aplicación • Radiación proveniente de las estrellas 777Rep a so 778P r o b l ema s a d i c i o n a l e s 781Vectores y geometría del espacio 78512.1 Si s tema s t r id imen s io n a le s de coo rd en a d a s 78612.2 Ve c to re s 79112.3 El p ro d u c to p u n to 80012.4 El p ro d u c to cruz 808Proyecto para un descubrimiento • Geometría de un tetraedro 81612.5 Ecu a c io n e s d e rectas y planos 816Proyecto de laboratorio ■ Poniendo tres dimensiones en perspectiva 82612.6 Ci lindros y supe r f icies c u ád r ic a s 827Rep a so 834P r o b l ema s a d i c i o n a l e s 837Funciones vectoriales 83913.1 Fu n c io n e s ve c tor ia le s y c u rv a s en e l e spa cio 84013.2 De r iv ad a s e integrale s de func ione s vector ia les 84713.3 Longitud de a rco y c u rv a tu r a 85313.4 Mo v imie n to en e l espa cio: ve loc idad y a celeración 862Proyecto de aplicación • Leyes de Kepler 872R e p a s o 873P r o b l ema s a d i c i o n a l e s 876Derivadas parciales 877Fu n c io n e s de varias va r iable s 878Lími te s y c o n tin u id ad 892De r iv ad a s pa rc ia le s 900Planos tangente s y a p ro x ima c io n e s lineales 915Re g la de la c a d e n a 924De r iv ad a s di re c c io n a le s y el v e c to r gradiente 933Va lo r e s má x imo s y mín imo s 946Proyecto de aplicación Diseño de un camión de volteo 956Proyecto para un descubrimiento • Aproximaciones cuadráticas y puntos críticos 956
  • 6. CONTENIDO V I I14.8 Mul t ipl ic adore s d e Lag ra n g e 957Proyecto de aplicación • Ciencia para cohetes 964Proyecto de aplicación • Optimización de turbinas hidráulicas 966Re p a so 967P r o b l ema s a d i c i o n a l e s 971Integrales múltiples 973Integra le s d o b le s sobre re c tán g u lo s 9 7 4Integra le s i teradas 982Integra le s d o b le s sobre regione s generales 988Integra le s d o b le s en c o o rd e n a d a s polares 997Ap l ic a c io n e s de las integrale s dobles 1003Áre a de superficie 1013Integra le s triples 1017Proyecto para un descubrimiento ■ Volúmenes de hiperesferas 1027Integra le s triples en c o o rd e n a d a s cilindr ic as 1027Proyecto de laboratorio • Intersección de tres cilindros 1032Integra le s triples en c o o rd e n a d a s esfér ic as 1033Proyecto de aplicación • Carrera de objetos circulares 103915.10 Camb io de va r iable s en integrale s múltiple s 1040Re p a so 1049P r o b l ema s a d i c i o n a l e s 1053Cálculo vectorial 105516.1 C amp o s ve c tor ia le s 105616.2 Integra le s de l íne a 106316.3 T e o r em a fu n d ame n ta l d e las integrales de l íne a 107516.4 T e o r em a de Gre en 108416.5 Ro ta c io n a l y d iv e rg e n c ia 109116.6 Supe r f ic ie s pa ramé t r ic a s y sus á reas 109916.7 Integra le s de super f icie 111016.8 T e o r em a d e S toke s 1122Redacción de proyecto • Tres hombres y dos teoremas 112816.9 El teo rema d e la d iv e rg e n c ia 112816.10 Re sumen 1 135Re p a so 1136P r o b l ema s a d i c i o n a l e s 1139
  • 7. v i i i CONTENIDOEcuaciones diferenciales de segundo orden 114117 . 1 Ecu a c io n e s line a le s de seg u n d o orden 114217.2 Ecu a c io n e s line a le s no h om o g é n e a s 114817.3 Ap l ic a c io n e s de las e cu a c io n e s diferenc ia le s de seg u n d o orden 115617.4 So lu c io n e s p o r series 1164Rep a so 1169Apéndices A1F Demo s t ra c ió n de teo rema s A2H Núme ro s c omp le jo s A l 3I Re sp u e s ta s a e je rc ic ios de n úme ro imp a r A21índice A51
  • 8. PrefacioUn gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero siempre hay una pizcade descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema puede sermodesto, pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivaspara resolverlo por sus propios medios, usted puede experimentar la emoción ydisfrutar el triunfo del descubrimiento.G E O R G E P O L Y AEl arte de la e n s e ñ an z a , d i jo Ma rk Van Doren, e s e l arte de a y u d a r a de scubrir . He in te n ­tadoe sc r ibi r un libro que ayude a los e s tudiantes a d e sc u b r i r e l Cá lc u lo , tanto por su u t i ­lidadp rá c t ic a c om o por su so rprendente belleza. En e s ta ed ic ió n , c om o en las seis pr ime ra se d ic ione s , mi objetivo e s mo s t ra r a los e s tudiante s un sentido de la utilidad de l Cá lculo yd e sa r rol la r en e llos u n a c omp e t e n c ia técnica , p e ro también intento ilus tra r la b e l le z a in t r ín ­se c a de la materia. Sin dud a , Newton e x p e r ime n tó u n a sensa ción de tr iunfo c u a n d o hizosus grande s d e sc u b r imien to s : e s mi d e s e o que los e s tu d ia n te s c omp a r ta n un po c o de e sasensación.El é n fa s i s e s tá en la c omp re n s ió n de los conceptos . Cre o q u e cas i todo el m u n d o e s tád e a cue rdo con q u e e s ta c omp re n s ió n debe se r el objetivo pr incipal de la e n s e ñ a n z a delCálculo. De h e ch o , e l imp u l so p a ra la actual r e fo rma en la e n s e ñ a n z a de l Cá lc u lo vinod e sd e la Co n fe re n c ia d e T u la n e en 1986, donde se fo rmu ló su p r ime ra re comenda c ión:C o n c e n tra r s e en la c om p r e n s ió n d e lo s c o n c e p to sHe in te n tad o imp leme n ta r e s te objetivo mediante la r e g la d e lo s tres: “ Los tema s d ebenpresentarse con enfoque s geomé tricos , numér icos y a lgebraicos” . La v isualización, la e x p e ­rime n t a c ió n n um é r i c a y g r á f ic a y o t ro s e n fo q u e s h a n m o d i f i c a d o la m a n e r a e n q u e see n s e ñ a e l r a z o n amie n to co n c ep tu a l . La regla de los tres se h a amp l iad o p a ra c o n ve r t ir s e enla r e g la d e lo s c u a tro al h a c e r hinc apié en la ve rba l iz a c ión y lo de sc riptivo.En la reda c ción de la sé p t ima edic ión me he p ro p u e s to lograr u n a c omp re n s ió n c o n ­ceptua l y c o n s e rv a r aún lo me jo r d e l Cá lculo tradicional. El libro contiene e leme n to s de lare forma , pe ro d e n t ro del c o n te x to d e un currículo tradicional.Versiones alternativasHe e sc rito otros l ibros d e c á lcu lo q u e podr ían ser pre fe r idos p o r a lgunos mae s tros . Lama y o r í a d e e llos tamb ién vienen en ve rs iones de u n a va r iable y d e va r ia s variables.■ C á lcu lo : tra n s c e n d e n te s tem p r a n a s , séptima edic ión, ve rs ión híbr ida , e s s imila r alpre sente libro en c o n te n id o y c o b e r tu r a salvo q u e todos los e je rcic ios d e la secciónestán d i sp o n ib le s sólo en E n h an c ed WebAs s ign. El texto imp re so incluye un repa sode todo el ma te r ia l al final de c apítulo.■ C á lc u lo , sé p t ima edic ión, e s s imila r al presente libro de texto e x c e p to q u e lasfunc ione s tr ig o n omé tr ic a s inversas , loga r ítmica s y e x p o n e n c ia le s se tratan en unseg u n d o semes tre.
  • 9. X PREFACIO■ C á lcu lo , séptima edición, versión híbrida, e s similar al libro C á lcu lo , séptima edic ión,en c o n te n id o y c o b e r tu ra sa lvo que todos los ejercic ios al final d e la sección estánd i sp o n ib le s sólo en E n h an c ed WebAs s ig n . El texto imp re so incluye un repa so de todoel ma te r ia l al final de l c apítulo.■ C á lc u lo e s e n c ia l es un libro mu c h o má s b re v e (800 p ágina s ) , aunque c o n tie n e casitodos los tema s d e l C á lcu lo , séptima edición. La relativa brevedad se logra a través deu n a exposición má s concre ta de a lgunos temas y poniendo algunas características enel sitio web.■ C á lc u lo e sen c ia l: tra n s c e n d e n te s tem p r a n a s se a seme ja a C á lc u lo e s e n c ia l, sólo q u elas func ione s tr ig o n omé tr ic a s inversas , exp o n en c ia le s y lo g a r í tmic a s se tratan en elc ap í tu lo 3.■ C á lcu lo : c o n c e p to s y c o n te x to s , cu a r ta edic ión, d e s ta c a la c omp re n s ió n co n c ep tu a laún má s fue rtemente q u e este libro. La c obe r tura de tema s no e s e n c ic lo p é d ic a y elma te ria l sobre func ione s tra s c e n d en te s y e cua c ione s pa ramé t r ic a s e s tejido a lo largode l libro en lugar de se r tratados en c ap í tu lo s separados.■ C á lcu lo : p rim e ro s v e c to r e s introduc e los vectores y las func ione s ve c tor ia les en unp r ime r semes tre y las integra en todo e l libro. Es a d e c u a d o pa ra los e s tu d ia n te s quetoma n c u r so s de in g en ie r ía y física s imu ltán e amen te con e l d e Cálculo.■ C á lc u lo a p lic a d o a b r e v ia d o e s tá d e s t in a d o a e s tudiantes de n e g oc ios , c ienc ia ssociales y c ie n c ia s d e la vida.[ ¿Qué hay de nuevo en la séptima edición?L o s c am b io s han s id o un re s u l ta d o d e los c om e n t a r io s d e mis c o l e g a s y e s tu d ia n t e s dela Un iv e r s id a d de T o r o n to y de la le c tu ra de d ia r io s , a s í c om o d e las su g e r e n c i a s de losu s u a r io s y los re v iso re s . Es ta s son a lg u n a s de las m u c h a s me jo r a s q u e he in c o rp o r a d oe s t a e d ic ió n .■ Parte de l ma te r ia l h a sido re esc r ito p a ra may o r c la r idad o m e jo r motiva c ión. Vé a s e ,p o r e jemp lo , la introduc c ión a las series en la página 703 y la mo tiv a c ió n p a ra elp ro d u c to cruz en la p á g in a 808.■ Se han a g reg a d o n u e v o s e jemp lo s (vé ase e l e jemplo 4 en la p á g in a 1021), y lassoluc ione s a a lg u n o s d e los e jemp lo s exis tentes han s ido ampliada s .■ El p ro g r ama de arte h a sido renovado: se han inco rp o rad o n u eva s f iguras y unporc enta je imp o r tan te de las a ctuale s figuras han sido redibujadas.■ Se han a c tua l iz ado los da tos de e jemp lo s y ejercic ios p a ra ser má s pertinentes.■ Se h a a g reg a d o un n u e v o proyecto: Las F am ilia s d e curx'as p o la r e s (p á g in a 664)e x hiben las fa sc inante s forma s de c u rv a s polares y c ómo e v o lu c io n an en el co n tex tode u n a familia.■ L a sección sobre la super f icie de la grá fic a de u n a func ión de d os va r iable s h a sidore s tau ra d a c omo se c ción 1 5.6 pa ra la c omodidad de los ins tructores a q u ien e s lesgus ta e n s e ñ a r lo d e sp u é s de las integrale s dobles , aunque e l t ra tamiento c omp l e to de lasuper f icie se man t ien e en e l c ap í tu lo 16.
  • 10. PREFACIO X ¡■ S ig o b u s c a n d o e jemp lo s de c óm o el Cálculo se aplic a a mu c h o s a spe ctos d e l mu n d oreal. En la p á gina 909 p odrá v e r h e rmos a s imágene s de la fuerza del c amp o magné ticoterrestre y su s e g u n d a d e r iv a d a ve r tica l c a lculada a partir de la e cu a c ió n de Laplace.Ag r ade z co a Roge r Watson por traer a mi atención c ómo é s ta se utiliza en la geof ís ic ay la exp lo ra c ió n d e mine rale s .■ Má s de 2 5% de los e je rc ic ios de c a d a c apítulo son nuevos . És tos son a lg u n o s de misfavoritos: 11.2.49-50, 11.10.71-72, 12.1.44, 12.4.43-44 y los p ro b lema s 4, 5 y 8 de laspág in a s 837-838.Mejoras tecnológicas■ Los me d io s de c omu n ic a c ió n y tecnología p a ra a p o y a r e l texto se han me jo r a d o pa rad a r a los p ro fe so re s un m a y o r control sobre su c u r so, p ro p o rc io n a r a y u d a adic ionalp a ra h a c e r frente a los d iv e r so s nive le s de pre p a ra c ió n de los e s tu d ia n te s d e l c u r so deCá lculo y for talec e r e l a p o y o p a ra la comp re n s ió n conc eptua l . Las c ara c te r í s tic a sd e l n u e v o E n h a n c e d We bA s s ig n in c lu y e n (en in g lé s ) un C e n g a g e Y o uB o o kp e r s o n a l i z a d o , un re p a s o J u s t in T im e , un S h ow y o u r W o rk , un E v a lu a d o r d er e s p u e s ta s , un Plan d e e s tu d io p e r so n a l iz a d o , Ma s te r It, so lu c ió n en vid eo s ,v id e o c l ip s d e c o n f e r e n c i a s (con p re g u n ta s a so c ia d a s ) y un V is u a liz in g C a lc u lu s(a n ima c io n e s T EC con p re g u n ta s a sociadas ) q u e se han d e s a r ro l lad o p a ra facilitar elme jo r aprendiza je d e los e s tu d ia n te s y ha ce r flexible el t raba jo do c en te en e l aula.■ El T EC (H e r r am ie n ta s p a r a E n ñ q u e c e r el C á lc u lo ) h a sido c omp le tame n ter e d is eñ a d o y e s tá d i sponible en Enhanc ed We bAs s ig n , Co u r s eMa te y Powe rLe c ture .Selec ted Visua ls y Mo d u le s están disponible s en www.s tewa r tc a lc u lu s .c om‘ CaracterísticasEJERCICIOS CONCEPTUALES La m a n e r a má s imp o r tan te de fomen ta r la comp re n s ió n c o n c e p tu a l e s a t ravé s d e los p ro ­blema s que p ro p o n emo s . Pa ra e llo he ideado va r ios tipos d e p roblema s . Alg u n o s c o n ju n ­tosde e je rc ic io c omie n z a n solici tando la explic ac ión de l s igni f ic ado d e los co n c e p to sb á s ico s de la se cción. (Vé a s e , por e jemp lo , los p r ime ro s e je rc ic io s en las se c c io n e s 11.2,14.2 y 14.3). De l m i smo mo d o , todas las se c ciones d e re p a so c omie n z a n c o n u n a v e r if i ­ca c ión de c o n c e p to s y un E x ame n rá p id o Ve rdade ro-Fa l so. Los e je rc ic ios de verif ica c iónde comprens ión conceptua l a través de gráficos o tablas se ven en los ejercicios 10.1.24-27,11.10.2, 13.2.1-2, 13.3.33-39, 14.1.1-2, 14.1.32-42, 14.3.3-10, 14.6.1-2, 14.7.3-4, 15.1.5-10,16.1.11-18, 16.2.17-18 y 16.3.1-2.Otro tipo de e je rc ic ios utilizan la d e sc ripc ión ve rbal p a ra v e r if ic a r la c omp r e n s ió n c o n ­ceptual. Co n s id e ro d e v a lo r e sp e c ia l los p roblema s q u e c omb in a n y c omp a ra n los en fo q u e snumé r ico s , grá ficos y a lgebraicos.CONJUNTOS DE EJERCICIOS Ca d a c o n ju n to de e je rcic ios e s c u id a d o s ame n te c al i f ic ado, p ro g re s an d o d e sde e je rcic iosCALIFICADOS co n c e p tu a le s b á s ico s y p ro b lema s p a ra el de sa rrollo d e h a b il id ad e s ha s ta p ro b lema s má sde sa f ia n te s d e aplic a c ione s y demos tra cione s .DATOS DEL MUNDO REAL Mis a y u d a n t e s y y o h emo s p a s a d o m u c h o t iempo b u s c a n d o en b ib l io te c a s , p o n ié n d o n o sen c o n ta c to c o n emp r e s a s y o rg a n i smo s g u b e rn ame n ta le s , y b u s c a n d o in fo rma c ió n enin te rn e t c o n e l fin d e p re s en ta r , m o t iv a r e ilus tra r los c o n c e p to s d e l Cá lc u lo a p a r ti r de
  • 11. XÜ PREFACIOda tos de l m u n d o real. C omo re sultado, mu c h o s de los e jemp lo s y e je rc ic ios se tratan confunc ione s d e f in id a s p o r e s tos da tos n umé r ico s o gráficos. Por e jemp lo , las func ione s ded os va r iable s son i lus trada s por u n a tabla de valores de l índice de viento frío c om o u n afunc ión de la temp e ra tu ra y la ve loc idad de l viento (e jemp lo 2 d e la sección 14.1). Lasd e r iv a d a s pa rciale s son in tro d u c id a s en la sección 14.3 con la revis ión de u n a c o lum n aen u n a tab la d e v a lore s d e l índice d e c a lo r ( tempe ra tura p e rc ib id a d e l aire) c om o u n a fu n ­ción de la temp e ra tu ra a ctual y la h ume d a d relativa. Este e jemp lo e s tá c o n e c ta d o c o n lasa p ro x ima c io n e s lineales (e jemp lo 3 de la sección 14.4). Las d e r iv a d a s di re c c io n a le s seintroduc en en la sección 14.6, ut il iz ando un map a de c u rv a s de temp e ra tu ra p a ra e s t ima rla razón d e c am b io d e la temp e ra tu ra d e Reno en di rec ción a Las Vegas . Las integrale sd o b le s son u s ada s pa ra e s t ima r e l p rome d io de nevada s en Co lo rad o d u ra n te e l 20 y 21 dedic iembre de 2006 (e jemplo 4 d e la sección 1 5.1). Los c amp o s vectoriales son introducidosen la s e c c ió n 1 6.1 a t rav é s de r e p r e s e n t a c io n e s a c tu a le s de los c am p o s v e c to r ia le s delos p a i lo n e s de la veloc idad d e l viento en la Bahía de San Francisco.P R O Y E C T O S Un a ma n e r a de inte re s a r y a c t iva r a los e s tudiantes e s ha c e r lo s traba ja r (quizás en grupos )en p roye c tos e x te n d id o s q u e den la sensa ción d e triunfo al o b ten e r un logro sus tanc ia l u n avez finalizados. He inc luido c u a t ro tipos de proyectos: p r o y e c to s d e a p lic a c ió n q u e in v o ­lucranaplic a c ione s di s e ñ ad a s p a ra ape la r a la imaginac ión de los e s tudiantes . El proye c tod e sp u é s d e la sección 14.8 utiliza los multiplic adore s de Lag ra n g e p a ra d e te rmin a r la m a s ade las tres e ta p a s de l lan z amien to de un c o h e te , así c om o tamb ién min imiz a r la ma s a totalmie n t ra s el c o h e te a lc an z a la ve loc idad d e se ada . Los p r o y e c to s d e la b o ra to r io se refierena la tecnología : el q u e sigue de la sección 10.2 mu e s tra c ómo usa r c u rv a s de Bé z ie r pa rad i s e ñ a r fo rma s q u e re p re s e n ta n letra s p a ra u n a imp re so ra láser. Los p r o y e c to s p a r a und e sc u b rim ien to exploran aspectos de la geometría: tetraédrica (después de la sección 12.4),h ip e re s fe ra s (de spué s de la sección 15.7) e inte r se cc iones de tres c il indros (de spué s de lasección 1 5.8). El p ro y e c to esc rito, d e sp u é s de la sección 17.8, e x p lo ra los o r ígene s h i s tó ­ricos y físicos de l t e o r ema d e Gre en y del teo rema d e Stoke s , y la inte rac c ión de los h om ­bre s involuc rados . Proye c tos a dic iona le s se encuentran en la g u ía d e l in s tru c to r .R E S O L U C IÓ N DE P R O B L E M A S Los e s tu d ia n te s suelen tene r di f icultades con p roblema s p a r a los q u e no exis te algún p r o ­ced imie n to bien de f inido p a ra obtene r la respues ta. Cre o q u e nadie h a me jo ra d o mu c h o lae s t ra teg ia de Geo rg e P o ly a c o n sus c u a t ro e ta p a s para re so lv e r un p ro b lema , p o r lo qu e , enc o n s e cu e n c ia , he inc luido u n a ve rs ión d e sus pr incipios pa ra re so lv e r pro b lema s , d e sp u é sde l c apí tulo 1. Es tos pr inc ipios , tanto exp líc ita c omo imp l íc i tamen te , se aplican en todo ellibro. De sp u é s de los otros c a p í tu lo s he c o lo c a d o s e c c io n e s l lama d a s p r o b lem a s a d ic io ­na le s , q u e incluyen e jemp lo s d e c ómo a f ronta r p roblema s d i f íc ile s de Cálculo. En la s e le c ­ción de los v a r iados p ro b lema s p a ra e stas se c ciones tomé en c u e n ta el co n s e jo d e DavidHilbert: “ un p ro b lema ma temá t ic o debe ser difícil p a r a co n v en c e rn o s , pe ro no inac ce s iblec omo pa ra f rus trar nue s t ros e s fu e r z o s ” . Cu a n d o prop o n g o e s tos de sa fiante s p ro b lema s entare as y e x áme n e s , los c alifico d e ma n e r a diferente. A q u í p remio s igni f ic a tivamente a une s tudiante p o r sus ideas y a p o r ta c ione s or ientada s h a c ia u n a soluc ión y p o r re c o n o c e r c u á ­lespr incipios d e re soluc ión de p ro b lema s son relevantes.TECNOLOGÍA L a d i sp o n ib i l id a d d e la te c n o lo g ía no h a c e men o s , s in o má s imp o r ta n te c om p r e n d e r c l a ­ramentelos c onc eptos q u e subyacen en las imágenes en la pantalla. Cu a n d o se utilizancor re c tamente, las c alculadoras y dispos itivos de graficación son pode rosas her ramientaspa ra analizar y comp re n d e r los conceptos . Este libro de texto puede utilizarse con o sin tec ­nologíay utilizo dos s ímbolos e speciales pa ra indicar c la ramente c u án d o se requiere un tipoe special de máquina. El icono ^ indica un e jercicio que d ef initivamente requiere de e s ta tec ­nología,pe ro no indic a q u e no sea posible usarla en otros ejemplos . El s ímbolo |sac| se utilizapa ra problema s que requieren todos los recursos de un s is tema a lgebraico computa r iz ado(Derive, Maple, Ma th ema t ic a o la TI-89/92). A pesar d e todo, la tecnología no de ja obsole ­tosal lápiz y papel. Con f recuencia son preferibles los cálculos y trazos h e chos manua lmente
  • 12. PREFACIO x i i iH E R R A M IE N T A SP A R A E N R IQ U E C E R EL C Á LC U LOT A R E A S S U G E R ID A SE N H A N C E D W e bA s s ig nw w w . s t e w a r t c a l c u l u s . c o mpa ra ilustrar y reforzar a lgunos conceptos . Tanto p rofesores c omo e s tudiantes necesitan d e s a ­rrollarla capa cidad de de cidir c u á n d o e s apropiado trabajar a m a n o o con máquina.T EC es un a compañante de este libro de texto y e s tá p e n s a d o pa ra e n r iq u e c e r y c om p l e ­mentar su c o n tenido (disponible de sde internet en www.s tewa r tc a lculus .com y en EnhancedWe bAs s ig n y Cour seMa te) . De sa r rollado por Ha rvey Keynes , Dan Clegg, Hub e r tHo h n ypor mí, T E C utiliza un enfo q u e explora tor io y de d e scubr imiento. En las se c ciones de l librod o n d e la tecnología e s pa r ticula rmente apropiada, los iconos al ma rgen dirigen a e s tu d ia n ­tesh a c ia mó d u lo s T EC que proporcionan un en to rn o d e laborator io en e l que puede e x p lo ­rarel tema de di ferente s man e ra s y en diferentes niveles. V i su a l s o n a n im a c i o n e s def i g u r a s e n el texto: M o d u l e s o n a c t iv id a d e s m á s e l a b o r a d a s e in c lu y e n e je rc ic io s . Losprofesores pueden optar por pa r ticipa r en varios nivele s di ferente s , q u e van d e sde s imp le ­mente a lentar a los e s tudiante s a usa r Vi sua l y Module pa ra la explora c ión independiente,ha s ta a signar e je rcic ios e spe c í f icos d e los incluidos en Module , o a la c re a c ión de e je rcic iosadicionales , labora tor ios y proye ctos q u e hacen uso de Visua l y Module.A q u í se pre sentan tareas suge r ida s en fo rma d e p re g u n ta s y tratan de emu l a r un asistentee fe c t iv o de e n s e ñ a n z a al fu n c io n a r c om o un d i sc re to tutor. En c a d a se c ción de l texto seincluyen su g e renc ia s p a ra los e je rc ic ios repre sentativos (n o rma lmen te impa re s ) , indic andoel n úm e ro de l e je rc ic io en rojo. Los ejercic ios están c o n s t ru id o s d e ma n e r a q u e no revelanmá s d e la solución real d e lo q u e e s mín imo ne ce sa r io p a ra a v a n z a r má s y están d i sponible sa los e s tu d ia n te s en s tewa r tc a lc u lu s .c om, Cou r seMa te y E n h an c ed WebAs s ig n .L a te c n o lo g ía e s tá ten ien d o imp a c to en la forma en q u e se asignan terc as a e s tudiante s ,pa r ticu la rme n te en grupos n ume rosos . El uso de tare as en l íne a e s c re c iente y su interésd e p e n d e de la facilidad de uso, c a lidad d e c alificación y conf iabil idad. Con la sé p t ima e d i ­ción h emo s e s tad o trab a ja n d o c o n la c omu n id a d de Cá lculo y We bAs s ig n p a ra d e sa rrol la run s i s tema má s sólido de tare as en línea. Hasta 7 0% de los e je rc ic ios de c a d a sección sonasignables c omo tareas en línea, incluyendo respuestas libres, opción múltiple y otros variosformatos.El s i s tema también incluye e jemp lo s activos, en los q u e los e s tu d ia n te s son guiados entutor ia le s pa so a p a so a través de e jemp lo s textuales, con e n la c e s al libro de texto y a lassoluc ione s en video. Las n u e v a s me jo ra s al s is tema incluyen un eBo o k p e r sona l iz able , unamu e s t r a d e las c ara c te r í s tic a s d e su t raba jo (S h ow Y o u r W o rk ), un repa so de pre rrequis itosde precálculo (J u s t in T im e ), un editor d e tareas me jorado (A s s ig nm e n t E d ito r ) y un e v a lu a ­do r de respues tas (A n sw e r E va lu a to r ) que acepta respues tas ma temá tic amente equiva lentesy pe rmite la c ali fic a c ión de las tareas de l mi smo m o d o en que lo ha ce el profesor.Este sitio incluye lo siguiente.■ T a re a s suge r idas■ Rep a so d e álgebra■ Mi c a lc u la d o ra miente y la c om p u t a d o r a me dijo■ His tor ia de las ma temá tic a s , c o n v ínculos a los me jo re s sitios h is tór icos■ T ó p ic o s a dic iona le s (c omp leme n ta d o s con c o n ju n to s de e je rcicios ): series de fourier,fó rmu la s p a ra e l té rmin o de l re s id u o en la serie de T ay lo r , rotac ión de ejes■ P ro b lema s a rchivados (eje rcic ios d e prá ctic a q u e apare cie ron en las e d ic ione sante r iore s , ju n to con sus soluc ione s )■ P ro b lema s de d e sa f ío (a lg u n o s de los p roblema s e sp e c ia le s q u e apare c ie ron ense c c ione s de e d ic io n e s ante r iore s )■ Vín c u lo s p a r a tópicos pa r ticula res a recursos e xte rnos de la web■ To o l s for En r ic h in g Ca lc u lu s (TEC) , Module y Visua l
  • 13. PREFACIOExámenes de diagnósticoUn previo de Cálculo1 Funciones y modelos2 Límites y derivadas3 Reglas de derivación4 Aplicaciones de la derivada5 Integrales6 Aplic aciones de la integración7 Técnicas de integración8 Aplicacionesadiciona les d é la integraciónContenidoEl libro c om i e n z a con c u a t ro e x ám e n e s d e diagnós tico re la c io n a d o s con á lg e b ra bá s ica ,g e ome t r ía analítica, func ione s y t r igonome tr ía.Se p re s en ta u n a visión gene ra l de l tema e incluye u n a lis ta de p re g u n ta s p a ra mo tiv a r ele s tu d io de l cálculo.De sde el pr incipio, se ha ce h in c a p ié en va r ia s re p re senta c ione s d e las funciones: verbal,n umé r ic a , vi sua l y a lgebraica. Un a d i s c u s ió n d e los mo d e lo s ma temá t ic o s c o n d u c e a u n arevis ión de las func ione s e s tán d a r , in c lu y e n d o las func ione s e x p o n e n c ia le s y loga r ítmica s ,d e sd e e s to s cua t ro p u ntos d e vista.El ma te ria l sobre límites e s tá mo t iv a d o p o r un debate previo a c e rc a d e los p ro b lema s d e lare cta tangente y la veloc idad. Los límite s son tratados d e sde p u ntos de vi s ta d e sc r ipt ivos ,gráficos, n umé r ico s y algebraicos . La sección 2.4, sobre la de f inición p re c i sa e -8 de unlímite, e s u n a sección opc iona l. Las se c c ione s 2.7 y 2.8 tratan de d e r iv a d a s (e spe c ia lmentecon funciones definidas gráfica y n umé r ic amen te ) antes de estudia r las reglas de deriva ciónen el c ap í tu lo 3. A q u í los e jemp lo s y e je rc ic ios exploran los signif ic ados de de r iv a d a s end iv e r so s contextos . La s d e r iv a d a s de orden supe r .or se pre sentan en sección 2.8.A q u í se de r ivan todas las func ione s b á s ic a s , incluyendo las e x p o n en c ia le s , loga r í tmic a s ytr ig o n omé tr ic a s inversas . Cu a n d o las d e r iv a d a s se c a lcu la n en s itua c ione s aplic ada s , sepide a los e s tu d ia n te s e x p l ic a r su s ig ni f ic ado. En e s te c a p í tu lo se e s tu d ia n e l c r e c imi e n toy d e c a imie n to e x p o nenc ia l .Los h e chos bá s icos relativos a los valores extremos y a las formas de las curva s se deduc endel t e o r ema d e l va lor medio. Las gráficas con te cnología ha c en hinc apié en la inte rac c iónentre e l Cá lculo y las c a lcu la d o ra s y e l análisis de las familias de curvas . Se p ro p orc ionana lg u n o s p ro b lema s imp o r ta n te s , in c lu y e n d o u n a explic ac ión de l p orqué ne c e s i ta levantarsu c a b e z a 4 2 ° p a ra ver la parte supe r ior de un arcoíris.Los problema s del á rea y la d is tanc ia sirven para motivar el e s tudio de la integral definida,re cur r iendo a la notación s igma c a d a vez q u e sea necesario. (En el apéndice E se proporc ionaun tratamiento comp le to de la notación s igma.) Se e n fa t iz a la explicación de l significado d ela integral en diversos contextos y en la estimación de sus valores en gráficas y tablas.Aq u í presento las aplicaciones de la integración — área, volumen, trabajo, va lor promedio—q u e ra zo n a b lemen te p ueden ha c e r s e sin técnicas e sp e c ia l iz a d a s d e integración. Se ha cehinc apié en mé to d o s generales. El objetivo e s que los e s tu d ia n te s p u e d an div id i r u n a c a n ­tidaden trozos p e q u eñ o s , e s t ima r la c o n suma s de Riema n n , y r e co n o c e r su límite c omou n a integral.A q u í se cubren los mé to d o s e s tán d a r pe ro, por supuesto, e l v e rd ad e ro d e sa f ío e s r e c o n o ­ce r q u é té c n ic a se utiliza me jo r en u n a situación dada. En c o n s e cu e n c ia , en la se c ción 7.5,p re sento u n a e s t ra teg ia p a ra la integrac ión. El uso de s i s tema s d e á lg e b ra c omp u ta r iz a d o sse e x p lic a en la sección 7.6.A q u í apare c en las aplic a c ione s d e integración: área de u n a superficie y longitud de un arco,pa ra las q u e e s útil tene r d i sponible s todas las técnicas de integra c ión, a s í c omo a p lic a c io ­nesa la biología , la e c o n om í a y la f í s ica ( fue rz a hidros tá t ic a y c en t ro s d e masa). Tamb ié nhe inc luido u n a se c ción de probabilidad. A q u í hay má s a p lic a c io n e s de las q u e en realidadse p ueden c ubr ir en un cu r so d e te rmin a d o , a s í que los p ro fe so re s d e b en se le c c iona r lasa p lic a c io n e s a d e c u ad a s p a ra inte re s a r a los e s tudiante s y a e llos mismos .
  • 14. PREFACIO XV9 Ecuaciones dife renciales10 Ecuaciones paramétricasy coordenadas polares11 Sucesiones y series infinitas12 Vectores y lageometría del espacio13 Funciones vectoriales14 Derivadas parciales15 Integrales múltiples16 Cálculo vectorial17 Ecuaciones diferencialesde segundo ordenEl mo d e la d o e s el tema q u e unif ica este t ratamiento p re limin a r de las e cu a c io n e s d i f e r e n ­ciales.Los c am p o s d i re c c iona le s y el mé todo de Eu le r se e s tudian antes de re so lv e r lase cu a c io n e s lineales y sepa rable s d e fo rma explícita, p o r lo que los e n fo q u e s cualita tivos ,n umé r ico s y analíticos re ciben igual cons idera ción. Es tos mé to d o s se aplican a los m o d e ­lose x p o n en c ia le s , logís ticos y otros pa ra e l e s tudio de l c re c imie n to de la poblac ión. Laspr ime ra s cua t ro o c in co se c c ione s de e s te c apítulo son u n a b u e n a introduc c ión a las e c u a ­cio n e s di fe renc ia le s de p r ime r orden. Un a sección final op c io n a l utiliza e l mo d e lo d e p r e ­da d o r -p r e s a p a ra ilus tra r los s i s tema s de e cua c ione s diferencia le s .Este c apítulo introduce las curvas paramétricas y polares y las aplicaciones de l Cálculo enellas. Las curva s pa ramétr ica s están bien adaptadas a los proye ctos de laboratorio: los trespre sentados involucran a familias de curvas y curva s de Bézier. Un breve tratamiento d e lascónic as en coo rd en a d a s polares prepa ra el c a n i n o pa ra las leyes de Kepler en el c apítulo 13.Las pru e b a s de c o n v e rg e n c ia tienen jus tif ic a c ione s intuitiva s (ve a p á g in a 714) a s í c omod emo s t r a c io n e s formales . Las e s t ima c io n e s numé r ic a s d e suma s d e series están b a s a d a s enc u á l p ru e b a se u só p a ra d emo s t r a r u n a convergencia . El é nfas is e s tá en la serie y p o l in o ­mios d e T a y lo r y sus a p l ic a c io n e s a la física. La s e s t im a c io n e s de e r ro r in c lu y en los ded i sp o s i t iv o s d e graficación.El material tridimens ional de geome tría analítica y vectores e s tá dividido en d os capítulos. Elc apítulo 12 trata con vectores, produc to punto y producto cruz, líneas, planos y superficies.Este c ap í tu lo c u b re func ione s v a luada s c omo ve ctores , sus d e r iv a d a s e integrale s , la lo n ­gitudy c u rv a tu r a de un e s p a c io d e c u rv a s y la v e lo c id ad y a c e le ra c ió n a lo la rg o d e e see sp a c io , te rmin an d o en las leyes de Kepler.Funciones d e dos o má s variables son estudiadas de forma verbal, numér ica , v isual y de sde elpunto de vista algebraico. En particular, introduzco las de r ivadas parciales ex amin an d o unac o lumn a específica en u n a tabla de valores del índice d e c a lor (percibido en la temperatura delaire) c omo una función de la temperatura actual y de la h umedad relativa. Las d e r ivadas p a r ­cialesson emple ada s para e s t ima r curvas en mapas de temperatura, presión y nevadas.L o s ma p a s d e c o n to rn o y la re g la d e l p u n to me d io son u t i l iz a d o s p a r a e s t im a r e l p r om e ­dio de ne v ad a s y de temp e ra tu ra s en regione s dadas . Las integrale s d o b le s y tr iples sonemp le a d a s p a ra c a lcu la r p robabil idade s , áreas y supe r f icies , y (en p ro y e c to s ) v o lúme n e sde hipe re s fe ra s y de la inte rse cc ión de tres cilindros. Las c o o rd e n a d a s c il in d r ic a s y e s f é r i ­ca s son in tro d u c id a s en el c o n te x to de la evaluac ión de las integrale s d o b le s y triples.Los c am p o s ve c tor ia les son in tro d u c id o s a través de i lus tra c ione s d e los c am p o s de v e lo ­cidad de l viento y sus p a trone s en la Ba h ía de San Franc isco. Se ha ce é n fa s i s en las s imi ­litudescon e l teo rema fu n d ame n ta l pa ra integrales de línea, el t e o r ema de Gre en, elt e o r ema de Stoke s y el t e o r ema de la divergencia.A pa r tir d e las e cu a c io n e s di fe renc ia le s de p r ime r orden, vistas en el c ap í tu lo 9, este c a p í ­tulofinal trata c o n las e cu a c io n e s diferencia le s de seg u n d o orden y sus aplic a c ione s en lavibra c ión de re sor tes , c ircuitos e lé c t r icos y solución de series.Material auxiliarC á lcu lo . T r a s c e n d e n te s tem p r a n a s , sé p t ima edic ión, se a p o y a en un c o n ju n to c omp l e to dema te r ia le s auxiliare s d e s a r ro l lad o s ba jo mi di re c c ión. C a d a parte se h a d i s e ñ a d o pa rame jo ra r la c omp re n s ió n de l e s tudiante y facilitar la e n s e ñ a n z a crea tiva . Con e s ta edic ión,se han d e s a r ro l lad o n u e v o s med io s y te cnología s q u e a yudan al e s tudiante a v isua liz ar elCálculo y a los instructores a p ersonalizar el contenido para m ejorar la forma en q u e enseñansu curso. Las tabla s en las p á g in a s xx-xxi de scriben c a d a uno de e s tos auxiliares.
  • 15. x v i PREFACIOAgradecimientosPa ra la pre p a ra c ió n de é s ta y las ante r iore s edic ione s he inve r t ido mu c h o t iemp o leyendolas o pinione s (aunque a ve c e s c o n tra d ic to r ia s ) de un gran n úme ro de as tutos revisores.Ag r a d e z c o e n o rmeme n t e a to d o s e llos p o r el t iempo d e d ic a d o a la c u id a d o s a le c tura y a lac omp re n s ió n de l en fo q u e adoptado. He aprendido a lgo d e c a d a u n o d e ellos.REVISORES DE LA S É P T IM A ED IC IÓN Amy Aus tin, T e x a s A & M U n iv e r s ityAn th o n y J. Be v e la c q u a , U n iv e r s ity o f N o r th D a k o taZ h e n -Q in g C h e n , U n iv e r s ity o f W a sh in g to n— S e a ttleJ e n n a Ca rpente r , L o u is ia n a Te ch U n iv e r s ityLe Ba rón O. Pe rg u so n , U n iv e r s ity o f C a lifo rn ia— R iv e r s id eShari Ha rris , J o h n W o o d C om m u n ity C o lle g eAm e r Iqbal, U n iv e r s ity o f W a sh in g to n— S e a ttleA k h ta r Khan, R o c h e s te r In s titu te o f T e c h n o lo g yMa r ian n e Kor ten, Kanscis S ta te U n iv e r s ityJoyc e Lo n gma n , V illa n o v a U n iv e r s ityRicha rd Mi l lspaugh, U n iv e r s ity o f N o r th D a k o taLon H. Mitchell, V irg in ia C om m om v e a lth U n iv e r sityHo Kuen Ng, S a n J o s é S ta te U n iv e r s ityN o rm a Or t iz -Ro b in so n , V irg in ia C om m o nw e a lth U n iv e r s ityQin Sh e n g , B a y lo r U n iv e r s ityMa g d a le n a T o d a , T e x a s T e c h U n iv e r s ityRuth Try g s tad , S a lí L a k e C om m u n ity C o lle g eKlaus Volpe r t, V illa n o v a U n iv e r s ityP e iy o n g Wa n g , Wciyne S ta te U n iv e r s ityREVISORES DE LA TECNOLOGÍAMaria Andersen, Muskegon Community CollegeEric Aurand, Eastfield CollegeJoy Becker, University of)Visconsin-StoutPr/einy slaw Bogacki, O Id Dominion UniversityAmy Elizabeth Bowman, University o f Alabama in HuntsvilleMonica Brown, University o f Mis so uri-St. LouisRoxanne Byrne, University o f Colorado en Denvery Health Sciences CenterTeri Christiansen, University o f Missouri-ColumbiaBobby Dale Daniel, Lamar UniversityJennifer Daniel, Lamar UniversityAndras Domokos, California State University, SacramentoTimothy Flaherty, Caniegie Mellon UniversityLee Gibson, University o f LouisvilleJane Golden, Hillsborougb Community CollegeSemion Gutman, University o f OklahomaDiane Hoffoss, University o f San DiegoLorraine Hughes, Mississippi State UniversityJay Jahangiri, Kent State UniversityJohn Jernigan, Community College o f PhiladelphiaBrian Karasek, South Mountain Community CollegeJason Kozinski, University o f FloridaCarole Krueger, The University o f Texas a t ArlingtonKen Kubota, University o f KentuckyJohn Mitchell, Clark CollegeDonald Paul, Tulsa Community CollegeChad Pierson, University o f Minnesota, DuluthLanita Presson, University o f Alabama en HuntsvilleKarin Reinhold, State University o f New York a tA lb a n yThomas Riedel, University o f LouisvilleChristopher Schroeder, Morehead State UniversityAngela Sharp, University o f Minnesota, DuluthPatricia Shaw, Mississippi State UniversityCari Spitznagel, John Carmll UniversityMohammad Tabanjeh, Virginia State UniversityCapt. Koichi Takagi, United States Naval AcademyLoma TenEyck, Cliemeketa Community CollegeRoger Werbylo, Pinta Community CollegeDavid Williams, Clayton State UniversityZhuan Ye, Northern Illinois University
  • 16. PREFACIO XVREVISORES DE EDICIONES AN TER IOR E SB. D. Aggarwala, Ur.iversity o f CalgaryJohn Alberghini, Manchester Community CollegeMichael Albert, Carnegie-Mellon UniversityDaniel Anderson, University o f lowaDonna J. Bailey, Northeast Missouri State UniversityWayne Barber, Cherreketa Community CollegeMarilyn Belkin, Villcnova UniversityNeil Berger, University o f Illinois, ChicagoDavid Berman, University o f New OrleansRichard Biggs, University o f Western OntarioRobert Blumenthal, Oglethorpe UniversityMartina Bode, Northwestern UniversityBarbara Bohannon, Hofstra UniversityPhilip L. Bowers, Florida State UniversityAmy Elizabeth Bowman, University o fA la b am a en HuntsvilleJay Bourland, Colorado State UniversityStephen W. Brady, Wichita State UniversityMichael Breen, Tennessee Technological UniversityRobert N. Bryan, University o f Western OntarioDavid Buchthal, University o f AkronJorge Cassio, Miami-Dade Community CollegeJack Ceder, University o f California, Santa BarbaraScott Chapman, Trinity UniversityJames Choike, Oklahoma State UniversityBarbara Cortzen, DePaul UniversityCari Cowen, Purdue UniversityPhilip S. Crooke, Vanderbilt UniversityCharles N. Curtís, Missouri Southern State CollegeDaniel Cyphert, A n n stw n g State CollegeRobert DahlinM. Hilar}' Davies, University o f Alaska AnchorageGregory J. Davis, University o f W isconsin-Green BayElias Deeba, University o f Houston-DowntownDaniel DiMaria, Suffolk Community CollegeSeymour Ditor, Uniersity o f Western OntarioGreg Dresden, Washington and Lee UniversityDaniel Drucker, Wayne State UniversityKenn Dunn, Dalhousie UniversityDennis Dunninger, Michigan State UniversityBruce Edwards, University o f FloridaDavid El lis, San Francisco State UniversityJohn Ellison, Gwve City CollegeMartin Erickson, Traman State UniversityGarret Etgen, University o f HoustonTheodore G. Faticoni, Fordham UniversityLaurene V. Fausett, Georgia Southern UniversityNorman Feldman, Senoma State UniversityNewman Fisher, San Francisco State UniversityJosé D. Flores, The University o f South DakotaWilliam Francis, Michigan Technological UniversityJames T. Franklin, Valencia Community College, EastStanley Friedlander, Bronx Community CollegePatrick Gallagher, Columbio University-New YorkPaul Garre», University o f Minnesota-MinneapolisFrederick Gass, Miami University o f OhioBruce Gilligan, University o f ReginaMatthias K. Gobbert, University o f Maryland,Baltimore CountyGerald Goff, Oklahoma State UniversityStuart Goldenberg, California Polytechnic State UniversityJohn A. Graham, Buckingham Browne & Nichols SchoolRichard Grassl, Ur.iversity o f New MéxicoMichael Gregory, University o f No rth DakotaCharles Groetsch, University o f CincinnatiPaul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State UniversitySalim M. Haidar, Grand Valley State UniversityD. W. Hall, Michigan State UniversityRobert L. Hall, University o f W isconsin-MilwaukeeHoward B. Hamilton, California State University, SacramentoDarel Hardy, Colorado State UniversityGary W. Harrison, College o f CharlestonMelvin Hausner, New York University/Courant ¡nstituteCurtís Herink, Mercer UniversityRussell Hermán, University o f North Carolina a t WilmingtonAlien Hesse, Rochester Community CollegeRandall R. Holmes, Auburn UniversityJames F. Hurley, University o f ConnecticutMatthew A. Isom, Atizona State UniversityGerald Janusz, University o f Illinois en Urbana-ChampaignJohn H. Jenkins, Embry-Riddle A eronautical University,Prescott CampusClement Jeske, University ofWisconsin, PlattevilleCari Jockusch, University o f Illinois a t Urbana-ChampaignJan E. H. Johansson, University o fV e rm o n tJerry Johnson, Oklahoma State UniversityZsuzsanna M. Kadas, St. Michael's CollegeNets Katz, Indiana University BloomingtonMatt KaufmanMatthias K aw ski, A tizona State UniversityFrederick W. Keene, Pasadena City CollegeRobert L. Kelley, University o f MiamiVirgil Kowalik, Texas A A ! UniversityKevin Kreider, University o f AkronLeonard Krop, DePaul UniversityMark Krusemeyer, Carleton CollegeJohn C. Lavvlor, University o fV e rm o n tChristopher C. Leary, State University o f New Yorken GeneseoDavid Leeming, University o f VictoriaSam Lesseig, Northeast Missouri State UniversityPhil Locke, University o f MaineJoan McCarter, Anzona State UniversityPhil McCartney, Northern Kentucky UniversityJames McKinney, California State Polytechnic University, PomonaIgor M alyshev, San José State UniversityLarry Mansñeld, Queens CollegeMary Martin, Colgate UniversityNathaniel F. G. Martin, University o f VirginiaGerald Y. Matsumoto, American River CollegeTom Metzger, University o f Pittsbu/gh
  • 17. x v i i i PREFACIOMichael Montano, Riverside Commumty CollegeTeri Jo Murphy, University o f OklahomaMartin Nakashima, California State Polytechnic University, PomonaRichard Nowakowski, Dathousie UniversityHussain S. Nur, California State University, FresnoWayne N. Palmer, Utica CollegeVincent Pánico, University o fth e PacificF. J. Papp, University o f Michigan-DearbornMike Penna, Indiana University—Purdue University IndianapolisMark Pinsky, Northwestern UniversityLothar Redlin, The Pennsylvania State UniversityJoel W. Robbin, University ofWisconsin-MadisonLila Roberts, Georgia College and State UniversityE. Arthur Robinson, Jr., The George Washington UniversityRichard Rockwell, Pacific Union CollegeRob Root, Lafayette CollegeRichard Ruedemann, Arizona State UniversityDavid Ryeburn, Siman Fraser UniversityRichard St. Andre, Centra( Michigan UniversityRicardo Salinas, San Antonio CollegeRobert Schmidt, South Dakota State UniversityEric Schreiner, Western Michigan UniversityMihr J. Shah, Kent State University-TrumbuUTheodore Shifrin, University o f GeorgiaWayne Skrapek, University o f SaskatchewanLarry Small, Los Angeles Pierce CollegeTeresa Morgan Smith, Blinn CollegeWilliam Smith, University o f North CarolinaDonald W. Solomon, University o f Wisconsin-MilwaukeeEdward Spitznagel, Washington UniversityJoseph Stamptli, Indiana UniversityKristin Stoley, Blinn CoilegeM. B. Tavakoli, Chaffey CollegePaul Xavier Uhlig, St. Mary's University, San AntonioStan Ver Nooy, University o f O legónAndrei Verona, Califom a State University-Los AngelesRussell C. Walker, Camegie Mellon UniversityWilliam L. Walton, McCallie SchoolJack Weiner, University o f GuelphAlan Weinstein, University o f California, BerkeleyTheodore W. Wilcox, Rochester ¡ns ti tu te o f TechnologySteven Willard, University o f AlbertoRobert Wilson, University ofWisconsin-MadisonJerome Wolbert, University o f Mich ig a n -An n A rb o rDennis H. Wortman, Un'versity o f Massachusetts, BostonMary Wright, Southern Illinois University-CarbondalePaul M. Wright, Austin Community CollegeXian Wu, University o f South CarolinaAd emá s , me g u s ta r ía d a r las gra cias a Jordán Bell, Geo rg e Be rgma n , León Ge rber ,Ma ry Pugh y Simó n Smith p o r sus suge renc ias : Al S h e n k y De n n i s Zill p o r su pe rmi sop a ra utiliza r e je rc ic ios d e sus textos de cálculo: C OMA P p o r su p e rmi so p a ra utilizar elma te r ia l d e los proyectos: Ge o rg e B e rgma n , David Blee cke r . Dan Clegg, Vic to r Kaftal,An th o n y Lam, Jamie Lavvson, Ira Rosenhol tz , Paul Sally, Lowe l l Smy l ie y Lar ry Wallenp o r sus idea s p a ra los e jercicios : Dan Dru c k e r por el p ro y e c to de l De rby de rodillos: T h o -ma s Ba n ch o f f , T om Fa rme r , Fred Gass , John Ramsay, Lar ry Riddle, Philip Straffin yKlaus Volpe r t p o r sus ideas p a ra los proye ctos : Dan An d e r so n , Dan Clegg, J e f f Colé, DanDru c k e r y Ba rb a r a Frank por re solve r los nuevos e je rc ic ios y suge r ir formas p a r a m e jo ­rarlos:Ma rv Riede se l y Ma ry Jo h n so n por su precisión en la cor re c c ión: y J e f f Colé y DanC le g g por su c u id a d o s a prepa ra c ión y co r re c c ió n de l man u s c r i to de respues ta.As imi smo , doy las gra cias a q u ien e s han con tr ib u id o a p a s a d a s edic iones : Ed Ba rbe au,Fred Braue r , An d y B u lma n -F lemin g , B o b Bur ton, Da v id Cus ick, T om DiCic c io , Ga r retEtgen, Chr is Fisher, Stua r t Go ld e n b e rg , Arnold Good, Ge n e He cht, Ha rvey Keyne s , E.L.Koh, Zdis lav Kova r ik, Kevin Kre ider , Emi le LeBlanc, David Leep, Ge rald Leibowi tz ,Larry Pe te r son, Lo th a r Redlin, Cari Riehm, John Ringland, Pe ter Rosenthal, D o u g Shaw,Dan Silver, Nor ton Starr, S a le em Wa t so n , Alan Weins tein y Gail Wo lk owic z .Tamb ié n a g rad e z c o a Kathi T ow n e s , Stephanie Kuhns y Rebekah Million o f T ECH a r t sp o r sus se rvicios de pro d u c c ió n y al s iguiente personal de Brooks /Cole : Che ryll Linthi-cum, gerente d e p ro y e c to de contenido: Liz a Neustaetter, e d i to r asistente: Maureen Ross,e d ito r d e medios : S am Subi ty, gerente d e medios de edición: Jenni fe r Jone s , d i re c to r dema rke ting: y Ve rn o n Boe s , d i re c to r de arte. T o d c s han h e ch o un t raba jo e x c epc iona l.He sido mu y a fo r tu n ad o de h a b e r traba jado con a lg u n o s de los me jo re s en el n e goc iode la edic ión en Ma temá t ic a s d u ra n te las úl tima s tres dé cadas : Ron Mu n ro , Harry C am p ­bell,Cr a ig Ba r th, Je remy Hayhurs t, Ga ry Os tedt, B o b Pirtle, Richard Stratton y a h o ra LizCove llo. T o d o s e llos han c o n t r ib u id o en gran med id a al éxito de este libro.J A M E S S T E W A R T
  • 18. PREFACIO x i xAs imi smo , d e s e amo s a g rad e c e r la va liosa c o la b o ra c ió n d e los p ro fe so re s Dr. Ernes toFilio Lópe z , de UP ITA (IPN): M. en C. Manue l Robles Bernal: L.F.M. Lu is Án g e l FilioRivera, d e E S IM E Z a c a te n c o (IPN): M. en C. Lilia Quintos Vá zq u e z , de E S IM E Tic omá n(IPN): Dr. Ab e l Flore s Ama d o , de l ITESM Camp u s Puebla, y al Mt ro .Gu s tav o Z amo r a n oMontiel, de la UPA E P (Puebla ) en la revisión de e s ta sé p t ima edic ión en español.Ad emá s a g rad e c emo s al Dr. Hu g o Gus tavo Gonz á le z He rn án d e z , Di re c to r de l D e p a r ­tamentod e Ciencias y al Dr. Abe l Flores Amado, Co ordinador de la mate ria d e Cálculo, asíc om o a los s iguiente s p ro fe so re s de l ITESM C amp u s Puebla por la c o n f ia n z a d e p o s i ta d aen la o b r a C á lcu lo . T r a s c e n d e n te s tem p ra n a s de Stewa r t y a d opta r lo p a ra sus cursos .Dr. Juan José Góme z DiazMa s te r Aid a Ig n a c ia Sa la z a r C.Ma s te r Alv a ro An d ra d e An dradeMa s te r Jorge Luis h ig u e ro a Ramíre zDr. Juan Manue l MerloDr. Julio Ce sa r Ramíre z San JuanMa s te r Luis Daniel Bra v oAte n tamen te ,Los Editores.
  • 19. A u x ilia re s para instructoresP o w e r L e c t u r eISBN 0-8400-5421-1Este DVD contiene todo e l arte del texto en fo rm a to s dePowerPoint y jpeg, ecuaciones clave y tablas d e l textocompleto predefinida¡ de conferencias en PowerPoint, unaversión electrónica de la guía d e l instructor, un generador desoluciones; un software de pruebas ExamView, herramientaspara enriquecer e l cálculo (TEC), un video de instrucciones yun comando Joinln sobre e l contenido de TurningPointIn s t r u c t o r ' s G u id ePor Douglas ShawISBN 0-8400-5418-1Cada sección d e l texto se analiza desde varios puntos de vista.La guía d e l instructor (Instructor's Guide) contiene tiemposugerido de asignación, puntos a destacar, temas de debated e l texto, materiales básicos para la clase, sugerencias paratrabajo en taller, ejercicios de trabajo de grupo en una fo rm aadecuada para su entrega y sugiere las asignaciones de tareas.Una versión electrónica de la guía del instructor estádisponible en e l DVD de PowerLecture.C o m p l e t e S o l u t i o n s M a n u a lS i n g l e V a r i a b l e E a r l y T r a n s e en d e n t á i sPor Daniel Anderson, Jeffery A. Colé y Daniel DruckerISBN 0-8400-4936-6M u l t i v a r i a b l ePor Dan Clegg and Barbara FrankISBN 0-8400-4947-1Contiene las soluciones detalladas de todos los ejerciciosd e l texto.S o lu t io n B u i l d e rwww.cengage.com/sol.itionbuilderEsta base de datos en línea para e l instructor ofrece solucionesmuy elaboradas para todos los ejercicios en e l texto. E l generadorde soluciones (Solution Builder) permite crear impresionespersonalizadas de soluciones seguras (en formato PDF) quecoinciden exactamente con los problemas asignados en clase.P r in t e d T e s t B a n kPor William Steven HamionISBN 0-8400-5419-XContiene textos específicos de opción múltiple y exámenes derespuesta libre.E x a m V i e w T e s t in gCrear, entregar y personalizar los exámenes en formatosimpresos en línea con ExamView, permite una evaluación defá c il uso a través de ur software tutorial. ExamView contienecientos de elementos pura exámenes de respuesta múltiple ylibre. ExamView está disponible en e l DVD de PowerLecture.A u x ilia re s para instructores y estudiantesS t e w a r t W e b s i t ew w w.stew arte ale ulu s.comContenido: Tareas sugeridas ■ Repaso de A lgebra ■ Temasadicionales ■ ejercicios de Simulación ■ Problemas dedesafío ■ Enlaces web ■ Historia de las matemáticas■ Herramientas para Enriquecer e l Cálculo (TEC)m i T o o ls fo r E n r ic h in g™ C a l c u l u sPor James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg yel desarrollador Hu HohnHerramientas para enriquecer e l cálculo (TEC) funcionacomo una poderosa herramienta para instructores, a s í comoun entorno tutorial en e l que los estudiantes pueden explorary revisar temas seleccionados. Los módulos de simulación enFlash en TEC incluyen instrucciones escritas y en audio delos conceptos y ejercicios. TEC está accesible en CourseMate,WebAssign y PowerLecture. Los elementos seleccionados enVisual y Module están disponibles enH’ h’h s te wa rtca leu tus. com.E n h a n c e d W e b A s s i g nw w w. webassign. ne tE l sistema de distribución de tareas de WebAssign permitea los instructores entregar, recoger, calificar y elaborar listas através de la web. Enhanced WebAssign para e l Cálculo deStewart involucra ahora a los estudiantes en la revisión delcontenido al comienzo del curso y a l principio de cada seccióna s í como en los conocimientos previos. Además, para losproblemas seleccionados, los estudiantes pueden obtener ayudaa d icio n a l en fo rm a de "ma yo r re troalim entac ión” (lasrespuestas) y soluciones en video. Otras características clavein clu y en : miles de problemas d e l Cálculo de Stewart. Unpersonalizable Cengcge YouBook, un plan de estudio personal,una muestra d e su trabajo, un repaso en e l momento, unevaluador de respuestas, módulos de animaciones y visualizado/!d e l Cálculo, concursos, videos de conferencias (con preguntasasociadas) y mucho más.C e n g a g e C u s t o m i z a b l e Y o u B o o kYouBook es un eBooic en Flash interactivo y personalizable,que tiene todo e l contenido d e l Cálculo de Stewart. Lascaracterísticas de YouBook son una herramienta de edición detexto que permite a los profesores modificar la narrativa de!libro de texto según sea necesario. Con YouBook, los profesorespueden reordenar rápidamente capítulos y secciones enteras uocu lta r cualquier contenido que no enseñan, para crear unlibro electrónico que coincida perfectamente con su plan deestudios. Los profesores pueden personalizar aún más e l textoañadiendo sus ideas o enlaces de video en YouTube. Losactivos de medios adicionales incluyen: figuras animadas,videoclips, destacando notas y más. YouBook está disponibleen Enhanced WebAssign.■ Electrónicos ■ ImpresosXX
  • 20. C o u ' i e M á t e C o i r s e M a t ew w w .ce ngage b rain .comCourseMate es una perfecta herramienta de auto aprendizajepara estudiante: y no requiere ningún apoyo de los profesores.CourseMate trae conceptos con aprendizaje interactivo,estudio y herramientas interactivas para la preparación deexámenes que apoyan a l libro de texto impreso. CourseMatepara e l Cálculo de Stewart incluye: un libro electrónicointeractivo, herramientas para enriquecer e l Cálculo, videos,cuestionarios, tarjetas en flash y más. Para los profesores,CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramientade primera en su tipo que supervisa e l trabajo estudiantil.M a p l e C D -R O MMaple proporciona un dispositivo avanzado de cálculomatemático de cito rendimiento plenamente integrado consímbolos numéreos, todos accesibles desde un entorno técnicodesde WYSIWYG.C e n g a g e B r a in . c o mPara accesos de materiales adicionales de! curso y recursos deapoyo, p o r fa vo r visite www.cengagebrain.com. En esta páginabusque p o r ISBN o p o r título (desde la cubierta posterior de sulibro) usando e l comando de búsqueda en la parte superior dela página. Esto !e llevará a la página d e l producto donde sepueden encontrar gratuitamente recursos de apoyo.A u x ilia re s para estudiantesS t u d e n t S o l u t i o n s M a n u a lS i n g l e V a r i a b l e E a r ly T r a n s e e n d e n t á i sPor Daniel Anderson, Jeffery A. Colé y Daniel DruckerISBN 0-8400-4934-XM u l t i v a r i a b l eP o r D a n C l e g g a n d B a r b a r a F r a n kISBN 0-8400-4945-5Proporciona soluciones completamente detalladas para todoslos ejercicios impares en e l texto, dando a los estudiantes unaoportunidad de verificar sus respuestas y asegurar que hicieronlos pasos correctos para llegar a una respuesta.Para cada sección del texto, la Guía de estudio proporciona alos estudiantes una breve introducción, una breve lista deconceptos a l profesor a s í como resumen y preguntasde enfoque con respuestas explicadas. La Guía de estudiotambién contiene preguntas “Tecnología Plus" y preguntastipo examen de opción múltiple y de estilo "su propia respuesta".C a l c L a b s w i t h M a p l eS i n g l e V a r i a b l ePor Philip B. Yasskin y Robert LópezISBN 0-8400-5811-XM u l t i v a r i a b l ePor Philip B. Yasskin y Robert LópezISBN 0-8400-5812-8C a l c L a b s w i t h M a t h e m a t i c aS i n g l e V a r i a b l ePor Selwyn HollisISBN 0-8400-5814-4M u l t i v a r i a b l ePor Selwyn HollisISBN 0-8400-5813-6Cada uno de estos comprensibles manuales de laboratorioayudará a los estudiantes a aprender a usar las herramientasde tecnología a su disposición. CalcLabs contienen ejerciciosclaramente explicados y una variedad de proyectos paraacompañar e l texto y laboratorios.A C om p a n i o n to C a l c u l u sPor Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevillay Kay SomersISBN 0-495-01124-XEscrito para mejorar e l álgebra y las habilidades para resolverproblemas de los estudiantes que están tomando un curso deCálculo. Cada capítulo de este acompañante tiene una clavereferente a un tema de Cálculo, que proporciona antecedentesconceptuales y técnicas de A lgebra específicos necesarios paracomprender y resolver problemas de Cálculo relacionados conese tema. Está diseñado para cursos de Cálculo que incluyen larevisión de los conceptos de precálculo o para uso individual.S t u d y G u id eS i n g l e V a r i a b l e E a r ly T r a n s e e n d e n t á i sPor Richard St. AndreISBN 0-8400-5420-3M u l t i v a r i a b l ePor Richard St. AndreISBN 0-8400-5410-6L i n e a r A l g e b r a fo r C a l c u l u sPor Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti,Deborah F. Lockhtrt, Daniel S. Moak y Gene M. OrtnerISBN 0-534-25248-6Este comprensible libro está diseñado para complementar elcurso de Cálculo. Proporciona una introducción y un repasode las ideas básicas del Algebra lineal.Electrónicos Impresosx x i
  • 21. Al estudianteLeer un libro de texto de C álculo e s diferente a la lectura de un periódico, una novela o inclusoun libro de física. No se desaliente si tiene que leer un párrafo más de una vez para entenderlo.Debe tener lápiz, papel y calculadora d isponibles para e sboz ar un diagrama o hacer un cálculo.Algunos estudiantes comienzan por abordar sus problemas d e tarea y leen el texto sólo si sebloquean en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y comprender una seccióndel texto antes de enfrentar los ejercicios. En particular, debe leer con cuidado las d efinicionespara ver el significado exacto de cada término. Antes de leer cada ejemplo, le sugiero que lle­guea la solución tratando de resolver el problema usted mismo. Obtendrá mucho má s quemirando la solución si es que lo hace.Parte del objetivo de este curso es inducir el p ensamiento lógico. Es muy importante apren­dera escribir las soluciones de los ejercicios de manera articulada, paso a paso, con comenta ­riosexplicativos, no sólo una cadena d e ecuaciones o fórmulas desconectadas.Las respuestas a los ejercicios d e número impar aparecen al final del libro, en el apéndice I.Algunos ejercicios piden una explicación verbal, interpretación o descripción. En tales casos nohay una única forma correcta de expresar la respuesta, por lo que no se preocupe si no ha en co n ­tradola respuesta definitiva. Además , a menudo hay varias formas diferentes para expresa r unarespuesta numérica o algebraica, así que si su respuesta aparenta ser diferente a la mía, no asumainmediatamente que se equivocó. Por ejemplo, si la respuesta dada al final del libro es y/2 — 1y usted obtuvo l / ( l -I- y / l ) , entonces está usted en lo correcto y racionalizar el denominadordemos trará que las respuestas son equivalentes.El icono indica un ejercicio que sin duda requiere el uso de una calculadora graficadora ouna computadora con software de gráficos (en la Sección 1.4 se analiza el uso de estos di sp o ­sitivosde graficación y algunas de las dificultades que puedan surgir). Sin embargo, esto no sig­nificaque los dispositivos de gráficos no puedan utilizarse para comproba r el trabajo de otrosejercicios. El símbolo [sac] se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursosde un sistema algebraico computarizado (Derive, M aple, Mathematica o la T I -89/92).
  • 22. También se usará el símbolo ® para cuidar que no se cometa un error. He puesto este sím­boloen los márgenes en situaciones donde he advertido que una gran parte de mis estudiantestienden a come ter el mismo error.Las H e rram ien ta s p a ra en riq u e c e r e l cá lcu lo , acompañantes de este texto, están indicadaspor medio del símbolo K h j y están d isponible en Enhanced WebAs sign y en C ourseMa te (losrecursos Visual y Module están disponibles en www.s tewa r tca lculus .com). Aquí se dirige alestudiante a los módulos en los que puede explorar los aspectos del Cálculo para los que la c om ­putadorae s particularmente útil.En T E C también se e n c u e n t r a T a r e a s su g e r id a s p a r a e je rc ic ios repre senta t ivos q u e estánind ic a d o s n úme ro en rojo: 5. E s tas su g e renc ia s pueden e n co n t ra r s e en s tewa r tc a lcu lu s .coma s í c om o en En h an c ed We bAs s ig n y CourseMa te. Estas su g e renc ia s de tare as ha c en p r e ­guntasal e s tudiante q u e le pe rmi ten av an z a r ha c:a u n a solución sin re almente d a r la re s ­puesta.Es n e c e s a r io q u e el e s tu d ia n te siga a ct ivamente c a d a pis ta con lápiz y papel a lam a n o p a ra d e s ta c a r los de ta lle s . Si u n a suge renc ia p a r ticu la r no p e rmi te re so lv e r e l p ro ­blema , puede h a c e r clic p a ra ver la s iguiente sugerencia.Le r e c om i e n d o q u e c o n s e rv e e s te l ibro p a r a f ines d e c o n s u l t a d e s p u é s de t e rm in a r elc u r so . Es p ro b a b le q u e olvide a lgunos de los detalles e sp e c í f ic o s de l Cá lculo, por lo queel libro se rvi rá c om o u n a re fe re n c ia útil c u a n d o sea n e c e s a r io u t il iz a r e l C á lc u lo en c u r ­sospo s te r io re s . Pu e s to q u e este libro contiene más mate ria l de l que es posible cu b r i r ento d o un c u r so , tamb ién p u e d e s e rvi r c om o un v a lioso re cu r so p a ra un t raba jo c ient íf ico ode ingeniería.El Cálculo es un tema apas ionante, jus tamente cons iderado u n o d e los m a y o r e s logrosd e l in te le c to h um a n o . E s p e ro q u e el e s tudiante d e s c u b ra que no sólo e s útil, s ino tambiénin t r ínse c amente h e rmoso.J AM E S S T EWA R T
  • 23. Exámenes de diagnósticoEl éxito en Cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticasque le preceden: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Lossiguientes exámenes están destinados a diagnosticar las debilidades que elestudiante pueda tener en estas áreas. Después de cada examen puede verificarsus respuestas comparándolas con las respuestas determinadas y, si es necesario,actualizar sus habilidades haciendo referencia a los materiales de repaso que seproporcionan.Examen de diagnóstico: álgebra1. Evalúe las siguientes expresiones sin utilizar calculadora:a) {—3)4 b) — 34 c) 3-423d) e) f ) l6- :"5'2. Simplifique las siguientes expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos:a) V2Ó0- - v'YFb) (3a3¿>3)(4<2¿>2)2c)/ 3 * 3/2y 3Y x Y l/2)3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones:a ) 3 ( at + 6 ) + 4 ( 2 . v - 5 ) b ) (x + 3 ) ( 4 a- - 5 )c ) ( y fá + y jb ) ( y fá - sf b ) d ) (2 x + 3)2e) (X + 2)34. Factorice las siguientes expresiones:a ) 4 a -2 - 2 5 b ) 2a t2 + 5 a- - 12c ) a-3 - 3 .r 2 - 4 a- + 1 2 d ) a-4 + 27a-e)3a-3/2 - 9 a : 1/2 + 6 a - " ,/2 f ) x 3y - 4 .v y5. Simplifique las siguientes expresiones racionales:A’ 2 + 3 a + 2 2 A 2 - X - 1 A + 3a ) — ; b ) --------- ;-----------------------------A 2 - A - 2 A 2 - 9 2 A + 1L _ £A 2 A + 1 A yc ) — :------------— — d )a + 2 ________________________ J ______ 1_y aXXV
  • 24. X X V Í EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO6. Racionalice y simplifique las siguientes expresiones:v/TÓ" v" 4 + h - 2a) —7= b) -h7. Reescriba las siguientes expresiones completando un trinomio cuadrado perfecto:a) .r2 + .v + 1 b) 2.y2 - 12a- + II8. Resuelva las siguientes ecuaciones (encuentre sólo las soluciones reales)., 2x 2.x - Ia) x + 5 = 14 -x b) — — = ------X + 1 Xc ) . r - .x - 12 = 0 d ) 2 a 2 + 4 .x + I = 0e) .x 4 — 3 .x 2 + 2 = 0 f ) 3 | .x — 4 | = 10g) 2 .x ( 4 - .x )_ l/ 2 - 3 v " 4 - A' = 09. Resuelva las siguientes desigualdades y exprese la solución en intervalos:a) - 4 < 5 — 3 a ^ 17 b) a 2 < 2 a + 8c) a ( a - I ) ( a + 2) > 0 d) | A — 4 | < 32.x - 3e) ^ I.x + 110. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa:a) (p + q)z = p 2 + q 2 b) yab = >fa jbI + TCc) y /a2 + b 2 = a + b d) -----—— = 1 + 7’1 1 1 1 /x 1e) = f) = --------x — y x y a /x - b jx a -Respuestas al examen de diagnóstico A: álgebra1. a) 81d ) 2 52. a) 6V 2b) -8 1e ) 7C ) 87f) kb) 48a*b7 c) — r9>-3. a) 11a — 2 b) 4.x2 + 7.x - 15c) a - b d ) 4.x2 + I2 .X + 94. a ) ( 2 a - 5 ) ( 2 a + 5 ) b ) ( 2 a - 3 ) ( .v + 41c) ( a - 3 ) ( a - 2 ) ( a + 2 ) d ) a ( a + 3 ) ( a 2 - 3 a + 9)e) 3.x " i /2( a - l)(.x - 2) f) .x y (.x - 2 ) ( .x + 2 )5. a)c).x + 2.x - 21.x - 2b)x - 1.x - 3d ) - ( .x + y)6. a) 5 y jl + 2 n/10 b)v‘4 + h + 27. a) ( .v + } ) 2 + í b ) 2 ( a - 3 ) 2 - 78. a) 6 b ) 1 c) - 3 , 4d ) -± h M e) ± 1, ±.>¡22 210 7 , 7g)1259. a) [ - 4 , 3 ) b ) ( - 2 , 4 )c ) ( - 2 , 0 ) U (1, « ) d ) (1,7)e) ( - 1 , 4 ]10. a) Falsa b ) Verdadera c) Falsad ) Falsa e) Falsa f) VerdaderaSi tiene usted dificultades con este examen, puede consultar Review ofAlgebra (repaso de álgebra) en el sitio web w w w .stew a rtc a lc jlu s.com
  • 25. EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO X X V ÜExamen de diagnóstico: geometría analítica1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, —5) ya) tiene pendiente —3b) es paralela al eje xc) es paralela al eje yd) es paralela a la recta 2 x — 4 y = 32. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en ( — 1, 4) y que pasa por el punto(3, - 2 ) .3. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es.r2 + y 2 - 6 .v + lOy + 9 = 0.4. Sean A( — 7,4) y B (5, —12) puntos en el plano.a) Encuentre la pendiente de la recta determinada por A y B.b) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos deintersección con los ejes?c) Encuentre el punto medio del segmento AB.d) Encuentre la longitud de! segmento AB.e) Encuentre la ecuación de la perpendicular que b i s e c a a AB.f ) Encuentre la ecuación de la circunferencia para la que AB es diámetro.5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades,a) - 1 =S y 3 b) |.v| < 4 y | v | < 2c) y < l - ¿ x d ) y x 2 - le) x 2 + y 2 < 4 f) 9.í2 + 16>2 = 144Respuestas al examen de diagnóstico B: geometría analítica1. a) y = -3.x + ic) .V = 22. (x + l ) 2 + (y - 4)2 = 523. Centro (3, —5), radio 5b) yd) y-5.r - 64. a)b) 4 a + 3y + 16 0 : intersección en x = —4,intersección en y = ——16c) ( - 1 , - 4 )d) 20e) 3.r - 4y 13f ) ( x + )2 + (y + 4Y 100Si tiene usted dificultades con este examen, puede consultar elrepaso de geometría analítica en los apéndices B y C
  • 26. x x v i i i EXÁMENES DE DIAGNÓSTICOExamen de diagnóstico: funcionest 0 ! F IG U R A P A R A EL P R O B L E M A 11. La gráfica de una fun c ió n /e s tá dada a la izquierda.a) Determine el valor d e / ( —I).b) Estime el valor de / (2) .c) ¿Para qué valores de .ves / ( a) = 2?d) Estime los valores de x tales que / ( a ) = 0.e) Establezca el dominio y el rango de /./ ( 2 + h) - / ( 2)2. Si f { x ) = .v3, evalúe el cociente de diferencias3. Encuentre el dominio de la función2x + 1 </ahy simplifique su respuesta.a ) / ( a ) b) g (A) :) h(x) = v'4 - A + v' A 2 ~ 1A + A - 2 A" + 14. ¿Qué aspecto tiene cada una de las gráficas siguientes a partir de la gráfica de / ?a) y = - f ( x ) b) y = 2 / (a ) - 1 c) y = f ( x - 3) + 25. Sin usar calculadora, haga un bosquejo de cada una de las gráficas siguientes:a) y = x 3 b) y = (a + I)3 c) y = ( x - 2)3 + 3d) y = 4 - x 2 e) y = yfx f ) y = 2 yfxg) y = —2* h) y = 1 + x~6. Sea/(.v) / 1 — x * s*~l x + I si.v «SO.v > 0a) Evalúe / ( —2) y / ( l ) . b) Trace la gráfica d e /7. Si /(.r) = a 2 + 2.v — 1 y g(x) = 2 x — 3, encuentre cada una de las siguientes funciones:a) f ° g b) g o f C) g o g o gRespuestas al examen de diagnóstico C: funciones1. a) - 2 b) 2.8c) - 3 , 1 d) -2 .5 ,0 .3e) [ - 3 , 3], [ - 2 , 3]2. 12 + 6/t + h23. a) (-co, - 2) U ( - 2 , I) U (I,»»)b) ( -~ , c o )c) (-co, - l ] U [1,4]4. a) Reflexión respecto al eje xb) Alargamiento vertical en un factor de 2 y después undesplazamiento de 1 unidad hacia abajoc) Desplazamiento de 3 unidades a la derecha y 2 unidadeshacia arribab) yji1J0rf)6. a) - 3 , 3 7. a) ( f ° g ) { x ) = 4 a 2 - 8a + 2b) (g ° /)(■*) — 2 a 2 + 4 a - 5c ) (9 ° 9 ° <?)(-*) = 8.v - 21Si tiene usted dificultades con este examen, vea las secciones 1.1 -1.3 de este libro
  • 27. EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO x x ixExamen de diagnóstico: trigonometríaF IG U R A P A R A EL P R O B L E M A 51. Convierta de grados a radianes.a) 300° b) - 1 8 °2. Convierta de radianes a grados.a) 57t/6 b) 23. Encuentre la longitud del arco de circunferencia de radio 12 cm si el arco subtiende unángulo central de 30°.4. Encuentre los valores exactos de:a) tan(ir/3) b) sen(7 -77/ 6 ) c) sec(57r / 3)5. Exprese las longitudes de a y b de la figura en términos de 9.6. Si sen A- = 7 y sec >' = f, d o n d e x y y e s tá n entre 0 y 7t/2, e v a lú e sen(A + y).7. Demuestre las identidades:a) tan 9 sen 9 + eos 9 = sec 92 tan xb) ------------— = sen 2aI + tan a8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2 a = sen Ay 0 í a Í 2tt.9. Trace la gráfica de la función y = 1 + sen 2a sin usar calculadora.Respuestas al examen de diagnóstico D: trigonometría1. a ) 5 t t / 32 . a ) 1 5 0 °3. 2 7 r cm4. a ) y f l5. a ) 2 4 se n 9b ) - t t / 1 0b ) 3 6 0 ° / 7 t * 1 1 4 .6 *b ) - 7b ) 2 4 e o s 66. ¿ ( 4 + 6 /2~)8 . 0 , 7 t/ 3 , 77; 5 W 3 , 2 ttc ) 2Si tiene usted dificultades con este examen de diagnóstico, vea el apéndice D de este libro.
  • 28. Ecuaciones paramétricasy coordenadas polaresEl cometa Hale-Bopp, con su azulada cola de iones y polvo blanco, apareció en elcielo en marzo de 1997. En la sección 10.6 veremos cómo las coordenadas polaresproporcionan una ecuac ón conveniente para la trayectoria de este cometa.Ha s ta a h o ra h emo s de sc rito las curvas plana s e x p re sando a y c omo u n a función de x [_y = f ( x )]o a x c om o u n a func ión de y [ x = g(y)], o d a n d o una re la c ió n e n t re x y y q u e de f ine a yimp l íc i tamen te c om o u n a func ión de x [ f ( x , y ) = 0]. En este c ap í tu lo e s tu d ia r emo s dosmé to d o s nuevos pa ra d e s c r ib i r curvas.A lg u n a s c u rv a s , c om o el c ic lo id e , se ma n e ja n me jo r c u a n d o x y y e s tán d a d a s en té rmin o sd e u n a te rc e ra va r iable t l lam a d a p a r áme t ro [ x = /(,*), y = g (/)]. Ot ra s c u rv a s , tales c omola c a rd io id e , tienen u n a d e s c r ip c ió n m á s c o n v en ien te c u a n d o u s am o s un nue v o s i s t ema dec o o rd e n a d a s , l lama d o s i s t ema de c o o rd e n a d a s polares.635
  • 29. 636 CAPITULO 10 ECJACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARESCurvas definidas por medio de ecuaciones paramétricasImagine q u e u n a p a r tícu la se mueve a lo largo de la c u rv a C mo s t r a d a en la figura 1. Esimp o s ib le d e s c r ib i r C por u n a e cu a c ió n d e la forma y = f ( x ) p orque C falla en la pru e b ad e la r e c ta ve r tica l. Pe ro las c o o rd e n a d a s x y y d e la p a r t íc u la son fu n c io n e s de l t iemp ot y, p o r tanto, se puede e sc r ibi r p o r med io de x = f ( t ) y y = g(t). Este p a r de e cu a c io n e ssuele ser u n a fo rma má s c o n v en ien te de d e s c r ib i r u n a c u rv a y d a lugar a la s iguiente d e f i ­nición.S u p o n g a que x y y se dan c om o func ione s d e una te rc e ra variable t ( l lamad a p a r ám e t r o )med ia n te las e cu a c io n e sm g(t)(llamada s e c u a c io n e s p a r am é t r i c a s ) . Ca d a valoi de / d e te rmin a un p unto (a, y), q u e sepuede repre senta r en un plano c o ordenado. Cuando t varía, e l p unto ( a ; y) = (f { t ), g(t))varía y traza u n a c u n a C, q ue llamamos c u r v a p a r a n i é t r i c a . El parámetro t no ne c e sa r iamen­terepre senta el t iempo y , de h e ch o , se p o dr ía usar u n a letra dis tinta a t pa ra el parámetro.Pero en mu ch a s aplic ac ione s d e curvas pa ramétr ica s , t d e n o ta el t iempo y, por tanto, sepuede interpretar a ( a ; y ) = ( / ( / ) , g(t)) c omo la posición d e u n a partícula en el t iempo t.E JEMP LO 1 Bosqueje e identifique la curva definida por las e cuaciones paramétricasx = í 1 ~ 2 t y = í + 1S O L U C IÓ N Cada valor de i d a un punto sobre la curva, c omo se mues tra en la tabla.Por e jemplo, si t = O, entonces a- = O, y = 1 y el punto correspondiente e s (O, 1). En la figura2 se grafican los puntos (a; y) de terminados por varios valores d e l parámetro y se unen paraproducir una curva.t X— 2 8 - 1- 1 3 00 0 11 - 1 22 0 33 3 44 8 5Un a pa r tícula c u y a p os ic ión e s tá d a d a p o r las e cua c ione s p a ramé t r ic a s , se mueve alo largo d e la c u rv a en la d i re c c ión de las flechas a me d id a que t aumenta. Nóte se que losp u ntos co n s e cu t iv o s ma rc a d o s en la c u rv a aparecen en inte rvalos de t iemp o iguale s , perono a dis tanc ia s iguales. Es to e s p orque la partícula d e s a c e le r a y d e sp u é s a c e le ra c u an d oa ume n ta t.Parece, de la figura 2, q u e la c u rv a t ra z ad a por la pa r tícula e s u n a pa rábola. Estose puede c o n f irma r al e l imin a r e l p a ráme t ro i c omo sigue. De la s e g u n d a e cu a c ió no b te n emo s t = y — 1 y la sus ti tuimos en la pr ime ra e cu a c ión. Es to d aEsta ecuación en a y y describe dónde haestado la partícula, pero no nosdice cuándo v = /2 — 2 f = ( y — l )2 — 2 ( y — l ) = y 2 — 4 v + 3ha estado la partícula en un punto particular. ^Las ecuaciones paramétricas tieren unaventaja, nosdicen cuándo estuve la partícula >' Por tant0 la c u rv a re p re s e n tad a por las e cua c ione s p a ramé t r ic a s d a d a s e s la p a ráb o laen un punto y la dirección de su movimiento. a- = y 2 — 4 y + 3.
  • 30. SECCIÓN 10.1 CURVAS DEFINIDAS PDR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS 637En e l e jemp lo 1 no se restr inge e l pa ráme t ro t> a s í q u e a sumimo s que t puede ser c u a l ­qu ie r n úme ro real. Pero a lguna s vece s re s t r ingiremos a / a un inte rvalo finito. Por e jemp lo ,la c u rv a pa r amé t r ic ar ~ 2 1 t + 1 O « t « 4q u e se ve en la figura 3 e s la parte de la pa rábola de l e jemp lo 1 q u e em p i e z a en e l punto(O, 1) y te rmin a en el p unto (8 , 5). La p u n ta d e la f lecha in d ic a la di re c c ió n en que se hatra z ad o la c u rv a c u a n d o t se in c reme n ta d e O a 4.En genera l, la c u rv a con e cu a c io n e s p a ramétr ica sx = / ( / ) y = q ( t ) a « btiene un p u n t o in ic ia l ( f ( a ) . g (a )) y un punto te rmin a l ( / ( £ ) . g(b)).□ E JEMP LO 2 ¿Qué c u rv a repre sentan las s iguiente s e cu a c io n e s pa ramé t r ic a s ?x = e o s t y = sen t O <5 t ^ 2 ?rSOLUCIÓN Si u b ic amo s los puntos , pa re c e que la c u rv a e s u n a c irc u n fe re n c ia , lo quep o d emo s c o n f irma r e l imin a n d o t. Ob s e rv e quei , i i . ■>x~ + y" — eos t + sen"/As í, e l p u n to (.r, y ) se mu e v e sobre la c irc u n fe re n c ia x 2 + y 2 = I . Ob s e rv e q u e en estee jemp lo , e l p a ráme t ro / puede inte rpreta rse c omo el ángulo (en radiane s ) q u e se ve en lafigura 4. Cu a n d o t se in c reme n ta d e O a 2 '7t , el p unto (x y ) = (eos /, sen t) se mueve u n avez a l rededor d e la c i rc u n fe re n c ia en direc ción c o n tra r ia a las mane c i l la s de l reloj apa r tir de l p unto ( 1, O).E JEMP LO 3 ¿Qué c u rv a repre sentan las e cu a c io n e s pa ramé t r ic a s dad a s ?x — sen 2 1 y — eos 2 1 O < / < 2 *ítSOLUCIÓN Ot ra vez ten emo sx~ + y 2 = sen2 2 / + e o s 2 2 / = 1a s í q u e n u e v amen te las e cu a c io n e s p a ramétr ica s repre sentan la c i rc u n fe re n c ia unita r iax 2 + y 2 = 1. Pe ro c u a n d o / se in c reme n ta de O a 2 i 7, e l p unto (x , y ) = (sen 2/, e o s 2 t)em p i e z a en (O, 1) y se mu ev e d o s v e c e s alrededor de la c i rc u n fe re n c ia en di re c c ión delas man e c i l la s de l reloj, c om o se in d ic a en la figura 5. ■ ■L o s e jem p lo s 2 y 3 mu e s t r a n q u e d i fe re n te s c o n ju n to s d e e c u a c io n e s p a r am é t r i c a sp u e d e n r e p r e s e n t a r la m i sm a c u rv a . As í , d i s t in g u im o s e n t r e u n a c u r v a , c om o un c o n ­jun to de p u n to s , y u n a c u r v a p a r am é tr ic a , en la q u e los p u n to s e s tá n t r a z a d o s d e unm o d o pa r ticula r .E JEMP LO 4 En cuentre las e c u a c io n e s p a r a n é t r i c a s de la c i rc u n fe re n c ia c o n c en t ro en(h , k ) y radio r.SOLUCIÓN Si tomamo s las e c u a c io n e s de la c ircunfe renc ia unita r ia de l e jemp lo 2 ymu lt ip l ic amo s las e x p re s io n e s p a r a x y y por /; o b te n emo s x = r eos /, y = r sen t. Espos ible verificar que e s ta s e c u a c io n e s repre sentan u n a c i rc u n fe re n c ia con radio r y c ent roen el origen tra z ado en di rec ción con tra r ia a las mane c i l la s de l reloj. A h o ra d e sp la z amo s
  • 31. 638 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESh u n id ad e s en la di re c c ión x y k un id ad e s en la d irec ción y, p a ra o b ten e r las e cu a c io n e spa r amé t r ic a s de la c irc u n fe re n c ia (figura 6 ) con centro (/?, k) y radio r.x = h + r e o s t y = k + r sen t O *5 t < 2 i rFIGURA 6■v = h + r eos /, y = k + r sen t□ EJEMPLO 5 Tra c e la c u rv a con e cu a c io n e s pa ramé t r ic a s x = sen í, y = s e n 2?.SOLUCIÓN Ob s e rv e q u e y = (sen t) y p o r tanto e l p unto se mu e v e sobre lap a rá b o la y = x 2. Pero también obse rve qu e , c omo — 1 ^ sen K 1, ten emo s— 1 =£ a ^ 1, p o r lo q u e las e c u a c io n e s p a ramétr ica s repre sentan sólo la parte dela p a ráb o la p a r a la c u a l — 1 x ^ 1. C om o sen t e s pe r iódica , el p unto( a , y ) = (sen t, sen 2t) se mueve infinitamente en vaivén a lo largo de la p a rábolad e sde (—1, 1) ha s ta (1, 1). (Véase figura 7.)U ü Module 10.1A proporciona unaanimación de la relación entre el movimiento alo largo de la curva paramétrica a = / ( 0,y = g(t) Y el movimiento a lo brgo de lasgráficas d e /y g como funciones de t.Activando TRIG nos da la familia de curvasparamétricasx = a eos bt y = c sen cltSi elegimos « — b — c — d — 1 y activamosanímate, veremos cómo las gráficas de.v = eos / y y = sen t se relacionan con lacircunferencia en el ejemplo 2. Si elegimosa = b = c = 1, d = 2. veremos las gráficascomo en la figura 8. Activando anímate omoviendo / a la derecha, podremos ver delcódigo de color cómo se mueve con latrayectoria de a = eos r e y = sen 2 1 quecorresponden al movimiento a lo largo de lacurva paramétrica, llamada f igjra deLissajousDispositivos de graficaciónLa m a y o r pa r te d e las c a lcu la d o ra s y los p ro g rama s d e graficación se p ueden usa r pa ragraficar curva s d a d a s p o r e c u a c io n e s pa ramétr ica s . De h e ch o , e s ins tructivo o b se rv a r u n ac u rv a p a ramé t r ic a d ib u ja d a c o n u n a c a lcu la d o ra , p orque los puntos se ubican en ordenc o n fo rme se in c reme n tan los va lore s de l pa ráme t ro co r re sp o n d ie n te
  • 32. SECCIÓN 10.1 CURVAS DEFINIDAS PDR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS 6393- 3FIGURA 91.5-1 .5FIGURA 10x = sen / + J-cos 5 /+ -J-sen 13/y = eos / + J-sen 5/ + J-cos 13/l u S E n Module 10.1B se muestra unaanimación de la manera ei que se formauna cicloide a partir del movimiento de uncírculo.Utilice un dispos i t ivo de graficación pa ra graficar la c u rv a x = y* — 3y 2.SOLUCIÓN S e a t = y e l pa ráme t ro. E n to n c e s ten emo s las e cu a c io n e sx = t* — 3/ 2 y = tUs an d o e s ta s e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s p a ra gr aficar la curva , o b te n emo s la figura 9.Po d r íamo s re solve r la e cu a c ió n d a d a ( x = y* — 3 y 2) p a r a y c omo c u a t ro func ione s dex y graficarlas in d iv id u a lme n te , pe ro las e cua c ione s p a ramé t r ic a s p ro p o rc io n a n unmé to d o mu c h o má s fácil.En genera l, si n e c e s i tamo s graficar u n a e cua c ión d e la fo rma x = g (y ), p o d emo s usa rlas e cu a c io n e s pa ramé t r ic a s■* = g ( 0 y = tOb s e rv e también q u e las c u rv a s con e cu a c io n e s y = f ( x ) (aquella s c o n las q u e se e s táfamilia r iz ado; gráficas d e func ione s ) también se p ueden c o n s id e ra r c om o c u rv a s con e c u a ­cio n e s pa ramé t r ic a sx = t y = f ( t )Los dispos i t ivos d e graficación son pa r ticula rmente útiles p a ra t raz ar curva s c om p l i c a ­das.Por e jemp lo , las c u rv a s que se mue s tran en las figuras 10, 11 y 12 serían v i r tu a lme n ­teimp o s ib le s de h a c e r a mano.1 1 .8E JEMP LO 6FIGURA 11.v = sen / — sen 2.3/V = eos /FIGURA 12a = sen / + J-sen 5 / + J-cos 2.3/V = eos / + J-cos 5 /+ — sen 2 .3 /Uno d e los m á s imp o r ta n te s usos de las curvas p a ramé t r ic a s e s e l d i s e ñ o as is tido porc omp u t a d o r a (CAD) . En el proye c to de laborator io d e sp u é s de la sección 10.2 inve s tiga ­remo s c u rv a s p a ramé t r ic a s e sp e c ia le s , llamada s c u r v a s d e Bé z ie r , que son amp l iamen teut ilizadas en man u fa c tu ra , e sp e c ia lmen te en la indus t r ia automotr iz . Es tas curva s tambiénse emp le a n en formas e sp e c ia le s de letras y atros s ímbolos de impre s ión en láser.] La c ic loide_____________ E JEMP LO 7La c u rv a t ra z ad a por un p unto P sobre la c i rc u n fe re n c ia de un c írcu loc u a n d o éste ru e d a a lo largo de u n a re c ta se llama c ic lo id e (vé ase figura 13). Si e l c írculotiene radio r y ru e d a a lo largo de l eje x , y si u n a pos ic ión de P e s tá en el origen,d e te rmin e las e cu a c io n e s p a ramé t r ic a s p a ra la cicloide.FIGURA 13 P
  • 33. 640 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESF IG U R A 14F IG U R A 15SOLUCIÓN Ele g imo s c om o p a ráme t ro al ángulo de rotac ión 0 de l c írcu lo (0 = O c u an d oP e s tá en e l origen). S u p o n g a q u e el c í rc u lo h a girado 0 radianes . De b id o a q u e el c írcu loh a e s tad o en c o n ta c to con la re cta, se ve de la figura 14, que la di s tan c ia q u e h a rodadod e sd e e l or igen es| O T | = are P T = r0Por tanto, el c ent ro de l c írculo e s C ( r 0 , r). Sean (.*, y) las c o o rd e n a d a s de P. E ntonc e s ,de la figura 14 v emo s quex — | O T | — | PQ | = rO — r sen 0 — r ( 0 — sen 0 )y — | TC | — | Q C | = r — r eos 0 = r ( I — eos 6)A s í q u e las e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s de la c icloide sonm x = ~ sen ¿0 y = >'(l — eos 0) 0 G RUn a rco d e la c ic loide viene de u n a rotac ión d e l c írculo y, por tanto, se de sc r ibemed ia n te O í M 2/7t. Au n q u e las e cu a c io n e s 1 se obtuvie ron de la figura 14, q u e ilus trae l c a s o d o n d e 0 < 0 < /7t/2, se p u e d e v e r q u e son v á lid a s p a r a ot ros v a lo re s d e 0(vé ase e l e je rc ic io 39).A u n q u e e s pos ible e l imin a r el p a ráme t ro 0 d e las e cu a c io n e s 1, la e cu a c ió n c a r te s ia n are sultante en x y y e s mu y c omp l i c a d a y no e s conveniente p a ra traba ja r c om o con lase c u a c io n e s pa ramétr ica s .Un a d e las pr ime ra s pe r so n a s en e s tu d ia r la c icloide fue Ga lileo, q u ien p ro p u so q u e lospue n te s se c o n s t ru y e ra n en fo rma d e c ic loide s , y quien trató d e e n c o n t r a r e l á rea ba jo una rco d e u n a c ic loide . De sp u é s e s ta c u rv a surgió en c o n ex ió n c o n el p r o b l em a d e la b r a -q u i s tó c r o n a : h a lla r la c u rv a a lo largo d e la c u a l se d e s l iz a u n a pa r tícula en e l t iemp o má sc o r to (bajo la inf luenc ia de la gravedad) d e un punto A a un p unto B má s ba jo p e ro nod i re c tamen te d e b a jo de A . El ma temá t ic o suizo John Bernoulli, quien planteó este p ro b le ­ma en 1 696, d emo s t ró q u e entre las curva s pos ibles q u e unen A con B , c om o en la figura15, la p a r tícu la toma rá el me n o r t iemp o de de s l iz amien to de A a B si la c u rv a e s parte deun a rco inver tido de u n a c icloide.El físico h o lan d é s Hu y g e n s d emo s t ró q u e la c ic loide es tamb ién la soluc ión al p r o b l e ­ma d e la t a u t ó c r o n a ; e s decir, sin imp o r ta r dónde se c o lo q u e u n a pa r tícula P en u n ac ic loide invertida, le toma e l m i smo t iemp o deslizarse h a s ta el fondo (vé ase figura 16).Hu y g e n s p ro p u so q u e los relojes d e p é n d u lo (que él inventó) oscila ran en arcos c ic loida le s ,p o rq u e en tal c a s o e l p é n d u lo ta rd a e l m i sm o t iemp o en c om p l e t a r u n a o sc i la c ió n sio s c i la por un a rco ampl io o pequeño.Familia s de curva s paramétricas□ EJEMPLO 8 Investigue la fami l ia d e curva s con e c u a c io n e s pa ramé t r ic a sx “ a + e o s t y “ a tan t + sen t¿Qué tienen e s ta s c u rv a s en c omú n ? ¿C ómo c amb ia su fo rma c u a n d o a c rec e?SOLUCIÓN Se emp l e a un dispos i t ivo de graficación p a ra p ro d u c ir las gráficas p a ra losc a so s a = —2, — 1, —0.5, —0.2, 0, 0.5, 1 y 2 que se mu e s tra n en la figura 17. Observeq u e todas e s ta s curva s (exc epto el c a s o a = 0 ) tienen d os rama s , y amb a s se a p ro x iman ala a s íntota ve r tica l x = a c u a n d o x se a p ro x ima a a p o r la izq u ie rd a o por la de recha.
  • 34. SECCIÓN 10.1 CURVAS DEFINIDAS PDR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS 641a = -0.2.J ’■O0IIahV(a = 1FIGURA 17 Miembros de la familiaa• = a + eos /, V = a tan [ + sen /,graficadas en el rectángulo de vista[ - 4 , 4 ] por [ - 4 , 4]Cu a n d o a < — l , amb a s rama s son suaves, pe ro c u a n d o a llega a — 1, la rama d e r e c h aadquie re un p unto a g u d o llamad o c ú sp id e . Para a entre — 1 y O la c ú sp id e se convie r teen un buc le , q u e se vue lve má s grande c o n fo rme a se a p ro x ima a 0. Cu a n d o a = 0,amb a s rama s se ju n ta n y forman u n a c i rcu n fe ren c ia (vé ase el e jemp lo 2). Pa ra a entre0 y 1, la rama izq u ie rd a tiene un buc le , el cual se c o n t ra e p a ra volverse u n a c ú spidec u a n d o ¿7 = 1. Pa ra a > 1, las rama s se suavizan d e nue v o y c u a n d o a c re c e má s , securvan men o s . Obs e rve q u e las curva s c o n a pos itiva son reflexione s re sp e c to al eje yd e las curva s c o r re sp o n d ie n te s con a negativa.Es tas curva s se llaman c o n c o id e s d e N i c om e d e s en h o n o r de l e ru d ito d e la antiguaGre cia , Nic ome d e s . Las l lamó c o n c o id e s porque la forma de sus rama s ex te rn a s sea s eme ja a la c o n c h a de un c a ra co l o de un mejillón.Ejercicios1-4 Bosqueje la c u n a ubicando puntos por medio de las ecuacionesparamétricas. Indique con una flecha la dirección en que se traza lacurva cuando t crece.1. .v = r + f. y = t2 - t. - 2 *£ t < 22. x = r , y = t 3 — 4/, - 3 * / * 33. x ™ eos2/, y — 1 — sen /, 0 < / < —¡24. x — e~! + /, y = e ! — /, —2 *5 / < 25-10a) Bosqueje la curva usando las ecuaciones paramétricas paraubicar puntos. Indique con una flecha la dirección en la cual setraza la c u n a cuando / aumenta.b) Elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de lacurva.5. .v = 3 - 4/, y = 2 - 3/6. .v = I - 2 / , y = { t - 1, - 2 < / < 47. x ™ I — / 2, y — t — 2 , —2 <6 / «Sí 28. .v = / — 1, y = /3 + l , - 2 «fi/ < 29. .v —t t , y = 1 — t10. v = ty = t 311-18a) Elimine el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de lacurva.b) Bosqueje la curva e indique con una flecha la dirección en quese traza la c u n a cuando crece el parámetro.11. .v ™ sen y ™ eos — tt < H <6 7r12. x = t eos 6, y = 2 sen 9, 0 <5 9 <£ —13. x ™ sen /, y ™ esc t, 0 < t < 7t/214. x = e - 1, y = < ? 2'15. x = e 2', y = t + 116. y = y / + 1. y —7 — 117. x — senh /, y — cosh t18. x ™ tan20, y “ sec 9, —77/2 < 9 < tt/210.1Se requiere calcu adora graficadora o computadora 1. Tareas su g erid asd isp o n ib le sen stewartcalculus.com
  • 35. 642 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES1 9 -22 Describa el movimiento de una partícula con posición ( a , y )cuando t vana en el intervalo dado.19. x = 3 -- 2 eos /, y = I + 2 sen /, t t / 2 < t «£ 3 t t / 220. .v — 2 sen /, y = 4 + eos /, 0 < / <S 3 7 t/ 221. x = 5 sen /, y = 2 eos /, — tt «S / 57722. .v — sen t, y — eos2/, —2tt < / «5 27t25-27 Use las gráficas de x = f ( t) y y = 0(/) para bosquejar la curvaparamétrica x = / ( / ) , y = g(t). Indique con flechas la dirección enque se traza la curva cuando / crece.2 3 . Suponga que una curva está dada por las ecuacionesparamétricas x = / ( / ) , y = g(t), donde el rango d e / e s [ l , 4]y el rango de g es [2, ?]. ¿Qué podemos decir acerca de lacurva?2 4 . Relacione las gráficas de las ecuaciones paramétricas x = / ( / ) yy = g(t) en a)-d) con las c u n as paramétricas etiquetadas I-IV.Dé razones para sus elecciones.a)b)Liv/2 8 . Relacione las curvas paramétricas con las curvas etiquetadasI-VI. Dé razones para sus elecciones. (No utilice dispositivosde graficación.)a) .v = /4 — / + 1, y = /2b) .V — t 2 — 2ty y — x /c) .v = sen 2 /, y = sen{/ + sen 2 /)d) .v ™ eos 5/, y ™ sen 2/e ) .v = / + s en 4/, y = t ~ + e o s 3/sen 2 / eos 2 /f) .v =4 + / ' 4 + /'IIIVI
  • 36. SECCIÓN 10.1 CURVAS DEFINIDAS PDR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS 6437 ^ 2 9 . Grafique la curva x — y — 2 sen ir y.@ 30. Grafique las curvas y = .v3 — 4 x y x = y s — 4y , y encuentresus puntos de intersección con una aproximación de undecimal.3 1 . a) Demuestre que las ecuaciones paramétricasx = .vi + {.V2 — .vi)/ y = Vi + (y2 — yi)rdonde O t 1, describen el segmento de recta que unelos puntos y,) y P2(x2, y 2).b) Encuentre las ecuaciones paramétricas para representar elsegmento de recta de ( — 2, 7) a (3, — 1).@ 3 2 . Utilice un dispositivo de graficación y el resultado del ejercicio31a) para dibujare! triángulo con vértices A( l, 1), B(4, 2) yC ( l ,5 ) .33. Encuentre ecuaciones paramétricas para la trayectoria deuna partícula que se mueve a lo largo de la circunferencia.v2 + (y — l ) 2 = 4 de la manera que se describe.a) Una vuelta en dirección de las manecillas del reloj,empezando en (2, 1).b) Tres vueltas en dirección contraria a las manecillas del reloj,empezando en (2, 1)c) Media vuelta 211 dirección contraria a las manecillas delreloj, empezando en (0, 3).34. a) Encuentre ecuaciones paramétricas para la elipsex 2/ a 2 + y 2/ b 2 = 1. [Sugerencia: modifique las ecuacionesde la circunferencia del ejemplo 2.]b) Utilice estas ecuaciones paramétricas para graficar la elipsecuando a = 3 y b = 1, 2. 4 y 8 .c) ¿Cómo cambia la forma de la elipse cuando b varía?0 35-36 Utilice una calculadora graficadora o computadora parareproducir el dibujo37-38 Compare las curvas representadas por las ecuacionesparamétricas ¿Cómo difieren?37. a) x ™ t 3, y — t 2 b) x ™ /6, y ™ t xc) x = e~3>, y = e~2‘38. a) x = /, y = t~2 b) x = eos /, y = sec2tc) x = e ', y = e~2'39. Deduzca las ecuaciones 1 para el caso 7t /2 < 0 < ir.40. Sea P un punto a una distancia d del centro de unacircunferencia de radio r. La curva trazada por P cuando elcírculo rueda a le largo de una línea recta se llama trocoide(Piense en el movimiento de un punto sobre el rayo de unarueda de bicicleta.) La cicloide es el caso especial de unatrocoide con d = r. Utilizando el mismo parámetro 6 comopara la cicloide y, asumiendo que la recta es el eje de lasx y 6 = 0 cuando P es uno de sus puntos mínimos, demuestreque las ecuaciones paramétricas de la trocoide sonx = r6 ~ d sen 6 y = r — d eos 6Trace la trocoide para los casos d < r y d > r.41. Si a y b son números fijos, encuentre las ecuacionesparamétricas para la curva que consiste de todas las posiblesposiciones del punto P en la figura, utilizando el ángulo 6como parámetro. Después elimine el parámetro e identifiquela curva.42. Si a y b son números fijos, encuentre las ecuacionesparamétricas de la curva que consiste de todas las posicionesposibles del punto P en la figura, usando el ángulo 6como parámetro. El segmento de recta AB es tangente a lacircunferencia más grande.43. Una curva, llamada b ru ja de Ma r ía Agnesi, consiste de todaslas posibles posiciones del punto P en la figura. Demuestreque las ecuaciones paramétricas para esta curva puedenexpresarse como.v = 2a cot 6 y = 2a sen 26Trace la curva.
  • 37. 644 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES44. a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para el conjunto detodos los puntos P como los que se muestran en la figura,tales que | OP=AP |. (Esta c u n a se llama cisoidede Diocles en honor al sabio griego Diocles, quienintrodujo la cisoide como un método gráfico para construirel lado de un cubo cuyo volumen es dos veces el de uncubo dado.)b) Utilice la descripción geométrica para dibujar a mano unbosquejo de la curva. Verifique su trabajo utilizando lasecuaciones paramétricas para graficar la curva.45. Suponga que la posición de una partícula en el tiempo / estádada porai = 3 sen / yi = 2 eos / 0 <£ / < 277y la posición de una segunda partícula está dada porA"2 = —3 + eos / y2 = 1 + sen / 0 *S / ¡«S 2 ira) Grafique las trayectorias de ambas partículas ¿Cuántospuntos de intersección hay?b) ¿Algunos de estos puntos de intersección son puntos decolisión? En otras palabras ¿las partículas están en el mismolugar al mismo tiempo? Si es así, encuentre los puntos decolisión.c) Describa qué pasa si la trayectoria de la segunda partículaestá dada porA2 ™ 3 ■+■ eos t y 2 “ * "b sen t O ^ i 2•«46. Si un proyectil es disparado con una velocidad inicial de V0metros por segundo a un ángulo a por encima de la horizontaly se supone que la resistencia del aire es despreciable, entoncessu posición después de / segundos está dada por las ecuacionesparamétricasx = (y0 eos o) / y = (y0 sen «)/ — { g t2donde g es la aceleración debida a la gravedad (9.8m / s 2).a) Si un arma es disparada con a = 30° y v0 = 500 m/ s ,¿cuándo caerá la bala al suelo? ¿A qué distancia del armallegará al suelo? ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará labala?0 b) Utilice un dispositivo de graficación para verificar susrespuestas al inciso a). Después grafique la trayectoria delproyectil para otros valores del ángulo a para ver dóndepegará en el suelo. Resuma sus hallazgos,c) Demuestre que la trayectoria es parabólica eliminando elparámetro.0 47. Investigue la familia de curvas definidas por las ecuacionesparamétricas x = t ‘, y = t3 — ct. ¿Cómo cambia la forma dela curva cuando c crece? Ilustre graficando varios miembrosde la familia./""• 48. Las c u rv a s catastróficas cola de golondr ina están definidaspor las ecuaciones paramétricas a- = 2c t — 4 13, y = —c t2 + 31*.Grafique varias de estas curvas. ¿Qué características tienen encomún las curvas? ¿Cómo cambian cuando c crece?C ' 49. Grafique varios miembros de la familia de curvas conecuaciones paramétricas x = t + a eos / ,y = / + a sen /,donde a > 0. ¿Cómo cambia la forma de la curva cuando acrece? ¿Para cuáles valores de a la c u n a tiene un bucle?@ 50. Grafique varios miembros de la familia de curvasx = sen / + sen n t,y = eos / + eos n t donde n es unentero positivo. ¿Qué características tienen en común lascurvas? ¿Qué pasa cuando n crece?0 5 1 . Las curvas con ecuaciones x = a sen n t ,y = b eos / se llamanfiguras de Lissajons. Investigue cómo varían estas curvascuando varían a, b y n. (Tome n como un entero positivo.)í^3] 5 2 . Investigue la familia de curvas definidas por las ecuacionesparamétricas a- = eos /, y = sen / — sen ct, donde c > 0 .Empiece por hacer c entero positivo y vea qué pasa conla forma cuando c crece. Después explore algunas de lasposibilidades que ocurren cuando c es una fracción.P ROY E C TO DE L ABOR A TOR IO Iffcj CIRCUNFERENCIAS QUE CORREN ALREDEDOR DE CIRCUNFERENCIASy,C / A e U o )0A AEn este proyecto investigamos familias de curvas, llamadas hipocicloides y epicicloides, que songeneradas por el movimiento de un punto sobre una circunferencia que rueda dentro o fuera deotra circunferencia.1. Una hipocicloide es una curva trazada por un punto fijo P sobre la circunferencia C de radio bcuando C rueda sobre el interior de la circunferencia con centro en O y radio a. Demuestre quesi la posición inicial de P es {a, 0) y el parámetro 6 se elige como en la figura, entonces lasecuaciones paramétricas de la hipocicloide son= (« — b ) eos 9 + b eos y — (íi — fe) sen 9 — b sen (^•)VP- Se requiere calculadora graficadora o computadora
  • 38. SECCIÓN 102 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS 645l u f l Recurra a Module 10. IB para ver cómose forman las hipocicloides y epicicloides porel movimiento rotatorio de círculos.2. Utilice un dispositivo de graficación (o el graficador interactivo en TEC Module 10.IB) paradibujar las gráficas de hipocicloides con a entero positivo y b = 1. ¿Cómo afecta la gráficael valor de a l Demuestre que si tomamos a =hipocicloide se reducen aa = 4 e o s 3 04, entonces las ecuaciones paramétricas de lay = 4 sen 6Esta curva se llama hipocicloide de cuatro cúspides, o un astroide3. Ahora intente b = 1 y a = n /d , una fracción donde n y d no tienen factores comunes. Primerohaga n = 1 e intente determinar gráficamente el efecto del denominador d sobre la forma dela gráfica. Después haga que n varíe mientras ¿ permanece constante. ¿Qué pasa cuandon = d + I ?4. ¿Qué pasa si b = 1 y a es irracional? Experimente con un número irracional como SÍ2 oe — 2. Tome valores cada vez más grandes para 6 y especule sobre qué pasaría si se graficaral a h ip o c i c l o id e p a r a to d o s l o s v a l o r e s r e a l e s d e 9-5. Si la circunferencia C rueda en el exterior del círculo fijo, la curva trazada por P se llamaepicicloide Encuentre las ecuaciones paramétricas para la epicicloide.6. Investigue las posibles formas para las epicicloides. Use métodos semejantes a los problemas 2-4.Cálculo con curvas paramétricasUn a vez q u e h emo s visto c ómo repre sentar e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s , a p lic a remo s losmé to d o s de c á lcu lo a las c u rv a s pa ramétr ica s . En particular, re so lv e remo s p ro b lema s queinvoluc ran tangente s , á reas, longitude s de arco y á reas de superficies.TangentesS u p o n g a q u e / y g son func ione s de r ivable s y q u e r emo s e n c o n t ra r la re c ta tangente en unp u n to sobre la c u rv a d o n d e y tamb ién e s una func ión de r ivable de x. En tonc e s la regla dela c a d e n a d ad y d y d xd t d x d tSi d x / d t 0, p o d emo s re so lv e r p a ra d y /d x .Si pensamos la curva como trazada por elmovimiento de una partícula, entonces dyjdiy dxfdt son las velocidades verticales yhorizontales de la partícula y la fórmula 1 diceque la pendiente de la recta tangente es larazón de estas velocidades.L a e cu a c ió n 1 (que puede usted p e n s a r c omo si se e limin a ran las d t) n os pos ibi li ta p a rae n c o n t r a r la pendiente d y / d x d e la re c ta tangente a u n a c u rv a p a ramé t r ic a , sin tene r quee l imin a r el p a ráme t ro t. En QD se ve q u e la c u rv a tiene u n a tangente ho r izo n ta l c u a n d od y / d t = 0 ( s iempre que d x / d t ^ 0 ) y tiene una re c ta tangente vertical c u a n d o d x / d t = 0( s iempre q u e d y / d t ^ 0). Es ta informa c ión es útil p a ra t raz ar curva s pa ramétr ica s .C omo s a b emo s de l c apí tulo 4, tamb ién es útil c o n s id e ra r d ^ y / d x 2. Es to lo p o d emo se n c o n t r a r r e emp la z a n d o y por d y / d x en la ecua ción 1:
  • 39. 646 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESUna curva C e stá definida por las ecuaciones paramétricas x = í 2, y — í 3 — 3t.E JEMP LO 1a) Demu e s t re q u e C tiene d os rectas tangente s er. el p u n to (3, O) y e ncuentre suse cua c ione s .b) En cu e n tre el p u n to sobre C d o n d e la re cta tangente e s ho r izo n ta l o vertical.c) De te rmin e d ó n d e la c u rv a e s c ó n c a v a h a c ia arriba o h a c ia abajo.d) Tra c e la curva.SOLUCIÓN a) Ob s e rv e q u e y = í 3 — 3/ = t ( t 2 — 3) = O c u a n d o t = O o t = ± > /T.Por tanto, el p unto (3, 0) sobre la c u rv a C viene de d os valores d e l p a ráme t ro, t = x/3 yt = — v/5". Es to indic a q u e C se c ru z a a sí m i sma en (3, O). Pue s to qued y d y / d t 3 r - 3 3_ ( _ J _ d x d x / d t 2 / 2t Jla pendiente de la re c ta tangente c u a n d o t — ±/ T e s d y / d x — ± ó / ( 2/ 3 ~ ) ™ —3 ,p o r lo q u e las e cu a c io n e s de las re ctas tangente s en (3, O) sony = s/ 3 (.< - 3) .V = - 7 3 (.v - 3)b) C tiene u n a re c ta tangente ho r izo n ta l c u a n d o d y / d x = 0 ; e s to es, c u a n d o d y / d t = 0y d x / d t 0. Pue s to q u e d y / d t = 312 — 3, e s to sucede c u a n d o t 2 = 1, e s decir, t = ± 1.Los p u ntos c o r re sp o n d ie n te s sobre C son (1, —2) y ( 1 ,2 ) . C tiene u n a re cta tangentevertical c u a n d o d x / d t = 2 t = 0, e s decir, t = 0. (Observe q u e a h í d y / d t ^ 0.) El p untoc o r re sp o n d ie n te sobre C e s (0, 0).c) Pa ra d e te rmin a r c o n c a v id a d e s c a lc u lamo s segundas derivadas :d x 2¿ ( £ U K ) 3 < r + , )d x~dt2 1 4/F IG U R A 1 As í, la c u rv a e s c ó n c a v a h a c ia arriba c u a n d o / > 0 y c ó n c a v a h a c ia abajo c u a n d o t < 0.d) Ut i liz ando la in fo rma c ió n d e los inc isos b) y c), tra z amo s C en la figura 1. ■□ E J EM P LO 2 a) En cu e n tre la re c ta tangente a la cic loide x = r(Q — sen 0), y = r ( l — e o s 0) en elp u n to d o n d e 0 = -7t / 3 (vé ase e jemp lo 7 de la sección 10.1).b) ¿En q u é p u ntos la re c ta tangente e s hor izontal? ¿Cu á n d o e s vertical?SO L U C IO Na) La pendiente de la re cta tangente esd y d y /d G r sen 9 sen 0d x d x / d d / (l — eos 0 ) 1 — e o s 0Cu a n d o 0 = tt/ 3, ten emo s( a y n / a, = - Sen - — j y = ^ , - e o s =d y sen(T7/ 3 ) v '3 /2d x 1 — cos(-7t / 3)v 3
  • 40. SECCIÓN 102 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS 647F IG U R A 2Los límites de integración para t se encuentrancomo de costumbre con la regla de sustitución.Cuando x = a, t es a o (3. Cuando x = b,t esel valor restante.v,O 2 irr xF IG U R A 3El resultado del ejemplo 3 dice que el área bajoun arco de la cicloide es tres veces el área delcírculo que al rodar genera la cicloide (ejemplo7 de la sección 10.1). Galileo intuyó esteresultado pero fue demostrado por elmatemático francés Robeival y el matemáticoitaliano Torricelli.Por tanto, la pendiente de la re cta tangente es %/5~y su e cu a c ió n esO y f l Xr ( rir r v 3 - T = ^ V ' - T + — jLa re cta tangente se t raz a en la figura 2.Vj(— 7r/2r) / (7T/.2/)f(3 ír r ,2 r ) (57r r , 2r)A 0 2 n r 4 v r Xb) La re c ta tangente e s h o r izo n ta l c u a n d o d y / d x = O, lo c u a l ocur re c u a n d o sen 0 = O y1 — e o s 0 # O, e s decir, 0 = (2/i — 1j^r, cor. /? un entero. El p u n to co r re sp o n d ie n te sobrela cic loide e s ((2 n — l ) ^ / ’, 2 r).Cu a n d o 0 = 2/177, tanto d x /d 0 c omo d y /dO son cero. De la gráfica, pa re c e q u e hayre ctas tangente s verticales en e so s puntos. Esto e s verificable por me d io de la regla del ’H ospita l c om o sigue:d ylím — = lfmsen 0 e o s 0lím ---------- = co*2nir+ d x 2»7r+ i — eos O a-*2mr+ sen 0Un c á lcu lo seme jante mu e s t ra q u e d y / d x —* —co c u a n d o 0 —* 2m r~ , así q u e finalmenteexis ten rectas tangente s vertica les c u a n d o 0 = 2 n ir , e s to e s , c u a n d o .y = 2 nirr. ■ ■ÁreasS a b emo s q u e el área b a jo u n a c u rv a y = F (x) de a a b e s A = J* F (.) d x y d o n d e F (x ) > O.Si la curva se t raz a p or medio de las ecua cione s pa ramétr ica s x = f ( t ) y y = g(t), a ^ t =5 /3,e n to n c e s p o d emo s c a lcula r u n a fó rmu la para el á rea ut il izando la regla d e la sus tituciónp a r a integrale s de f inida s c om o sigue:A =y d x = P d t [ o bien | d t j□ EJEMPLO 3 En cuentre el á re a ba jo u n o d e los arcos d e la c ic loidex = r (0 — sen 0 ) y = r ( l — e o s 0 )(Véase figura 3.)S O L U C IÓ N Un a rco de la c ic loide e s tá d a d o por O =s 0 2 i t. Ut i liz ando la regla d esus titución con y = r ( l — e o s 0 ) y d x = r ( l — eos 0 ) d 0 , ten emo sA = | y d x = | / (l — eos 0)/*(l — eos 0 ) d 0= r 2 í (l — e o s O) 2 dO = r 2 [ (l — 2 e o s 0 + e o s 2#) dOJo Jo= r 2 ( [l — 2 e o s 0 + í ( l + e o s 2 0 ) ] dO= r 2[ Í 9 — 2 sen 0 + 5 sen 20](","= r2(3 * 2'tt) = rr2
  • 41. 648 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESI Longitud de arcoYa s a b emo s c ómo e n c o n t r a r la longitud L de una c u rv a C d a d a en la fo rma y = F (x ),a x =£ b. La fó rmu la 8 .1.3 d ic e q u e si F ' e s continua , e n to n c e s-í:V d xS u p o n g a q u e C también se puede de sc r ibi r mediante las e cu a c io n e s pa ramé t r ic a s x = f ( t )y y = g (t), a t /3, d o n d e d x / d t = ff ) > O. Esto s ignifica q u e C e s re co r r id a u n a vez,d e izq u ie rd a a d e re c h a , c u a n d o t se in c reme n ta d e a a / 3 y f ( a ) = a , f ( / 3 ) = b. Al sus tituirla fórmula 1 en la fó rmu la 2 y u sa r la regla de sus titución, se obtiene-í:VrW - . c V1 ♦$=■)■£d tC omo d x / d t > O, ten emo s0 - í W r W i d tInc luso si C no se puede e x p re s a r en la fo rma y = F (x ), la fó rmu la aún e s vá lida pe rose obtiene p o r a p ro x ima c io n e s pol igona les . Dividimos el inte rvalo d e p a ráme t ro [a , fi] enn subinterva los de igual a ncho At. Si tih U» f 2» • • • * *n son los p u ntos e x t r emo de e s tos su b in ­tervalos , e n to n c e s .v, = f ( t i ) y y, = g(U) son las c o o rd en a d a s d e los p u ntos Pi(x¡t y,) q u e estánsobre C y el p o l íg o n o con vértices P0y P u . . . , P„ se a p ro x ima a C (vé ase figura 4).C omo en la sección 8.1, se define la longitud L de C c om o el límite de las longitude sde e s tos pol íg o n o s de a p ro x ima c ió n c u a n d o n —*co;l = lím 2 P , |Cu a n d o a p lic amos el t e o r ema d e l valor me d io a / s o b r e e l inte rvalo í;], nos d a unn úme ro fe* en (f,_u t¡) tal quem -/(<,-.)=/'(;.')('■ -Si h a c emo s Ax, = Xi — Xi-1 y Ay: = y# — y,-i, e s ta e cu a c ió n se convie r te enAav =/'(/?) A/De l m i smo mo d o , c u a n d o a p lic amo s a gy el teo rema de l v a lo r me d io nos d a un n úme rof,** en (ti— i, i,) tal queA y ,= g '(t,* * )A tPor tanto= , ( A x , y + ( A y , y - v v v n a í +y a s í0- v[/'(/*)]; + W (C * )Y All = lím s v E T W f f T M r F a >
  • 42. SECCIÓN 102 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS 649La suma en @ se a s eme ja a u n a suma de Riemann pa ra la función V [ / r( 0 ] 2 + [ ^ (O P pe rono e s e x a c tamen te u n a suma de Riema n n porque, en genera l, t¡ * ^ ti* * . Sin emb a rg o , si/ ' y g ' son co n tin u a s , se puede d emo s t r a r que el límite en @ e s e l m i smo c omo si t¡* yt i* * fueran iguale s , e s de c i r= + u mAs í, con la notac ión d e Leibniz , se tiene el siguiente re sul tado, el c u a l tiene la m i smafo rma q u e la fó rmu la 3.|~5~| Teorema Si u n a c u rv a C se de sc r ibe me d ia n te las e c u a c io n e s pa ramé t r ic a sx = / (O , y = g(t), a 0 , d o n d e / ' y g ' son continuas sobre [ a , 0 ] y C es recorridal in a s o l a v e z c u a n d o / a u m e n t a d e s d e n f u s t a 0 , e n t o n c e s la l o n g i t u d d e C e s- í M + W ) ' d tObserve que la fórmula del teorema 5 es consistente con las fórmulas generales L = J d sy (d s )2 = (d x )2 + (d y )2 de la sección 8 . 1.Si u s amo s la repre senta c ión de la c i rc u n fe re n c ia unita r ia d a d a en el e jemp loEJEMPLO 42 en la sección 10. 1,a- — e o s / y = sen t 0 < t «5 2 i re n to n c e s d x / d t = —sen t y d y / d t = eos í, de mo d o q u e e l teo rema 5 d a1=f V(í):+( í) at=.cvsen2'+c°s2'dt - .o=^c om o se e spe raba . Si, p o r otro lado, u s amo s la repre senta c ión d a d a en el e jemp lo 3 de lasección 10. 1,.v = sen 2 / y = eos 2 1 0 <S t < 2 i re n to n c e s d x / d t = 2 e o s 2/, d y / d t = —2 sen 2f, y la integral de l t e o r ema 5 d a1 m +(í-) =^ v/4cos22'+4sen22íí/'=r 2 dt=Obs e rve q u e la integral d a d os vece s la longitud de a rco d e la c i rc u n fe re n c ia porquec u a n d o t c re c e de 0 a 27r, el p u n to (sen 2 í, eos 2 f) re cor re la c i rc u n fe re n c ia d o s veces.En general, c uando se encuentra la longitud de u n a curva C a partir de una representaciónp a ramé t r ic a , d e b em o s a s e g u ra rn o s q u e C sea re co r r id a u n a sola vez c u a n d o t c rec ed e a a 0 . ■ ■| En cuentre la longitud de ur. a rco de la c ic loide a- = r ( 0 ~ sen 0),y = r( 1 — e o s 0 ).S O L U C IÓ N De l e jemp lo 3, v emo s que un arco se de sc r ib e por el inte rvalo d e l p a ráme t ro0 0 ^ 2 '7t. Comod x d y= /-(l — e o s 0) y = ; s e n 0d e y ' d S
  • 43. 650 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESten emo sEl resultado del ejemplo 5 dice qje la longitudde un arco de una cicloide es ocfo veces elradio del círculo generador (véase la figura 5). Elprimero en demostrar esto fue Sir ChristopherWren, quien posteriormente fue el arquitecto dela catedral de Saint Paul, en Londres.d e= |/ r 2(l — e o s 0)r + r 2 sen20 dOJo= f v r 2( l — 2 eos 9 + c o s 20 + sen20) d 9Jo— r | ¡2 {— e o s 9 ) c!9Pa ra ev a lu a r e s ta integral u t il iz amos la identidad sen2* = l ( l — eos 2 * ) con 9 = 2 x , lac u a l d a 1 — e o s 9 = 2 s e n 2(0 /2 ) . C omo O ^ 0 =s 2/7í ten emo s O í 9 /2 ^ t t y p o r tantos e n (0 /2 ) O. Por e nde ,y, por consiy ¡2 { — eos 0) — v 4 sen2( 0/ 2 ) — 2 | s e n ( 0 / 2 ) | — 2 se n (0/ 2)guíente L “ 2 r (j s e n (0 /2 ) dO — 2/ [—2 c o s ( 0 / 2 ) ] o= 2 r [ 2 + 2 ] = 8 rArea de una superficieEn la m i sm a fo rma q u e p a ra la longitud de arco, se puede ad ap ta r la fó rmu la 8.2.5 pa rao b ten e r u n a fó rmu la p a ra e l á rea de u n a superficie. Si la c u rv a d a d a p o r las e cu a c io n e spa r amé t r ic a s * = f { f ) , y = g (t), a =£ t /3, se hace rotar en torno al eje *, d o n d e / ' , g ' sonc o n tin u a s y g (t) 5= O, e n to n c e s el á rea de la superficie resultante e s tá d a d a por0 -i'-V ífFW d tLas fórmula s s imbólic a s gene ra le s S — J* 2 i r y d s y S — J 2 i r x d s ( fórmula s 8.2.7 y8 .2 .8 ) aún son válidas, p e ro p a ra curva s p a ramé t r .c a s us amo sd s d tE JEMP LO 6 Demu e s tre q u e el á rea de la superficie de u n a e s f e r a d e radio r e s 47r r 2.SOLUCIÓN L a e s fe ra e s o b ten id a al rota r e l semic írculo* = r e o s t y = r s e n t O < t < i ren torno al eje x. Por tanto, de la fórmula 6 , obtenemosS — | 2 rn r sen t y' r sen /V + ( r e o s Tj2 d tJo= 27T i r sen t J r 2(sen2/ + c o s 2f ) d t = 2 ir | r s e n t - r d tJo ' Jo= 2 t t r 2 sen t d t = 2 /77/,2(—e o s f) ] 0 = 4Tr r2 *
  • 44. SECCIÓN 102 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS 651Ejercicios1-2 Encuentre d y /d x1. x — t sen t, y = t 2 + t 2. x — /t, y — y ft.3-6 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la c u n a en elpunto correspondiente al valor del parámetro dado.3. .v - | + 4 / - r . y - 2 - 73; / - 14. x = t — t~y = 1 + /2; t = I5. A" ™ t eos t, y " / sen / ; / ™ 776. x ™ sen3#, y — eos3#; # — 77/67-8 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la c u n a en elpunto dado por dos métodos: a) sin eliminar el parámetro yb) eliminando prinaeio el parámetro.7 . a - 1 + ln / , y - r + 2; ( 1 , 3 )8. a = 1 + y f t , y = e , ( 2 , e)9-10 Encuentre la ecuación de la recta tangente(s) a la c u n a en elpunto dado. Después grafique la c u n a y la(s) recta(s) tangente(s).9. a- = 6 sen /, y = r + t : (i), 0)10. x ™ eos t + eos 2/, y ™ sen/ + sen 2 1, ( “ 1, i)11-16 Encuentre d y /d x y d y / d x 2. ¿Para cuáles valores de / la curvaes cóncava hacia arriba?11. .v - r + 1, y - r + / 12. a - t 3 + I, y - r - /13. x — e ‘y y — te~‘ 14. x = t 2 + 1, y = e ' — 115. x = 2 sen /, y = 3 eos /, 0 < t < 2 tt16. v — eos 2 /, y ™ eos t, 0 < / < 7717-20 Encuentre los puntos sobre la curva donde la recta tangentees horizontal o vertical. Si dispone de un dispositivo de graficación,grafique la curva para verificar su trabajo.17. x = t3 - 3 / , y = r - 318. .v - t 3 - 3/, y - t 3 - 3 1219. .v = c o s # , y = eos 3020. .v = y =21. Utilice una gráfica para estimar las coordenadas del puntoextremo derecho sobre la c u n a x = t — /6, y = e ‘. Despuésutilice cálculo para encontrar las coordenadas exactas.22. Use una gráfica para estimar las coordenadas del punto másbajo y el de la extrema izquierda sobre la curva A' = tl — 2 /,y = / + /4. Después encuentre las coordenadas exactas.23-24 Grafique la curva en un rectángulo de vista que muestre losaspectos más importantes de la c una .2 3 . a - / 4 - 2 / 32 r t y24. a - / 4 + 4 t 38 r , y 2 r - t25. Demuestre que la curva .y = eos t , y = sen / eos / tiene dosrectas tangentes en (0, 0) y encuentre sus ecuaciones. Trace lacu r v a .26. Grafique la curva x = eos t + 2 eos 2/, y = sen / + 2 sen 2/para descubrir dónde se intercepta consigo misma. Despuésencuentre ecuaciones para ambas rectas tangentes en ese punto.27. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la trocoidex = rQ — d sen 9, y = r — d eos 9 en términos de 9 (Véaseel ejercicic 40 de la sección 10.1.)b) Demuestre que si d < r, entonces el trocoide no tiene unarecta tangente vertical.28. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente al astroidex = a cosJ0, y = a sen3 9 en términos de 9. (Los astroidesse exploran en el proyecto de laboratorio de la página 644.)b) ¿En qué puntos la recta tangente es horizontal o vertical?c) ¿En qué puntos la recta tangente tiene pendiente 1 o — 1?29. ¿En qué puntos sobre la curva x = 2/3, y = 1 + 4 / — t 2 la rectatangente tiene pendiente 1?30. Encuentre ecuaciones de las rectas tangentes a la curva.v = 312 + 1, y = 2 t3 + 1 que pasen por el punto (4, 3).31. Use las ecuac ones paramétricas de una elipse x = a eos 9,y = b sen 9, C ^ 9 ^ 277 para encontrar el área que encierra.32. Encuentre el área encerrada por la curva x = t 2 — 2 t, y =f ty el eje y.33. Encuentre el área encerrada por el eje .vy la curva a- = 1 + c1.y = t ~ t 2.34. Encuentre el área de la región encerrada por el astroidex = ci eos3 9, y = (i sen3 9■ (Los astroides son explorados en elproyecto de laboratorio de la página 644.)35. Encuentre el área bajo un arco del trocoide del ejercicio 40 enla sección 10.1 para el caso d < r.Se requiere calculadora graficadora o computadora 1S AC | s c requiere sistema algebraico computa rizado 1. Tareas sugeridles disponibles en stewartcalculus.com
  • 45. 652 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES36. Sea 9 1 la región encerrada por el bucle de la curva en elejemplo 1.a) Encuentre el área de 9t.b) Si 9t gira en torno al eje x , encuentre el volumen del sólidoresultante.c) Encuentre el centroide de 9t.37-40 Plantee una integral que represente la longitud de la curva.Después utilice su calculadora para encontrar la longitud con unaaproximación de cuatro decimales.37. x — t + e~*, y — t - 0 «£ t «í 238. x — / 2 — /, y — /*, 1 «í / « 439. .v ™ / — 2 sen /, y ™ 1 — 2 eos /, 0 «5 / < 47740. x — / + J T , y — / - v/7, 0 «í / < I4 1 -4 4 Encuentre la longitud exacta de la curva.41. * - l + 3 / 2, y - 4 + 2 / 3, 0 * S / < l42. .v - e' + e "1, y - 5 - 2/, 0 < / < 343. .v ™ t sen t, y ™ / e o s /, 0 «£ / < I44. .v ™ 3 e o s / — e o s 3 1, y ™ 3 sen / — sen 3 / , 0 < / «S 77S 45-46 Grafique la curva y encuentre su longitud.45. .v = eos /, y = e ' sen /, 0 < / 7746. .v = eos t + ln(tan 3 /), y = sen t, 77/4 < t <5 377/43 3 47. Grafique la curva x = sen t + sen 1.5/, y = eos / y encuentresu longitud con una aproximación de cuatro decimales.48. Encuentre la longitud del bucle de la curva x ~ 3 / — /3,y = 3 / 2.49. Use la regla de Simpson con n = 6 para estimar la longitud dela curva .v = t — ey = t + e— 6 ^ 650. En el ejercicio 43 de la sección 10.1 se le pidió deducir lasecuaciones paramétricas x = 2a cot 6, y — 2a sen ^ de la curvallamada bruja de María Agnesi. Use la regla de Simpson con/i = 4 para estimar la longitud del arco de esta curv a dada por77/4 77/ 2.5 1 -5 2 Encuentre la distancia recorrida por la partícula con posición(x , y) cuando t varía en el intervalo dado. Compárela con lalongitud de la curva.51. x = sen2/, y = eos2/, 0 «S / 37752. .v = eos2/, y = eos /, 0 < t <£ 4775 3 . Demuestre que la longitud total de la elipse x = a sen 0,y = b eos 0, a > b > 0, esL ™ 4a í ^ J l — e 2 sen2# dQJodonde e es la excentricidad de la elipse (e = c /a y dondec = y/a 2 ~ b 2 ).54. Encuentre la longitud total del astroide x = a e o s i 6 ,y = a sen30, donde a > 0.| i c ] 5 5 . a) Grafique la epitrocoide con ecuaciones.v = 1 1 eos / — 4 cos(l 1 / / 2)y = I 1 sen / — 4 sen(l 1//2)¿Qué intervalo del parámetro da la curva completa?b) Use su SAC para encontrar la longitud aproximada de estacurva.IsÁcl 56. Una curva llamada espiral de Cornu se define por lasecuaciones paramétricasA = C ( / ) = | C O s (7 7U 7 2 ) d líy = 5 ( / ) = ) sen(77H2/2 ) í /ndonde C y 5 son las ecuaciones de Fresnel que se introdujeronen el capítulo 5.a) Grafique esta curva. ¿Qué pasa cuando / ^* co y cuandot —* —co?b) Encuentre la longitud de la espiral de Cornu desde el origenal punto con v a b rd e parámetro /.57-60 Plantee una integral que represente el área de la superficieobtenida al rotar la curva dada en tomo al eje .v. Después utilice sucalculadora para encontrar el área de la superficie con unaaproximación de cuatro decimales.57. .v = / sen /, y = t z os /, 0 < / < 77/258. x — sen /, y ™ sen 2/, 0 < / < tt/ 259. .v = I + t ey = ( r + l ) e0 *SS / «C 16 0 . .v = t 2 - ty = t + t0 «S / « £ I61-63 Encuentre el área exacta de la superficie obtenida al rotar lacurva dada en torno al eje .v.61. x = /y = / 2, 0 *£ / 162. v = 3 / - ty = 3 / 2, 0 / < I63. .v — a e o s 26, y ™ a sen i e , o < e** 77/2C"' 64. Grafique la curvax — 2 eos 6 — eos 20 y = 2 sen 0 — sen 20Si esta curva rota en tomo al eje .v, encuentre el área de lasuperficie resultante. (Use la gráfica para ayudarse a encontrarel intervalo correcto para el parámetro.)65-66 Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curvadada en torno al eje y.65. .v - 3 / 2, y - 2 / 3, 0 ^ 5
  • 46. PROYECTO DE LABORATORIO CURVAS DE BÉZIER 65366. e ' - t.67. Si / ' es continua y / ' ( / ) # O para a ^ / =S b, demuestre quela curva paramétrica .y = f ( t ) , y = g(t), a t b, puedeexpresarse en la forma y = F(x). [Sugerencia: demuestre quef ~ l existe.]68. Use la fórmula 2 para deducir la fórmula 7 de la fórmula 8.2.5para el caso en el que la curva puede representarse en la formay = F (*), a ^ b.69. La c u rv a tu ra en un punto P de una curva está definida comod édsdonde é es el ángulo de inclinación de la recta tangente en P,como se ve en la figura. Así, la curvatura es el valor absolutode la razón de cambio de <f> con respecto a la longitud de arco.Esto puede considerarse como una medida de la rapidez decambio de la dirección de la curva en P y la estudiaremos conmucho detalle en el capítulo 13.a) Para una curva paramétrica .v = *(/), y = y(f), deduzca lafórmulaI-v.v — Vy I[ ; ’ + f y pdonde los puntos indican derivadas con respecto a t, demanera que * = d x /d t. [Sugerencia: use ó = t¡m~l(d y /d x )y la fórmula 2 para encontrar d<f>/dt. Después use la reglade la cadena para encontrar d é /d s .]b) Considerando la curva y = f{ x ) como la c u n a paramétricax = x , y = /(*), con parámetro x , demuestre que la fórmuladel inciso a) resulta[I +70. a) Use la fórmula del ejercicio 69b) para encontrar la curvaturade la parábola y = * 2en el punto (1, 1).b) ¿En qué punto esta parábola tiene curvatura máxima?71. Use la fórmula del ejercicio 69a) para encontrar la curvatura dela cicloide x = 0 — sen 6, y = I — eos 9 en la parte superiorde uno de los arcos.72. a) Demuestre que la curvatura de cada punto de la línea rectae s K = 0.b) Demuestre que la curvatura en cada punto de unacircunferencia de radio r es k = 1 ¡r.73. Una cuerda se enrolla alrededor de un círculo y después sedesenrolla manteniéndose tensa. La curva trazada por el puntoP en el extremo de la cuerda se llama involuta del círculo. Siel cíiculu lieus radio r y ceiilio O y la posición inicial de P es(r, 0 ) , y si el parámetro 9 se elige como en la figura, demuestreque las ecuaciones paramétricas de la involuta sonx = r(coa 9 + 9 sen tf) y = / (sen 9 — 9 eos 9)74. Una vaca está atada a un silo con radio r por una cuerda losuficientemente larga para alcanzar el lado opuesto del silo.Encuentre el área disponible para el apacentamiento de la vaca.PROYECTO DE LABORATORIO CURVAS DE BÉZIERLas c u rv a s de Bézier se emplean en el diseño auxiliado por computadora y se nombran así enhonor al matemático francés Pierre Bézier (1910-1999), quien trabajó en la industria automotriz.Una curva de Bézier está determinada mediante cuatro puntos de control, Po(xo, yo), i(-v i , y i),FAxi^yi) y PÁXi, y i), y se define mediante las ecuaciones paramétricas-v — -y0(1 — /)' + 3*i /{I — /)2 + 3*2/ 2(l — t) + x 3t 3V = y o ( l - r)' + 3yl /‘(l - t)2 + 3y2/ 2(! — 0 + y***Se requiere c alculadora graficadora o computadora
  • 47. 654 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESdonde O ^ I . Observe que cuando t = O, se tiene (a y) = (.*o, y0) y cuando / = 1 se tiene(*, y ) = ( a j , y3), así que la curva empieza en P0 y termina en P3.1. Grafique la c u n a de Bézier con puntos de control Po(4, 1), Pi(28, 48), P>(50, 4 2 ) y f j (40, 5 ) .Enseguida, en la misma pantalla, grafique segmentos de recta PqP , PP2y P2P2- (El ejercicio31 en la sección 10.1 muestra cómo hacer esto.) Observe que los puntos de control medios Py P2 no están sobre la curva; la curva empieza en Fo, se dirige hacia P y Pi sin alcanzarlos ytermina en P3.2. En la gráfica del problema 1 parece que la recta tangente en Po pasa por P y la recta tangenteen Pj pasa por P2. Demuéstrelo.3. Intente producir una c u n a de Bézier con un bucle cambiando el segundo punto de control enel problema I.4. Algunas impresoras láser usan las curvas de Bézier para representar letras y otros símbolos.Experimente con puntos de control hasta que encuentre una curva de Bézier que dé unarepresentación razonable de la letra C.5. Se pueden representar formas más complicadas jun:ando dos o más curvas de Bézier. Supongaque la primera curva de Bézier tiene puntos de control Pq, P ¡, P2, Pi y la segunda tiene puntosde control Pj , P¿, P5, Pt>. Si se desea unir estos dos trozos de manera suave, entonces las rectastangentes en Pi deben corresponderse y, por tanto, los puntos P2, Pj y P4 tienen que estar sobreesta recta tangente común. Con este principio, determine los puntos de control para un par decurvas de Bézier que representen la letra S.Coordenadas polares/»M>F IG U R A 1FIGURA 2Un s i s tema c o o rd e n a d o r e p re s e n ta un p unto en e l plano med ia n te un p a r o rd e n ad o den úme ro s llamad o s c o o rd en a d a s . Por lo gene ra l usamos c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s , q u e sonlas d i s tan c ia s di r igida s d e sd e d os ejes perpendicula res . A q u í se de sc r ibe un s i s tema c o o r ­de n a d o intro d u c id o p o r Newton, l lamad o s i s t em a c o o r d e n a d o p o l a r , q u e e s má s c o n v e ­nientep a r a mu c h o s propósitos.Se e lige un p u n to en el plano q u e se l lama polo (u or igen) y se identif ic a con O. Lu eg ose d ib u ja un r a y o ( s emi r r e c t a ) q u e em p i e z a en O l lam a d o e j e p o l a r . U s u a lm e n t e , e s tee je se t r a z a h o r i z o n t a lm e n t e a la d e r e c h a , y c o r r e s p o n d e al e je x p o s i t iv o en c o o r d e ­na d a s c a r te s iana s .Si P es cu a lq u ie r otro p unto en el plano, s e a r la di s tan c ia d e 0 a P y sea 0 el ángulo(por lo regula r me d id o en radiane s ) entre el eje polar y la re c ta O P c omo en la figura 1.E n to n c e s el p unto P se re p re se n ta med ia n te el p a r o rd e n ad o ( r, 0) y r , 0 se llaman c o o r d e ­na d a s p o l a r e s de P. Se u s a la con v en c ió n de que un á n g u lo e s pos itivo si se mide en els e n t id o c o n t r a r io a las m a n e c i l l a s d e l re loj d e sd e e l e je p o la r , y n e g a t iv o si se mid e ene l sentido de las mane c i l la s de l reloj. Si P = 0, e ntonc e s r = 0 y se e s tá d e a cue rdo en que(0 , 0 ) re p re se n ta el p olo p a ra c u a lq u ie r valor de 0.E x te n d emo s el signif ic ado d e las c o o rd e n a d a s polares (r, 0) al c a s o en q u e r e s negativae s t a n d o d e a c u e rd o en q u e , c om o en la figura 2 , los p u n to s ( —r, 0 ) y ( r, 0 ) e s tán sobrela m i sm a re cta q u e p a s a p o r 0 y a la m i sm a d i s tanc ia | r | d e sd e 0 , p e ro en lados opue s tosde 0. Si r > 0, e l p u n to ( r, 0) e s tá en e l m i sm o cuadrante q u e 0; si r < 0, e s tá en el c u a ­drantesobre el lado o p u e s to de l polo. Ob s e rv e que ( — r, 0) r e p re s e n ta el m i smo p unto que(r, 0 + '77).E J EM P LO 1 Gr a f iq u e los p u n to s c u y a s c o o r d e n a d a s p o la r e s e stán d ad a s .a ) (1 .5 7 7 / 4 ) b) ( 2 , 3 tt) c ) ( 2 , - 2 7 7 / 3 ) d) ( - 3 , 3 t7/4)
  • 48. SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES 655SOLUCIÓN Los p u ntos se grafican en la figura 3. En el inciso d) e l p unto ( — 3, 3 t t / 4 ) seloc a l iz a a tres un id ad e s de l p olo en el c u a r to c u ad ra n te p orque e l á n g u lo 37t / 4 e s t á en elseg u n d o c u ad ra n te y r = —3 e s negativa.5tt3 77-(2, 3 77)( l . ¥ )F IG U R A 33jt~T~En el s is tema co o rd en a d o c ar tes iano todo punto tiene sólo u n a representación, pero en els i s tema d e c o o rd e n a d a s p ola re s c a d a p unto tiene mu c h a s repre senta c ione s . Por e jemp lo ,el p unto (1, 57T/4 ) d e l e jem p lo la ) se podr ía e sc ribir c omo (1, — 37t / 4 ) o (1, 1 37t /4) o( — 1, /t t /4 ) . (Véase la figura 4.)O(>>t )F IG U R A 413a~43-4( > • - ¥ ) (>.¥). / OK f )De h e ch o , pue s to q u e u n a v u e lta c omp le ta en sentido contra r io a las man e c i l la s de l reloje s tá d a d a p o r un ángulo 2 /tt, el p unto repre sentado por c o o rd e n a d a s p ola re s (r, 9 ) se r e p r e ­sen ta también por( - r , 9 4- (2 n + 1 ) tt)d o n d e n e s cu a lq u ie r entero.La c o n ex ió n entre c o o rd e n a d a s polare s y c a r te s ia n a s se puede ver en la figura 5, en lac u a l e l polo c o r re sp o n d e al or igen y e l eje polar c o in c id e con e l eje a-positivo. Si el puntoP tiene c o o rd e n a d a s c a r te s iana s (a; y ) y c o o rd en a d a s polare s (r, 0), e n to n c e s , d e la figura,se tienex ye o s tí = — sen 9 = —d e mo d o quem x — r e o s 9 r s e n 9A u n q u e las e c u a c io n e s 1 se de d u je ro n de la figura 5, q u e i lus tra e l c a s o d o n d e r > O yO < 9 < t t / 2 , e s ta s e cu a c io n e s son válidas pa ra todos los valores d e r y 9. (Véase la d e f i ­nicióngene ra l de sen 9 y e o s 9 en el apéndice D.)Las e c u a c io n e s 1 pe rmi ten h a lla r las c o o rd e n a d a s c a r te s iana s de un p u n to c u a n d o sec o n o c e n las c o o rd e n a d a s polares. Pa ra d e te rmin a r r y 9 c u a n d o se co n o c e n Ay y, us amo slas e cu a c io n e s
  • 49. 656 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESr " — x + y~ y tan 6 — —Xq u e p ueden de d u c i r se de las e cu a c io n e s 1 o s implemente leyendo la figura 5.__E_J_E_M__P_L_O_ _2_ C o n v i e r t a el p u n to (2, /7t / 3 ) d e c o o rd e n a d a s p o la r e s a c a r te s ian a s .SOLUCIÓN C omo r = 2 y 0 = t t / 3 , las e cua c ione s 1 danx “ r e o s 0/i — 2 e o s —77 — 2 ♦ —* — 13 2i - V3 r -y = /• sen 0 = 2 sen — = 2 • --------= J 33 2Por tanto, el p unto en c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s e s ( l , /3~).__E_J_E_M__P_L_O_ _3_ Re p r e s e n t e el p u n to c o n c o o r d e n a d a s c a r t e s ia n a s ( l , — l ) e n t é rmin o s d ec o o rd e n a d a s polares.SOLUCIÓN Si e le g imo s r c o m o positiva, e n to n c e s la e cu a c ió n 2 d a+ y 2 - v ' i ! + (—0 - - - ñtan 6 = — = — lxC omo e l p unto ( l , — l ) e s tá en el c u a r to c uadrante , p o d emo s e legi r $ = — i r / 4 o0 = I ' tt/4 . As i, u n a de las p o s ible s re spue s ta s e s (>/2 , — 'tt/4); otra e s (2 , 77t/4).N O T A Las e cu a c io n e s 2 no d e te rmin a n de man e ra ú n ic a a 0 c u a n d o se dan x y y, po iq u ec u a n d o 0 c rec e en e l intervalo 0 0 < 2 ir c a d a valor d e tan 0 ocur re d o s veces. Por tanto,al conver tir de c o o rd e n a d a s c a r te s iana s a polare s , n o e s suficiente h a l la r r y 0 p a ra sa tis fa ­ce r las e c u a c io n e s 2. C omo en el e jemp lo 3, se debe e legi r 0 de m o d o q u e el p unto (/•, 0)e s té en el c u ad ra n te correcto.Curvas polaresLa g r á f i c a d e u n a e c u a c ió n p o l a r r = f ( 6 ), o de ma n e r a má s gene ra l F (r , d) = O, c o n s i s ­tede todos los p u ntos P que tienen al me n o s u n a repre sentac ión p o la r (r, 0 ) c u y a s c o o rd e ­nad a s satis facen la e cua c ión.□ E JEMPLO 4 ,Qué c u rv a e s tá re p re s e n tad a por la e cu a c ió n p o la r r = 2 ?FIGURA 6SOLUCIÓN L a c u rv a cons i s te de todos los p u ntos (r, 0) con r = 2. P ue s to que r re p re se n tala di s tan c ia d e l p unto al p olo, la c u rv a r = 2 repre senta la c i rc u n fe re n c ia con c en t ro O yradio 2. En genera l, la e cu a c ió n r = a re p re se n ta u n a c i rc u n fe re n c ia c o n c en t ro O y radiol a | . (Véase la figura 6 .)
  • 50. ¡3» 1)F IG U R A 7F IG U R A 8Tabla de valores ygráfica de / = 2 eos 6En la figura 9 se muestra una ilustracióngeométrica de que la circinferenda del ejemplo6 tiene la ecuación /• = 2 eos d. El ánguloOPQ es un ángulo recto (¿por qué?), así que,r/2 = eos dB osque je la c u rv a p o la r 0 = 1.SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES 657E JEMP LO 5SOLUCIÓN Es ta c u rv a c o n s i s te de todos los puntos ( r, 0) tales que e l ángulo p o la r 0 e s deI radián. Co r re sp o n d e a la re cta q u e p a s a por O y fo rma un ángulo de 1 radián con e l ejep o la r (véase figura 7). Obs e rve q u e los puntos ( r, 1) sobre la re c ta con r > O e s tán en elp r ime r c u ad ra n te , mient ra s aque l los con r < O están en e l tercer c uadrante .E JEM P LO 6a) Trac e la c u rv a con e cu a c ió n polar r = 2 eos 0b) En cuentre u n a e c u a c ió n c a r te s ia n a p a ra esta curva.SOLUCIÓNa) En la figura 8 se en cu e n tra n los valores de / p a ra a lgunos va lore s c o n v en ien te s de0 y se grafican los p u ntos co r re sp o n d ie n te s (r, 0). De sp u é s se unen e s tos p u ntos pa rab o sq u e ja r la curva , que a p a re n ta ser u n a circunferencia . Hemo s us a d o sólo valores de 0entre O y t t , p orque si h a c emo s q u e 0 se incremente má s allá d e i r, o b te n emo s de nuevolos mi smo s puntos.6 r ™ 2 eo s 00 2*r/6w/4 y/2*r/3 1V ¡2 02 ir / 3 - 13 i r /4 - v 'T5ot/ 6 - v Tir —2( l - í ) Ü Í l (V3.|)- A * F )b) Pa ra conve r t ir la e cu a c ió n d a d a en u n a e cua c ión c a r te s ia n a u s amo s las e cu a c io n e s1 y 2. De a- = r e o s 0 ten emo s eos 0 = x / r , de mo d o q u e la e cu a c ió n r = 2 e o s 0 seconvie r te en r = 2 x / tlo cual d a•> ■> . •> i . i2 x — r — ,v + y~ o bien .v" + y “ — 2 .v — OC omp le ta n d o c u a d ra d o s o b ten emo s{.x - 1 )2 + y2 = 1q u e e s la e cu a c ió n de u n a c i rc u n fe re n c ia con c ent ro en ( 1, O) y radio 1.vFIGURA 9
  • 51. 658 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESF IG U R A 10r = 1 + sen 6 e n coordenadas cartesia­nas,0 « 6 ^ 2 n□ EJEMPLO 7 Bosque je la c u rv a r — 1 + senSOLUCIÓN En lu g a r d e graficar p u ntos c omo en el e jemp lo 6, b o sq u e jamo s p r ime ro lagráfica d e r = 1 + sen 0 en c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s en la figura 10, d e sp la z an d ola c u rv a seno h a c ia a r riba u n a unidad. Es to nos pe rmite leer de un vis ta zo los valoresde r q u e c o r re sp o n d e n a va lore s c re c iente s de 0. Por e jemp lo , se ve q u e c u a n d o 0 sein c r eme n ta de 0 a 77/ 2 , r (la d i s tan c ia d e sde O) se in c reme n ta de 1 a 2, de m o d o quese b o sq u e ja la parte c o r re sp o n d ie n te de la c u rv a polar de la figura 11 a). Cu a n d o 0 sein c r eme n ta de 7 t /2 a 77, la figura 10 mu e s tra q u e r de c re c e de 2 a 1, así q u e se b o sq u e jala parte s iguiente de la c u rv a c om o en la figura 1 b). Cu a n d o 0 se in c reme n ta de 77 a3*77/ 2 , r de c re c e de 1 a O, c om o se mu e s t ra en e l inciso c). Por úl timo, c u a n d o 0 sein c r eme n ta de 377/2 a 2*77, r se in c reme n ta de 0 a 1 c om o se mu e s t ra en e l inciso d).Si h a c emo s que 0 se in c reme n te má s allá de 2*77 c d e c r e z c a má s allá de 0, p o d r íamo ss imp lemen te volver a t raz ar nue s t ra trayectoria. Un iendo las partes d e la c u rv a d e lafigura 11 a)-d), se b o sq u e ja la c u rv a c omp l e ta d e l inciso e). Es ta c u rv a se llamac a r d i o id e p orque tiene fo rma d e corazón.- i - H 0 = 0b)F IG U R A 11 Etapas para bosquejar la cardioide / = 1 + sen 0EJEMPLO 8 Bosque je la c u rv a r = e o s 20.EQ3 Module 10.3 ayuda a vcrcómo se trazanlas curvas polares por medio de animacionessimilares a las figuras 10-13.SOLUCIÓN C omo en el e jemp lo 7, p r ime ro se b o sque ja r = e o s 20, 0 0 277, enc o o rd e n a d a s c a r te s iana s en la figura 12. Cu a n d o 0 se in c reme n ta d e 0 a 77/ 4 , seobse rva en la figura 12 que / d e c re c e de 1 a 0 y, de este mo d o , se d ib u ja la porc iónc o r re sp o n d ie n te a la c u rv a p o la r de la figura 13 ( indic ada p o r 0 ) . Cu a n d o 0 sein c r eme n ta de 77/4 a 77/ 2 , r v a d e O a — 1. Es to s ignifica que la di s tan c ia d e sd e Ose in c r eme n ta d e 0 a 1, p e ro en lugar de e s ta r en el p r ime r c u ad ra n te e s t a porc iónde la c u rv a polar ( indic ada p o r 0 ) se u b ic a en e l lado opue s to de l p olo en el tercerc uadrante . El resto de la c u rv a se t raz a en fo rma similar, con flechas y n úme ro sin d ic a n d o el orden en el c u a l se trazan las porciones. L a c u rv a resultante tiene cua t robu c le s y se l lama r o s a d e c u a t r o h o ja s .0 = fII/s0 * ¿ /® ;©V ) 6 = 0 —"7© / {/ i i s.© r7 ® F IG U R A 12r = eos 20 en coordenadas cartesianasF IG U R A 13Rosa de cuatro hojas r = eos 20
  • 52. SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES 659SimetríaCu a n d o se b o sq u e jan c u rv a s polare s , a vece s e s útil a p ro v e c h a r la simetría. Las tres reglass iguiente s se explic an med ia n te la figura 14.a) Si u n a e cu a c ió n p o la r p e rma n e c e sin c amb io c u a n d o 0 se re emp la z a por — 0, la c u rv ae s s imé t r ic a re spe c to al eje polar.b) Si la e cu a c ió n no c am b i a c u a n d o r se re emp la z a por — r , o c u a n d o 0 se sus tituye por0 + ir la c u rv a e s s imét r ic a re spe c to al polo. (Es to s ignifica q u e la c u rv a p e rma n e c esin c am b io si la ro tamo s 180° re sp e c to al or igen.)c) Si la e cu a c ió n no c am b i a c u a n d o 0 se re emp la z a p o r ir — 0, la c u rv a e s s imé t r ic are sp e c to a la re cta ver tical 0 = 77/ 2 .F IG U R A 14L a s c u rv a s b o s q u e j a d a s e n los e jemp lo s 6 y 8 son s im é t r i c a s r e sp e c to al e je polar ,p o rq u e c o s ( —0) = e o s 0. L a s c u rv a s d e los e j em p lo s 7 y 8 son s im é t r i c a s r e s p e c to a0 = ir / l p orque sen(7T — 0) = sen 0 y eos 2 (ir — 0) = eos 20. La ro sa de c u a t ro hoja stamb ién e s s imé t r ic a re sp e c to al polo. Estes p ro p ied a d e s de s ime t r ía se po d r ían h a b e ru s a d o p a r a b o sq u e ja r las curvas. En e l c a s o del e jemp lo 6, sólo se requie re h a c e r la gráficad e los p u ntos p a ra 0 0 i r / 2 y d e sp u é s reflejar re spe c to al eje p o la r p a ra obtene r lac i rc u n f e re n c ia comple ta .Tangentes a curvas polaresPara h a lla r u n a re cta tangente a u n a c u rv a polar r = / ( 0 ) , se c o n s id e ra 0 c omo un p a r ám e ­troy e s c r ib imo s sus e cu a c io n e s pa ramé t r ic a s c omox = r eos 0 = f ( 0 ) e o s 0 y = r sen 0 = / ( 0 ) s en 0De sp u é s , con el mé to d o p a ra h a lla r pendiente s de c u rv a s pa ramé t r ic a s (ecua ción 10.2.1) yla regla d e l p ro duc to, ten emo sSd y d rd y dO d dsen 0 + /• eos 0d x d x d r~dd ~dde o s 0 — /• sen 0Las re ctas tangente s h or izonta le s se localizan al d e te rmin a r los p u ntos d o n d e d y /d d = 0( s iempre q u e d x /dO # 0). Del m i smo mo d o , se loca liz an rectas tangente s verticales en losp u ntos d o n d e d x /d d = 0 ( s iempre d y /d d # 0).Ob s e rv e q u e si se e s tán b u s c a n d o re ctas tangentes en el polo, e n to n c e s /* = 0 y la e c u a ­ción 3 se simplif ica ady_dx.— tan 0d rsi — - # 0d e
  • 53. 660 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESEn el e jemp lo 8 e n c o n t ramo s q u e r = e o s 2 0 = O c u a n d o 0 = ir ¡A o 3 ir¡A . Es to significaq u e las re ctas 0 = i r /A y 0 = 2 ir ¡A ( o y = x y y = —x ) son re ctas tangente s a /* = eos 20en e l origen.EJEMPLO 9a) Pa ra la c a rd io id e r = 1 + sen 0 de l e jemp lo 7, e n cu e n t re la pe n d ie n te de la re ctatangente c u a n d o 0 = ir ¡3 .b) En cu e n tre los p u ntos sobre la c a rd io id e d o n d e la re cta tangente e s ho r izo n ta l overtical.SOLUCIÓN Al utiliza r la e c u a c ió n 3 con r = 1 + sen 0, se tiened r~TT sen 0 + r eos 0 „ „ . .d y dO eos 0 sen 0 + (1 + sen 0 ) c o s 0d x d r e o s 0 e o s 0 — ( l 4- sen 0) sen 0— e o s 0 — /• sen 0dOe o s 0 (1 + 2 sen 0 ) eos 0 ( 1 + 2 sen 0)1 — 2 s e n 20 — sen 0 ( l + sen < 0 0 - 2 sen 0)a) La pe n d ie n te de la re cta tangente en e l p unto donde 0 = i r / 3 esdy_ i ( i + / r )d xc o s ( ' ít/ 3 ) ( 1 + 2 sen f r / 3 ) ) _______________________________» - - / ! ( l + s e n ( i r /3 ) ) ( l — 2 s e n ( x / 3 ) ) ( l + v 3 /2 ) (1 — v'3 )1 + / T I + y/3_ !(2 + /3) ( l - v^) - 1 - / 3b) Ob s e rv e qued yd 9= eos 0 ( 1 + 2 sen 0 ) = 0 c uando 0 =ir 3 ir l i r 11 ir2 2 6d xde= (1 + sen 0)(1 — 2 sen 0 ) = 0 c u an d o 0 =3 ir ir 5 irF IG U R A 15Rectas tangentes para r = 1 + senDe b id o a eso, hay re ctas tangente s h o r izo n ta le s en los puntos (2, i r / 2 ) , (y, 7 t t / 6 ) ,(y, 11 t t / ó ) y rectas tangente s vertica les en ( j , 7r /ó ) y (y, 5 ir /6 ) - Cu a n d o 0 = 3 i r / 2 ytanto d y /d e c om o d x /d $ son O, a s í que d e b em o s tener cuidado. Us an d o la regla d el ’H ospita l, ten emo sw dy lim —dx= ( iím ' + 2 s e n 8 V lím1 - 2 sen 0 1 + sen 0}límeos 03 í-W2)“ 1 + sen 0d y1 „ —sen 0— l i m = c o3 e o s 0lím — —co-(3x/2)+ d xPor simetría,En e s tos té rmin o s h a y u n a re cta tangente vertical en el p olo (vé ase figura 1 5).
  • 54. SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES 661NOTA En lugar de tene r q u e re co rd a r la e cua c ión 3, se p o d r ía u sa r el mé to d o emp l e a d op a r a d educir la . En el c a s o de l e jemp lo 9 pu d imo s e sc ribirx = r e o s 9 = (1 + sen 9) e o s 9 = e o s 9 + y sen 29y = r s e n 9 = ( l + sen 0) sen 9 = sen 9 + s e n 2#E n to n c e s ten emo sd y d y f d 9 e o s 9 + 2 sen 9 e o s 9 e o s 9 + sen 29d x d x f d 9 —sen 9 + e o s 2 9 — sen 9 + e o s 2 9q u e e s equiva lente a n u e s t ra e xpre s ión previa.l Graficación de curvas polares con dispositivos de graficaciónA u n q u e e s út il p o d e r b o s q u e j a r a m a n o c u rv a s p o l a r e s s im p le s , n e c e s i t am o s u s a r u n ac a l c u l a d o r a o c omp u t a d o ra c u a n d o t e n emo s ante n osot ros u n a c u rv a tan c omp l i c a d a c omolas q u e se mue s tran en las figuras 16 y 17.1 1.7-1 -1.7F IG U R A 1 6 F IG U R A 17r = sen2(2.4 9) + cos4(2.4 9) r = s e n ^ l ^ 9) + cos3(6 9)Alg u n o s d i spos i t ivos de graficación tienen c oma n d o s q u e p e rmi ten graficar de man e r ad i re c ta c u rv a s polare s . Con otras má q u in a s se requie re conver tir p r ime ro a e cu a c io n e spa ramé t r ic a s . En este c a s o tomamo s la ecua ción polar r = / ( # ) y e s c r ib imo s sus e c u a c io ­nesp a ramé t r ic a s c omoa- = r e o s 9 = / ( # ) eos 9 y = r sen 9 = / { # ) s en 9A lg u n a s má q u in a s requie ren q u e el p a ráme t ro se llame í e n vez de 0.I Gra f ique la c u rv a r = s e n (8 0 /5 ) .S O L U C IÓ N S u p o n em o s q u e el dispos i t ivo de graficación no tiene un c oma n d o degraficación p o la r integrado. En e s te c a s o ne c e s i tamos traba ja r c o n las c o r re sp o n d ie n te se c u a c io n e s pa ramé t r ic a sx = r e o s 9 = s e n (8 0 /5 ) e o s 9 y = r sen 9 = s e n (8 # /5 ) sen 9En c u a lq u ie r c a so, n e c e s i tamo s d e te rmin a r el d omin io p a ra 0, a s í q u e h a c emo s lapregunta : ¿ cuánta s ro ta c io n e s c omp le ta s se requieren h a s ta que la c u rv a c omie n c e arepetirse p o r sí mi sma ? Si la r e sp u e s ta es w, entonc es8 (0 + 2/?7t) ,,,n / 80 1 16/?7t^ i 80sen ~ =SCn 5 ' 5 J| - s e n —y, p o r tanto, se requie re que6 n i r / 5 s e a un múlt iplo p a r de ir. Es to o c ur r i rá pr ime roc u a n d o n = 5. En c o n s e cu e n c ia , graficaremos la c u rv a c omp l e ta si se e spe c i f ic a que0 ^ 0 ^ 1077.
  • 55. 662 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESF IG U R A 1 8r = sen(80/5)En el ejercicio 53. se le pidió demostrar enforma analítica lo que ya se había descubierto;partir de gráficas como la de la figura 19.Al c am b i a r d e 0 a /, se tienen las e cu a c io n e sx = s e n ( 8 í /5 ) e o s t y = s e n (8 / /5 ) sen t O t =5 10*77c u y a c u rv a resultante se mu e s t ra en la figura 18. Note que e s ta ro sa tiene 16 bucles.| Inve s tigue la fami l ia d e curva s polares d a d a por /• = 1 + c sen 0.¿C ómo c am b i a la fo rma c u a n d o c c amb i a ? (Es tas c u rv a s se llaman l im a to n e s , pa labraf ran c e sa p a r a los c a ra co le s , d e b id o a la fo rma d e las c u rv a s pa ra c ie r tos valores de c.)SOLUCIÓN En la figura 19 se mu e s tra n gráficas dibujada s p o r c omp u t a d o ra p a ra variosvalores d e c. Pa ra c > 1 h a y un b u c le q u e se hace p e q u e ñ o c u a n d o c de cre c e . Cu a n d oc = 1 el b u c le d e s a p a re c e y la c u rv a se convie r te en la c a rd io id e que se b o sq u e jó en ele jemp lo 7. Pa ra c entre 1 y i la c ú sp id e de la c ardioide d e s a p a re c e y se convie r te en un“ h o y u e lo ” . Cu a n d o c de c re c e de j a 0 , la l ima ro n tiene fo rma d e óvalo. Este óvalo sevue lve má s c i r c u la r c u a n d o c ^ O y c u a n d o c = 3 la c u rv a e s ju s to la c irc u n fe re n c iacon /* = 1.F IG U R A 1 9Miembros de la familiade limatones r — 1 + C senLas partes re s tantes de la figura 19 mu e s tra n que c u a n d o c se vuelve negativa, lasforma s c amb ia n en orden inverso. De h e ch o , e stas c u rv a s son re flexiones re sp e c to al ejeh o r izo n ta l d e las c u rv a s c o r re sp o n d ie n te s con c positiva. ■ ■EjerciciosLas l im a to n e s son mu y útiles en e l e s tu d io de l mo v imi e n to planetario. En particular, lat ray e c to r ia de Ma r te vi s ta d e sde el p lan e ta Tie r ra h a sido mo d e l a d a c o n u n a l ima ro n d e unbuc le , c om o en los inc isos de la figura 19 con I c I > 1.1 -2 Grafique los puntos cuyas coordenadas polares están dadas.Después encuentre otros dos pares de coordenadas polares de estepunto, uno con r > 0 y uno con r < 0.1 . a) (2, tt/ 3) b) (1 , -3 7 7 /4 ) c) ( - 1 ,7 7 / 2 )2. a) ( 1, 777/ 4 ) b) (— 3 , 7 7 / 6 ) c) ( l , —l)3-4 Grafique el punto cuyas coordenadas polares están dadas.Luego, determine las coordenadas cartesianas del punto.3 . a) ( 1 , 77) b) (2, -277/3)4 . a) ( - v 'T , 577/ 4 ) b) (1, 577/2) c) ( 2 , - 7 7 7 /6 )5-6 Se dan las coordenadas cartesianas de un punto.i) Encuentre las coordenadas polares (;*, 0) del punto, donder > O y O ^ 0 < 2 7 r .ii) Determine las coordenadas polares (r, 0) del punto, donder < O y O = S 0 < 2 7 r .•) ( - 2 . 3 i r / 4 )5 . a) (2. - 2 )6. a) ( 3 ^ , 3 )b) ( - 1 , v/T)b) < 1 . - 2 )Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 56. SECCION 10.3 COORDENADAS POLARES 6637-12 Bosqueje la región en el plano que consiste de todos lospuntos cuyas coordenadas polares satisfacen las condicionesdadas7 . r > 18. 0 < r < 2, 77 « f r 3 t t /29 . r > 0 , 77/4 < 0 < 3 7 r / 410 . I 7- < 3, 77/6 < 0 < 577/611 . 2 < / < 3. 577/3 <5 0 777/312. / > l . 77 < 0 < 2 7 71 3 . Encuentre la distancia entre los puntos con coordenadas polares(2, 77/3 ) y (4, 277/3).14 . Encuentre una fórmula para la distancia entre los puntos concoordenadas polares (ri, 6 1) y (r 2, 6 2 )-15-20 Identifique la cun a encontrando una ecuación cartesiana parala curva.15 . / : = 516 . ; = 4 sec 017 . r = 2 eos 018. 9 = 77/319 . /'"eos 20 = 120. /• = tan 0 sec 021-26 Encuentre una ecuación polar para la c u n a representada porlas ecuaciones cartes.anas dadas.21. y - 222. y - v2 3 . y =+ 3 x2 4 . 4 y 2 = .12 5 . .v2 + v 2 = 2c x2 6 . x y = 427-28 Para cada una de las c u n as descritas, decida con quéecuación se expresaría más fácilmente, con una polar o unacartesiana. Después escriba una ecuación para la c una .2 7 . a) Una recta que pasa por el origen que forma un ángulo de77/6 con el eje .v positivo,b) Una recta vertical que pasa por el punto (3, 3).2 8 . a) Una circunferencia con radio 5 y centro (2, 3).b)Una circunferencia centrada en el origen con radio 4.29-46 Bosqueje la curva con la ecuación polar dada, graficandoprimero r c omo una función de 6 en coordenadas cartesianas.2 9 . /• — —2 sen 0 3 0 . r = l — eos 03 1 . r = 2(l + eos 0) 3 2 . r = 1 4 - 2 eos 03 3 . r — 0, 0 ^ 0 3 4 . 7 — In 0, 0 ^ 13 5 . / = 4 sen 3 0 3 6 . r = eos 5 03 7 . 7 = 2 eos 4 0 3 8 . 7 = 3 eos 603 9 . /■ —> I — 2 sen 0 4 0 . / — 2 + sen04 1 . r 2 — 9 sen 204 3 . r - 2 + sen 304 5 . /• = 1 + 2 eos 204 2 . 7'2 — eos 404 4 . r 2S - 14 6 . 7 = 3 + 4 eos 047-48 La figura muestra una gráfica de rc omo una función de 0en coordenadas cartesianas. Utilícela para bosquejar lacorrespondiente curva polar.47.4 9 . Demuestre que la curva polar r = 4 + 2 sec 9 (llamadaconcoide) tiene la recta x = 2 como asíntota verticaldemostrando que límr^ ;tc, . v = 2. Utilice este hecho paraayudarse a dibujar la concoide.5 0 . Demuestre que la curva r — 2 — esc 0 (también una concoide)tiene la recta y = — 1 como una asíntota horizontaldemostrando que límr_*i»y — — 1. Utilice este hecho paraayudarse a trazar la concoide.51. Demuestre que la curva r = sen 9 tan 9 (llamada cisoide deDiocles) tiene la recta x = 1 como una asíntota vertical. Demuestretambién que toda la cun a está dentro de la banda vertical 0 ^ x < 1.Utilice estos hechos para ayudarse a trazar la cisoide.5 2 . Bosqueje la curva (.r + y 2)* = 4.v2y 2.5 3 . a) En el ejemplo 11, la gráfica sugiere que la lima<¿on7 = I + c sen 9 tiene un bucle interior cuando |c | > 1.Demuestre que esto es cierto y encuentre los valores de9 que corresponden a este bucle interior,b) En la figura 19 parece que la limaron pierde su hoyuelocuando c ™ y. Demuéstrelo.5 4 . Relacione las ecuaciones polares con las gráficas I-VI. Dérazones para sus elecciones. (No utilice dispositivos degraficación.)a) r — v+T, ( X 0 ^ 1 6 7 7 b) r — 02, 0 0 I677c) r — cos(0/3)d) / — I + 2 eos 0e) r = 2 + sen 30f) r = 1 + 2 sen 30IV0
  • 57. 664 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES55-60 Encuentre la pendiente de la recta tangente para la curvapolar dada en el punto especificado por el valor de 0.55. / — 2 sen 0. 0 — 77/6 56. r — 2 — sen 0, 0 — tt/357. r = I¡G. G = 77 58. /• = cos{0/3), G = 7759. / = eos 20, 0 = 77/4 60. r = 1 + 2 eos 0. 0 = 77/361-64 Encuentre los puntos sobre la curva dada donde la rectatangente es horizontal o vertical.61. r ™ 3 eos 0 62. / — 1 — sen 063. /• — 1 + cos0 64. / - e "6 5 . Demuestre que la ecuación polar r = a sen 0 + b eos 0, dondeab # 0, representa una circunferencia y encuentre su centro yradio.66. Demuestre que las curvas r = a sen 0 y r = a eos 0 se cortanen ángulos rectos./ § 67-72 Utilice un dispositivo de graficación para trazar la curvapolar. Elija el intervalo paia el parámetro para asegurarse que setrace toda la curva.6 7 . ; = 1 + 2 scn(0/2) (nefroide de Frccth)68. / — v’l —0.8 sen20 (hipopede)6 9 . r = e*enl* — 2 cos{40) (curva mariposa)7 0 . r = | tan 0 Jl"**! (cuiva valentina)71. /• — 1 + cos9990 (curva PacMan)7 2 . ;• = sen: (40) + cos(4tf)7 3 . ¿Cómo se relacionan las gráficas de r = 1 + sen(0 — 77/ 6) yr = 1 + sen(0 — 77/3i con la gráfica de /• = I + sen 0? Engeneral, ¿cómo se relaciona la gráfica de r — f ( 0 — a ) con lagráfica de r = f(0 )2B 74. Utilice una gráfica para estimar la coordenada y de los puntossuperiores sobre la curva r = sen 20. Después utilice sucalculadora para encontrar el valor exacto.@ 75. Investigue la familia de curvas con ecuaciones polaresr — 1 + c eos 0, donde c es un número real. ¿Cómo cambiala forma de la curva cuando c cambia?i§ 76. Investigue la familia de curvas polaresr = 1 + cos"0donde n es un entero positivo. ¿Cómo cambia la forma de lacurva cuando n crece? ¿Qué pasa cuando n es muy grande?Explique la forma para n muy grande considerando la gráficade r c omo una función de 0 en coordenadas cartesianas.77. Sea P un número cualquiera (excepto el origen) sobre la curvar = f{0 ). Si t/r es el ángulo entre la recta tangente en P y larecta radial OP, demuestre quertan ip =el r ( c í e[Sugerencia: Observe que & = ó — 0 en la figura ]r = mO78. a) Utilice el ejercicio 77 para demostrar que el ángulo entre larecta tangente y la recta radial es 1ü = 77/4 en todo puntosobre la curva r= e*.b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente enlos puntos donde 0 = 0 y tt/2 .c) Demuestre que cualquier curva polar r = f( 0 ) con lapropiedad de que el ángulo ip entre la recta radial y la rectatangente es una constante que debe tener la forma r = C e kdonde C y k son constantes.P ROY E C TO DE L ABOR A TOR IO FAMILIAS DE CURVAS POLARESEn este proyecto descubrirá lo interesante y bello que pueden ser las formas de las familias decurvas polares. También verá cómo cambia la forma de las c u n as cuando varían las constantes.1. a) Investigue la familia de curvas definida por las ecuaciones polares r = sen n0, donde n esun entero positivo. ¿Cómo se relaciona n con el número de bucles?b) ¿Qué pasa si la ecuación del inciso a) se reemplaza por r = |sen /i0|?2. Una familia de curvas está dada por las ecuaciones r = I + c sen n0, donde c es un númeroreal y n es un entero positivo. ¿Cómo cambia la forma de la gráfica cuando n crece? ¿Cómocambia cuando c cambia? Ilustre graficando suficientes miembros de la familia para apoyar susconclusiones.Se requiere calculadora graficadora 0 computadora
  • 58. SECCIÓN 10.4 ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES 6653. Una familia de curvas tiene las ecuaciones polares1 — a eos 61 + a eos BInvestigue cómo cambian las gráficas cuando el número a cambia. En particular, debe ustedidentificar la transición de los valores de a para los cuales la forma básica de la curva cambia.4. El astrónomo Giovanni Cassini (1625-1712) estudió la familia de curvas con ecuacionespolaresr 4 — 2c2/-2 eos 2 0 + c 4 —fl4 = ()donde a y c son números reales positivos. Estas curvas se llaman óvalos de Cassini aunquetienen la forma de óvalo sólo para ciertos valores de a y c. (Cassini pensó que estas curvaspodían representar órbitas planetarias mejor que las elipses de Kepler.) Investigue la variedadde rumias que estas cuivas pueden tener. En particular, ¿cómo se lelaciuuan a y c con cada unacuando la curva se divide en dos partes?Areas y longitudes en coordenadas polaresEn e s ta sección d e s a r ro l lamo s la fó rmu la p ara e l á rea de u n a región c u y a frontera e s tá d a d ap o r u n a e cu a c ió n polar. Ne c e s i tamo s utilizar la fó rmu la p a ra e l á re a de un s e c tor de uncírculo:md o n d e , c omo se ve en la figura 1, r es el radio y 0 e s la me d id a en radiane s de l ángulocentral. L a fó rmu la 1 se sigue d e l h e ch o de que el á re a de un s e c tor e s p ro p o rc io n a l a suángulo central: A “ (f9/2tt-J-tt/*2 — i r 20. (Véase también el ejercicio 35 de la sección 7.3.)Se a d t la región, ilu s tra d a en la figura 2, a co tad a p o r la c u rv a p o la r r = f ( 0 ) y p o r losray o s Q = a y 0 = b y d o n d e / e s u n a funciór. pos itiva c o n t in u a y d o n d e O < b — a 2*7?.Div id imo s el inte rvalo [«, ben subintervalos c o n p u ntos e x tremo s 0O, 0i, 0:, •, 0,. e iguala ncho A0. E n to n c e s los rayos 0 = 0, dividen a d i en n p e q u eñ a s regione s con á n g u lo c e n ­tralA0 = 0i — 0;_|. Si e le g imo s 0¿* en el í -és imo subinte rva lo [0,_i, 0¡], e n to n c e s e l áreaAAi d e la 7-ésima región e s tá a p ro x ima d a per e l á rea de l se c tor de un c írcu lo con ánguloc ent ra l A0 y radio f ( 0 * ) . (Véase la figura 3.)As í, de la fó rmu la 1 ten emo sA A , « j [ / ( 0 , * ) ] 2A0y p o r tanto u n a apro x ima c ió n al á re a A de di esaFIGURA 3 En la figura 3 pa re c e q u e la apro x ima c ió n en 13 m e jo ra c u a n d o n —* co. Pero las suma s en0 son suma s de Riema n n p a ra la func ión gf(0) = y [ / ( 0 ) ]d e m o d o que
  • 59. 666 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESPor tanto pa re c e plaus ible (y d e h e c h o puede d emos tra r se ) q u e la fó rmu la p a ra e l áreaA de la región polar de la región 01 esUsu a lmen te , la fó rmu la 3 se e sc r ibe c omoF IG U R A 4Econ el e n te n d id o d e q u e r = / ( 0 ) . Ob s e rv e la seme jan z a entre las fó rmu la s 1 y 4.Cu a n d o a p lic amos la fó rmu la 3 o 4 e s útil pensa r q u e e l á re a e s b a r r id a por un rayo quero ta a l rededor d e O emp e z a n d o c o n un á n g u lo a y te rmin an d o en un á n g u lo b.EJEMPLO 1 En cuentre el á re a e n c e r r a d a p o r un bucle de cua t ro □ p é ta lo s r = e o s 20.SOLUCIÓN L a c u rv a r = e o s 20 se b o sq u e jó en el e jemp lo 8 de la se c ción 10.3. Obs e rvede la figura 4 q u e la región e n c e r r a d a p o r el bucle de la d e r e c h a e s b a r r ido p o r un rayoq u e rota d e 0 = — 77/4 a 0 = 77/4. Por tanto, la fórmula 4 d aA = | ^ t r 2d 0 =f ^ c o s 226 c l 6 = | ^ c o s 22 QdOJ - 1 7 / 4 - ■ J - 7 7 / 4 J oa - f "/ 4 1(1 + COS 4 0 ) cW - 1[0 + J sen 40]ó/l - — H*o 8| En cuentre el á re a de la región que e s tá d e n t ro d e la c i rc u n fe re n c ia/• = 3 sen 0 y fuera de l c a rd io id e /• = I 4- sen 0.SOLUCIÓN El c a rd io id e (vé ase e jemp lo 7 en la sección 10.3) y la c i rc u n fe re n c ia estánt r a z ada s en la figura 5 y la región d e s e a d a e s tá sombre ada . Los valores de a y b en lafó rmu la 4 se d e te rmin a n e n c o n t ra n d o los p u ntos de inte rse cc ión de las d o s curvas.La inte rse cc ión d e é stas se d a c u a n d o 3 sen 0 = 1 + sen 0, lo que d a s e n 0 ™ ?, a s í que0 = t t / ó , 5^7/6 . El á rea d e s e a d a puede encont ra r s e re s tando e l á re a d e n t ro de l c a rdioideentre 0 = 7 t /6 y 0 = 5 T r /6 de l á rea d e n t ro d e la c i rcu n fe ren c ia de /t t / 6 a 5 tt/6 . A s íA = t J J (3 s e n 0 ) 2c/0 —f ^ ( l + s e n 0 ) 2c/0C omo la región e s s imé t r ic a re sp e c to al eje vertical 0 = 7 7 / 2 , p o d emo s e sc r ibi rA — 2 ^ t J * 9 sen20 d 0 — i ( l + 2 sen 0 + sen20) c/0^j= | ^ (8 sen20 — I — 2 sen S ) dO= | (3 — 4 COS 2 0 — 2 sen 0) d d debido a que senJ ti = -r(l — eos 2 9)— 3 0 — 2 sen 2 0 + 2 eos 0]_^, — 77 ■ ■
  • 60. SECCIÓN 10.4 ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES 667En e l e j em p lo 2 se i lu s t r a el p r o c e d im i e n to p a r a h a l l a r e l á r e a d e la re g ió n a c o t a d ap o r d o s c u rv a s p o la re s . En g e n e r a l , s e a St u n a re g ió n , c om o la q u e se i lu s t r a en laf igura 6, q u e e s t á a c o t a d a p o r c u rv a s c o n e c u a c io n e s p o l a r e s r = / ( 0 ) , r = g ( 6 ), 0 = ay 6 = b , d o n d e / ( 0 ) 2= g (6 ) ^ O y O < b - a ^ 2 ir. El á r e a A de Si se e n c u e n t r a r e s ­ta n d o e l á r e a b a jo r = g (6 ) d e l á r e a b a jo r = / ( 0 ) , d e m o d o q u e u t i l i z a n d o la fó rm u la3 se t iene¿ = »[ti" i i / m u - Jiab i [ 9 m d e= i f" ([/(«)T -[«(«ffMo JaPRECAUCIÓN El h e c h o de q u e un solo punto ten g a mu c h a s re p re se n ta c io n e s en c o o r ­de n a d a s p o l a r e s , d i f ic u l ta a v e c e s h a l la r todos los p u n to s de in te r s e c c ió n d e d o s c u rv a sp o la re s . Por e j em p lo , e s o b v io d e la f igura 5 q u e la c i r c u n f e r e n c i a y la c a rd io id e tienentre s p u n to s de in te r s e c c ió n ; sin em b a r g o , en e l e j em p lo 2 se r e so lv ie ro n las e c u a c io n e s/• = 3 sen 6 y r = 1 + sen 0 y se h a lla ron só lo d o s p u n to s ( i , i r /6 ) y (y, 5 7r /ó) . Elo r ig en t amb ié n e s un p u n to de in te r s e c c ió n , p e ro no se p u e d e d e t e rm in a r r e s o lv ie n d olas e c u a c io n e s de las c u rv a s p o rq u e e l or igen no t ie n e r e p re s e n t a c ió n ú n i c a en c o o r d e ­na d a s p o la r e s q u e s a t i s fag a amb a s e c u a c io n e s . O b s e rv e q u e , c u a n d o se r e p r e s e n t a c om o(O, 0) o (0, ir ) , e l o r ig en sa t is fa c e /• = 3 sen 0 y, p o r tanto, e s t á d e n t ro d e la c i r c u n ­fere n c ia ; c u a n d o se r e p r e s e n t a c om o (0, 2ir ¡ 2 ) , sa t is fa c e r = 1 + sen 0 y, p o r c o n s i ­gu ie n te , e s t á so b re la c a rd io id e . C o n s id e r e d o s p u n to s q u e se mu e v e n a lo la rg o d e lasc u rv a s c u a n d o e l v a lo r d e p a r ám e t ro 0 se in c r em e n t a de 0 a 2 ir . S o b re u n a c u rv a elo r ig en se a lc a n z a en 0 = 0 y 0 = 7r; so b re la o t ra c u rv a se a lc a n z a en 0 = 3 i r / 2 . Losp u n to s no c h o c a n e n e l o r ig en p o rq u e llegar, en d i f e r e n te s t iem p o s , a u n q u e a l l í se c o r ta nlas cu rv a s .Así, p a ra h a lla r to d o s los p u ntos d e intersección de d o s curva s polare s , se re c omie n d ad ib u ja r las gráficas de amb a s curvas . Es e sp e c ia lmen te co n v en ien te usa r u n a c a lc u la d o ra oc omp u t a d o r a c omo me d io auxiliar p a r a e s t a tarea.En cuentre los p u ntos d e intersección de la curva s r = e o s 2 6 y r = y.E JEM P LO 3SOLUCIÓN Si re so lv emo s las e cu a c io n e s r = e o s 2 6 y r = t> o b te n emo s e o s 2 6 = y y,p o r tanto, 20 = i r / 3 , 5 i r /3 , T i r /3 , 1i r / 3 . Así, los valores de 0 entre 0 y 2 ir quesatis facen amb a s e cu a c io n e s son 0 = i r / 6 , 5 i r /6 , l i r / 6 , 11 i r / 6 . Hemo s e n c o n t ra d oc u a t ro p u ntos d e intersección: (4, ^ / é ) , (y, S ir fb ) , (y, l i r / b ) y (y, 11 i r fb )Sin emb a rg o , p o d emo s ver de la figura 7 q u e las c u rv a s t ienen otros c u a t ro p u ntos deinte rse cc ión: (y, i r / 3) , (y, 2 /t?/3), (y, A ir /3 ) y ( y, 577/3). Es tos p u ntos p ueden encont ra r s eut il iz ando la s ime t r ía o a d v ir t iendo que la otra e cu a c ió n de la c i rc u n fe re n c ia es r “ “ { yd e sp u é s re so lv ie n d o las e cu a c io n e s r = e o s 20 y / = —y.Longitud de arcoPa ra d e te rmin a r la longitud d e u n a c u rv a polar r = / ( 0 ) , a ^ 0 ^ b , c o n s id e r amo s 0 c omoun p a ráme t ro y e s c r ib imo s las e c u a c io n e s p a ramétr ica s de la c u rv a c omox — r e o s 0 — / ( 0 ) e o s 0 y — r sen 0 — / ( 0 ) sen 0Us an d o la regla de l p ro d u c to y de r iv a n d o con re sp e c to a 0 o b ten emo sd x d r d y d r—— = —— e o s 6 — r sen 0 —— = —— sen 0 + r e o s 6d 6 d 6 d 6 d 6
  • 61. 668 CAPITULO 10 ECJACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARESasí, ut il iz ando e o s 20 + s e n 20 = 1, ten emo sF IG U R A 8r — 1 + senf ^ y + / ^ y _ f ^ y cos:e _ 2 r^ d o /d o }d d / de* (§)- (i) + "dr_deS u p o n ie n d o q u e / ' e s c o n tinua , p o d emo s utiliza r el t e o r ema 10.2.5 p a ra e x p re s a r la lo n g i ­tudde a rco c omo-í: # F W dePor tanto, la longitud de u n a c u rv a con e cu a c ió n polar r = / ( 0 ) , a 6 ^ b , esE□ E JEM P LO 4 En cuentre la longitud de la c a rd:oide r — 1 + sen 8SOLUCIÓN L a c a rd io id e se mu e s t ra en la figura 8. (L a t ra z amo s en e l e jemp lo 7 de lasección 10.3.) Su longitud total e s tá d a d a por el intervalo de l p a ráme t ro 0 0 =S 2'tt, a s íq u e la fó rmu la 5 d av (1 ‘■ r f w - f + sen 0 ) : + c o s 20 d e= í " V2 + 2 s e n » cWJoPo d r íamo s h a b e r ev a lu ad o e s ta integral mult iplic ando y d iv id ie n d o el in tegrando por2 s e n 0 , o p o d r íamo s utilizar la c omp utadora . En cu a lq u ie r c a so, e n co n t ramo sq u e la longitud de la c a rdioide e s L = 8. IEjercicios1-4 Encuentre el área de la región acotada por las curvas dadas yque están en el sector especificado.1. 77¡2 «Sí 9 < 772. r — eos 9, 0 9 77/63. /-2 - 9 sen 29, r * 0, 0 «S 9 «£ 77/24 . r — tan 9. 77/6 «S 9 < 77/35-8 Encuentre el área de la región sombreadar ~ v r — 1 + eos^ Se requiere calculad o rag ra fic ad o ra o computadora 1. Tareas su g erid asd isp o n ib le sen stewartcalculus.com
  • 62. SECCIÓN 10.4 ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES 6699-12 Trace la curva y encuentre el área que encierra.9 . 2 sen 0 1 0 . r — 1 — sen 011 . r - 3 + 2 c o s e 1 2 . / - 4 + 3 sen B13-16 Grafique la curva y encuentre el área que encierra.13 . r — 2 + sen 4B 1 4 . /• — 3 — 2 eos 4 B15 . r — V I + eos2 (5 B) 16 . — 1 + 5 sen 6 B17-21 Encuentre el área de la región encerrada por uno de losbucles de la curva.17 . r " 4 c o s 3 0 18. r 2 ™ sen 2B19 . r = sen 4 B 2 0 . r = 2 sen 5#2 1 . r = 1 + 2 sen B (bucle interno)2 2 . Encuentre el área encerrada por el bucle de la astrofoider = 2 eos 6 ~ sec 623-28 Encuentre el área de la región que está dentro de la primeracurva y fuera de la segunda curva.2 3 . r = 2 eos B, r = 1 2 4 . r = 1 — sen 0 , r = 12 5 . r 2 - 8 eos 20, r - 22 6 . /- ™ 2 + sen 0, r ™ 3 sen B2 7 . r = 3 eos 0, r = 1 + eos B28 . / — 3 sen B, r — 2 — sen 029-34 Encuentre el área de la región que está dentro de ambascurvas.2 9 . / ■3 eos 0, r ■■ sen 03 0 . / = 1 + eos 0, /• = 1 — eos 03 1 . r — sen 20, / — eos 203 2 . /- - 3 + 2 eos 0, r - 3 + 2 sen 03 3 . r 2 = sen 20. r 2 = eos 203 4 . / — « sen 0, /• — b eos 0. « > 0, b > 03 5 . Encuentre el área dentro del bucle más grande y fuera del buclemás pequeño de la limaqon r — 7 + eos 0.3 6 . Encuentre el área entre el bucle más grande y el bucle máspequeño encerrado de la curva r = 1 + 2 eos 3937-42 Encuentre todos los puntos de intersección de las curvasdadas.3 7 . r = 1 + sen 0, r = 3 sen 03 8 . / = 1 — eos 0, r = 1 + sen B3 9 . i = 2 sen 20, r = I4 0 . r = eos 30, r = sen 304 1 . r = s e n 0 , / = sen204 2 . r 2 = sen 20, r 2 = eos 204 3 . Los puntos de intersección de la cardioide r = 1 + sen 6 yel bucle en espiral r = 20, ~ tt¡2 ^ 6 ^ 7t/2, no se puedenencontrar exactamente. Utilice un dispositivo de graficaciónpara aproximar los valores de 6 en los que se intersecan.Después use estos valores para estimar el área que está dentrode ambas curvas.4 4 . Cuando se graban programas en vivo, es frecuente que losingenieros de sonido utilicen un micrófono con un fonocaptoren forma de cardioide porque suprime ruido de la audiencia.Suponga que el micrófono se coloca a 4 m del frente delescenario (como en la figura) y la frontera de la región decaptación óptima está dada por la cardioide r = 8 + 8 sen 6.donde r se mide en metros y el micrófono está en el polo. Losmúsicos quieren conocer el área que tendrán en el escenariodentro del campo óptimo de captación del micrófono. Contesteesta pregunta.45-48 Encuentre la longitud exacta de la curva polar.4 5 . / = 2 eos 0, 0 < 0 < 7T4 6 . /• = 5*. 0 < 0 «S 2tt4 7 . r — 0 2, 0 B < 2-tt4 8 . / = 2(1 + eos 0)49-50 Encuentre la longitud exacta de la curva. Utilice una gráficapara determinar el intervalo del parámetro.4 9 . / = cos4(0 /4 ) 5 0 . / = cos2(0/2)
  • 63. 670 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES51-54 Utilice una calculadora para encontrar la longitud de la curvacon una aproximación de cuatro decimales. Si es necesario,grafique la curva para determinar el intervalo del parámetro.51. Un bucle de la curva / = eos 2052. /• ™ tan 0, 77/6 0 «5 ir/353. r = sen (6 sen tf)54. / = sen(fl/4)55. a) Utilice la fórmula 10.2.6 para demostrar que el área de lasuperficie generada al rotar la c u n a polar/• = f( 9 ) a ^ 6 ^ b(donde / ' es continua y 0 =S a < b 77) en tomo al ejepolar esb) Utilice la fórmula del inciso a) para encontrar el área de lasuperficie generada al rotar la lemniscata r 2 = eos 26 entorno al eje polar.56. a) Encuentre una fórmula para el área de la superficie generadaal rotar la curva polar r = f(0 ) , a 6 ^ b (donde / ' escontinua y 0 a < b 77), en torno a la recta 6 = 77¡2.b) Encuentre el área de la superficie generada al hacer rotar lalemniscata r 2 = eos 26 en torno a la recta 6 = 77/ 2 .Secciones cónicasEn e s ta sección d a r em o s de f inic ione s geomé tric as d e las pa rábola s , e lipse s e h ip é rb o la s , yd e d u c i r emo s sus e cu a c io n e s estándar. Se llaman secciones cónicas, o cónicas, porqueresultan de cor ta r un c o n o c o n un plano, c om o se mu e s t ra en la figura 1.FIGURA 1CónicasFIGURA 2ParábolasparábolaU n a p a r á b o l a e s e l c o n ju n to d e p u n to s en el p lan o q u e e q u id i s t a n d e un p u n to fijo F( l lamad o foco) y u n a re c ta fija ( l lamad a directriz). Es ta d ef inición se ilus tra en la figura 2.O b s e rv e q u e e l p u n to a la mi ta d e n t re e l foco y la d i re c t r iz e s tá so b re la p a r á b o l a y sel lam a vértice. La r e c ta p e rp e n d i c u l a r a la d i re c tr iz q u e p a s a p o r e l foco se l lam a eje dela p a ráb o la .En e l s iglo x v i Ga l i le o d em o s t ró q u e la t ray e c to r ia d e un p ro y e c t il d i s p a r a d o al airec o n un ángulo re spe c to al sue lo, e s u n a pa rábola. De sd e ento n c e s , las forma s pa raból ic a sse han us a d o en el d i s e ñ o d e los faros de automóvile s , tele scopios reflectores y puente ssuspendidos . (Véase en el p ro b l ema 20 de la página 271 pa ra la propiedad de reflexión depa ráb o la s q u e las ha ce tan útiles.)Se obtiene u n a e c u a c ió n pa r ticu la rme n te simple p a ra u n a p a rá b o la si se c o lo c a su vér­ticeen e l origen y su directr iz p a ra le la al eje . r e am o en la figura 3. Si el foco e s tá en elp u n to (0, p ), e n to n c e s la d irectr iz tiene la e cua c ión y = —p . Si P { x , y) e s cu a lq u ie r punto
  • 64. SECCIÓN 10.5 SECCIONES CÓNICAS 671sobre la pa rábola , e n to n c e s la di s tan c ia de P al foco es p f i = v/.v: + (v - r yy la di s tan c ia de P a la directr iz e s | y + p . (L a figura 3 i lus tra el c a so d o n d e p > O.) Lapro p ied a d q u e define a u n a p a ráb o la e s que estas d i s tan c ia s son iguales:v v + (y - I’Y = |y + r |Un a e cu a c ió n equiva lente se obtiene e levando al c u a d r a d o y s implificando:■f2 + ( y - p f = | y + p p = ( y + p fx 2 + y 2 — 2 p y + p 2 = y 2 + 2 p y + p 2x 2 = 4p ySi e s c r ib imo s a = 1 / ( 4 p ), e n to n c e s la e cua c ión e s tá n d a r de u n a p a ráb o la [7] se c o n v ie r ­teen y = a x 2. Abre h a c ia arriba si p > O y ha c ia abajo si p < 0 [vé ase figura 4 , inc isos a)y b)]. La gráfica es s imé t r ic a c o n re sp e c to al e je y p orque |T] p e rma n e c e sin c amb io c u a n ­do x se sus tituye por —aSi in te r c amb iamo s a y y en [T], obtenemosa) x 2 = 4py, p > 0F IG U R A 4S y" = 4p xq u e e s u n a e c u a c ió n d e la p a r á b o l a c o n foco e n ( p . O) y d i re c t r iz x = —p . ( In t e r c am b i a rx y y e q u iv a le a re f le ja r r e sp e c to a la r e c ta y = x .) L a p a r á b o l a abre h a c i a la d e r e c h a sip > O y h a c ia la izq u ie rd a si p < 0 [vé ase ñ g u ra 4, inc isos c) y d)]. En amb o s c asos , lagráfica e s s imé t r ic a re spe c to al eje a , q u e e s el eje de la parábola.E JEM P LO 1gráfica.En cuentre e l foco y la d irec tr iz de la p a ráb o la y 2 + 1 0 a = 0 y b o sq u e je laSOLUCIÓN Si se e sc r ibe la e cu a c ió n c om o y 2 = — 1 0 a y se c om p a r a con In e c u a c ió n 2, seve que 4p = — 10, de mo d o que /? = — Así, el foco e s (/?, 0 ) = ( — §, o) y la directrize s a = §. El b o sq u e jo se mu e s t ra en la figura 5. ■ ■
  • 65. 672 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESE lipse sUn a elipse e s e l c o n ju n to de p u ntos en un plano c u y a suma d e sus d i s tan c ia s a d o s puntosfijos F i y Fz e s u n a c o n s tan te (vé ase figura 6). Estos d o s p u ntos fijos se llaman focos (p lu ­rald e l lugar ge omé t r ic o foco). Un a de las leyes de Kepler e s q u e las órbitas de los p lane tasen e l s i s tema sola r son e lip s e s c o n el Sol en un foco.F IG U R A 6Con el fin de obtene r la e cu a c ió n má s simple p a ra u n a elipse , c o lo c amo s los focos ene l eje .ven los p u ntos ( — c, O) y (c, 0) c om o en la figura 7, de mo d o que e l or igen esté a lamitad entre los focos. Se a 2a > 0 la suma de las d i s tan c ia s de un p unto de la elipse a losfocos. E n tonc e s P(x, y) e s un p unto sobre la e lipse c u a n d o| PF | + PF2= 2 ae s decir,o bien,v ( * + O 2 + y 2 +( v — c-y + y 2 = 2av J x - c f + y 2 = 2 a - v (.v + c)2 + y 2Al elevar al c u a d r a d o amb o s lados , ten emo sx 2 — 2 e x + r 2 + y 2 — 4 a 2 — 4¿7 >/{-*' + CY + .V2 + -*2 + 2 e x + c 2 + y 2x - y -— + 77 = 1, a ^ ba - b-qu e p o d emo s simplif ica r c omoElevando al c u a d r a d o otra vez:a{ x + c)2 + y 2 = a 2 +a~{x~ + 2 e x + c~ + y~) = a + 2 a~cx + c~x~lo q u e re sulta ( a 2 — c 2).v2 + a 2y 2 — a 2(a~ — c 2)Del triángulo FXFZP de la figura 7 se ve que 2c < 2a , así que c < ay y por tanto, a 2 — c 1 > 0.Por c o n v e n i e n c i a , sea b c 2. E n to n c e s la e c u a c ió n de la e lip s e se co n v ie r te enb 2x 2 + a 2y 2a 2b 2 o, si amb o s lados se dividen entre a 2b 2y0x~ y"—a + Tb ^ = 1Pue s to q u e bc 2 < a 2y se d e d u c e q u e b < a. Las in te r se c c ione s con el eje x seen cu e n tra n al h a c e r y = 0. En tonc e s x 2/ a 2 = 1, o bien x 2 = a 2, d e m o d o q u e x = ±a. Losp u ntos c o r re sp o n d ie n te s (a , 0) y (—a , 0 ) se llaman vértices d e la e lipse y e l s e gmen to dere c ta que une los vér tices se l lama eje mayor. Para h a lla r las in te r se c c ione s con el eje yh a c emo s x = 0 y o b te n emo s y 2 = b 2, d e m o d o que y = ± b . El s e gmen to de re cta q u e une(0, b) y (0, —b) e s e l eje menor. La e cu a c ió n 3 no c am b i a si x se sus tituye por — x o y sere emp la z a p o r —y, a s í q u e la elipse e s s imé t r ic a re spec to a amb o s ejes. Ob s e rv e q u e si losfocos co in c id en , e n to n c e s c = 0, de mo d o q u e a = b y la elipse se convie r te en u n a c i r ­cu n fe re n c ia c o n radio r = a = b.Un re sumen de e s ta d i scus ión es el q u e se mu e s tra (véase figura 8).
  • 66. SECCIÓN 10.5 SECCIONES CÓNICAS 673x~ y= a ^ bb~ ay,(0,3)A - 4,0) (-V'7,0) 0 (n/7,Ó) J ( 4 ,0 )(0,-3)FIGURA 109.v2 + 16y2 = 1440 La e lipse.v" y— 4 - 1 a * * h > Oa b~tiene focos { ± c , 0), d o n d e c 2 = a 2 — b 1 y vér tices ( ± « , O).Si los focos d e u n a e lipse se localizan en e l eje y en (0, ± c ) , e n to n c e s p o d emo s ha lla rsu e cu a c ió n al in te rc amb ia r x y y en ¡4~|. (Véase figura 9.)0 La elipsex yTbT + JaT = 1a > b > 0tiene focos {O, ± c ) , d o n d e c 2 — a 2 — b 2 y vér tices (0, ±« ) .| Bosque je la gráfica de 9a 2 4 16y 2 = 144 y localice los focos.SOLUCIÓN Div id imo s amb o s lados d e la e cua c ión entre 144:— 4 ^ —= 116 9La e cu a c ió n e s tá a h o ra en la fo rma e s tá n d a r p a r a u n a e lipse , asi que ten emo s a 2 = 16,b 2 = 9, a = 4 y b = 3. Las in te r se c c ione s con e l eje x son ± 4 y las in te r se c c ione s cone l eje y son ± 3 . Tamb ién , c 2 = a 2 — b 2 = 7, d e mo d o q u e c — V'7 y los focos son( ±ñ ~ , o ). L a gráfica se b o sq u e ja en la figura 10. ■□ E JEM P LO 3 Ob te n g a la e cu a c ió n de la elipse con focos (0, ± 2 ) y vér tices (0, ± 3 ) .SOLUCIÓN Al u sa r la nota c ión de [3], se tiene c = 2 y a = 3. E n to n c e s o b ten emo sb 2 = a 2 — c 2 = 9 — 4 = 5, a s í q u e la e cua c ión de la e lipse esx~ y~— 4 — - 15 9Ot ra fo rma de e s c r ib i r la e cu a c ió n e s 9a:2 4 5 y 2 = 45.FIGURA 11P está sobre la hipérbola cuando± 2a.Al igual q u e las p a ráb o la s , las e lipse s tienen u n a propiedad de reflexión inte resante quetiene c o n s e c u e n c ia s prácticas. Si se c o lo c a una fuente de luz o sonido en un foco con s e c ­cio n e s transve r sa le s e líptic as , e n to n c e s to d a la luz o sonido se refleja de la superficie alotro foco (vé ase el e je rc ic io 65). Este principio se u s a en l ito tn p s ia , un t ra tamiento pa rac á lcu lo s renales. Un reflector c o n sección transversal e líp t ic a se c o lo c a de tal ma n e r a quee l c á lcu lo e s tá en un foco. On d a s sonora s de alta intens idad ge n e ra d a s en e l otro foco, sereflejan h a c ia el c á lcu lo y lo d e s t ruyen sin d a ñ a r e l tejido c ircundante . Se ah o r ra al p a c i e n ­teel t rauma t i smo d e la c i ru g ía y se r e cu p e ra en pocos días.I HipérbolasUn a h i p é r b o l a es e l c o n ju n to de todos los puntos en un plano c u y a d i fe re n c ia de sus d i s ­tancias a d o s p u ntos fijos F t y F 2 (los focos ) es u n a cons tante. E s ta de f inición se i lus tra enla figura 11.Las h ip é rb o la s apare c en con f re c u e n c ia c omo gráficas d e e cu a c io n e s en q u ímic a , física,b iología y e c o n omía (ley de Boy le. ley de O h n . curvas de ofe rta y d emanda ) . Un a aplicación
  • 67. 674 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESpa r ticu la rme n te imp o r tan te de las h ip é rb o la s se e n cu e n tra en los s i s tema s de navega ciónd e s a r ro l lad o s en las gue r ra s mu n d ia le s I y II (véase e l e je rc ic io 51).Ob s e rv e q u e la de f inición d e u n a h ip é rb o la e s similar a la de u n a e lipse; el ú n ico c amb ioe s q u e la suma de las d i s tan c ia s se convir t ió en una d i fe re n c ia d e dis tanc ias . De h e ch o , lad e d u c c ió n de la e cu a c ió n d e u n a h ip é rb o la e s también s imila r a la que se d io antes pa rau n a elipse. Se d e ja al e je rc ic io 52 d emo s t ra r que c u a n d o los focos están sobre el eje .ven( ± c , O) y la d i f e re n c ia d e dis tanc ia s e s | P F {— | P F 2= ± 2 a , e n to n c e s la e cu a c ió n d e lah ip é rb o la es•> ■>x - y~ _F IG U R A 12d o n d e c 2 = a 2 + b 2. Ob s e rv e que las inte rse cc iones c o n e l eje x son d e nue v o ± a y losp u ntos (a , O) y ( ~ a , 0) son los v é r t i c e s d e la h ipérbola. Pero si h a c emo s -v = O en la e c u a ­ción 6 o b te n emo s y 2 = —ib2, lo c u a l e s impos ible , a s í q u e no hay inte rse cc ión c o n e l ejey . La h ip é rb o la e s s imé t r ic a re sp e c to a amb o s ejes.Para a naliza r má s la h ipé rbola , d e la e cu a c ió n 6 o b ten emo sE s to d em u e s t r a q u e x 2 ^ a 2, d e m o d o q u e | a | — y f x 2 > a. P o r c o n s i g u i e n t e , t e n em o sq u e x ^ a o jv =S — a. E s to s ig n i f ic a q u e la h ip é r b o l a c o n s t a d e d o s p a r te s , l lam a d a sram a s .Cu a n d o d ib u jamo s u n a h ipé rbola , e s útil dibuja r p r ime ro sus asíntotas, q u e son lasre ctas d i s c o n tin u a s y = ( b / a ) x y y = —( b / a ) x mos t rada s en la figura 12. Amb a s r ama s dela h ip é rb o la se a p ro x iman a las asíntotas; es decir, se ace rcan de m a n e r a a rbitrar ia a lasasíntotas. [Véase el e je rc ic io 73 en la sección 4.5, d onde e s ta s rectas se mue s tran c om o u n aa s íntota inclinada.]|~7~| L a h ip é rb o la•> iX~■> iy i~ - *l a b~tiene focos ( ± c , 0) , d o n d e c 2 = a 2 + b 2y vértices (±¿?, 0) y asíntota s y = ± ( b / a ) x .Si los focos d e u n a h ip é rb o la están en el eje y, e n to n c e s al invertir los roles de x y yo b te n emo s la s iguiente in fo rma c ió n , que se ilustra en la figura 13.|~8~1 L a h ip é rb o la2 2y~ x ~ ja 2 b 2tiene focos (0, ± c ) , d o n d e c 2 = a 2 + b 2, vértices (0, ±<?) y asíntota s y = ± ( a / b ) x .E JEM P LO 4 En cuentre los focos y las asíntota s ce la h ip é rb o la 9jc2 — I 6 y 2 = 144 yb o sq u e je su gráfica.FIGURA 13V2 A'2 _ ^a2 ¿r
  • 68. SECCIÓN 10.5 SECCIONES CÓNICAS 675F IG U R A 1 49a-2 - 16v2 = 144SOLUCIÓN Si d iv id imo s amb o s lados de la ecua ción entre 144, re sultax~ 216 9 _ 1lo cual e s de la fo rma d a d a e n [TI c o n a — 4 y b = 3. C omo c 2 = 16 + 9 = 25, losfocos son ( ± 5 , O). L as a s íntota s son las rectas y — | j v y y — —x . La gráfica se mu e s t r aen la figura 14.En cuentre los focos y la e cua c ión de la h ip é rb o la con vértices (O, ± 1 ) yE JEM P LO 5a s íntota y = 2x.SOLUCIÓN De [ | ] y la in fo rma c ió n d a d a , venios q u e a = 1 y a / b = 2. Así, b — c if2 — Iy e 2 — a 2 + b 2 — J. Los focos son (ü, 6 / 2 ) y la e cu a c ió n d e la h ip é rb o la es4a = 1Cónicas desplazadasC omo se di scute en el a p éndic e , las c ó n ic a s se d e sp la z an toma n d o las e cu a c io n e s e s tán d a rm , [2~1, |4~|, [5~L 0 y H ]> r r e emp la z amo s a:y y por x — h y y — k.En cuentre u n a e cu a c ió n de la elipse con focos (2, —2), (4, —2) y vérticesE JEM P LO 6(1, - 2 ) , (5, - 2 ) .SOLUCIÓN El eje ma y o r e s el s e gmen to de recta q u e une los vér tices (1, —2) , (5, —2)y tiene longitud 4, de m a n e r a q u e a = 2. La di s tan c ia entre los focos e s 2, p o r lo quec = 1. A s í b 2 = a 2 — c 2 = 3. C om o e l centro de la e lipse e s (3, —2), re emp la z amo sv y y e n 4] p o r x — 3 y y + 2 p a ra obtene r( , - 3 y (,v + 1 )2c om o la e cu a c ió n d e la e lipse./ y - 1 = t (* - 4)YF IG U R A 1 59 a 2 - 4 v 2 - 7 2 a + 8 v + 1 7 6 = 0| Tra c e la c ó n ic a 9a 2 — 4 y 2 - 72.v + 8y + 176 = O y e n cu e n tre susfocos.SOLUCIÓN C omp le t amo s los c u a d ra d o s c omo sigue:4 ( y 2 - 2y) - 9( a 2 - 8 a ) = 1764 { y 2 - 2y + l ) - 9<jc2 - 8 a : + 16) = 176 + 4 - 1444 ( y - l ) 2 - 9 ( a - 4 ) 2 = 36( y - , ) : . . ( v - 4 ) 2És ta e s de la forma [8] e xcepto que x y y son reempla z ada s p o r x — 4 y y — 1. A s í a 2 = 9,b 2 = 4 y c 2 = 13. La h ip é rb o la e s d e sp la z ad a c u a t ro u n id ad e s a la d e r e c h a y u n a unidadh a c ia arriba. Los focos son (4, 1 -I- y3 ) y {4, 1 — /73" ) y los vértices son (4, 4) y(4, —2). Las asíntota s son y — 1 = ± 4 { a — 4). El trazo de la h ip é rb o la se d a en lafigura 1 5. ■ ■
  • 69. 676 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESEjercicios1-8 Encuentre el vértice, focos y directriz de la parábola y trace sugráfica.1 . .v2 = 6y 2 . 2y2 — 5a3 . 2 a = —y 2 4 . 3.v2 + 8y = O5. (.v + 2)2 = 8(y — 3) 6. x — 1 = (y + 5)27 . y 2 + 2 y + 12.v + 2 5 = O 8 . y + 1 2 a- - 2 a 2 = 169-10 Encuentre la ecuación de la parábola. Después determine lostocos y la directriz.10.0,A11-16 Encuentre los vértices y focos de la elipse y trace su gráfica.a 2 y 2 11. — + ^ — - I2 4a2 y 212. + — - 13 6 813 . a 2 -I- 9 y 2 = 9 14 . 100a 2 + 3 6 y 2 = 2 2 515 . 9 a 2 - 1 8 a + 4 y 2 = 2716 . a 2 + 3 y 2 -I- 2 a - 1 2 y + 10 = 017-18 Encuentre la ecuación de la elipse. Después encuentre susfocos.17.-0 1 A“ 7. .. _- -18. yjS"V 1 A19-24 Encuentre los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola ytrace su gráfica.v ‘ a'19. — 12 5 921. a2 - y 2 = 100a2 y 220. — - 13 6 6 422. v 2 - 16a 2 = 162 3 . 4 a 2 - y 2 - 24a - 4y + 28 = 02 4 . v 2 - 4 a 2 - 2 y + 16a - 3 125-30 Identifique el tipo de sección cónica cuya ecuación se da yencuentre los vértices y los focos.2 5 . v2 - y + 12 7 . a 2 - 4 y - 2 y 22 9 . y 2 + 2 y - 4 a 2 + 32 6 . a2 - y 2 + 12 8 . y 2 — 8 y — 6a — 163 0 . 4 a 2 + 4 a + y 2 - 031-48 Encuentre la ecuación para la cónica que satisface lascondiciones dadas.31. Parábola, vértice (0, 0), foco (1,0)32. Parábola, foco (0, 0), directriz y = 633. Parábola, foco (—4 ,0 ) , directriz a = 234. Parábola, foco (3, 6), vértice (3, 2)35. Parábola, vértice (2, 3), eje vertical,que pasa por (1,5)36. Parábola, eje horizontal,que pasa por (— 1, 0), (1, — I ) y (3, 1)37. Elipse, focos (± 2 ,0 ) , vértices (± 5 , 0)38. Elipse, focos (0, ±5) , vértices (0 , ± 13)39. Elipse, focos (0, 2), (0, 6), vértices (0, 0), (0, 8)40. Elipse, focos (0, - 1), (8, — 1), vértice (9, — 1)41. Elipse, centro (—1, 4), vértice (— 1, 0 ), foco (— 1,6)42. Elipse, focos (± 4 ,0 ) , que pasa por ( — 4 , 1.8)43. Hipérbola, vértices (± 3 , 0), focos ( ± 5 , 0 )44. Hipérbola, vértices (0 , ± 2), focos (0, ± 5 )45. Hipérbola, vértices ( — 3, —4), ( — 3, 6),focos ( - 3 , - 7 ) , ( - 3 , 9 )46. Hipérbola, vértices (— I, 2), (7, 2),focos ( - 2 , 2), (8, 2)47. Hipérbola, vértices (± 3 , 0), a s ín to t a s y = ± 2 a48. Hipérbola, f o c o s '2, 0), (2, 8),asíntotas y — 3 + 4 a y y — 5 - ! a1. Tareas sugeridas disponibles en stevs artcalculus.com
  • 70. SECCIÓN 10.5 SECCIONES CÓNICAS 67749. El punto en una órbita lunar próxima a la superficie de la Lunase llama perilunio, y el punto más alejado de la superficie sellama apolunio. La nave espacial Apolo 11 se colocó en unaórbita lunar elíptica con altitud de perilunio de 1 10 km y altitudde apolunio de 314 km (arriba de la Luna). Encuentre unaecuación para esta elipse si el radio de la Luna es de 1728 kmy su centro está en uno de los focos.50. En la figura se muestra una sección transversal de un reflectorparabólico. El bulbo se localiza en el foco y la abertura en elfoco es de 10 cm.a) Encuentre una ecuación de la parábola.b) Determine el diámetro de la abertura | CD |, a 11 cm delvértice.CD51. En el sistema de navegación por radio LORAN (LOng RAngeNavigation), dos estaciones de radio localizadas en A y B,transmiten en fomia simultánea señales a un barco o un aviónlocalizado en P. La computadora de a bordo conviertela diferencia de t empo de recibir estas señales en unadiferencia de distancia | PA—PB |, y esto, de acuerdocon la definición de una hipérbola, localiza al barco o aviónen una rama de una hipérbola (véase la figura). Supongaque la estación B se localiza a 400 millas al este de laestación A sobre la costa. Un barco recibe la señal de B 1200microsegundos (/ts) antes de recibir la señal de A.a) Si se supone que la señal de radio viaja a una rapidez de980 pies/pus, encuentre la ecuación de la hipérbola sobre laque se localiza el barco.b) Si el barco se dirige al norte de B, ¿qué tan lejos de la costaestá el barco?52. Use la definición de hipérbola para deducir la ecuación 6 parauna hipérbola con focos (± c , 0) y vértices (± a , 0).53. Demuestre que la función definida por la rama superior de lahipérbola y 2/ a 2 - x 2/ b 2 = 1 es cóncava hacia arriba.54. Encuentre la ecuación para la elipse con focos (1, 1) y( — 1, — 1) y eje principal de longitud 4.55. Determine el .ipo de c u n a representada por la ecuación7 7en cada uno de los siguientes casos: a) k > 16, b) 0 < k < 16,y c) k < 0.d) Demuestre que todas las curvas en los incisos a) y b) tienenlos mismos focos, sin importar el valor de k.56. a) Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábolay 2 = A p x en el pu n to (a®, y 0) pu ed e e x p r e s a r s e c om oy0y = 2p(x + Xo)b) ¿Cuál es la intersección de esta recta tangente con el eje .r?Use este hecho para dibujar la recta tangente.57. Demuestre que las rectas tangentes a la parábola.r2 = 4py trazadas desde cualquier punto sobre la directrizson perpendiculares.58. Demuestre que si una elipse y una hipérbola tienen losmismos focos, entonces sus rectas tangentes en cada punto deintersección son perpendiculares.59. Use ecuaciones paramétricas y la regla de Simpson conn = 8 para estimar la circunferencia de la elipse9a 2 + 4 y 2 = 36.60. El planeta Plutón viaja en una órbita elíptica alrededor delSol (en un foco). La longitud del eje mayore s 1.18 X 1010kmy la longitud del eje menor es 1.14 X 10'° km. Use laregla de Simpson con n = 10 para estimar la distanciaque viaja el planeta durante una órbita completa alrededord e l S o l.61. Encuentre el área de la región encerrada por la hipérbolax 2j a 2 — y 2/ b 2 = 1 y la recta vertical que pasa por unfoco.62. a) Si una elipse gira alrededor de su eje mayor, encuentre elvolumen del sólido resultante,b) Si gira alrededor de su eje menor, encuentre el volumenresultante.63. Encuentre el centroide de la región encerrada por el eje x y lamitad superior de la elipse 9 a 2 + 4 y 2 = 36.64. a) Calcule el área de la superficie del elipsoide generado alrotar una elipse en tomo a su eje mayor,b) ¿Cuál es el área de la superficie si la elipse rota en tomode su eje menor?65. Sea P(xt, yi ) en punto sobre la elipse x 2/ a 2 + y 2/ b 2 = 1 confocos F i y F i y sean a y /3 los ángulos entre las rectas
  • 71. 678 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESP F i, PFi y la elipse como se ve en la figura. Demuestre quea = /3. Esto explica cómo funcionan las cúpulas susurrantesy la litotricia. El sonicb que viene de un foco se refleja y pasapor el otro foco. [Sugerencia: use la fórmula del problema 19de la página 271 para demostrar que tan a = tan /3.]Demuestra que la luz dirigida a un foco F2de un espejohiperbólico, se refleja hacia el otro foco F.)Va66. Sea P (x ,y ) un punto sobre la hipérbola x 2/ a 2 — y 2/b 2 = 1con focos F i y F i y sean a y /3 los ángulos entre las rectasPF i, PF2 y la hipérbola como se ilustra en la figura. Demuestreque or = /3. (Esta es la propiedad de reflexión de la hipérbola.Secciones cónicas en coordenadas polaresEn la sección p re c ed en te de f inimos la p a ráb o la en té rminos de un foco y u n a direc tr iz , pe rod e f in imo s la e lipse y la h ip é rb o la en té rmin o s de d os focos. En e s ta sección se d a un t r a ­tamiento má s unif ic ado de los tres tipos de se c ciones c ó n ic a s en té rmin o s de un foco y ladirectriz. Ad emá s , si c o lo c amo s el foco en e l origen, e n to n c e s u n a sección c ó n ic a tiene u n ae cu a c ió n p o la r s imple , la c u a l e s u n a de sc ripc ión c óm o d a de l mo v imie n to de plane tas ,satélites y c ome ta s .|T~| T e o r em a Se a F un p unto fijo ( l lamad o foco) y / u n a re cta fija ( l lamad a directriz)en un plano. S e a e un n úme ro positivo fijo (llamado excentricidad). El c o n ju n to detodos los p u ntos P en el plano, tales que p i (esto e s , la razón de la d i s ta n c ia d e sd e F a la d i s tan c ia d e sde / e s la c ons tante é*) e su n a se c ción cónic a. La c ó n ic a esa) u n a e lipse si e < 1b ) u n a p a rá b o la si e = 1c) u n a h ip é rb o la si e > 1DEMOSTRACIÓN Ob s e rv e q u e si la e xc entr ic idad e s e = 1, e n to n c e s | P F | = | P l | y, dee s te mo d o , la c o n d ic ió n d a d a s imp lemen te se convie r te en la def inición d e u n a p a ráb o lasegún se d a en la sección 10.5.
  • 72. SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES 679Co lo c amo s e l foco F en el or igen y la directriz p a ra le la al eje y y d u n id ad e s a la d e r e ­cha.As í, la directr iz tiene e cu a c ió n x = d y e s p e rp en d icu la r al eje polar. Si el p u n to Ptiene c o o rd e n a d a s p ola re s (r, 0), v emo s de la figura 1 que| P F I = r P l= d — r e o s 6As í, la c o n d ic ió n | P F | / | P l | = e oP F | = eP l | re sulta|~2~[ >' — e {d — r e o s 0)Si e le v amo s al c u a d r a d o amb a s pa r te s de esta e cu a c ió n p o la r y la c o n v e r t imo s a c o o rd e n a ­da re c tangula re s , o b ten emo sx~ + y 2 = e 2{ d - a)2 = e 2( d 2 - 2 d x + x 2)o b ien , (1 — e 2) x 2 + l d e 2x + y 2 = e 2d 2De sp u é s de c omp l e ta r los cu ad ra d o s , tenemos■> ■>y - e d1 - (l - ^ 2)2Si e < 1, r e c o n o c emo s a la e cu a c ió n 3 c om o la e cu a c ió n de u n a elipse. De h e ch o , e s d e lafo rmat* - hY , y2 = 1a 2 b 2d o n d eme 2d1 - {. - , 2) 2b 2 =1 -En la sección 10.5 e n c o n t ramo s q u e el foco de u n a e lipse e s tá a u n a d i s tan c ia c de l c entro,d o n d e0Es to d em u e s t r a quec 2 = a 2 — bi 2 =(I - e '- ye 2d1 -y co n f i rma q u e el foco c om o se definió en el t e o r ema 1 s ignifica lo m i smo q u e e l focode f inido en la se c ción 10.5. Se d e d u c e también de las e cu a c io n e s 4 y 5 que la excentr ic idade s tá d a d a porSi e > 1, e n to n c e s 1 — e 2 < 0 y v emo s q u e la e cu a c ió n 3 re p re se n ta u n a hipérbola . Tal yc om o se hizo antes, se p o d r ía re e sc r ibir la e cu a c ió n 3 en la formay v emo s que(y - h f y 2 ,a 2 b 2donde c 2 — a 2 + b 2
  • 73. 680 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES7 1 + C eos 8F IG U R A 2Ecuación polar de la cónicaAl re solve r la e c u a c ió n 2 p a ra r, vernos que la e c u a c ió n p o la r d e la c ó n ic a mo s t r a d a enla figura 1 se puede e x p re s a r c omoedr = --------------------1 + e eos 0Si se e lige q u e la directr iz e s té a la izq u ie rd a d e l foco c omo x = ~ d , o si se e lige la d i r e c ­trizp a ra le la al eje p o la r c omo y = ± d , e n to n c e s la e cu a c ió n p o la r d e la c ó n ic a e s tá d a d apor e l siguiente teorema , q u e se ilustra mediante la figura 2. (Véanse los e jercicios 21-23.)|~6~| Teorema Un a e cu a c ió n polar d e la formae d e d1 ± e e o s 9 1 ± e sen 8r e p re s e n ta u n a se c ción c ó n ic a con excentr ic idad e. La c ó n ic a es u n a e lipse si e < 1u n a p a r á b o la si e = 1, o u n a h ip é rb o la si e > 1.| En cuentre la e cu a c ió n p o la r para u n a p a ráb o la q u e tiene su foco en elorigen y c u y a directriz e s la re cta y = —6.SOLUCIÓN Al u sa r e l t e o r ema 6 con e = 1 y d = 6, y emp l e a r el inciso d) de la figura 2,v emo s q u e la e cu a c ió n de la p a rá b o la es1 — sen 9□ E JEM P LO 2 Un a c ó n ic a e s tá d a d a p o r la ecua ción polar10/*3 — 2 eos 9En cuentre la e xc entr ic idad, identif ique la c ó n ic a , localice la directr iz y b o sq u e je lacónica.SOLUCIÓN Al div id i r n ume r a d o r y d e n omin a d o r entre 3, se esc ribe la e cu a c ió n c omo1 — t -o s 9
  • 74. SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES 681De l t e o r ema 6 v emo s q u e e s ta e cu a c ió n repre senta u n a elipse con e = y. Pue s to quee d = —, ten emo sd e ma n e r a q u e la d irec tr iz tiene la e cu a c ió n c a r te s iana x = — 5. Cu a n d o 0 = 0 , / * = 10;c u a n d o 6 = ir> r = 2. A s í q u e los vértices tienen c o o rd e n a d a s polare s (10, 0) y (2, i r).La e lipse se b o sq u e ja en la figura 3. HE JEM P LO 3 Bosque je la c ó n ic a r122 -I- 4 sen 9SOLUCIÓN Es c r ib ien d o la e cu a c ió n en la forma1 + 2 sen 9v emo s q u e la e xc entr ic idad e s e = 2 y, p o r tanto, la e cu a c ió n re p re se n ta u n ahipérbola . Pue s to q u e e d = 6, d = 3 y la d irectriz tiene e c u a c ió n y = 3. Los vérticesocur ren c u a n d o 6 = ir ¡ 2 y 3 it / 2 , de mo d o que son (2, i r / 2 ) y ( — 6, 3/7t/2) = (6, '7t/2).También e s útil graficar las in te r se c c ione s con e l eje x. Éstas ocur ren c u a n d o 9 = 0, iren amb o s c a so s r = 6. Pa ra má s exac ti tud, p o d r íamo s dibuja r las asíntotas. Obs e rve quer —* ± c o c u a n d o 1 + 2 sen 0 —* 0 + o 0 “ y 1 + 2 sen 0 = 0 c u a n d o sen 9 = — y. As í, lasasíntota s son pa ralela s a los ray o s 6 = 7 i r / 6 y 6 = 11 i r /6 . La h ip é rb o la se b o sq u e ja enla figura 4.F IG U R A 4122 + 4 sen $Al h a c e r girar se c c ione s có n ic a s , e s mu c h o má s c o n v en ien te usa r e cu a c io n e s polare sq u e c ar tes iana s . Se u s a el h e ch o (vé ase el ejercicio 73 de la sección 10.3) de q u e la gráficad e r = f(Q — a ) e s la gráfica d e r = f ( 6 ) ro:ada en sentido c o n tra r io a las mane c i l la s delreloj en torno al origen p o r un á n g u lo a .4r - 2 CON1;0 6 - n-, 4)-o1 3 — 2 CON í5FIGURA 515Si la e lipse de l e jemp lo 2 se h a c e girar por un ángulo i r / 4 en torno alorigen, d e te rmin e u n a e c u a c ió n p o la r y grafique la elipse resultante.SOLUCIÓN L a e cu a c ió n de la elipse ro tad a se obt iene re emp la z a n d o 6 con 6 ~ i r ¡ 4 en lae cu a c ió n d a d a en e l e jemp lo 2. A s í q u e la n i e v a e cu a c ió n es103 — 2 c o s ( 0 — 7t/ 4 )Us amo s e s ta e cu a c ió n pa ra graficar la e lipse ro tad a en la figura 5. Ob s e rv e q u e la elipseh a sido ro tad a en tom o a su foco izquierdo.
  • 75. 682 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESEn la figura 6 u t il iz amos u n a c omp u t a d o ra para b o sq u e ja r varias c ó n ic a s p a ra mo s t ra re l e fe c to de var ia r la e xc entr ic idad e. Ob s e rv e q u e c u a n d o e e s c e r c a n a a O la e lipse es casic ircular, mie n t ra s q u e se vue lve má s a la rg ad a c u an d o e —*~ . Cu a n d o e — 1, p o r s u p u e s ­to,la c ó n ic a e s u n a parábola.e = 0.1 e = 0.68 c =0.86 c = 0.961.1 c = 4I Leyes de KeplerEn 1609 e l m a t em á t i c o y a s t r ó n om o a lem á n J o h a n n e s Ke p le r , c o n b a s e en e n o rm e sc a n t id a d e s d e d a to s a s t r o n óm i c o s , p u b l i c ó las s ig u i e n t e s tre s le y e s d e l m o v im i e n top l a n e t a r io .Leyes de Kepler1. Un plane ta gira a lre d ed o r d e l Sol en órbi ta e líp t ic a con el Sol en uno de losfocos.2. La re c ta q u e une e l Sol con un plane ta barre á reas igua le s en t iemp o s iguales.3. El c u a d r a d o de l pe r io d o de revoluc ión de un p lan e ta e s p ro p o rc io n a l al c u b o dela longitud del eje m a y o r de su órbita.Au n c u a n d o Kepler fo rmu ló sus leyes en té rminos de l mo v imie n to de p lane tas a lre d e ­do r de l Sol, se aplican ig ua lmente bien al mo v imien to de lunas , c ome ta s , satélites y otrosc u e rp o s q u e giran suje tos a u n a sola fue rz a gravitación al. En la se c ción 13.4 se d emu e s t r ac óm o d e d u c i r las leyes de Kepler a partir de las leyes d e Newton. A q u í se emp l e a la p r i ­mer a ley de Kepler, ju n to con la e cu a c ió n polar de u n a e lipse , p a ra c a lcu la r c an t id ad e s deinte rés en a s tronomía .Pa ra fines d e c á lculos a s t ro n ómic o s , es útil e xpre sa r la e cu a c ió n de u n a e lipse en t é rm i ­nos de su e xc entr ic idad e y su semie je m a y o r a. Podemos ex p re s a r la di s tan c ia d d e l focoa la directr iz en té rmin o s de a si u s amo s [4 ]:e ' d 1 . , « : (l - e - f . «( I - e -)— => d = ------------;--------- => d = -----------------(1 - e '- yE n to n c e s e d = ¿7(1 — é’2). Si la d irectr iz e s x = d, e n to n c e s la e cu a c ió n p o la r ese d « ( l — e 2)I + p r o s Ñ I -I- c e o s Ñ
  • 76. SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES 683|~7~| L a e cu a c ió n polar d e u n a e lipse c o n foco en el origen, semie je ma y o r a , e x c e n t r i ­cidad e y direc tr iz x = d se puede e xpre sa r en la fo rmaa{ 1 - e 2)r = --------------------1 4* e eos 6La s pos ic ione s de un p lan e ta q u e sean más c e rc an a s al Sol, y m á s lejanas a é s te, sed e n omin a n perihelio y afelio, re spe c t ivamente , y c o r re sp o n d e n a los vér tices d e la e lipse.(Véase figura 7.) Las dis tanc ia s d e l Sol al pe rihelio y afelio re ciben el n omb re de distanciaa l perihelio y distancia al afelio, respec tivamente. En la figura 1 el Sol e s tá en el foco F ,d e mo d o q u e en el pe r ihe lio se tiene d = O y, de la e cu a c ió n 7,<7(1 — e 2) ¿7(1 — ¿*)(l + e)1 4- e eos O 1 + e- « (1 - c )De l m i sm o mo d o , en el a felio d = ir y r = a ( + e).F IG U R A 7[~8~| L a di s tan c ia al pe r ihe lio d e un plane ta al Sol e s «(1e s a ( l + e).e) y la d i s ta n c ia al afelioE JEM P LO 5a) En cuentre u n a e cu a c ió n p o la r ap ro x imad a p a r a la órbi ta e lípt ic a d e la T ie r ra a lrededorde l Sol (en un foco), d a d o q u e la excentr ic idad e s a lrededor d e 0 .0 1 7 y la longitud deleje m a y o r e s de u nos 2.99 X 108km.b) En cu e n tre la d i s ta n c ia d e la T ie r ra al Sol en e l pe r ihe lio y el afelio.SOLUCIÓNa) L a longitud de l eje ma y o r e s 2¿7 = 2.99 X 108, por lo q u e a = 1.495 X 108. Un da toe s q u e e = 0.017 y, p o r tanto, de la e cua c ión 7, u n a e cu a c ió n de la órbi ta de la T ie r raa lre d ed o r d e l Sol es¿v(l ~ e 1) (1.495 X I 0 8)[1 ~ ( 0 .0 17)2]I + e e o s 0 1 -I- 0 .0 1 7 e o s 9o, a p ro x imad amen te ,_ 1.49 X 1081 ~ 1 + 0 .0 1 7 eos 6b) De [s], la di s tan c ia al pe r ihe lio d e la T ier ra al Sol esa ( 1 - e ) « (1.495 X 108) ( l - 0 .0 1 7 ) ~ 1.47 X 10* kmy la di s tan c ia al a felio es<7(1 + e) * (1.495 X 108) ( l + 0 .0 1 7 ) » 1.52 X 10* km
  • 77. 684 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESEjercicios1-8 Escriba una ecuación polar de una cónica con el foco en elorigen y los datos dados.1 . Elipse, excentricidad t, directriz x = 42. Parábola, directriz .v= —33 . Hipérbola, excentricidad 1.5, directriz y = 24 . Hipérbola, excentricidad 3, directriz x = 35 . Parábola, vértice (4 ,37r/2)6. Elipse, excentricidad 0.8, vértice (1, tt/2)7. Elipse, excentricidad t, directriz r = 4 sec 68. Hipérbola, excentricidad 3, directriz r = —6 esc 09-16 a) Encuentre la excentricidad, b) identifique la cónica, c) déuna ecuación de la directriz y d) bosqueje la cónica.9 . r -411. r -13 . / -15 . / -5 —4 sen 923 + 3 sen 996 + 2 eos 934 — 8 eos 910. / -1212. / -14. /• -1 6 . / -3 — 10 eos 932 + 2 eos 984 + 5 sen 9105 — 6 sen 917. a) Encuentre la excentricidad y la directriz de la cónicar — 1/(1 — 2 sen 6) y grafique la cónica y su directriz,b) Si esta cónica se hace girar en sentido contrario a lasmanecillas del reloj en tomo al origen con un ángulo 3tt/ 4,escriba la ecuación resultante y grafique su curva.18. Grafique la cónica r = 4/ (5 + 6 eos 0) y su directriz. Tambiéngrafique la cónica obtenida al girar esta curva en torno alorigen con un ángulo -j/3.19. Grafique las cónicas r = <?/(! — e eos 0) con e = 0.4, 0.6, 0.8y 1.0 en una pantalla común. ¿Cómo afecta el valor de e laforma de la curva?20. a) Grafique las cónicas r = e d /( 1 + e sen 0) para e = 1 yvarios valores de d. ¿Cómo afecta el valor de d la forma dela cónica?b) Grafique estas cónicas para d = 1 y varios valores de e.¿Cómo afecta el valor de e la forma de la cónica?21. Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidade y directriz x = —d tiene la ecuación polar2 2 . Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidade y directriz y = d .iene la ecuación polared1 + e sen 92 3 . Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidade y directriz y = —'.i tiene la ecuación polaredI — e sen 92 4 . Demuestre que las parábolas r = c / ( 1 + eos 0) yr = d / ( 1 — e o s 0 ) ce c o r ta n en á n gu lo s re c to s .2 5 . La órbita de Marte alrededor del Sol es una elipse conexcentricidad 0.093 y semieje mayor de 2.28 X I08km.Encuentre una ecuación polar para la órbita.2 6 . La órbita de Júpitei tiene excentricidad de 0.048 y la longituddel eje mayore s 1.56 X 109km. Encuentre una ecuación polarpara la órbita.27. La órbita del cometa Halley, visto por última vez en 1986 yque debe volver en 2062, es una elipse con excentricidad 0.97y un foco en el Sol. La longitud de su eje principal es 36.18UA. [Una unidad astronómica (UA) es la distancia media entrela Tierra y el Sol, cerca de 93 millones de millas.] Encuentreuna ecuación polar para la órbita del cometa Halley. ¿Cuál es ladistancia máxima desde el cometa al Sol?2 8 . El cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, tiene una órbitaelíptica con excentricidad 0.9951 y la longitud del eje mayor es356.5 UA. Encuentre una ecuación polar para la órbita de estecometa. ¿Qué tan cerca del Sol llega?edI — e eos 92 9 . El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica conexcentricidad 0.206. Su distancia mínima del Sol es4.6 X 107km. Determine su distancia máxima del Sol.30. La distancia desde el planeta Plutón al Sol es de4.43 X 109km en el perihelio y 7.37 X 109km en el afelio.Halle la excentricidad de la órbita de Plutón.3 1 . Con los datos del ejercicio 29, calcule la distancia que recorreel planeta Mercurio durante una órbita completa alrededor delSol. (Si su calculadora o sistema algebraico computarizadoevalúa integrales definidas, utilícelo. De lo contrario, use laregla de Simpson.)Se requiere calculad o rag ra fic ad o ra o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 78. CAPÍTULO 10 REPASO 685RepasoVerificación de conceptos1. a) ¿Qué es una cun a paramétrica?b) ¿Cómo se bosqueja una curva paramétrica?2. a) ¿Cómo se encuentra la pendiente de una recta tangente auna curva paramétrica?b) Determine el área debajo de una curva paramétrica.3. Escriba una expresión para cada una de las siguientesdescripciones:a) La longitud de una c u n a paramétrica.b) El área de la superficie obtenida al hacer girar una curvaparamétrica en torno al eje x.4. a) Use un diagrama para explicar el significado de lascoordenadas polares (/•, 6) de un punto.b) Escriba ecuaciones que expresen las coordenadascartesianas (x. y) de un punto en términos de lascoordenadas polares.c) ¿Que ecuaciones usaría para obtener las coordenadas polaresde un punto si conociera las coordenadas cartesianas?5. a) ¿Cómo determina la pendiente de una recta tangente a unacurva polar?b) ¿Cómo calcula el área de una región acotada por una curvapolar?c) ¿Cómo halla la longitud de una curva polar?6. a) Dé una definición geométrica de una parábola.b) Escriba una ecuación de una parábola con foco (0, p )y directriz y = —p. ¿Qué pasa si el foco es (p , 0) y ladirectriz es .v = —p l7. a) Dé una definición de una elipse en términos de losfocos.b) Escriba una ecuación para la elipse con focos (± c , 0)y vértices (± a , 0).8. a) Dé una definición de una hipérbola en términos de losfocos.b) Escriba una ecuación para la hipérbola con focos (± c , 0)y vértices l± « , 0).c) Escriba ecuaciones para las asíntotas de la hipérbola delinciso b).9. a) ¿Cuál es la excentricidad de una sección cónica?b) ¿Qué se puede decir acerca de la excentricidad si lasección cónica es una elipse? ¿Una hipérbola? ¿Unaparábola?c) Escriba una ecuación polar para una sección cónica conexcentricidad e y directriz x = d. ¿Qué pasa si la directriz es-v = ~ d l ¿y = d i ¿y = - d iExámen rápido Verdadero-FalsoDetermine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique porqué. Si es falso, explique porqué o dé un ejemplo que refute el enunciado.1. Si la curva paramétrica x = / ( / ) , y = g(t) satisface g ' ( l ) = 0,entonces tiene ur.a recta tangente horizontal cuando t = 1.2. Si x = f ( t ) y y = g(t) son derivables dos veces, entoncesd 2y d 2y / d t 2~ d ? ~ d 2x f d t 23. La longitud de la c u n a x = / ( / ) , y = g(t), a =5 t b, es[ / ' ( / ) ] ’ + [<]'(/)]' d'.4. Si un punto se representa por (a, y) en coordenadas cartesianas(donde a- # 0) y [r, 6) en coordenadas polares, entonces6 = tan - ‘(y/.v).5 . Las curvas polares r — I — sen 26 y r = sen 2 6 ~ 1 tienen lamisma gráfica.6. Las ecuaciones r = 2, x 2 + y 2 = 4 y a- = 2 sen 3 1,y = 2 eos 3/ (0 t 2-77) tienen la misma gráfica.7 . Las ecuaciones paramétricas a- = / 2, y = t* tienen la mismagráfica que a- = f3, y = /6.8. La gráfica de y 2 = 2y + 3.res una parábola.9 . Una recta tangente a una parábola corta la parábola sólouna vez.10. Una hipérbola nunca corta su directriz.
  • 79. 686 CAPÍTULO 10 ECJACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARESEjercicios1-4 Bosqueje la curva paramétrica y elimine el parámetro parahallar la ecuación cartesiana de la curva.1 . a = / 2 4 4 / , y = 2 — t, -4 «S / « 12. .v 1 + e 1', y — e ‘3. .v — eos 0, y — scc 0. 0 *5 0 < 77/24 . .v = 2 eos 0, y = 1 4 sen 021-24 Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dadaen el punto correspondiente al valor especificado del parámetro.21. a - In f, y - 1 4 r2; / - 122. .v = t* + 6 / 4 1. y = 2 t - t = - 123. /- = e ; 0 = 7724. /• — 3 4 eos 30; 0 — t t /25 . Escriba tres diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricaspara la curva y “ y x .6. Use las gráficas de x = f ( t ) y y = g(t) para bosquejar la c u n aparamétrica .v = f( t) , y = g(t). Indique con flechas la direcciónen que se traza la curva cuando se incrementa t.7. a) Ubique el punto con coordenadas polares (4, 277/3). Acontinuación encuentre sus coordenadas cartesianas,b) Las coordenadas cartesianas de un punto son ( — 3, 3).Encuentre dos conjuntos de coordenadas polares para elpunto.8. Trace la región formaca de puntos cuyas coordenadas polaressatisfacen 1 ^ r ¡ 2 y 77/6 ^ H 577/6.9-16 Bosqueje la curva polar.9 . r = 1 — eos 011 . r — eos 3013 . r = 1 4 eos 20315 . / -1 0 . ;• = sen 401 2 . r - 3 + eos 301 4 . r = 2 cos(0/2)31 4- 2 sen 016 . / -2 eos 017-18 Encuentre la ecuación polar para la c u n a representada por laecuación cartesiana dada.17 . a 4 y 18. .v2 4 y 2 - 219 . La curva con ecuación polar r = (sen 0) /0 se llamacaracoloide. Use una gráfica de rc omo una función de 6en coordenadas cartesianas para bosquejar la caracoloide amano. Después grafíquela con una máquina para comprobar subosquejo.2 0 . Grafique la elipse r = 2 / (4 — 3 eos 6) y su directriz. Grafiquetambién la elipse obtenida por rotación en tomo al origen porun ángulo de 277/3.25-26 Encuentre d y fd x y d 2y / d x 2.2 5 . x — t + sen t, y — t — eos /2 6 . a- = 1 + ry = 1 - d27. Use una gráfica para estimar las coordenadas del punto mínimosobre la curva a- = t s — 3 t, y = t 2 + t + 1. Después use elcálculo para determinar las coordenadas exactas.28. Encuentre el área encerrada por el bucle de la curva delejercicio 27.29. 0En qué puntos la curv aa- ™ 2a eos t — a eos 2 1 y ™ 2a sen / — a sen 21tiene rectas tangentes verticales y horizontales? Use estainformación como ayuda para bosquejar la curva.30. Determine el área encerrada por la curva del ejercicio 29.31. Obtenga el área encerrada por la curva r 2 = 9 eos 50.32. Halle el área enceriada por el bucle interior de la curvar = 1 — 3 sen 0.33. Encuentre los puntos de intersección de las curvas r = 2 yr = 4 eos 0.34. Obtenga los puntos de intersección de las curvas r = cot 0 yr = 2 eos 0.35. Determine el área ce la región que está dentro de ambascircunferencias r = 2 sen 0 y r — sen 0 + eos 0.36. Halle el área de la región que está dentro de la curvar — 2 4 eos 20 pero fuera de la curva r = 2 4 sen 0.37-40 Encuentre la longitud de la curva.37. A - 3 r , y - 2 /0 «5 / «5 238. a- = 2 4 2>t, y = cosh 3/, 0 / < 139. /■ — 1/0. 77 « 0 ^ 2 7740. / = sen3(0/3) . 0 « 0 «C 77Se requiere calculad o rag ra fic ad o ra o computadora |sac| Se requiere sistema algebraico computarizado
  • 80. CAPÍTULO 10 REPASO 68741-42 Calcule el área de la superficie obtenida al hacer girar lacurva dada en torno al eje .v.^ t 3 141. x — 4 J t , y — — + — - , l < 43 2/42. .v ™ 2 + 31, y ™ cosh 3/, ( ) « £ / < !43. Las curvas definidas por las ecuaciones paramétricast 2 + 1t ( r - c )r + 1se llaman estrofoides (de una palabra griega que significatorcer). Investigue cómo varían estas curvas cuando varía c.44. Una familia de curvas tiene ecuaciones polares rm =sen 2 01donde a es un número positivo. Investigue cómo cambian estascurvas cuando cambia a.45-48 Encuentre los focos y vértices y bosqueje la gráfica.-v2 y 245 . h —— = 1 46. 4.r2 — y 2 = 169 847. 6y2 + .v — 36)' + 55 = 048. 25.v2 + 4 y 2 + 50.v - 16y = 5949. Encuentre una ecuación de la elipse con focos (± 4 , 0) yvértices (± 5 , 0 ).50. Encuentre una ecuación de la parábola con focos (2, 1) ydirectriz .v = —451. Halle una ecuación de la hipérbola con focos (0, ± 4 ) yasíntotas y = ±3.t.52. Encuentre una ecuación de la elipse con focos (3, ± 2 ) y un ejecon longitud 8 .53. Obtenga una ecuación para la elipse que comparte un vértice yun foco con h parábola x 2 + y = 100 y que tiene su otro focoen el origen.54. Demuestre que si m es cualquier número real, entonces hayexactamente dos rectas de pendiente ni que son tangentesa la elipse x 2/ a 2 + y 2/ b 2 = I y sus ecuaciones sony = m x ± /a 2m 2 + b 2 .55. Encuentre una ecuación polar para la elipse con foco en elorigen, excentricidad 7 y directriz con ecuación r = 4 sec 0.56. Demuestre que los ángulos entre el eje polar y las asíntotasde la hipérbola r = e d /{ 1 — e eos 0), e > 1, están dados porcos~'(± 1 ¡e).57. Una c u n a llamada folium de De scartes está definida por lasecuaciones paramétricas3/ 3 r1 + t 3 1 + ta) Demuestre que si (a, b) está sobre la c u n a , entonces (b , a)también lo está; es decir, la curva es simétrica respectoa la recta y = x. ¿En dónde se interseca la curva con estarecta?b) Encuentre los puntos sobre la curva donde las rectastangentes son horizontales o verticales.c) Demuestre que la recta y = —x — 1 es una asíntota oblicua.d) Trace la c t n ra.e) Demuestre que una ecuación cartesiana de esta c u n a es.r3 + y 3 = 3 xy.f) Demuestre que la ecuación polar puede expresarse en laforma3 sec fi tan 61 + tan30g) Encuentre el área encerrada por el bucle de esta curva.h) Demuestre que el área del bucle es la misma que el áreaque está entre la asíntota y las ramas infinitas de la c u n a.(Utilice un sistema algebraico computarizado para evaluar laintegral.)
  • 81. Problemas adicionales1. Una c u n a está definida mediante las ecuaciones paramétricas= í ; dur¡ senJi udui - i .F IG U R A PA R A E L P RO B L EM A 4Encuentre la longitud del arco de la curva desde el origen hasta el punto más próximo dondehay una recta tangente vertical.2. a) Encuentre los puntos máximo y mínimo de la curva .v* + y 1 = .v2 + y 2.b) Bosqueje la c u n a . (Observe que es simétrica con respecto a ambos ejes y a ambas rectasy = ±.v, de modo que es suficiente considerar inicialmente y 5= x 3= 0.)c) Emplee coordenadas polares y un sistema algebraico computarizado para hallar el áreaencerrada por la curva.3. ¿Cuál es el rectángulo de vista más pequeño que contiene a cada miembro de la familia dec u n a s polares r = 1 + c sen 6, donde 0 ^ c ^ I? Ilustre su respuesta graficando variosmiembros de la familia en este rectángulo de vista.4. Se colocan cualio insectos en cualio esquinas de uu cuadiado con longitud a. Los insectosavanzan en sentido contrario a las manecillas del reloj a la misma rapidez, y cada uno avanzadirectamente hacia el siguiente insecto todo el tiempo. Se aproximan al centro del cuadrado alo largo de trayectorias espirales.a) Obtenga la ecuación polar de la trayectoria de un insecto al suponer que el polo está en elcentro del cuadrado. (Use el hecho de que la recta que une a un insecto con el siguiente estangente a la trayectoria del insecto.)b) Encuentre la distancia recorrida por un insecto en el momento que se encuentra con losotros insectos en el centro.5. Demuestre que cualquier recta tangente a una hipérbola toca la hipérbola a la mitad del caminoentre los puntos de intersección de la recta tangente y las asíntotas.6. Una circunferencia C de radio 2/-tiene su centro en el origen. Un círculo de radio r rueda sinresbalar en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj alrededor de C. Un punto Pestá situado en un radio fijo del círculo giratorio a una distancia b de su centro, 0 < b < r.[Vea las partes i) e ¡i) de la figura.] Sea L la recta desde el centro de C al centro del círculogiratorio y sea 6 el ángulo que L forma con el eje x positivo.a) Usando 6 como un perímetro, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la trayectoriatrazada por P sonx = b eos 39 + 3r eos 6 y = b sen 2>6 + 3r sen 6Nota: Si b = 0, la trayectoria es una circunferencia de radio 3rsi b = r, la trayectoria esuna epicicloide. La trayectoria trazada por P para 0 < b < r se llama epitwcoide.b) Grafique la curva para varios valores de b entre 0 y r.c) Demuestre que un triángulo equilátero puede inscribirse en el epitrocoide y que su centroideestá sobre la circunferencia de radio b con centro en el origen.Nota: Este es el principio del motor rotatorio Wankel. Cuando el triángulo equilátero giracon sus vértices en el epitrocoide, su centroide recorre una circunferencia cuyo centro estáen el centro de la curva.d) En casi todos los motores rotatorios, los lados de los triángulos equiláteros son sustituidospor arcos de circunferencia con centro en los vértices opuestos como en la parte iii) de lafigura. (Entonces el diámetro del rotor es constante.) Demuestre que el rotor se ajusta en elepitrocoide si b *£-(2 — /3~)r.iü)F IG U R A PA R A E L P RO B L EM A 6688
  • 82. Sucesiones y series infinitasEn la última sección de este capítulo lepediremos que utilice una serie paradeducir una fórmula para determinar lavelocidad de una onda cceánica.En Un p r e v io d e C á lcu lo , hicimos una breve introducción de las suc esiones y series en relaciónc o n las pa rad o ja s de Zen ó n y la re p re senta c ión de cimal de n úme ros . Su imp o r ta n c ia en elCá lc u lo se de r iva de la id e a de New ton de repre sentar func ione s c om o suma s d e suc e s ione sinfinitas. Por e jemp lo , p a ra e n c o n t r a r áreas, con f recuenc ia in te g rab a u n a funcióne x p re s á n d o la p r ime ro c omo u n a serie y d e sp u é s integrando c a d a uno de sus té rminos . En lasección 11.10 t ra ta remo s de seguir e s ta id e a con el fia de integrar func ione s c om o e ~ x .(Re cu e rd e q u e a n te r iormente n os v imo s inc apac itados p a ra e n f re n ta r es to.) Mu c h a s de lasfunc ione s q u e apare c en en física ma temá t ic a y químic a , tales c om o las fu n c io n e s de Bessel,e s tán de f inida s c omo suma s de series, a s í q u e e s muy imp o r ta n te familia r iz a rse con losc o n c e p to s b á s ico s d e co n v e rg e n c ia d e su c e s ione s y series infinitas.Los físicos tamb ién usan las series en otro mo d o , tal c om o ve remo s en la sección 11.11. Enel e s tudio de fe n óme n o s tan dive r sos c om o la óptica, re la tividad e sp e c ia l y e le c t roma g n e t i smo ,los físicos analizan los fen óme n o s re emp la z á n d o lo s pr ime ro p o r u nos cu an to s té rmin o s de lasseries q u e los repre sentan.689
  • 83. CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASSucesionesUn a sucesión se puede p e n s a r c om o u n a lista de n úme ro s e sc ri tos en un orden definido:a i , a i , ¿73, «4, . . . , a „ , . . .El n úme ro ¿7i recibe e l n omb re de p r im e r términ o , ¿72 e s el s e g u n d o té rm in o y, en general,¿/„ e s e l n -é s im o té rm in o . A q u í t ra tamo s exc lus ivamente con su c e s io n e s infinitas, por lo q uec a d a té rmin o a„ tiene un su c e so r a„+1.Ob s e rv e q u e p a ra todo e n te ro pos itivo n hay un n úme ro c o r re sp o n d ie n te a„, p o r lo queu n a suc e s ión se p u e d e de f inir c omo u n a func ión c u y o d omin io e s e l c o n ju n to de ente rospositivos. Pero u su a lme n te e s c r ib imo s a„ en lugar de la nota c ión de func ión f ( n ) p a r a elva lor de la func ión en el n úme ro n.NOTACIÓN L a sucesión {¿/i, ¿12, ¿ 7 3 , . ..} también se d e n o ta mediante{¿f,,} o {¿/„}^-|Alg u n a s su c e s ione s se p ueden definir d a n d o u n a fó rmu la pa ra el u -é s imoE JEM P LO 1término. En los e jemp lo s s iguiente s se of rec en tres d e s c r ip c io n e s de la sucesión: u n a enla que se aplic a la notac ión anterior, en otra se aplica u n a fó rmu la d e f in id a y en la te rc e rase e sc r iben los té rminos d e la sucesión. Ob s e rv e que la n no tiene q u e em p e z a r en 1.a)b)c )d){n 1 _ n í 1 2 3 4 n T T T j l . a" ~ V T T | T ’ T ’ T , 7 ’ , , , 7 T 7 ’ j+ O í ( - 1) ' ( ” + 0 H W + 1) 1 3" J a " 3"3 ’ 9 ’ 2 7 ’ 81 3" * J{y/n — 3 )^_3 ¿7,1 = yfñ - 3 , n 2* 3 {o, y/T, . . . , y¡n - 3 , . . .}{ m rm r f v^3~ 1 n ire o s >• a„ = e o s -------, n 2^ O i 1 , --------, — , 0, . . . , e o s , . . . >6 J,_o 6 1 2 2 6 J| En cuentre u n a fó rmu la p a ra e l término gene ra l ¿7„ d e la suc e s ión{3 _ ___4____ 5_______ 6 _ 7 15 ’ _ 25 ’ 1 2 5 ’ 625 ’ 3 1 2 5 ’ " Jy su p o n g a q u e el pa trón de los p r ime ro s té rminos continúa .SOLUCIÓN S a b emo s que3 4 5 6 7¿71 = — a i = -----------------« 3 = --------- a 4 = --------------------- ¿755 2 5 125 625 3 1 2 5Obs e rve q u e los n ume r a d o r e s d e e s ta s f ra c c ione s emp ie z a n con 3 y se in c reme n tan u n aunidad al p a s a r al s iguiente término. El seg u n d o té rmino tiene n ume r a d o r 4, el siguienten ume r a d o r e s 5; en genera l, el n -é s im o té rmin o tendrá c om o n ume r a d o r n + 2. Losd e n omin a d o re s son las p o tenc ia s de 5, de m o d o que ¿í„ tiene por d e n omin a d o r 5". El
  • 84. SECCIÓN 11.1 SUCESIONES 691s igno de los té rminos e s a lte rn a d ame n te positivo y negativo, por lo q u e e s ne ce sa r iomu lt ip lic a r p o r u n a p o ten c ia d e — 1. En el e jemp lo Ib ) el factor (— 1)" s ignifica queem p i e z a c o n un té rmin o negativo. C omo a q u í se b u s c a inic iar con un té rmin o positivo,u s amo s (—1)"“ ', o bien (— l ) " * 1. Por tantoEn este c a so h a y a lguna s suc e s iones q u e no tienen u n a e cu a c ió n q u e lasde f ina en fo rma simple.a) L a suc e s ión {/?„}, d o n d e p„ e s la población mu n d ia l el 1 d e e n e ro d e l año n.b) S e a a„ el n -é s imo d íg ito en la e x p ans ión de cimal de l n úme ro e, e n to n c e s {«„} e s u n asuc e s ión bien d e f inida cu y o s p r ime ro s té rminos son{ 7 , 1 , 8 , 2 , 8 , 1 , 8 , 2 , 8 , 4 , 5 , . . . }c) Las c o n d ic io n e s s iguiente s de finen en forma re cur s iva la sucesión de Fibonacci {f,,}f— 1 fi — 1 f, = f>-i + f i —2 n > 3EJEM PLO 3C a d a uno de los té rmin o s e s la suma de los dos anteriores. Los p r ime ro s té rmin o s son{1, 1 , 2 , 3 , 5. 8 , 1 3 , 2 1 , . . . }Es ta suc e s ión surgió c u a n d o e l ma temá t ic o italiano de l siglo x in , a quien se co n o c ec om o Fibona c c i , re solvió un p ro b lema q u e se r e la c io n a b a con la c r ía d e co n e jo s (véasee je rc ic io 8 3 ) .Un a suc e s ión c omo la del e jemp lo 1 a), a„ = n / ( n + 1), se puede re p re se n ta r d ib u ja n d osus té rminos en u n a re cta n umé r i c a c om o en la figura 1, o t ra z an d o la gráfica c omo en lafigura 2 . Ob s e rv e que , c omo u n a suc e s ión es u n a func ión c u y o d omin io e s el c o n ju n to delos e n te ro s positivos , su gráfica c o n s ta d e puntos a is lados c o n c o o rd e n a d a s(2 , ¿*2 ) {3, a 3) ( n , a „)De a cue rdo con las figuras 1 o 2, parece q.ie los té rminos de la sucesión a„ = /?/(/? + 1)se a p ro x iman a 1 c u a n d o n e s sufic ientemente grande. De h e ch o , la d i fe re n c ian 11 = -----------n + 1 n H- 1se puede h a c e r tan peq u eñ a c omo se quie ra al incrementar suficientemente /?. Lo anterior sein d ic a e sc r ib ien d olím ”,1 -I- 1En genera l, la nota c iónlím a„ — Ln—v>s ignifica q u e los té rmin o s de la sucesión [ a ] se ap ro x iman a L c u a n d o n se in c r eme n tasufic ientemente . Obs e rve q u e la def inición siguiente de l límite de u n a suc e s ión es mu yp a re c id a a la def inición de límite de u n a función en e l infinito d a d a en la sección 2.6.
  • 85. 692 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS[TI Definición Un a sucesión {«„} tiene el límite L y lo e x p r e s amo s c omolím a„ — L o a„ —> L c u a n d o n —* coII—*cosi p o d emo s h a c e r q u e los té rminos a , se aproximen a L tanto c om o se q u ie r a toma n d on lo suf ic ientemente grande. Si l ím „ _M£r/, exis :e, se dice q u e la suc e s ión converge (oque es convergente). De lo contrario, se dice que la sucesión diverge (o es divergente).En la figura 3 se i lus tra la de f inición 1 mo s t ran d o las gráficas de d o s su c e s ione s quet ienen c omo límite L.FIGURA 3Gráficas de dossucesiones conlím a, = LUn a versión m á s pre c i sa de la de f inición 1 e s c omo sigue.Compare esta definición con la definición 2.6.7.|~2~| Definición Un a sucesión {¿r„} tiene el límite L y lo e x p r e s amo s c omolím a„ = L o bien a„ —*■ L c u a n d o n —* 03n—*eosi p a ra todo e > 0 h a y un c o r re sp o n d ie n te ente ro N tal quesi n > N e ntonc e s a„ — L< eLa de f inición 2 se i lus tra mediante la figura 4, en la c u a l los té rmin o s a i, ¿72, a y ,... selocalizan sobre u n a re cta numé r ic a . No impor ta q u é tan p e q u e ñ o se e li ja un intervalo(L — e, L + e), exis te u n a N tal que todos los té rmin o s de la sucesión d e sde ¿j.v+i enadelante d eben e s ta r en e se intervalo.¿7| ü j O 2 ¿7g ^ V + l ^ V + ' ^ 9 ^ 6 ^ 5 ^ 4 ^7^ ( « ■ -. ' ) ►FIGURA4 0 L - e L L + eOt ra i lus tración d e la de f inición 2 e s la figura 5. Los p u ntos sobre la gráfica de {«„}d e b en e s tar entre las re ctas h o r izo n ta le s y = L + e y y = L — e si n > N. Es ta imagendebe ser válida, sin imp o r ta r q u é tan p e q u e ñ o se h a y a e s c o g id o e, pe ro u su a lme n te serequie re un valor de £ mu c h o muy p e q u e ñ o y un valor de N m u c h o mu y grande.
  • 86. SECCIÓN 11.1 SUCESIONES 693FIGURA 6Leyes de los límites para las sucesionesSi c omp a r am o s la def inición 2 c o n la definición 2.6.7 ve remo s q u e la ú n ic a d i fe re n c iaentre l ím „ _ toü„ = L y lím*_co/(.v) = L e s que se requie re que n sea un entero. En estesentido se tiene el s iguiente teorema , ilus trado en la figura 6.|~3~| Teorema Si l ím , _ o / ( . v ) = L y / ( /? ) = a„ c u a n d o n e s un ente ro, e n to n c e s11m„ —.to ci„ ™ L.En particular, pue s to q u e y a s a b emo s que l ímA^ w ( l / -v ) = 0, c u a n d o r > 0 ( teo rema2.6.5) , se tiene0 1lím — = 0 si r > 0'i—,to n rSi a„ e s mu y grande c u a n d o n e s mu y grande, u s amo s la nota c ión l ím, ,- ,* # , , = co. Las iguiente def inición p re c i s a e s p a re c id a a la definición 2.6.9.|~5~| Definición l ím, ,^ * # , , ™ 00 s ignifica que p a ra todo n úme ro positivo M exis tee n te ro (V tal quesi n > N e ntonc e s a„ > MSi l ím , ,^ » a„ — oo, e n to n c e s la suc e s ión {#„} e s dive rgente p e ro d e u n a m a n e r a e special.Se d ic e que {#„} diverge a co.Las leyes de los límites d a d a s en la sección 2.3 también se c ump le n pa ra los límites desu c e s ione s y sus d emo s t ra c io n e s son similares.S i{ # „ } y {b„son suc e s ione s co n v e rg e n te s y c e s u n a c o n s tan te , e ntonc e slím (a„ + b„) = lím a„ 4- lím b„„ _ e o „ — v > ,;— <*>lím (#„ — b„) — lím a„ — lím b„i i—»eo i,—«co n— iolím c a n = e lím ci„ lím c — cII — co II—CO II—«colím (ctiib,,) = lím a„ * lím b„i i— m a - c o n— colím a„límsi lím b„ 0lím b„ »—lím af¡ = í lím a A si p > 0 and a„ > 0II—co L"—" J
  • 87. 694 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INF INITASEl t e o r ema d e la c omp re s ió n también se p u e d e adaptar a las su c e s ione s c om o sigue (véasefigura 7).El teorema de la compresión para sucesiones Si a„ < b f¡ < c„ pa ra n > nQ y lím cin = lím c„ = L , e n to n c e s lím b„ = L .F IG U R A 7La sucesión {/>„} está comprimidaentre las sucesiones {«„} y {c,,}.Esto demuestra que la conjetura que hicimosantes a partir de las figuras 1 y 2 era correcta.Otro h e ch o útil re sp e c to a los límites de suc esiones se e v id e n c ia en e l t e o r ema siguientec u y a d emo s t ra c ió n se d e ja pa ra e l e je rc ic io 87.0 T e , Si lím |¿i„| = O, e ntonc e s lím a„ = 0.EJEM PLO 4 De te rmin e límII—‘CO f] -f- 1SOLUCIÓN El mé to d o es s imila r al que u s amo s en la sección 2.6: dividir tanto eln ume r a d o r c omo el d e n omin a d o r entre la potenc ia má s alta de n de l d e n omin a d o r yluego aplic ar las leyes de los límites.lím = límlím 1n—co n 1 ,i—c_ 1 ___1 H- O1+■ —nlím 1 + lím —II—co II—CO fjA q u í u s amo s la e cu a c ió n 4 con r = 1EJEM PLO 5 La suc e s ión a„ ¿es convergente o div e rg e n te 'y ¡ 0 + nSOLUCIÓN C omo en e l e jemp lo 4, d iv id imo s e l n ume ra d o r y e l d e n omin a d o r entre n:1lím —. = lím— “ VIO 4* n /To TV n - + np orque el n ume r a d o r e s u n a c o n s tan te y el d e n omin a d o r se a p ro x ima a c e ro, a s í q u e {«„}e s divergente.EJEMPLO 6ln nDe te rmin e l ím -------II—co nSOLUCIÓN Ob s e rv e q u e tanto el n ume r a d o r c om o e l d e n omin a d o r tienden a infinitoc u a n d o n —* co. No se puede aplic a r d i re c tamen te la regla d e l ’Hospital p orque no seaplic a a suc e s iones , sino a func ione s d e u n a variable real. Sin emb a rg o , se puede aplicarla regla de l ’H ospita l a la func ión re la c io n a d a / (A) = (ln x ) / x y obtene rln x 1 f xl ím = lím —— = 0X — co X X — co 1Por tanto, de a cue rdo c o n el t e o r ema 3
  • 88. SECCIÓN 11.1 SUCESIONES 695H 1-------1----- 1----1------1----- h1 2 3 4F IG U R A 8__E_J_E_M__P_L_O__ 7_ D e t e rmin e si la su c e s ió n a„ = ( — 1)" e s c o n v e rg e n te o d iv e rg en te .SOLUCIÓN Si e s c r ib imo s a lgunos té rmin o s de la suc e s ión o b ten emo s{ - i , i , - i , i. - i , i . - i , . . . }La gráfica de e s ta suc e s ión se mu e s t ra en la figura 8. C om o los té rminos oscilan entre 1y — 1 en fo rma infinita, a„ no se a p ro x ima a ningún n úme ro. Por tanto, lím„_co (— 1)" noexis te; la suc e s ión {(— 1)"} e s divergente.La gráfica de la sucesión cel ejemplo 8se muestra en la figura 9 y apoya nuestrarespuesta.F IG U R A 9EJEM PLO 8 E v a lú e l í m -(--“----0--"---si é s te existe.n—co fjSOLUCIÓN Pr ime ro c a lc u lamo s e l límite de l valor absoluto:lím = lím — = 0«o nPor tanto, de a cu e rd o c o n el teo rema 6,.f a i= !2 0El s iguiente teo rema d ic e q u e si a co p lamo s u n a función c o n t in u a a los té rmin o s d e u n asuc e s ión c onve rgente , e l re sul tado también es convergente . La d emo s t ra c ió n se d e ja p a rae l e je rc ic io 88.p 7 | T e o r em a Si lím a„ = L y la f u n c i ó n / e s c o n t in u a en L, e n to n c e s11—»eolím f ( c n) = f ( L )n—Creando gráficas de sucesionesAlgunos sistemas algebraicos computa rizad 03contienen comandos especiales que permitencrear sucesiones y dibujaras directamente. Sinembaigo, con la mayoría ce las calculadoraspara trazar gráficas se pueden dibujarsucesiones usando ecuacbnes paramétricas.Por ejemplo, la sucesión del ejemplo 10 sepuede dibujar introduciendo las ecuacionesparamétricasx = t y = /!//'y dibujando en el modo pinto ( dot mode),iniciando con r = 1; se establece el í-ésimopaso igual a 1. El resultado se muestra en lafigura 10.110E JEM P LO 9 En cuentre lím s e n (ir /n ).II — coSOLUCIÓN C om o la func ión seno e s co n tin u a en O, e l teo rema 7 nos pe rmite e sc ribirlím sen (77/ 11) — sení lím { ^ / / i ) ) = sen 0 = 0v — /□ E JEM P LO 10 An a l ic e la co n v e rg e n c ia de la suc e s ión a„ = n/n"> d o n d eI • 2 • 3 n.SOLUCIÓN Tanto n ume r a d o r c omo d e n omin a d o r se ap ro x iman al infinito c u a n d o n —> co,p e ro no c ab e utilizar la regla de l ’H ospita l (jc! no e s tá d e f in id a c u a n d o x no e s un n úme roente ro) . Es c r ib amo s a lgunos té rmin o s p a ra ver si e s pos ible intuir q u é p a s a con a„c u a n d o n e s muy grande:a 1 = 11 • 202 *21 - 2 - 3a 3 =1 * 2 - 33 - 3 - 3Es ta e xpre s ión y la gr áfica d e la figura 10 sugie ren q u e los té rmin o s están d e c re c ie n d oy pa re c en a p ro x ima r s e a c e r o . Pa ra conf irmar e s to, obse rve de la e cu a c ió n 8 queFIGURA 10„ - 1 ........) nn - n • * * * ♦ w /
  • 89. CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASF IG U R A 11La sucesión a„ = r nOb s e rv e q u e la e x p re s ió n entre p a réntes is e s a lo más 1 porque el n ume r a d o r es m e n o r que(o igual) al den omin a d o r . A s í que0 < « -itS a b emo s q u e 1 / « —> 0 c u a n d o n —* co, a s í q u e ci,: —> 0 c u a n d o n —* co p o r el teo r ema dela c ompre s ión.| ¿Pa ra q u é valores d e r e s convergente la suc e s ión {/"'}?SOLUCIÓN S a b emo s , por la sección 2.6 y las gráficas de las func ione s e x p o n e n c ia le s dela sección 1.5, q u e lím*-»»#* ™ co p a ra a > I y l ímA^ co f l ‘ = 0 p a ra 0 < a < 1. Portanto, si h a c emo s o = r y u s amo s el t e o r ema 3 tenemos{co s¡0 sir > 10 < r < 1Es o bvio quelím T = 1 y lím 0 " = 01 1— 0 1 >1— 0 1Si — 1 < r < 0, e n to n c e s 0 < | r | < 1, de mo d o cuelím | r n | — lím r | 1 — 0y, p o r tanto, lím,,^™ r n = 0 de a cue rdo con e l teo rema 6. Si r =S — 1, e n to n c e s {r"}diverge c omo en el e jemp lo 7. En la figura 11 se ilustran las gráficas d e var ios valores der . (El c a s o de r = — 1 se mu e s t r a en la figura 8.)•1 < r < 0r < — 1Los re sul tados de l e jemp lo 11 se re sumen pa ra uso futuro c om o sigue:|~9~| L a suc e s ión {/•”} e s con v e rg e n te si — 1 < r 1 y div e rg e n te p a ra todos los otrosvalores de r .lim r „ — f° si _1„ -o i SÍ r =< / < 11[To] D e fin ición Un a suc e s ión {«„} se l lama creciente si a „< a„+ u p a ra to d a /? 5= 1, e sdecir, < a 2 < cii < •••. Si a n > «„+,p a r a toda n > 1 se d e n omin a decreciente. Unasuc e s ión e s monótona si e s c re c ie n te o decreciente.
  • 90. El lado derecho es menor jorque tiene undenominador mayor.SECCION 11.1 SUCESIONES 697EJEM PLO 12 L a suc e s ión e s de cre ciente porque3>n + 5 (/j + l ) + 5 /? + 6y, p o r tanto, a„ > a„+i, pa ra to d a n 5> l .EJEM PLO 13nDemu e s t re q u e la suc e s ión a„ — — e s de c re c iente .n~ + 1SOLUCIÓN 1 De b emo s d emo s t ra r q u e a„+1 < ci,„ e s decir,n + 1 n< — (n H- l ) 2 + 1 n2 + IEs ta d e s ig u a ld ad e s equiva lente a la obtenida por mult iplic a c ión cruzada:” + ‘ < = > (» + 1)(«2 + ! ) < « [ ( » + I ) J + I ](« + l ) - + 1 n + 1<P=> n 3 + n 2 + n + 1 < + l n 2 + 2 n<==> 1 < n 1 + nPuesto que n ^ 1, sabemos que la de s igualdad n2 + n > 1 e s verdadera. Por tanto, a,+i <y tamb ién q u e {rt„} e s de cre ciente .SOLUCIÓN 2 Co n s id e re la func ión / ( . y) — —v- + 1u . x 2 +- 2 x 2- x 2f W ™ ^ < 0 s iempre q u e .V > 1( a- + I ) " ( a- + 1 )-En e s tos t é rm i n o s , / e s d e c re c iente sobre (1, co) a s í q u e / ( / ? ) > f ( n + 1 ), p o r tanto {«„} esde cre ciente .[Tl~| Definición Un a suc e s ión {«„} e s tá acotada por arriba si exis te un n úme ro M talquea„ M para to d a n ^ 1Es tá acotada por abajo si exis te un n úme ro m tal quem ^ a„ para to d a /? 551Si e s tá a co tad a por a r riba y p o r abajo, e ntonc e s {«„} es u n a sucesión acotadaPor e jemp lo , la suc e s ión a„ = n e s tá acotada por abajo (a , > 0), p e ro no p o r arriba. Lasuc e s ión a» = n /(n + 1) e s tá a co tad a porque 0 < a„ < 1 p a ra to d a n.S a b em o s q u e n o to d a su c e s ió n a c o t a d a e s c o n v e r g e n t e [p o r e j em p lo , la su c e s ió nci„ = (—1)" s a t i s f a c e —1 ^ cin ^ 1. p e ro e s d iv e rg e n t e d e l e j em p lo 7] y n o to d a
  • 91. 698 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASsu c e s ió n mo n ó to n a e s c onve rgente (a , = n —» co). Pero si u n a suc e s ión e s tanto a co tad ac om o mo n ó to n a , e n to n c e s tiene q u e se r convergente . Este h e c h o se d emu e s t r a en la formade l t e o r ema 12, p e ro intui t ivamente se entiende por qué e s c ie r to v ien d o la figura 12. Si{¿7,,} es c re c ie n te y a„ M p a ra to d a /?, e n to n c e s los té rminos e s tán forz ados a ju nta r se ya p ro x ima r s e a un n úme ro L.ML9Ü 1 2 3 nLa d emo s t ra c ió n de l t e o r ema 12 se a p o y a en el axioma de completez p a ra e l c o n ju n toIR de los n úme ro s reales , q u e d ic e q u e si S e s un conjunto no va cío de n úme ro s re ales quetiene u n a c o ta supe r ior M (.v =5 M p a r a to d a x en S ), e n to n c e s S tiene u n a mínima cotasuperior b. (Es to s ignifica q u e b e s u n a c o ta supe r ior p a ra S, p e ro si M e s c u a lq u ie r otrac o ta superior, e n to n c e s b A/.) El a x ioma de comple te z e x p r e s a e l h e c h o de q u e la rectad e los n úme ro s re ales no tiene b re ch a s o agujeros.12 T e o r e m a d e la s u c e s ió n m o n ó to n a T o d a suc e s ión a c o t a d a y m o n ó to n a escon v e rg e n te .DEMOSTRACIÓN Su p o n g a q u e {«„} e s u n a sucesión c reciente. Pue s to q u e {«„} e s tá acotada,e l c o n ju n to S = {a„ n > 1} pose e u n a c o ta superior. De a cue rdo c o n e l a x iom a dec omp le te z , tiene u n a m ín im a c o ta supe r ior L . Dado e > 0, L — e n o e s u n a c o ta supe r iorp a ra S (pue s to q u e L e s la m ín im a c o ta superior). Por tanto,a N > L — e p a ra algún e n te ro NPero la sucesión e s c re c iente de mo d o q u e a„ 5= qs p a ra to d a n > N. En e s to s té rminos ,si n > Na „ > L — ede ma n e r a q u e 0 L — a , < £p u e s to que a„ ^ L . A s í que ,L — a„ < £ siempre q u e n > Na s í q u e l ím „ ^ ma„ = L.Un a d emo s tr a c ió n s imila r (a p lic a n d o la máx ima c o ta infer ior ) fu n c io n a si {«„} esde cre ciente .La d emo s t ra c ió n de l t e o r ema 12 d emu e s t r a que u n a suc e s ión q u e e s c re c iente y a co tad ap o r a r riba e s convergente . (De igual man e ra , u n a sucesión d e c re c iente q u e e s tá a co tad a p orabajo es conve rgente .) Este h e c h o se aplic a mu cha s vece s al traba ja r c o n series infinitas.
  • 92. SECCIÓN 11.1 SUCESIONES 699Con frecuencia, la inducción matemática seaplica cuando se trabaja oon sucesionesrecursivas. Véase página 76 donde se encuentraun análisis del principio de inducciónmatemática.En el ejercicio 70 se pide una demostración deeste hecho.EJEM PLO 14 Investigue la suc e s ión {«„} definida por la r e la c ió n r e c u r s iv aa i = 2 a „+1 = + 6) pa ra n = 1 , 2 , 3 , . . .SOLUCIÓN Pa ra emp e z a r se c a lcu la n los pr ime ros términos :« , - 2 a 2 - t (2 + 6) - 4 a 3 - í ( 4 H- ó) — 5a 4 - 1 ( 5 + 6 ) - 5 . 5 a 5 - 5 . 7 5 a 6 - 5 . 8 7 5a 7 - 5 . 9 3 7 5 a 8 - 5 . 9 6 8 7 5 a 9 - 5 . 9 8 4 3 7 5Es tos té rmin o s iniciales ha c en p e n s a r que la sucesión es c re c iente y q u e los té rmin o s sea p ro x iman a 6 . Pa ra c o n f irma r q u e la sucesión e s c re c iente , u t il iz amos induc c iónma t emá t i c a p a ra d emo s t ra r q u e a„+i > a„ para to d a n > 1. Es to e s c ie r to p a ra n = 1p o rq u e a 2 = 4 > a i. Si su p o n emo s q u e se cump le pa ra n = k, e n to n c e s ten emo s«*+! >d e m o d o q u e «*41 4- 6 > a k + 6y í(«*+i + 6) > j(«* + 6)Por e s to «*42 > «*4 |Ya se d e d u jo q u e a„+1 > a„ e s c ie r ta p a r a n = k + 1. Por tanto, la d e s ig u a ld ad se cump lep a r a to d a n p o r inducción.Lu eg o de verificar q u e {«„} e s tá a co tad a d emo s t ra n d o q u e a„ < 6 p a ra to d a n. (Pue s toq u e la suc e s ión e s c re c iente , sa b emo s que tiene u n a c o ta inferior: a ,,* 2 cu = 2 pa ra todan.) S a b emo s q u e «1 < 6 , d e mo d o q u e la a severación e s c ie r ta p a ra n = 1. S u p o n g amo sq u e se cump le p a ra n = k. En tonc e sa t < 6de e s te m o d o «* + 6 < 12y t ( « , . + o) < 3 ( 12) - 6A s í que ¿7*41 < 6Es to d emu e s t ra , p o r induc c ión ma temá tic a , que a „ < 6 p a ra to d a n.C omo la suc e s ión {«„} es c re c iente y acotada, e l t e o r ema 12 g a rant iz a q u e tiene unlímite. El t e o r ema no dice c u á l e s el valor del límite, p e ro a h o ra q u e s a b emo s queL = l í m e x i s t e , p o d emo s aplic ar la re.ación re cur s iva pa ra e sc r ibi rlím an41 = lím ■!■(«„ + 6) = -ÍY lím a„ + 6= t (L + 6)n—.09 «—*«o - ~ n—,ca )C omo a„ —» L, se infiere ig u a lmen te q u e a„+ —> L (también c u a n d o n —* co,n + 1 —* co). De e s te m o d o ten emo sL =( L + 6)Al resolver e s ta ecua ción pa ra L, d e te rmin amo s q u e L = 6, tal c omo se h ab ía predicho.
  • 93. 700 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASEjercicios1. a) ¿Qué es una sucesión?b) ¿Qué significa decir que lím„^CT o„ = 8?c) ¿Qué significa decir que lím„—Ma n ™ oo'í2. a) ¿Qué es una sucesión convergente? Dé dos ejemplos,b) ¿Qué es una sucesión divergente? Dé dos ejemplos.3-12 Liste los primeros cinco términos de la sucesión.3. a n = —2 n7.n~ + 1( - T 15"14. o„ —y1 + 2"6. a„ ™ eos" (« + Di9. «, = 1, 1 — 5a„ — 38. </,2;/! + 110. ai ™ 6, «,,-h11. «i — 2 ,1 + Un1 2 . til = 2 , a : = l . a „ 4 , — a „ — a „ - ,13-18 Encuentre una fórmula para el término general ¿r„de lasucesión, suponiendo que se mantenga el patrón de los primerostérminos.13 lí 'I » -3» -5» -7* 9-» • • • )J14. {l , — j , “ 27’ 57» • • }15. { - 3 . 2 . - i § . —# . }16. {5, 8, 11, 14. 17, }i i . f e . - U - * . ? . }18. {1 ,0 , - 1 , 0 , 1 ,0 . - 1 , 0 , . . }19-22. Calcule, con una aproximación de cuatro decimales, losprimeros diez términos de la sucesión y úselos para graficar a manola sucesión. ¿Parece tener límite la sucesión? Si es así, calcúlelo. Sino, explique por qué.19. a„ =3/rI + 6/r21 H ) "20. rr„ = 2 +22. - 1 + 10"9"23-56 Determine si la sucesión converge o diverge. Si converge,encuentre el límite.23. a„ - I - (0.2)"25. a„3 + 5/1-n + n 227. a„ ™ e i/"31. O,,33. a,v//z3 -L4/I2 yjn35. o „ = co s (/j/ 2 )-■ {§^141.rn c 'n43. o ., =2"45. a„ — n sen(l//i)47. = +7)24.26. a„28. a„//3 + 1n 3// + 13"+25"( 2/Í7T/ /I +------------ 30. a » “/ ---------1 + 8 n j V g" +32. «w- e 2"/í+2>( - . r ' n34. a „ —n + yjn36. a ,, = cos(2//z)38. í—1 L ln 2/7 J40. --------------/?42. a„ ™ ln(« + l) — ln n44. a„ = $ 2 * * ^46. a „ ™ 2“"cos/7 77sen 2/71 + yjn49. a „ = ln(2/i2 + l) — ln(/i2 + l)50.n51. Oh ™ arctan(ln //)52. o„ — /i — yfñ + 1 ifñ + 353. {(), 1 ,0 ,0 , 1 ,0 , 0 ,0 . 1, . ), . . 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1l !♦ 3* 2» 4» 3* 5» 4 ’ 6’ • • • J^ Se requiere calculad o rag ra fic ad o ra o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stew artcalculus.com
  • 94. SECCIÓN 11.1 SUCESIONES 7015 5 . a,, —2"5 6 . =( - 3 ) '57-63 Con la ayuda de una gráfica de la sucesión, establezca si éstaes convergente o divergente. Si la sucesión es convergente,conjeture el valor del límite a partir de la gráfica y luego demuestresu conjetura. (Vea la nota al margen de la página 695 relacionadacon la advertencia sobre las gráficas de sucesiones.)5 7 . « „ - I + ( - 2 / c fh + 2 / r5 9 . a„ ™ / — -----------y 8" + n5 8 . a„ — N /T sen (7r f y f ñ )6 0 . a» - $3» + 5 "6 1 . a,6 2 . a,6 3 . a,1 + /t21 * 3 » 5 ...............(2/i ~ 1)/?!1 * 3 - 5 ...............{2/i - I)fe*,y6 4 . a) Determine si la sucesión definida como sigue es convergenteo divergente:«i «»»+! 4 — a„ para n ^ 1t>) ¿Qué ocurre si el primer término es ai = 2?6 5 . Si se invierten 1000 dólares a 6% de interés compuestoanualmente, entonces n años después la inversión tiene un valorde a„ = 1000( 1.06)" dólares.a) Determine los primeros cinco términos de la sucesión {«„}.b) ¿La sucesión es convergente o divergente? Explique.66. Si se depositan IDO dólares al final de cada mes en una cuentaque paga 3% de interés al año capitalizado mensualmente, lacantidad de interés acumulado después de n meses está dadapor la sucesión( 1.0025" - 1 ------------------------ n )0.0025 /a) Encuentre los primeros seis términos de la sucesión.b) ¿Cuánto interés habrá obtenido después de dos años?6 7 . En una granja piscícola se tienen 5000 bagres en su estanquede crías. El número de bagres aumenta en 8% al mes y elproductor cosecha 300 bagres al mes.a) Demuestre que la población P„ de bagres después de /?meses está dada periódicamente porP„ - 1.08P„_, - 300 P0 - 5000b) ¿Cuántos bagres hay en el estanque después de seis meses?68. Determine los primeros 40 términos de la sucesión definida porsi a„e s3a„ + 1 si ¿í„esun numero parun número impary «i = 11. Haga lo mismo si cit = 25. Conjeture respecto altipo de sucesión.6 9 . ¿Para qué valores de /-converge la sucesión {/?/"}?7 0 . a) Si {«„} es convergente, demuestre quelím «„4-i ™ lím a,,u—co ¡ í—.cob) Una sucesión {n,,} se define por a i = 1 y a„+i = 1/(1 + a„)para n > 1. Si suponemos que {a „} es convergente, calculesu límite.7 1 . Suponga que sabemos que {r/„}es una sucesión decreciente yque todos sus términos están entre los números 5 y 8. Expliquepor qué la sucesión tiene un límite. ¿Qué puede decir respectoal valor del límite?72-78 Determine si la sucesión es creciente, decreciente o es nomonótona. ¿Está acotada la sucesión?7 2 . - ( — 2 ) " +1I7 3 . a, 7 4 . -2 /i2 / 1 + 37 5 . a „ = n ( -) "/!7 7 . (In == ; ■ —3/í + 47 6 . a„ = ne~"7 8 . a„ = /? +7 9 . Encuentre el límite de la ssucesión( v / 2 , s/ 2 / T , ¡ 2 s Í2 ¿ 2 ,8 0 . Una sucesión {«„} está dada por a t ™ y/2 a„+ ™ v/2 + a„ .a) Mediante inducción u otro método, demuestre que {*»„} escreciente y que su cota superior es 3. Aplique el teorema desucesión monótona para demostrar que lím,,^®, a n existe.b) Determine lím ,,—» a„.8 1 . Demuestre que la sucesión definida pora i = 1 1 = 3 —es creciente y a„ < 3 para toda n. Deduzca que {í?„} esconvergente y encuentre su límite.8 2 . Demuestre que la sucesión definida por(¡i3 — a„satisface 0 < a„ ^ 2 y es decreciente. Deduzca que la sucesiónes convergente y encuentre su límite.
  • 95. 702 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS83. a) Fibonacci planteó el problema siguiente: Suponga que losconejos viven toda la vida, que cada mes todas las parejastienen un nuevo par de conejitos, los cuales empiezan a serproductivos a la edad de dos meses. Si empieza con unapareja de recién nacidos, ¿cuántas parejas de conejos tendráen el n-ésimo mes? Demuestre que la respuesta es f,„donde {f,) es la sucesión de Fibonacci que se define enel ejemplo 3c).b) Sea a„ = f,+ /f„ demuestre que a„- = 1 + fa „ -i.Suponiendo que {«,.} es convergente, determine su límite.84. a) Sea a= a, a 2 = f(a ), a¡ = f { a 2) = / ( / (« ) ) , . . . , airn = /(«„),d o n d e / e s una función continua. Si l í m „ _ e = L ,demuestre que f ( L ) = L.b) Ilustre el inciso a) haciendo f ( x ) = eos x, a = 1, yestimando el valor de L con una aproximación de cincocifras decimales.85. a) Mediante una gráfica, deduzca el valor del límite., n 5Inn —,!—•*> /J |b) Con una gráfica de la sucesión del inciso a) calcule losvalores más pequeños de N que corresponden a e = 0.1y e = 0.001 en la definición 2.86. Aplique directamente la definición 2 para demostrar quelím„_t9 r" ™ 0 cuando | r | < I.87. Demuestre el teorema 6.[Sugerencia: utilice la definición 2 o el teorema de lacompresión.]88. Demuestre el teorema 7.89. Demuestre que si lím„—*»£f„ = 0 y {/>„}es acotada, entonceslím,,—o (a„b„) = 0.9 0 . Seaa) Demuestre que si 0 a < b, entonces< (n + I )b"b — ab) Deduzca que b"[(n + l)a — nb] < a "* 1.c) Utilice a = 1 + 1 /(/? + 1) y b = 1 + 1 //i del inciso b) parademostrar que {«„} es creciente.d) Use a = I y b = 1 + l/(2n) en el inciso b) para demostrarque a i„ < 4.e) Mediante los incisos c) y d) demuestre que a„ < 4 paratoda n.f ) Utilice el teorema 12 para demostrar que lím„_.co(l + 1 / //) '’existe. (El límite ese . Véase la ecuación 3.6.6.)91. Sean a y b números positivos con a > b. Sea ala mediaaritmética y b la media geométrica:a + b ,----a i = — b i = v‘ c'bRepita el proceso de modo que, en generala„ + b„««-I-i bn+1 “ v'íl a bna) Mediante la inducción matemática demuestre queI an+ 5* b„ +1 b„b) Deduzca que tanto {«„} como {¿>„} son convergentes.c) Demuestre que lím„_.«»£/„ ™ lím„_.cj b„. Gauss llamóal valor común de estos límites la m e d i a a r i t m é t i c a -g e o m é t r i c a de los números a y b.9 2 . a) Demuestre que si l ímn_.M« 2o ™ ¿ y lím„_,eo «:„+i ™ L,entonces {«.,} es convergente y lím„—««,, = L.b) Si a = 1 yI + a„calcule los primeros ocho términos de la sucesión {¿i.,}. Luegouse el inciso a) para demostrar que l í m a„ = ¡2 . Esto dael d e s a r r o l l o e n f r a c c i ó n c o n t i n u ay¡2 - I +2 +2 +9 3 . El tamaño de una población inalterada de peces se ha modeladomediante la fórmulaP'i+1bp„a + p„donde p„ es la población de peces después de n años, y a yb son constantes positivas que dependen de las especies y sumedio ambiente. Suponga que la población en el año 0 espo > 0.a) Demuestre que si {p,,} es convergente, entonces los únicosvalores posibles de este límite son 0 y b — a.b) Demuestre que p„+ < (b/a)p„.c) Mediante el inciso b) demuestre que si a > b, entonceslímn-.mp„ ™ 0; en otras palabras, la población muere.d) Ahora suponga que a < b. Demuestre que si po < b — a,entonces {/>„} es creciente y 0 < p„< b — a. Demuestre quesi po > b — a, entonces {/?„} es decreciente y p„> b — a.Deduzca que si a < b, entonces lím„_.«, p„ — b — a.
  • 96. SECCIÓN 11.2 SERIES 703P ROY E C TO DE L ABOR A TOR IO [sác] SUCESIONES LOGÍSTICASUna sucesión que surge en ecología como un modelo para el crecimiento poblacional se define pormedio de la ecuación logística en diferenciasP„+i = kp„( 1 - p „)donde p„ mide el tamaño de la población de la «-ésima generación de una sola especie. Paramantener manejables los números, p„ es una fracción del tamaño máximo de la población, demodo que 1. Observe que la forma de la ecuación es similar a la ecuación diferenciallogística de la sección 9.4. El modelo discreto, ccn sucesiones en lugar de funciones continuas, espreferible para modelar las poblaciones de insectos, donde el apareamiento y la muerte ocurren deun modo periódico.U n e c o lo g is ta se in te re sa en p re d e c ir el tamaño He la p o b la c ió n a m e d id a q u e e l tiem p o a v a n z a ,y p la n te a e s ta s p re g u n ta s : ¿ s e e s t a b iliz a r á e n un v a lo r lím i t e ? , ¿ c am b ia r á de m a n e ra c í c l i c a ? , ob ie n , ¿m o s tra rá un com p o rtam ie n to a le a to rio ?Escriba un programa para calcular los n primeros términos de esta sucesión con una poblacióninicial po, donde 0 < p 0 < 1. Con este programa efectúe lo siguiente:1. Calcule 20 o 30 términos de la sucesión pura po ™ 3 y para dos valores de k tales que1 < k < 3. Grafique cada sucesión. ¿Parecen converger? Repita para un valor distintode /J0 entre 0 y 1. ¿El límite depende del valor elegido de p0? ¿Depende del valorelegido de k?2. Calcule términos de la sucesión para un valor de k entre 3 y 3.4 y dibújelos. ¿Qué observacon respecto al comportamiento de los términos?3. Experimente con valores de k entre 3.4 y 3.5. ¿Qué sucede con los términos?4. Para valores de k entre 3.6 y 4, calcule y dibuje por lo menos 100 términos y comenteel comportamiento de la sucesión. ¿Qué sucede si cambia p 0 por 0.001? Este tipo decomportamiento se llama caótico y lo muestran poblaciones de insectos bajo ciertascondiciones.|SAC| Se requiere sistema algebraico computarizadoSeries¿A q u é nos re fe r imo s c u a n d o e x p r e s amo s un n úme ro c om o d e c ima l infinito? Por e jemp lo ,q u é s ignifica e sc ribir= 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 . . .La con v en c ió n q u e h a y d e t rá s d e n u e s t ra na ta ción d e c ima l e s q u e c u a lq u ie r n úm e ro sep u e d e e sc r ibi r c om o u n a suma infinita. Aquí, e l signif ic ado e s que11.2El actual récord de ir ha sido calculado con2 576980 370 000 decimales (más de dostrillones) de lugares decimales por T. Daisuke ysu equipo.d o n d e los p u ntos suspens ivos ( . . . ) indic an que la suma c o n t in ú a p o r s iempre y que cu an to smá s té rmin o s ag reg u emo s , e s ta remo s má s c e rc a de l valor ve rd ad e ro d e ir.
  • 97. 704 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASEn genera l, si t ra tamo s de suma r los té rminos de u n a suc e s ión inf inita 1, o b te ­nemo s u n a e xpre s ión de la forma[~í~| a i + Cl2 + «3 + *** + «„ +q u e se d e n omin a serie infinita (o sólo serie) y se d e n o ta con e l s ímboloO2 o 2 a »n-1Pero, ¿tiene sentido h a b la r de suma de un infinito d e té rminos?Se r ía impos ible e n c o n t r a r la suma finita de la serien Suma de los primeros n términos1 0.500000002 0.750000003 0.875000004 0.937500005 0.968750006 0.984375007 0.9921875010 0.9990234415 0.9999694820 0.9999990525 0.999999971 + 2 + 3 + 4 + 5 + ♦ * ♦ + / ? + ♦**p orque si em p e z am o s a suma r los té rminos , o b tenemos suma s a cumula t iva s 1, 3, 6, 10, 15,2 1 , . . . y d e sp u é s d e l n -é s imo té rmino, lle g amo s a n(n + l ) / 2 , lo c u a l re sulta mu y grandec u a n d o n se incrementa.Sin emb a rg o , si emp e z am o s p o r suma r los términos de la serieo b te n emo s 4, 57, . . . , 1 — l / 2 " , . . . En la tabla se p u e d e ver q u e c u a n d o sesuma n m á s y má s té rminos , e s ta s sumas parciales se vue lven má s y m á s c e rc an a s a 1 .(Véase también la figura 11 en un Previo al cálculo en la p á g in a 6.) De h e ch o , al suma rsuficientes té rmin o s de la serie e s pos ible h a c e r que las suma s pa rc ia le s sean tan c e rc an a sa 1 c om o se quiera. A s í q u e e s ra zonable d e c i r que la suma de e s ta serie infinita es igual a1 y e sc ribirUs a r emo s u n a id e a s imila r p a ra d e te rmin a r si u n a serie genera l T tiene o no tienesuma . C o n s id e remo s las sumas parcialess i = a ts i = a i 4- (¡2s ¡ “ d+ a 2 + ¿*3S4 = ci + 0 2 + a 3 + a*y, en genera l,ns„ = a + ¿72 + a i + *4 * + a„ = J ai7—1Es tas suma s pa rciale s fo rman u n a n u e v a sucesión {s„}, la c u a l puede tene r o no tene r unlímite. Si lím„^cj.v„ = s exis te (c omo un n úme ro finito), ento n c e s , c om o en el e jemp loanterior, se l lama suma de la serie infinita £ a„.
  • 98. SECCIÓN 11.2 SERIES 705Compare con la integral impropia( 7 t v 11 ) dx — il—ím •'f I /(.y) dxPara determinar esa integral se integra desde 1hasta / y después se hace que t —* co. En elcaso de series, se suma desde 1 hasta n ydespués se hace que n —»<»|~2~] D e f in ic ió n Da d a u n a serie XJÜi a„ = ci + az + s e a s„ la /í-é s imasuma parcial:wS n = 2 = U I + «2 + ■ * * + „í-1Si la sucesión {s„} e s c onve rgente y l ím „ ^ ro s„ — s exis te c om o un n úme ro real, e n to n ­ce s la serie £ a„ se dice convergente y se e sc ribeCO«I + Cii + * • 4 + ' •» = s o 2 a„ = s,t-1El n úme ro s se l lama sunui de la serie. Si la suc e s ión {5,,} e s divergente , e n to n c e s laserie e s divergente.As í, la suma de u n a serie e s el límite de la sucesión de suma s parciales. As í, c u a n d oe s c r ib imo s a„ ™ .s q u e r emo s d e c i r que al suma r suficientes té rmin o s de la seriep o d emo s llegar tan c e r c a c omo q u e r amo s al n úme ro s. Ob s e rv e quem n2 a n = lím 2 a ‘__E_J_E_M__P_L_O__ 1_ S u p o n g am o s q u e s a b emo s q u e la s um a d e los p r ime ro s /? t é rmin o s d e laserie X - i a„ es+ ct2 4- *“ -I- a„ — - — —3 n - f 5E n to n c e s la suma de la serie e s e l límite de la sucesión {5,,}:2 a» = lím s„ = lí2 n= lím3 +25 ~ - TEn e l e jem p lo 1 e s tamo s dando u n a expres ión p a r a la suma d e los p r ime ro s n té rmin o s ,p e ro u su a lme n te no e s fácil encontrar tal e xpres ión. Sin emb a rg o , en e l e jem p lo 2, nosto p am o s c o n u n a f am o s a se r ie p a r a la c u a l p o d em o s e n c o n t r a r u n a f ó rm u l a e x p l í c i t ap a r aUn imp o r tan te e jemp lo d e u n a serie infinita e s la serie geométricaCOa + a r + a r 1 + a r 3 + • • • 4 - a r " " + • • • = 2 a r " ~ ' « * <>n—1C a d a té rmin o se obt iene a partir d e l té rmin o p re c ed en te mu lt ip lic án d o lo por la razóncomún r. (Ya h emo s c o n s id e ra d o e l c a s o e spe cial c u a n d o a — i y r = i d e la p á g in a704.)Si r = 1, e n to n c e s s„ = a + « + • • • + a = na —> ±co. Pue s to q u e l ím /, _ Cx»5n noexis te , la serie g e omé t r ic a diverge en este caso.Si r 1, ten emo ss„ = a + a r + a r2 +- • * • + ar"~lEJEM PLO 2y rs„ = a r + a r2 -t- • «* +- a r n~ 1 + a r "
  • 99. 706 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASLa figura 1 proporciona una denustracióngeométrica del resultado del ejemplo 2. Si lostriángulos se construyen como s í indica y s esla suma de la serie, entonces, por triángulossemejantess a ¿¡— = ---------- por lo que s-= ---------a a — a r 1 — rFIGURA 1En palabras: la suma de una serie geométricaconvergente esprimer términoI — razón común¿Qué se quiere realmente decir cuandoafirmamos que la suma de la serie del ejemplo3 es 3? Naturalmente, no podemjs sumar uninfinito de términos uno más uno Pero, deacuerdo con la definición 2, la suma total es ellímite de la sucesión de sumas parciales. Deeste modo, al efectuar la suma de suficientestérminos, nos acercamos tanto como queramosal número 3. La tabla muestra las primeras diezsumas parciales 5„y en la gráfica de la figura 2se ilustra cómo la sucesión de las sumasparciales se aproxima a 3.Al re s tar e s ta s e cu a c io n e s o b ten emo ss„ — rs„ — a — ar0 Sna{ 1 - r")1 - rSi — 1 < r < 1, s a b emo s de (11.1.9) q u e r„ —>0 c u a n d o n —> <», a s í quea ( 1 — r " ) a a alím s„ — l ím -----------------— lím r«— “ 1 — r 1 — r 1 — r 1 — rAs í, c u a n d o | r | < 1, la serie g e omé t r ic a e s convergente y su suma e s a /{ 1 — r).Si r s? — 1 o bien, r > 1, la suc e s ión {/•"} e s divergente de a cue rdo c o n (1 1.1.9) y dee se mo d o , según la e cu a c ió n 3, l ím no existe. Por tanto, la serie g e omé t r ic adiverge en e so s c asos . ■Los re sul tados de l e jemp lo 2 se re sumen como:0 La serie g e omé t r ic aCO2 ar"~' - a + ar + a r 2 + ■ ■ ■nales convergente si |/'| < 1 y su suma es2 T^_ |r| < 1; i - l 1 rSi | r | 5= 1, la serie geométrica es divergente.□ EJEMPLO 3 Ca lcule la suma d e la serie geomé t ric a_ 10 . 20 4) .5 - T + 9 - - 2 7 + ‘ “i . . •>SOLUCION El p r ime r té rmin o e s a = 5 y la razón común e s r = — y. C omo | r | = j < 1la serie es con v e rg e n te p o r [T]y su suma es10 20 405 -3 9 274- . . . = , = . = 7,l - ( - f ) 1 ‘Vn s„ ■1 5.0000002 1.666667 ,3 3.888889 3- ..........................4 2.4074075 3.395062 *6 2.7366267 3.175583 :8 2.882945 0 209 3.07803710 2.947975FIGURA 2
  • 100. SECCIÓN 11.2 SERIES 707Otra manera de identificar^ y r es escribir losprimeros términos.4 + ^f + ? + . . •E JEM P LO 4 La serie 2 2 “" 3 ‘ ", ¿e s convergente o div e rg e n te '»-iSOLUCIÓN Es c r ib amo s e l n - é s imo té rmin o de la serie en la fo rma a rn~xCO CO CO a tt o2 2 2' '3 ' - ' ‘ = 2 ( 2 2) ” 3-<"-> - 2 = 2 4 ( ! ),l_l J ,.—l4 I.•i—lIdentif icamos e s ta serie c om o u n a serie g e omé t r ic a con a = 4 y r = j . C omo r > 1, laserie diverge , de a cu e rd o con [4] H| Es c r ib imo s e l n úme ro 2.317 — 2 . 3 1 7 1 7 1 7 c om o u n a razón d e ente rosSOLUCIÓN17 17 172.317 1 7 1 7 . . = 2.3 4- — r 4- — r + — r +1 0 J 10- 1 0 'De sp u é s de l p r ime r té rmin o ten emo s u n a serie g e omé t r ic a con a = I 7 / l 0 3 y r = 1 / l0 ~De b id o a esto,17 17— I 0 3 10002.317 = 2.3 + = 2.3 + -----------1 9910- 10023 17 1147= +10 9 9 0 4 9 5EJEM PLO 6 En cu e n tre la suma de la serie J jcn» d o n d e x < 1SOLUCIÓN Ob s e rv e que e s ta serie inic ia con n = 0 y por e so el p r ime r té rmin o x °= I .(En las series, se ad o p ta la con v en c ió n d e que x° = 1 aun c u a n d o x = 0.) De e s te mo d o ,D 3 3 En Module 11.2 se explora una serie que "depende de un ángulo 0 en un triángulo y 2 x " = * + .v 4- x~ + .v3 4- a"1 4- * 4 4permite ver qué tan rápidc converge la seriecuando varía 9.Es ta e s u n a serie g e omé t r ic a c o n a = 1 y r = x. Pue s to q u e | / | = |a | < 1, c o nve rge , yd e a cue rdo con 4] se tiene1«-0 * -YE JEM P LO 7O jDemu e s t re q u e la serie 2 —; ; TTes con v e rg e n te , y de te rmin e„- i n{n + 1 )SOLUCIÓN És ta no e s u n a serie g e omé t r ic a , de m o d o q u e re g re s amo s a la d e f inición deu n a serie c onve rgente y c a lc u lamo s las suma s parciales.^ 1 1 1 1 Is„ ™ 2 . / .— r --------------- 1------------------ 1 1" ’ * r 4" — — ¡— r-í- i r(r + l ) 1 * 2 2 * 3 3 * 4 ;i(/? 4- l )Es ta e xpre s ión se p u e d e simplif ica r utilizando la d e s c omp o s ic ió n en f ra c c ione s pa rciale s1 1 11 (? 4- 1) " 7 ” i + I
  • 101. 708 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASObserve que los términos se cancelan por pares.Éste es un ejemplo de una suma telescópicaDebido a las cancelaciones, la sima se colapsa(tal y como se colapsan los telescopios de lospiratas}, justamente en dos términos.En la figura 3 se ilustra el ejemplo 7 y semuestra la gráfica de la sucesión de términosa„ = 1 /«(/i + I) y la sucesión {s„} de sumasparciales. Observe que a„—>OysH—> i.Véanse los ejercicios 76 y 77, en donde se tratandos interpretaciones geométricas del ejemplo 7.(Véase la sección 7.4.) A s í ten emo s que ,F IG U R A 3- L - ) n + 1 }__1___n - f 1y de e s te mo d olím s„ — lím í 1 ---------------- J — 1 — O —" —co “ y /í + 1 yPor tanto, la serie d a d a e s c onve rgente y„ _ I 4- l)□ EJEMPLO 8 Demu e s t re q u e la serie armónica” 1 1 1 12 -n = i + t2 + t3 + t4 +e s divergente.SOLUCIÓN Pa ra e s ta serie particular, e s conveniente c o n s id e ra r las suma s pa rc ia le s 52, 5*,5i6, 532, . . . y d emo s t r a r q u e se ha c e n mu y grandes.52 — I + 154 1 + i + ( i + ?) > 1 + í + ( i + í ) = l + y58 = 1 + T + ( j + i ) + ( j + 5 + T + lí)> 1 + T + ( í + ?) + (? + $ + + é )1 + i + 1 + 1 = 1 +|5 |6 = 1 + I + (í + i) + (í H + í) + ( i H + lk)> 1 + y + + I) + + • • • + ¿f) + (-¡^ + * • * + Jii)= 1 + T + T + 5 + T = 1 + TEn fo rma similar, S32 > 1 + §, 564 > 1 + 7, y, en general5">« > I +El método usado en el ejemplo 8 para demostrarque la serie armónica diverge es original delfrancés Nicole Oresme (1323-1362).Es to d emu e s t r a q u e 5v* —* 03 c u a n d o n —* co y por e so { 5, , } e s divergente. De b id o a e so , laserie a rmó n ic a diverge.|~6~| T e o r em a Si la serie 2 a » e s convergente , e n to n c e s lím a„ = 0.
  • 102. SECCIÓN 11.2 SERIES 709DEMOSTRACIÓN S e a s„ = a t + a 2 + ■ ■ ■ + a„. Entonces, a„ = s„ — 5 „ _ P u e s t o que £ a„e s convergente, la su ce sión {5,,} e s convergente. S e a lím„ _ co s„ = s. Como n — 1 —* cocuando n —* co, también se tiene lím fl_ M = .v. Por tanto,lím a n = lím (s„ — .?„_i) = lím sn — lím 5„_i«—co n—*co n — co n — co= 5 — 5 = 0NOTA 1 Con cualquier serie £ <7„ se asocian ¿/os sucesiones: la su ce sión {5,,} de sussumas parciales y la sucesión {«„} de sus términos. Si £ a„ e s conv e rg ente , entonc e s ellímite de la su ce sión {5,,} e s s (la suma de la serie) y, c om o estable ce e l teorema 6, e l límitede la su ce sión {«„} e s 0.[§] NOTA 2 En gene ra l, e l inverso d e l teorema 6 no se cum p le . Si lím n_ Ma„ = 0 , nop o d em o s c o n c lu ir qu e £ a„cs c o n v e rg en te . O b se r v e qu e para la se r ie a rm ó n ica £ l / nten emo s a„ = l /w —» 00 cuando n —* co, pero y a demostramos en e l ejemplo 8 que £ 1 /n e sdivergente.[ 7 ] La prueba de la divergencia Si lím í/„ n o ex iste o si lím a„ ^ 0, entonc e s la11— <0 n—.coCOserie 2 a„ e s divergente.La prueba de la div e rg enc ia se infiere d e l teorema 6 porque si la serie no e s divergente,en ton c e s e s convergente y, por tanto, l í m = 0.EJEM PLO 9SOLUCIONDemuestre que la serie 2 S/72 - f 4 e s divergente.lím a n ™ l ím n 2 — l ,í m --------1- --—r “ —1 9* 0co 5n~ + 4 * — 00 5 + 4 fn~ 5De m odo que la serie diverge de acuerdo con la prueba de la divergencia.NOTA 3 Si encontramos que l í m 7* 0 , sabemos que £ a„ e s divergente. Si tieneque lím „—o»a„ = 0 , nada sabemos con respecto a la conv e rg en c ia o la div e rgencia de £ a„.Recuerde la advertencia d e la nota 2: si lím „ _ ra a n = 0, la serie £ a„ podría ser convergenteo divergente.[][] Teorema Si £ a» y £ b» son series convergentes, entonc e s también lo son lasseries £ ca„ (donde c e s una constan te), £ (a„ + b„) y £ (a„ — b„), y) 2 c a « = c 2 <*n ii) 2 (a " + b») = 2 a» + 2M—1 /I—I II— I /I—I II— ICO CO COii) 2 (a » - b>) ™ 2 a » - 2 bnM— IEstas propiedades de las series convergentes se infieren de las ley e s de lo s límitescorrespondientes a las su c e sio n e s de la se cción 11.1. Por e jem p lo , aquí se demuestra laparte ii) de l teorema 8:Sean co « coSu ^ ^ f S J tu — J b t t — J b ní-l «—I i - l ;i— I
  • 103. CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASLa /j-é s ima suma pa rcial d e la serie 2 (a„ + b„) esnU„ = 2 + b,)i-iy, u s a n d o la e cu a c ió n 5.2.10, ten emo sn i n n lím u„ = lím 2 (a< b¡) = lím I 2 ° E ^ )«—00 M .-ii - i ,_i /— lím 2 a> + lím 2 b,— lím + lím = s + tn — o» n — wPor tanto, £ (a„ + b„) e s con v e rg e n te y su suma esCO co co2 («/. + /?>.) = s + / = 2 a " + 2 b„EJEM PLO 10 D e t e rmin e la s um a d e la serie („ („ + l) + 2”)SOLUCIÓN L a serie 2 1 /2 " e s u n a serie g e omé t r ic a c o n a =y /• = ?, de mo d o queG9 < In-l ¿ * 2En el e jemp lo 7 e n c o n t ramo s que“ 1,_i n{n + 1)As í, p o r el t e o r ema 8, la serie d a d a e s convergente y/ 3 11 V 1 / i< « + O + 2 7 “ 3 " , /i(/i + i) + " , 2 *= 3 . 1 + 1 = 4NOTA 4 Un a c ant idad finita de té rmin o s no afecta la co n v e rg e n c ia o d iv e rg e n c ia de u n aserie. Por e jemp lo , s u p o n g amo s q u e somo s c apa c e s de d emo s t ra r q u e la serie#l3 + 1e s convergente . Puesto quen 1 2 3 “ ii„S- i /? 3 +, 1. = T2 + “9T + T28T + „2-.j -/?T T+se infiere q u e to d a la serie 2 ”- i w/(w3 + l ) e s convergente. As imi smo , si s a b emo s q u e laserie S ^ v + i a„ e s con v e rg e n te , e n to n c e s to d a la serien N co2 “ E ”1” En=l or= I nsN+1e s también convergente
  • 104. SECCIÓN 11.2 SERIES 711Ejercicios1 . a) ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión y una serie?t>) ¿Qué es una serie convergente? ¿Qué es una seriedivergente?2. Explique qué significa decir que 2.7-1 ci„ = 5.3-4 Calcule la suma de la serie 27- 1 a„ cuyas sumas parciales estándadas.3 . - 2 - 3(0.8)" 4. s„ —i r - 14 / i 2 + I5-0 Calcule los primeros ocho términos de la sucesión de sumasparciales con una aproximación de cuatro decimales. ¿Las seriesaparentan que convergen o divergen?15. 2 ^»/—i n7. 26. 2 „-i ln(/í + 1)>/-[ 1 + yjn 8 . 2 ( - ■ r 1,,-i "■9-14 Encuentre por lo menos 10 sumas parciales de las series.Grafique tanto la sucesión de los términos como la sucesión de lassumas parciales en la misma pantalla. ¿Cómo parece ser la serie,convergente o divergente? Si es convergente, determine la suma. Sies divergente, explique por qué.9- 212t - s rii. 2;>-i yfn - + 410. 2 cos nw -7/1+I12. 2 —10"13.1 / l"»?.T f T ~~ v'TTTT / 14' n{n + 2)2/i15. Sea — “3 /r +: —1 .a) Determine si •«„} es convergente.b) Determine si 2,7-1 «»/ es convergente.16. a) Explique la diferencia entren nE y E ° i1 j - b) Explique la diferencia entren nE y E a)17-26 Determine si la serie geométrica es convergente o divergente.Si es convergente, calcule la suma.3 919 . 10 - 2 + 0 . 4 - 0 . 0 8 4-------2 0 . 2 + 0.5 + 0.125 + 0.03125 +1 8 . 4 + 3 + J + S +CO2 1 . 2 6 ( 0 . 9 ) " - '«—i * • i2 3 . 2 ( - 3 r '«—i. 4 "«ra 7_Tn25 - 2I I J 2 6 ' I r -27-42 Determine si la serie es convergente o divergente. Si esconvergente, encuentre su suma.1 1 1 1 12 7 . — + — + — + -------+ ---------- + • • •3 6 9 1 2 15. « 1 2 1 2 1 22 8 . — + — + — + — + + + * *«3 9 2 7 8 1 2 4 3 7 2 929. 21co31. 2n ~ 1„ _ ] 3/i — 11 + 2 "»-] J3"3 0 . 2ICO3 2 . Ek(k + 2)t _ i ( a- + 3 )*1 + 3 "3 3 . 2 v ' T«—135 . A2/i + I J-■ ? ( )0039. E arelan n«—1Z x 2 ”3 4 . ¿ [ ( 0 . 8 ) " " 1 - ( 0 . 3 ) " ]CO .36 . 2s 1 + ( ! )CO3 8 . 2 (e o s 1 ) *? ( > )40/Ei—^1 "T43-48 Determine si la serie es convergente o divergente al expresarcomo suma telescópica (como en el ejemplo 7). Si esconvergente, encuentre su suma.43. 2CO /H CO 2 „ n45. 244. 2 ln,1-1 n + 1,,-1 //{// + 3)a6. | ( c o s _ L _ cü s _ ^ _ )47. ¿ i- E «-i n ~ nSe requiere calculadora graficadora o computadora |SAC | s c requiere sistema algebraico computa rizado 1. Tareas sugeridas d isponibles en stesvartcalculus.com
  • 105. 712 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS4 9 . Sea * = 0.99999...a) ¿Ql'é piensa usted.que y < I o que x = 1?b) Sume una serie geométrica para determinar el valor de x.c) ¿Cuántas representaciones decimales tiene el 1?d) ¿Cuáles números tienen más de una representación decimal?5 0 . Una sucesión de términos está definida porí?, = 0 a„ = (5 -Calcule 1SL, a„.51-56 Exprese el número como una razón de enteros.5 1 . 0.8 - 0.8888 . . . 5 2 . 0.46 - 0.46464646 . . .5 3 . 2.516 = 2.516516516 . .5 4 . 10.135 = 10.135353535 . . .5 5 . 1.5342 5 6 . 7.1234557-63 Calcule los valores de .vpara los cuales la serie converge.Determine la suma de la serie para dichos valores de x.SI. 2 (— 5 ) ' VII—1( ' - 2)"59. 23 "11*1 X63 . 258. 2 { ' + 2)"21 seiTjt62- n2—0 ^ 7J “6 4 . Hemos visto que una serie armónica es una serie divergentecuyos términos se aproximan a 0. Demuestre queS ,nH )es otra serie con esta propiedad.I-'"1"! 65-66 Utilice el comando de las fracciones parciales en su sistemaalgebraico computarizado para encontrar una expresión convenientepara la suma parcial, y luego use esta expresión para encontrar lasuma de la serie. Compruebe su respuesta usando directamente elsistema algebraico a la suma de la serie." 3 / r + 3/i + 1 £ 165 . 2 (,r + „ y66. 2n-3 n 5/j + 4 /i67. Si la w-ésima suma parcial de una serie 2?_i a „ e s/i - 1;r + 1determine a„ y a„.68. Si la w-ésima suma parcial de una serie2vT-i «n es s„ = 3 — n 2~", determine a„ y a„.6 9 . Un paciente toma 150 mg de una droga a la misma horacada día. Justo antes de tomar cada tableta, 5% de la drogapermanece en el cuerpo.a) ¿Ql'é cantidad de la droga está en el cuerpo después de latercera tableta? „Después de la w-ésima tableta?h) ¿Qué cantidad efe la droga queda en el cuerpo a largo plazo?7 0 . Después de la inyección de una dosis D de insulina, laconcentración de insulina en un sistema del paciente decaeexponencialmente, así que puede expresarse como De~M,donde / representa el tiempo en horas y a es una constantepositiva.a) Si la dosis D se inyecta cada T horas, escriba una expresiónpara la suma de la concentración residual justo antes de la(w + 1 )-ésima inyección.b) Determine la concentración límite antes de inyectar.c) Si la concentración de insulina debe siempre permaneceren, o por encima de un valor crítico C, determine la dosismínima de D en términos de C, a y T.7 1 . Cuando el dinero se gasta en bienes y servicios, los quereciben el dinero también gastan un poco de él. Las personasque reciben algo del dinero gastado dos veces, gastarán algode dicho dinero, y así sucesivamente. Los economistasllaman a esta reacción en cadena efecto multiplicador. Enun hipotético pueblo aislado, el gobierno local inicia el procesogastando D dólares Suponga que cada persona que recibedinero gasta 100c% y ahorra 100j% del dinero. Los valores cy s se denominan propensión marginal a l consumo ypropensión marginal a l ahorro y, naturalmente, c + s — I.a) Sea S„el total de lo gastado que ha sido generadodespués de w transacciones. Determine una ecuaciónpara S„.b) Demuestre que lím„^0 S„ = kD, donde k = /s .La cantidad k se llama el multiplicador ¿Cuál es elmultiplicador si la propensión marginal al consumoes 80%?Nota: El gobierno federal de Estados Unidos usa este principiopara justificar el gasto que muestra déficit. Los bancosutilizan este principio para justiñear los préstamos de un granporcentaje del dinero que reciben como depósito.7 2 . Una cierta pelota tiene la propiedad de que cada vez que caedesde una altura h sobre una superficie nivelada y dura, rebotahasta una altura rh, donde 0 < r < 1. Suponga que la pelotacae desde una altura inicial de H metros.a) Suponiendo que la pelota continúa rebotando de maneraindefinida, calcule la distancia total que recorre.b) Calcule el tiempo total que la pelota viaja. (Use el hecho deque la pelota cae ^ g t2 metros en t segundos.)c) Suponga que cada vez que la pelota golpea la superñcie convelocidad v rebeta con velocidad — kv, donde 0 < k < I.¿Cuánto tiempo le tomará a la pelota llegar al reposo?7 3 . Encuentre el valor de c si2 (I + <)“ - 2
  • 106. SECCIÓN 11.2 SERIES 71374. Encuentre el valor de c tal queCO2 f " r = io75. En el ejemplo 8 se demostró que la serie armónica esdivergente. Aquí se resume otro método, haciendo uso delhecho de que e* > 1 + x para cualquier a- > 0. (Véase elejercicio 4.3.78.)Si j„e s la /t-ésima suma parcial de la serie armónica,demuestre que e* > n + 1. ¿Por qué esto implica que la seriearmónica es divergente?76. Grafique las c u n as y = .v", 0 =5 x ^ 1, para n = 0, 1, 2, 3, 4 ,...sobre una misma pantalla. Determinando las áreas entre lascurvas sucesivas.de una demostración geométrica del hecho,demostrado en el ejemplo 7, de que1■?, / . ( » + o “ 177. En la figura se muestran dos circunferencias C y D de radio1 que se tocan er. P. T es una tangente común; C es lacircunferencia que toca C, D y T; C íe s la circunferencia quetoca C, D y Ci; Cj es la circunferencia que toca C, D y Cz Esteprocedimiento puede continuar en forma indefinida y produceuna sucesión infinita de circunferencias {C,,}. Encuentre unaexpresión para el diámetro de C„ y, de ese modo, proporcioneotra demostración geométrica del ejemplo 7.78. Un triángulo rectángulo ABC está definido conZ.A — Q y |A C | - b. CD se traza perpendicular a AB, DE setraza en forma perpendicular a BC, EF _L AB, y este procesocontinúa en forma indefinida como se ilustra en la figura.Determine la longitud total de todas las perpendiculares| CD | + D E+ | £ F | + |F G | + * “en términos de b y Q.79. ¿Qué es lo que está mal en el cálculo siguiente?0 —0 + 0 + 0 + -- -= (l - l) + (l - l) + (l - l) + ■ ”= 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — I + • - -- I + ( - 1 + 1) + ( - 1 + 1) + ( - 1 + 1) + - - ■= 1 + 0 + 0 + 0 + * * * = !(Guido Ubaldus pensaba que esto demostraba la existencia deDios, porque “se había creado algo de la nada”.)8 0 . Suponga que sabemos que X 7 - i (« ., ^ 0 ) e s una serieconvergente. Demuestre que 2 ‘íLi l/r/„es una serie divergente.81. Demuestre el inciso i) del teorema 8.82. Si 2 a„ es divergente y c # 0, demuestre que 2 ca„ esdivergente.83. Si 2 a„ es convergente y 2 b„ es divergente, demuestre que laserie 2 (a„ + />„) es divergente. [Sugerencia: argumente porcontradicción.]84. Si 2 a„ y 2 b„ son divergentes, ¿necesariamente 2 (a„ + b„) esdivergente?85. Suponga que .ina serie 2 a„ consta de términos positivos y sussumas parciales s„ cumplen con la desigualdad s„ ^ 1000 paratoda n. Explique porqué 2 r/„debe ser convergente.86. La sucesión de Fibonacci se define en la sección 11.1 mediantelas ecuaciones/ i = 1, f i = 1, f n = f i + f i,—2 n > 3Demuestre que cada uno de los siguientes enunciados es cierto..fn— I ft4-1 fn— I f t fn fi4■ I«-2 fn-lfi+lc S - 4 287. El conjunto de Cantor , nombrado así en honor al matemáticoalemán Georg Cantor (1845-1918), se construye como seseñala a continuación. Empiece con el intervalo cerrado [0, 1]y retire el intervalo abierto ( j , f). Esto deja los dos intervalos[O, y] y [ | , I] y luego elimine el intervalo abierto constituidopor el tercio medio de cada uno. De este modo quedan cuatrointervalos y de nuevo elimine el tercio medio de cada unode ellos. Continúe este procedimiento de manera indefinidaeliminando er. cada paso el tercio medio de cada intervalo quequeda del paso anterior. El conjunto de Cantor consiste enlos números que quedan en [0, 1] después de que todos esosintervalos se han eliminado.a) Demuestre que la longitud total de todos los intervalos quese eliminan es 1. A pesar de eso, el conjunto de Cantorcontiene un infinito de números. Proporcione ejemplos dealgunos números del conjunto de Cantor.b) El tapete de Sierpinski es un equivalente en dosdimensiones del conjunto de Cantor. Se construyeeliminando el noveno central de un cuadrado de lado 1,y luego se elimina el centro de cada uno de los ocho
  • 107. 714 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAScuadrados restantes, y así sucesivamente. (En la figurase ilustran los primeros tres pasos de la construcción.)Demuestre que la suma de las áreas de los cuadradoseliminados es I. Esto significa que el área del tapete deSierpinski es cero.88. a) Una sucesión {«„} se define recursivamente mediante laecuación o„ ™ + «,,-2) para n > 3, donde ai y a i sonnúmeros reales. Experimente con varios valores de a 1 y «2y con la ayuda de su calculadora conjeture el límite de lasucesión.b) Encuentre lím„—„ c„ en términos de a 1 y a i expresandoa,+ — n„en función de a 2 — (i y sume una serie.89. Considere la serie 2TT- nf(?i + l)a) Calcule las sumas parciales j | , Si, y ^4. ¿Reconoce losdenominadores? Mediante el patrón conjeture una fórmulapara s„.b) Aplique la inducción matemática para demostrar suconjetura.c) Demuestre que la serie infinita dada es convergente ycalcule su suma90. En la figura hay un infinito de círculos que se aproximan alos vértices de un triángulo equilátero. Cada círculo tocaotros círculos y los lados del triángulo. Si el triángulotiene lados que miden una unidad de longitud, calcule elárea total que ocupan los círculos.La prueba de la integral y estimación de sumasEn general, e s difícil d e te rmina r la suma exac ta d e u n a serie. Podemos lograrlo en el c a so deseries geométricas y las series 2 1 /[n(n + 1)J porque en c ad a uno de es tos c asos es posibleencont ra r u n a fórmula simple pitra la /?-ésima suma parcial s„. Pero por lo regular n o es fácilde scubr i r tal fórmula. Por tanto, en las siguientes secciones se tratan varias pruebas quepermiten d e te rmin a r si una serie es convergente o d ivergente sin que se tenga que encontraren forma explícita su suma. (En a lgunos c asos, los m é todos permiten d e te rmin a r unas buenase s tima c ione s de la suma .) El pr ime r mé to d o utiliza integrales impropias.Emp e c emo s p o r inves tiga r las series c u y o s té rminos son los re c íp ro co s d e los c u ad ra d o sde los e n te ro s positivos:" l i l i l í2 — = — + — + — + — + — + - -•,Zi n 2 l2 2 3 4 5No hay u n a fó rmu la senc illa p a ra la suma s„ d e los p r ime ro s n té rminos , p e ro la tablag e n e ra d a med ia n te u n a c omp u t a d o ra de los valores, d a d o s en el ma rg e n , sugiere q u e lassuma s pa rciale s se a p ro x iman a un n úme ro c e rc ano a 1.64 c u a n d o n —» co y de este mo d opa rec e c om o si la serie fue ra convergente .P o d emo s c o n f irma r e s ta impre s ión c o n un ra zo n amie n to geomé trico. En la figura 1 sei lus tra la c u rv a y =/ x 2 y a lgunos re c tán g u lo s que se en cu e n tra n abajo d e la curva. Lab a se de c a d a u n o de los r e c tán g u lo s e s un intervalo de longitud igual a 1; la a ltura es igualal valor d e la func ión y = 1 / x 2 en e l e x t r emo d e re cho de l intervalo.n' 1>-i >"5 1.463610 1.549850 1.6251100 1.6350500 1.64291000 1.64395000 1.6447
  • 108. SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 715De e s te mo d o , la suma de las á reas de los re c tángulos esSi e x c lu imo s el p r ime r re c tángulo, el área total d e los re c tángulos re s tantes e s me n o rq u e el á re a b a jo la c u rv a y = 1 / x 2 p a ra x5= 1, que e s el va lor d e la integral [“ (l f x 2) dx. Enla se c ción 7.8 d e s c u b r imo s q u e e s ta integral imp ro p ia e s con v e rg e n te y q u e tiene un valord e 1. De m o d o q u e la figura mu e s t ra q u e todas las suma s pa rc ia le s son me n o r e s queAs í, las suma s pa rc ia le s e s tán a cotada s . También s a b emo s q u e las suma s pa rc ia le s sonc re c ie n te s p orque todos los té rminos son positivos. Por lo tanto, las suma s pa rc ia le s c o n ­vergen, d e a cue rdo con el t e o r ema d e la sucesión mo n ó to n a , de m a n e r a que la serie esconvergente. La suma de la serie (el límite de las suma s parciales) es también men o r q u e 2:[El ma temá t ic o suizo Leo n h a rd Eu le r (1707-1783) c a lcu ló q u e la suma e x a c ta de e s ta seriee s Tr2/ 6 , p e ro la d emo s tra c ió n de e s to e s muy difícil. (Véase el p ro b lema 6 en los Pro b lema sadic iona le s d e sp u é s de l c ap í tu lo 15.)]A h o r a v e amo s la serien1' . - 2 ¿--I 7y/Ft5 3.231710 5.021050 12.7524100 18.5896500 43.28341000 61.80105000 139.9681" 1 1 1 1 1 12¡ ~ ^ = = —¡= + —— + —¡= H — H— — + • - */i—in v i/ 2 y 3 y 4 y 5La tabla d e valores de s,„ h a c e p e n s a r q u e las suma s pa rciale s no se a p ro x iman a un n úm e ­rofinito, d e mo d o q u e se sosp e c h a q u e la serie d a d a p o d r ía ser d ivergente. Ot ra vez us amo su n a imag en pa ra conf irmar lo. En la figura 2 se mu e s t r a la c u rv a y = l / y * , pe ro e s ta vezse usan re c tángulos c u y a parte supe r ior q u e d a por encima de la curva.La b a se de c a d a uno de los re c tán g u lo s e s un inte rvalo de longitud 1. L a a ltura es igualal valor de la función y — 1 f y f x en el e x tremo izquierdo de l intervalo. As í q u e la suma delas á reas de todos los re c tán g u lo s es1 1 1 1 1^ + ^ + + — + — + . . . = 2 —/=v 1 v 2 V3 y 45 ,i—i v nEs ta á re a total e s m a y o r q u e e l á rea ba jo la curva y = 1 f j x p a ra x > 1. q u e e s igual a la
  • 109. 716 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INF INITASPara usar la prueba de la integra necesitamosevaluar / " / { * ) dx y, por tanto, tenemos quehallar una antiderivada de/. Es frecuenteque esto sea difícil o imposible, de modo quetambién necesitamos otras pruetas paraconvergenciaintegral J " ( l /%/*") dx- Pero según la sección 7.8, e s ta integral imp ro p ia e s divergente . Enotras pa labra s , el á re a b a jo la c u rv a e s infinita. As i q u e la suma d e la serie debe ser infinita;e s de cir , la serie e s divergente.El m i smo tipo d e ra z o n amie n to g e omé t r ic o aplic ado p a ra e s ta s d o s series, se puedeh a c e r pa ra d emo s t ra r la p ru e b a siguiente. (La demo s tra c ió n se e n c u e n t r a al final de e s tase cción.)Pru eba de la in teg ra l S u p o n g a q u e / es u n a función c o n tin u a , pos itiva y d e c re c ientesobre [ 1, co) y s e a a„ = /(/?). E n to n c e s la serie a„ e s c onve rgente si y sólo si laintegral imp ro p ia / ” /(-*) d x e s convergente . En otras palabras :COi) S i [ /( .y) d x e s c o n v e rg e n te , e n to n c e s J a„ e s c o n v e rg e n te .co 00ii) Si I /"(.v) d x e s d iv e rg e n te , e n to n c e s J a„ e s div e rg e n te .*' »-iNOTA Cu a n d o use la p ru e b a de la integral no e s n e c e sa r io inic iar la serie o la integralen n = 1. Por e jemp lo , al p ro b a r la serie1 feo 1f " 1 r r d/x-Y„_4 (n — 3 )2 J*4 {t- yv -— 3 ) 2As imi smo , no es n e c e sa r io q u e / s e a siempre d ecre ciente . Lo imp o r tan te e s q u e / s e a fin a l­mentede cre ciente , e s decir, d e c re c iente p a ra x m ás grande q u e algún n úme ro N. En c o n ­sec u en c ia 2^-.v a„ e s con v e rg e n te , d e mo d o q u e a„ e s con v e rg e n te de a cue rdo con lan o ta 4 de la sección 11.2.EJEMPLO 11Pruebe la co n v e rg e n c ia o divergenc ia d e la serie 2 _j_ j •SOLUCIÓN L a fu n c ió n / ( jy ) = I / ( j r + I) e s continua , pos itiva y d e c re c ie n te sobre [1, o3)de mo d o q u e a p lic amo s la p ru e b a de la integral:= lím ( t/—co + 1d x — lím tan x¡l—o»- ' f - i17 17 174 ) 2 4 4Por tanto, J “ w + 1) d x e s u n a integral convergente y si e s así, de a cu e rd o con lap ru e b a de la integral, la serie £ 1 /( n 2 + 1) e s convergente.” 1| ¿ P a ra q i*é valores de p la serie 2 —^ e s conve rgente ?h— i nSOLUCIÓN Si p < 0, e ntonc e s l ím„ _ to ( l f n p) — co. Si p = 0, e ntonc e s ínn^ m(/ n p) — 1En c u a lq u ie r c a so lím„_«, ( l / n O ^ O . p o r lo q u e la serie d a d a e s divergente de a cue rdocon la p ru e b a d e la d iv e rg e n c ia (11.2.7).Si p > 0, e n to n c e s la func ión f( x ) =/ x p e s e v identemente c o n tinua , pos itiva yd e c r e c ie n te sobre [1, co). En el c ap í tu lo 7 [vé ase (7.8.2)] e n c o n t r amo s que1 ~ d x c o n v e rg e si p > 1 y diverge si p ^ 1
  • 110. SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 717De la prueba de la integral se infiere que la serie £ 1 / n r converge si p > 1 y divergesi O < p ^ 1. (En e l ca so de p = 1, e sta serie e s la serie armónica estudiada en e le jem p lo 8 de la se c c ión 11.2.)La serie de l e jem p lo 2 se llama serie p. Esto e s importante en e l resto de e ste capítulo,de m odo que se resumen lo s resultados d e l ejemplo 2 para referencia futura c om o se indicaa continuación.EJEM PLO 3a) L a serie" 1 1 1 1 12 —t — — H— j H— r “l— r + * * * n 3 l 3 2 3 4e s con v e rg e n te p orque e s u n a serie p con p = 3 > 1.b) La serieV 1 ñ 1 1 1 12 —ítt = 2 — 1 + + ~7r r + "Tr^ + 4' ’ ,ÍT, n ,/3 2 í / n </2 V 3 </4e s dive rgente p o rq u e e s u n a serie p con p = j < 1. ■ ■NOTA N o d e b em o s inferir qu e , de acue rdo c o n la p ru e b a d e la integral, la suma de laserie e s igual al va lor d e la integral. De hecho,CO I 2 1 2 —1 - — TT en tanto que f| “ —1 d, x — ,1,_i n~ 6 a ‘Por tanto, en genera lCO2 ^ Í 7 0 M ,* 1□ r — r i ln nDe te rmin e si la s e n e e s c onve rgente o divergente.«-i nSOLUCIÓN La f u n c ió n / ( a ) = (ln x ) /x e s positiva y c o n t in u a p a ra x > 1 p o rq u e la funciónloga r i tmo e s continua . Pero no e s obvio s i / e s d e c re c ie n te o no lo es, de mo d o q u e alc a lcu la r su derivada:, „ , 0 / 4 * - m .v _ 1 - ln ,vx - ~ x -Por t a n t o , / ' ( a ) < O c u a n d o ln a > 1, es decir, a > e. Se sigue q u e / e s d e c re c ientec u a n d o a > e, d e m a n e r a que p o d emo s aplicar la p ru e b a d e la integral:ln ad xI Apt ln a ( ln aV 1lím d x — l ím -------------t—.ta Jl X i—.m 2 J ,(ln 0límPuesto que e sta integral impropia e s divergente, la serie £ (ln n) /n también e s divergented e a cue rdo con la pru e b a de la integral ■ ■
  • 111. 718 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASEstimación de la suma de una serieS u p o n g a q u e p u d imo s aplic ar la p ru e b a d e la integral p a ra d emo s t r a r q u e u n a serie E a„ e sc onve rgente y q u e q u e r emo s e n c o n t r a r u n a aproxima c ión a la suma s de la serie. Porsupue s to, cu a lq u ie r suma parcial s„ e s u n a aproxima c ión a s p orque l ím „ _ „ s „ = s. Pero,¿qué tan b u e n a e s e s a a p ro x ima c ió n ? Pa ra saberlo, n e c e s i tamo s e s t ima r e l tama ñ o delresiduo.Vi;• = f(x)Xan+l üll+ 20 xF IG U RA 3R„ = s — s„ = a i + a„+2 + « fI+3 + ‘ “El re s iduo R„ e s el e r ro r que se c ome t e c u a n d o s„ la suma de los p r ime ro s n té rminos , seu s a c omo u n a a p ro x ima c ió n a la suma total.Us amo s la m i sma no ta c ió n y las ideas q u e en la p ru e b a de la integral, su p o n ie n d o quef e s d e c r e c i e n t e s o b r e [/?, co). Al c om p a r a r las á rea s d e los r e c t á n g u lo s c o n e l á r e a b a joy = f ( x ) p a r a x > n en la figura 3, v emo s queR„ = a„+ + a„+2 + * * • *£ f f ( x ) d xJnAs imi smo , en la figura 4 v emo s queR„ = í í ;H.| + a„+2 + » • < 3* | /( .v) d xJn+1De e s te m o d o h em o s d emo s t r a d o la s iguiente e s tima ción de error.|T1 Estimación del residuo para la prueba de la integral S u p o n g amo s quef( k ) = «a, d o n d e / e s u n a función c o n tinua , positiva y d e c re c ie n te p a ra x 5= n y E a„e s convergente . Si R„ = s — s,„ e n to n c e sf / ( .y ) d x * Z R„*¿ f f ( x ) d xV fj+l□ EJEMPLO 5 a) Ob te n g a un va lor a p ro x ima d o d e la suma de la serie X 1 (n s usa n d o la s um a d e losp r ime ro s 10 té rminos . Es time e l e r ro r involuc rado en e s ta aproxima c ión.b) ¿Cu án to s té rmin o s se requie ren pa ra a segura r q u e la suma no difiere en má s de0 .0 0 0 5 ?SOLUCIÓN En los inc isos a) y b) n e c e s i tamo s c o noc e r J “ /{.*) d x . Con f ( x ) = 1 /jy3, quesatis face las co n d ic io n e s de la p ru e b a integral, tenemosr 1 T 1 T / 1 11 —- d x = lím I 2x7 J m = lím i ------2-/- 7 H----2--n- -7 )] = —2n7a) Ap ro x im a n d o la s um a d e la serie p o r la 10-ésima suma pa rcial, ten emo s" 1 1 1 1 12 —r " ^i<> = — H f H----- r + 4‘ ‘ H T *“ 1 •1975 /i3 l 3 2 3 3 3 103De a cue rdo con e l re s iduo e s t ima d o en [2 ], tenemosfeo 1 '*10 ^ í ~ r d x10 a-3 2 (10)- 200De m o d o q u e el tama ñ o de l e r ro r e s cu an to mu ch o de 0.005.
  • 112. Aunque Euler calculó la sima exacta de lasseriesp para p = 2, no se ha encontrado lasuma para p = 3. Sin embargo, en el ejemplo 6mostramos cómo estimar esta suma.SECCION 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACION DE SUMAS 719b) L a pre ci s ión d e 0 .0 0 0 5 quie re d e c i r q u e d e b emo s e n c o n t ra r un va lor de n tal queR„ 0.0005. Puesto quero» i i— d x = — ^rJ» x 2 nq u e r emo s q u e ——r < 0 .0 0 0 5Al re solve r e s ta d e s ig u a ld ad , o b ten emo s1n 2 >0.0011000 o bien n > V i 0 0 0 ~ 3 1 .6Ne c e s i tamo s 32 té rmin o s p a ra ga rant iz a r una pre cis ión de n tro de 0.0005.Si sumamo s s„ a c a d a miemb ro de las de s ig u a ld ad e s en [2 ], o b ten emo s0porque s„ + R„ = s. Las desigualdades en [3] dan una co ta inferior y una cota superior para 5.Es tas c o ta s p ro p o rc io n a n u n a apro x ima c ió n más c e r te ra a la suma de la serie q u e la sumapa rcial s„.EJEM PLO 6 Use [3] con n = 10 p a ra e s t ima r la suma de la serie X 3SOLUCIÓN Las d e s ig u a ld ad e s en [3] resultanÍco 1 ro o 1—r d x < .V «Se .S'io + —7- d xII A’3 *'10 A3De l e jemp lo 5 s a b emo s queroo 1—X 7 d x — 2/7"Td e m o d o queI 15 ,0 + T 777T 2 ( 11)T < < v 10 + 2( 10)-Si u s amo s s»» 1.197532, o b ten emo s1.201664 ^ 5 ^ 1.202532Si a p ro x imamo s s p o r el p unto me d io de este intervalo, e n to n c e s e l e r ro r e s a lo má s lamitad de la longitud de l intervalo. A s í que ,CO J2 —Y ** 1.2021 con error < 0.0005N-i nSi c omp a r am o s el e jemp lo 6 c o n el e jemp lo 5, o b s e rv amo s q u e la e s t ima c ió n me jo rad aen [T| es mu c h o me jo r q u e la e s t ima c ió n s =* s„. Pa ra q u e el e r ror sea me n o r q u e 0 .0 0 0 5t e n emo s q u e usa r 32 té rmin o s en el e jem p lo 5, pe ro sólo 10 té rmin o s en el e jemp lo 6.
  • 113. 720 CAPITULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASO 1 2 3 4 5F IG U R A 5O 1 2 3 4 5F IG U R A 6L I Demostración de la prueba de la integralYa h emo s visto la id e a b á s ic a en q u e se a p o y a la d emo s tra c ió n de la p ru e b a d e la integralen las figuras 1 y 2 p a ra las series 2/ n 2 y 2 1 ¡f ñ . En el c a so de la serie genera l£ a,„ véanse las figuras 5 y 6. El á re a de l p r ime r re c tán g u lo somb re a d o de la figura 5 ese l valor d e / e n el e x t remo d e re c h o de [1, 2], e s d e c i r , / ( 2 ) = ai. De e s ta man e ra , al c om ­pa ra r las á reas de los re c tángulos somb re a d o s c cn el á re a b a jo y = / ( a ) d e sde 1 h a s ta no b s e rv amo s quen *0 i: + í í3 + • * ■ + íí„ < | / ( a ) d x 0 ,*1 a 2 *3 a4n- 1n *(Obs e rve q u e e s ta d e s ig u a ld ad d e p e n d e de l h e cho d e q u e / e s de c re c ie n te .) De ma n e r asimilar, en la figura 6 se mu e s t ra que[~5~] /( .y) d x < a¡ + ci2 + *' * + a r¡- i) s í r / ( x ) d x e s c onve rgente , e n to n c e s [Tjda»' i2 " . < | ' " / ( a ) íIx « f f { x ) d xz—2 * 1 *1p u e s to q u e / ( a) ^ O. Por tanto¡Is„ = a+ 2 a ’ ** "*■ f / (v) d x = Mi-2 • 1C omo iM p a r a to d a /?, la suc e s ión {5,,} e s tá a cotada p o r arriba. As imi smo ,Su+1 Su (i)t+1 ^ Suc om o a,l+i = f ( n + 1) 2= O. En e s tos té rminos , {s„} e s u n a suc e s ión a co tad a c re c iente y, dee s te mo d o , es c onve rgente de a cue rdo c o n el teorema de la suc e s ión mo n ó to n a (11.1.12).Es to s ignifica q u e 2 a„ e s convergente.ü ) s i e s divergente, entonc es j ”f ( x ) d x —» co c u an d o n —* co p o r q u e / ( a ) ^ 0.Pero c o n [3] o b ten emo s/I— If| / ( a ) d x í 2 dj = 5»-iy p o r tanto 5„-i —> co. Es to imp l ic a que s„ —> co, luego e n to n c e s 2 a„ diverge. I ^ HEjercicios1. Dibuje una gráfica para demostrar que~ I I212 ~n7 TT< I, ~xZ*?d x¿Qué puede concluir con respecto a la serie?2 . Suponga que f es una función continua, positiva y decrecientepara x > 1 y a„= f( n ) En una gráfica acomode las trescantidades siguientes en orden creciente.5 *[ / ( . r ) d x 2 a i 2 a i3-8 Mediante la prueba de la integral determine si la serie esconvergente o divergen.e.3. ;i-2l y/-nco5- 2 (2n + l ) !n- + ICO/I—I ^/1 - 1 N//i 4- 48. 2 n 2* - 'I - :| Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 114. SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 7219-26 Determine si la serie es convergente o divergente.19 . 2 10. 2i i i i1 1 . i + — + — + — + — +8 27 64 12512. 1 + 1— + 1 = +1 = 1 + — +2 y f l 3 n/3 4 "4 5 v' 5l i l i13. I + — + — + — + — +3 5 7 934. Leonhard Euler calculó la suma exacta de la serie p para" i _ -Í ( 2 ) = 2 ^ t = ^»— I Ti O(Veáse página 715.) Use este hecho para encontrar la suma decada serie:• >,«2-2 nb» 2„ - 3 (/ I + 1 ) ';) 2 7TTT„-i (2/t)„ 1 1 1 1 114. — + — + — + — + — +5 8 I I 1 4 1 715. 16. 2 ~ r17. 2 —„-i n~ + 419. 2In n,Z. » + I18- 23/? — 4»-i n„_3 n — ¿n20. 2121. 2i n In n“ e xf"23.»— i n25. 2 —„-i n~ + 6 / j + 1322. 21t/_2 «(ln n )2„-i /?' + n/I24- 2 - 7 .;- 3 C„-i n + 127. 2.i-l v n28. 2I + .I'29. 2„_2 ..(In31. 2 ..(l + n 2)'30. 2„_3 n ln n [ln(ln n)]p32. 2In n./-ifW - .2.-i -ny se usa en teoría de los números para estudiar la distribuciónde los números primos. ¿Cuál es el dominio de £?35. Euler también encontró la suma para la serie p con p = 4:Utilice el resultado de Euler para encontrar la suma de las series:a) 1(0 b) 2(A - 2 Y27-28 Explique por qué no es posible utilizar la prueba de laintegral para determinar si la serie es convergente.29-32 Determine los valores de p para los cuales la serie esconvergente.1 ” 133. La función zeta de Riemann £ se define como136. a) Calcule la suma parcial Jiode la serie Z?-i 1 fn*.Estime el error al usar í w como aproximación a la sumade la serie.b) Use |T| con n = 10 para conseguir una estimación mejoradade la suma.c) Compare su estimación en el inciso b) con el valor exactodado en el ejercicio 35.d) Calcule un valor de n tal que s„ no difiera más de 0.00001del valor de la suma.37. a) Mediante la suma de los primeros 10 términos, estimela suma de la serie £7-i I¡n~. ¿Qué tan buena es laestimación?b) Mejore esta estimación usando [T]con n = 10.c) Compare su estimación en el inciso b) con el valor exactodado en el ejercicio 34.d) Encuentre un valor de n que dé la certeza de que el error enla aproximación s « s„ es menor que 0.001.38. Calcule la suma de la serie l /« 5 con una aproximación detres cifras decimales.39. Estime 2?»! (2/í + l) - 6 con una aproximación de cincodecimales.40. ¿Cuántos términos de la serie 2.7-2 l/[w(ln n )“] se necesitaríansumar para calcular la suma que no difiera de 0.01?41. Demuestre que si queremos aproximar la suma de la serieS.7-1 n~' "l de modo que el error sea menor de 5 en la novenacifra decimal, entonces ¡necesitamos sumar más de 1011301términos!42. a) Demuestre que la serie 2.7-1 (ln n Y /n 2 es convergente.b) Encuentre una cota superior para el error en laaproximación s « s„.c) ¿Cuál es el valor más pequeño de n tal que esta cotasuperior sea menor que 0.05?d) Encuentre s„ para este valor de /?.
  • 115. 7 2 2 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS43. a) Mediante [T| demuestre que si s„ es la /i-ésima suma parcialde la serie armónica, entoncesI I In nb) La serie armónica diverge, pero muy lentamente. Con ayudadel inciso a) demuestre que la suma del primer millón detérminos es menor que 15 y que la suma de los primeros milmillones de términos es menor que 22.44. Siga los pasos siguientes para demostrar que la sucesión1 1 1— 1 + h — + * ** H ln n2 3 ntiene un límite. (El valor del límite se denota con y y sedenomina constante de Euler.)a ) Dibuje un d ia g ram a com o la f ig u ra 6 c o n / (A ) = 1 / .v ein te rp re te t„ com o un á re a [o use [TJ] pa ra d em o s tra r quet„ > 0 p a ra to d a n.b) Interpretet„ — ¿i+i = [ln(#i + i) — ln n ] — -n + 1como una diferencia de áreas para demostrar que t„ — f„+i > 0.Por tanto, {/„}es una sucesión decreciente.c) Use el teorema de la sucesión monótona para demostrar que{/„} es convergente.45. Determine todos los valores positivos de b para los cuales laserie oX»-r -i br, ln ii converge.46. Encuentre todos los valores de c para los que converge lasiguiente serie„ - in >i + 1Pruebas por comparaciónEn las pru e b a s p o r c omp a ra c ió n , la id e a e s c omp a ra r u n a serie d a d a con u n a serie q u e y ase sabe que e s c onve rgente o divergente . Por e jemplo, la serieiZi 2" + 1n os r e cu e rd a la serie l /2 " , q u e e s u n a serie g e omé t r ic a con a = y y r = y, por lo quee s conv ergente. C omo la serie [T ]es s imila r a la serie c onve rgente , se pre s iente q u e tambiéndebe ser convergente . De h e c h o , a s í es. L a d e s igualdad1 12 " + 1 ^ 2"d emu e s t r a q u e la serie d a d a [T] tiene té rmin o s menore s q u e los d e la serie g e omé t r ic a y,p o r tanto, todas las suma s pa rciale s son tamb ién más p e q u eñ a s q u e 1 (la suma de la seriegeomé tric a) . Es to quie re d e c i r q u e las suma s parciales forman u n a suc e s ión c rec ientea cotada , la c u a l e s convergente . As imi smo , se infiere q u e la suma d e la serie e s me n o r quela suma de la serie geométrica:2>1-1Un ra z o n amie n to s imila r se p u e d e u s a r p a ra d emo s t ra r la p ru e b a siguiente , la c u a l seaplic a sólo a series c u y o s té rminos son positivos. La p r ime ra p a r te dice q u e si ten emo s unaserie c u y o s té rmin o s son m e n o r e s q u e los de una serie c o n v e rg e n te con o c id a , e n to n c e sn u e s t ra serie también e s convergente . La s egunda pa r te e s table c e q u e si em p e z am o s conu n a serie c u y o s té rmin o s son m a y o r e s q u e los d e u n a serie d iv e rg e n te co n o c id a , e n to n c e stamb ién e s divergente.La prueba por comparación S u p o n g amo s que 'la ,, y l b „ son series con té rmin o s p o s i ­tivos.i) Si l b „ e s convergente y a„ b„ pa ra toda n. e ntonc e s l a „ también es convergente.ii) Si l b „ es dive rgente y a„ b„ p a ra toda n , e n to n c e s l a „ también e s divergente.
  • 116. SECCIÓN 11.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN 723Es importante estar atente a la distinción entresucesión y serie. Una sucesión es un listado denúmeros y una serie es una suma. Con cadaserie la „ hay dos sucesiones asociadas: lasucesión {«„} de términosy la sucesiónde sumas parciales.Serie estándar usada conla prueba porcimparaciónDEMOSTRACIÓNn Mi) Se a s„ — 2 ¿i, /„ — 2 bi * — 2 b "j™i »™iPue s to q u e amb a s series t ienen té rmin o s positivos, las su c e s ione s {5,,} y {/„} sonc re c ie n te s (s„+1 = s„ + ci„+ 5= 5,,). As imi smo , t„ —* /, a s í q u e t„ t p a ra to d a /?. Comoai bi ten emo s s„ t„. De e s te mo d o , s„ =S t p a ra to d a n. Es to s ignifica q u e {.s,,} esc re c iente y e s tá a co tad a su p e r io rmen te y, por tanto, converge p o r el t e o r ema desu c e s ione s mon ó to n a s . As í, 2 a „ e s convergente.ii) Si 2 b „ es dive rgente , e n to n c e s /„ —* a>(pue s to q u e {t,} e s c rec iente) . Pero a, 5= bitd e mo d o q u e s„ 5= t„. A s í q u e s„ —> co. Por tanto, diverge. ■Por supue s to, al usa r la p ru e b a por c omp a ra c ió n e s n e c e sa r io tene r a lg u n a serie c o ­no c id a 'Lb,, p a r a los fines de la comp a ra c ió n . La ma y o r í a de las vece s se usa u n a de e stasseries:■ Un a serie p [ 2 1 /n p q u e converge si p > 1 y diverge si p 1; véase (11.3.1)]■ Un a serie g e omé t r ic a e s convergente si | r | < 1 y e s divergente si | / | 5= 1;vé a s e (11.2.4)]_ 0 5| De te rmin e si la serie 2 0 2 . 4 T"~Te s c onve rgente o divergente.2 / r + 4n + 3SOLUCIÓN En el c a s o de n grande el té rmin o d omin a n te en el d e n omin a d o r e s 2 / r , dem o d o que c omp a r em o s la serie d a d a con la serie 1 .5 /(2 n 2). Ob s e rv e que5 5<n~ + 4 n + 3 2 / rp orque el lado izquie rdo tiene un d e n omin a d o r m á s grande. (En la notac ión d e la pru e b ap o r c omp a ra c ió n , a„ e s tá en e l lado izquie rdo y b„ en e l lado d e re c h o .) Ya s a b emo s que$ 5 _ 5 ” 1£ 1 2 / r " 2 í i n2e s coiive igcnle p orque e s u n a cuiis laule poi una serie p c o n p — 2 > 1. Por lanío,Z2 / r -I- 4/i + 3e s con v e rg e n te de a cue rdo con el inciso i) de la p ru e b a por c omp a ra c ió n .NOTA 1 Au n q u e la c o n dic ión a„ b„ o bien, a„ 2= b„ en la p ru e b a p o r c omp a ra c ió n e sp a ra toda /?, e s n e c e sa r io verificar sólo q u e se c ump le p a ra n > N, d o n d e N e s algún ente roe s tab le c id o , p orque la co n v e rg e n c ia de u n a serie no e s tá a fe c ta d a p o r un n úme ro finito deté rminos . Lo ante r ior se i lus tra con e l e jemplo siguiente._ _ _ _ _ . “ I n *Pruebe si la serie ¿ d es c onve rgente o divergente.a - i kSOLUCIÓN Us amo s la p ru e b a d e la integral para inves tiga r e s ta serie en el e jemp lo 4 de lasección 11.3, p e ro también e s pos ible proba r la por c omp a r a c ió n con la serie a rmónica .Ob s e rv e q u e In k > 1 p a ra k 2= 3 y d e e s a man e ra
  • 117. 7 2 4 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASS a b emo s q u e Z I / k e s dive rgente (serie p con p = 1). A s í q u e la serie d a d a e s divergentede a cu e rd o con la p ru e b a p o r c ompa ra c ión.NOTA 2 Los té rmin o s d e la serie q u e e s tamo s p ro b a n d o d e b en ser me n o re s que los deu n a serie con v e rg e n te , o may o re s q u e los de u n a serie divergente . Si los té rmin o s son másgrande s q u e los té rmin o s d e u n a serie convergente , o bien, me n o re s que los de u n a seriedive rgente , e n to n c e s la pru e b a por comp a ra c ió n no aplica. Por e jemp lo , c o n s id e r e laserie~ 2" - ILa d e s igua ldad1 1> -2" — 1 2 'e s inútil en c u a n to a la p ru e b a p o r c omp a ra c ió n p orque 2¿>„ = 2 (y) e s c onve rgente ya„ > b„. Sin emb a rg o , la impre s ión e s que 2 1/ ( 2” — l ) tiene q u e se r c onve rgente porquee s mu y p a re c id a a la serie g e omé t r ic a convergente 2 ( 4 ) . En tales c a so s p o d emo s aplic arla p ru e b a siguiente.Prueba por comparación del límite S u p o n g a que Za„ y Zb„ son series con té rminosLos ejercicios 40 y 41 tratan los casos c = 0 positivos. Siye = co.a nlím — = cM b„d o n d e c e s un n úm e ro finito y c > 0, e n to n c e s amb a s se r ies c o n v e rg e n o amb a sdive rgen.DEMOSTRACIÓN Sean m y M n úme ro s positivos tales q u e m < c < M. C omo a„/b„ e s tác e rc a n o a c p a r a n grande , exis te un ente ro N tal quem < — < M c u an d o n > Nb„y p o r tanto mb„ < a„ < Mb„ c u an d o n > NSi Zb„ e s c onve rgente , también lo e s ZMb„. As í Za„ e s c onve rgente según el inciso i)p o r la p ru e b a por c omp a ra c ió n . Si Zb„ d iverge también Zmb„ e s dive rgente y por elinciso ii) de la p ru e b a por c omp a r a c ió n Za„ diverge.EJEMPLO 3 Pruebe si la serie 2 T7, r e s convergente o divergente2 — 1SOLUCIÓN Us amo s la p ru e b a p o r c omp a r a c ió n del límite con2 " — 1b„ =2"y o b ten emo s1 / (2 " - 1) 2" 1lím — = l ím 7 = l ím ------------- = -l ím ------------ —1 / 2 " »—«o 2 " - 1 1 - 1 ¡ 2 "= 1 > 0
  • 118. SECCIÓN 11.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN 725Pue s to q u e exis te este límite y Z 1/2 " e s una serie g e omé t r ic a c onve rgente , la serie d a d ac o nve rge d e a cu e rd o c o n la p ru e b a por c omp a ra c ió n de l límite.EJEMPLO 4. Z 2n2 + 3 nDe te rmin e si la s e n e y — e s c onve rgente o divergente.Z i v'5 + ñ 5SOLUCIÓN La parte d omin a n te del n ume ra d o r e s 2 n2 y la parte d omin a n te deld e n omin a d o r es yfñ* — n 5A Es to sugiere efectuar2 n 2 + 3/iV5 + /i5b„2 n2 2~ ,?5r- ” n ifl2 n1 + 3 n n 'fi 2n*t* + 3 n 3*2 — límv 5 + n* 2 2 V 5 + /I532 + —n 2 + 0-----------------— 1/ 5 2V^+I 2 y/0 + 1Pue s to q u e Zb„ = 2 Z 1 / n xn e s dive rgente (es u n a serie p con p — y < 1), la serie d a d adiverge de a cue rdo c o n la p ru e b a p o r c omp a ra c ió n de l límite.Ob s e rv e q u e al p ro b a r mu c h a s series e n co n t ramo s u n a serie de c omp a ra c ió n a d e c u ad aZb„ c o n s e rv a n d o sólo las p o tenc ia s má s altas en e l n ume r a d o r y en el d enominador .I Estimación de sumasSi h emo s us a d o la p ru e b a p o r c omp a ra c ió n pa ra d emo s t ra r que u n a serie Za„ e s c o n v e r ­gentepor c omp a ra c ió n con u n a serie Zb„, e ntonc e s se puede h a c e r u n a e s t ima c ió n d e lasuma Za„ al c om p a r a r los re siduos. C omo en la se c ción 11.3, c o n s id e remo s e l res iduoR„ “ 5 S„ “ Í'/1+I "4“ ^n+-2 “b ' * *En c u a n to a la serie de c omp a r a c ió n Zb„ c o n s id e remo s el re s id u o c o r re sp o n d ie n teT„ = t — t„ = /;„+i + blH.2 + • * *Pue s to q u e a„ ^ b„ p a ra toda n, ten emo s R„ ^ T„. Si Zb„ e s u n a serie p, p o d emo s e s t ima rsu re s id u o T„ c om o en la sección 11.3. Si Zb„ e s u n a serie g e omé t r ic a , e n to n c e s T„ e s lasuma d e u n a serie g e omé t r ic a y p o d emo s suma r la e x a c tame n te (v é an se e je rc ic ios 35 y 36).En c u a lq u ie r c a so, s a b emo s q u e R„ e s men o r q u e T„.| Co n la suma de los pr ime ros 100 té rmin o s a p ro x ime la s um a d e la serieZ 1 / ( n 3 + 1). Es t ime e l e r ro r in voluc rado en e s ta aproxima c ión.SOLUCIÓN C omo1 1* 3 + lla serie d a d a e s c onve rgente d e a cue rdo con la p ru e b a p o r comp a ra c ió n . El re s id u o Tnp a ra la serie de c omp a ra c ió n Z 1 / n J y a lo h emo s e s t ima d o en el e jemp lo 5 de la sección11.3 p o r med io de la e s t ima c ió n del re s id u o p o r la p ru e b a d e la integral. Al l íe n c o n t r amo s que
  • 119. 726 CAPITULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASPor tanto, el re s id u o Rn de la serie d a d a c ump le conR„ < T„ «S ——-2 n~Con n = 100 ten emo s*mn ^ - = 0 .0 0 0 0 52(100)-Con u n a c a lc u la d o r a p ro g rama b le o u n a c omp u ta d o ra , re su l ta queeo i 100 iS i /? ; t , 1, ” 2 i n ■ t . 1, " 0con un e r ro r me n o r q u e 0.00005..6864538Ejercicios1. Supongamos que 2a„ y "2b,, son series con términos positivos yque se sabe que 2b„ es convergente.a) Si a„> b„ para toda n, ¿qué podemos decir respecto a 2a,?.¿Por qué?b) Si a„< b„ para toda n, ¿qué podemos decir respecto a 2 a ,?¿Por qué?2 . Suponga que 2a„ y 2 d„ son series con términos positivos y quese sabe que 2 b „ e s divergente.a) Si a„ > b„ para toda n, ¿qué podemos decir de 2 a ,? ¿Por qué?b) Si a„< b„ para toda n, ¿qué podemos decir respecto a 2 a .?¿Por qué?3-32 Determine si la serie es convergente o divergente.3. 2 ^ —Z i 2n + ICO , ,Zr (— >*i nyjn9 "5 . 2 "CO 7 ? co9 . 2JMco11. 2« ■ 2 -, » i 3 + 10"ln k. ,2 n - 1" /i - I6. „l-i^ n r y/rnV> ,n8. S - 5—,i- i 5 — 110. 2í1 + *k sen2A-t - i V * 3 + 4 * + 313 . 2are tan n■ (2 A — l){A2 — l )' ¿K (A + I )(A2 + 4)2/?1 2» ,,«+115. 2 - ,Z3 " - 217 . 2I,_i v^ T T19. 2l + 4 "" I + 3 "1 4 . 2i/-:co16 . 2 w—l, £ v^3n* + 1co18 . 2I20. 22/7 + 3/t + 4 ">/—i « + 6 "21. 2„ .i 2n~ + n + I23 . 25 + 2/?22. 2 /i + 2" , (I + u )2 4 . 2(/í + 1)n 2 - 5/,“ n ' + n + I2 5 . 2x/,i4 + 125- 2 =n-2 n y’ /i2 — 127 i M -29 . 2 -..-i "31!, sen(v)2 8 . 2 — n—I /I2 /2.n-l n33-36 Mediante la suma de los primeros 10 términos, obtenga unvalor aproximado de la suma de la serie. Estime el error.33- «2-I —y/n + 1CO3 5 . 2 5 “" e o s2/?34. 2.1-1 »36'3 7 . El significado de la representación decimal de unnúmero O.didydj... (donde el dígito di es uno delos númerosO, I, 2... .,9) es quedi dy d j dA0 .d td 2d 3d i . . . ------+ ^ - + — y + — ¡- +10 I0 2 103 104Demuestre que esta serie siempre es convergente.1. Tareas sugeridas disponibles en stew artcalculus.com
  • 120. SECCIÓN 11.5 SERIES ALTERNANTES 72738. ¿Para qué valores de p la serie l/{wr ln w) es convergente?39. Demuestre que si a„ ^ 0 y 2 a , converge, entonces 2 a ltambién converge.40. a) Suponga que 2 a , y 2 b„ son series con términos positivos yque 2¿>„ es convergente. Demuestre que sil. í.m —a» = 0" b„entonces 2 a , también es convergente,b) Mediante el inciso a) demuestre que la serie converge.¡) 2ln ni n¡i) 2ln n, _ i y fñe"41. a) Suponga que 2 a , y 2 b„ son series con términos positivos yque 2í>„es divergente. Demuestre que silím — = <*>••—n b„entonces 2 a , también es divergente.b) Use el inciso a) para demostrar que la serie es divergente.o 2ln ni ln n ü ) 2/i-i n42. Proporcione un ejemplo de un par de series 2 a , y 2¿>„contérminos positivos donde l ím„ _M (a„/b„) " 0 y Y.b„ diverge,pero 2 a , converge. [Compare con el ejercicio 40.J43. Demuestre que si a„ > 0 yím „ - .a n a „ j* 0, entonces 2 a , esdivergente.44. Demuestre que si a . > 0 y 2 a , es convergente, entonces2 ln ( I + a,) es convergente.45. Si 2 a , es una serie convergente con términos positivos, ¿escierto que 2sen(a,) también es convergente?46. Si 2 a , y 2¿>„son series convergentes con términos positivos,¿es cierto que 2 a„b„ también es convergente?Series alternantesLas pru e b a s d e c o n v e rg e n c ia que se han e x amin a d o h a s ta a h o ra se aplican sólo a series conté rmin o s positivos. En e s ta se c ción y en la siguiente , se e s tu d ia c óm o tratar con seriesc u y o s t é rm in o s no son n e c e s a r iam e n t e positivos . De p a r t i c u l a r im p o r t a n c i a son lass e r ie s a lte r n a n te s , c u y o s té rmin o s se alternan en signo.Un a serie alternante e s u n a serie cuyos té rmin o s son a lte rn a d ame n te positivos ynegativos. A q u í h ay d o s e jemplos :1 1 1 1 1 ^ v i 1i - - + ------------+ ---------------+ — = 2 (-0 —2 3 4 5 6 n ~n1 2 3 4 5 6- + ------------+ --------------+ ----------------- = 2 ( “ O " -----------2 3 4 5 6 7 ,Z i n + 1De a cue rdo con e s tos e jemp lo s , el /í-é s imo término d e u n a serie a lte rnante e s d e la fo rmaa„ = { - 1 o bien a„ = { - 1 )"b„d o n d e b„ e s un n úme ro positivo. (De h e cho, b„ = |¿7„|.)La s iguiente p ru e b a e s table c e q u e si los términos de u n a serie a lte rnante d e c re c en h a c ia0 en va lor absoluto, e n to n c e s la serie converge.Prueba de la serie alternante Si la serie alternanteco2 ( — = b— ¿>2 + ^ 3 — b + +■ b $ — ¿ 6 +c ump le coni) ¿>,I+1 < b n pa ra toda nii) l ím ¿ > „ = 0II—cOe n to n c e s la serie e s convergente .b „ > 0
  • 121. 728 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASAn tes de proporcionar la demostración v ea la figura 1, la cual e s una representación dela idea en que se apoya la demostración. Primero dibujamos 5 | = b { sobre una rectanumérica. Para determinar s2 restamos b 2y de modo que s2 e stá a la izquierda de j,. Luego,para determinar s3 sumamos b 3, de modo que s3 está a la derecha de s2. Pero c om o b 3 < b 2,s3 e stá a la izquierda de 5 |. A l continuar de esta manera, observamos que las sumasparciales oscilan ha cia atrás y ha cia adelante. Puesto que b„ —» 0 , lo s pasos su c e siv o s sevu e lv en más y más pequeños. Las sumas parciales pares s2, siy 5*,... se incrementan, ydecrecen las sumas parciales impares s u s3y 5j,___ A s í, parece plausible que ambasconverjan en e l m ism o número s, e l cual e s la suma de la serie. Por c on sigu ien te , en lademostración siguiente se consideran por separado las sumas parciales pares e impares.F IG U R A 1DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA SER IE ALTERNANTE Primero conside ram o s las sumasparciales pares:s 2 ~ b — b2 > 0 puesto que b 2 < b54 — s2 + ( ¿ 3 — b4) > puesto que b4 «S ¿ 3En general si,, — 5 2 ,,-2 + (¿ 2,,-i — b2ll) > 52«-2 puesto que /?2« < b2n- Por e sto 0 < 52 54 < so «S * * * < S2„ < 4 * *Pero también pod em o s escribir52» — b 1 — ( ¿ 2 — b i) — (¿>4 — bs) — * 4 * — {bi„ -2 — b in -1) — bi„Todos los términos entre paréntesis son po sitiv o s, de modo que 52» ^ b para toda n. Portanto, la sucesión {5¿i} de las sumas parciales pares se incrementa y e stá acotada porarriba. D ebido a e so , de acuerdo con e l teorema c e la su ce sión monótona e s convergente.Llamemos 5 a su límite, e s decir,lím 52» = 5I I —‘ COAhora ca lcu lem o s e l límite de las sumas parciales impares:lím 52,1+1 = lím (52,, + b2„+i)>1 — CO ,1—»co= 1l1ím 52,, + lím ¿ 2 ,1+1 —•co ;,—•«>= 5 + 0 (.según la c o n d ic ió n ii)J= 5Pue s to q u e tanto la suma pa rcial p a r c omo la suma pa rcial imp a r c o nve rgen a 5,ten emo s l í m 5 „ = 5 (vé ase e l e je rc ic io 92a ) de la se c ción 11.1), por lo que la seriee s convergente . ■
  • 122. SECCIÓN 11.5 SERIES ALTERNANTES 729En la figura 2 se ilustra el ejemplo 1; se EJEM PLO 1muestran las gráficas de los términos« „ = ( - ! Y ~ 'jn y las sunas parcialess„.Observe cómo los valores de ¿.van en zigzagdentro del límite, el cual al parecer estáalrededor de 0.7. De hecho, la suma exacta dela serie es ln 2 * 0.693 Ivéase ejercicio 36). c ump le conLa serie a rmó n ic a alternante1 1 12 3 4 = 21 1 +i) bn+i < b„ perqué1ii) lím b„ — lím —h— co n—»eo fj1 1< —n + 1 nde mo d o que la serie es convergente de acuerdo con la prueba d e la serie alternante.□ EJEMPLO 2“ ( — 1 ) " 3 /?L a serie 2 * ----------------e s alternante pero„■! 4 « — 13/7 3 3lím b„ — l ím --------------— l ím ---------------— —II—CO II—CO 4/7 — 1 I/—CO | 44 -------np o r lo que la c o n dic ión ii) no se c ump le . En c amb io , v e amos e l límite de l n - é simoté rmin o de la serie:lím a„ = lím(— 1 )"3/i4/? - 1Este límite no exis te , de m o d o q u e la serie es dive rgente d e a cue rdo con la pru e b ad e la divergencia.E JEM P LO 3 Pruebe si la serie 2 (—0 ”H e s c onve rgente o divergente.,_> «•’ + 1SOLUCIÓN La serie d a d a e s alte rnante, de modo q u e t ra temo s de c omp ro b a r lasc o n d ic io n e s i) y ii) de la p ru e b a d e la serie alternante.A d i fe re n c ia de la situación en el e jemp lo 1, no e s obvio q u e la suc e s ión d a d a porb„ = r f / in * + 1) s e a de cre ciente . Sin emb a rg o , si c o n s id e r amo s la func ión re la c io n a d a/ ( * ) = -v2/(jc3 + 1), e n c o n t ramo s queV(- - -v] )<v! + 1):Pue s to q u e se c o n s id e ra n sólo x p o s i t iv a s , / ' '* ) < O si 2 — x 3 < O, e s decir, x >/2De e s ta m a n e r a , / e s d e c re c ie n te sobre el intervalo (-^2”, <*>). Es to s ignifica queEn lugar de verificar la cordición i) de la prueba / ( / i + 7) < f { n ) y, por tanto, b„+ j < b„ c u an d o n ^ 2. (La de s ig u a ld ad b 2< b¡de la serie alternante calculando una derivada, se puede c omp ro b a r de m a n e r a direc ta , pe ro lo q u e re a lmente imp o r ta e s q u e lapuede comprobar q u e ^ < í . . directamente s u c e s j -n d e c re c e co n e ,usando la técnica de la solución 1 del ejemplo ,13 de la sección 111 c o n d ic ió n n ) se c om p ru e b a rápidamentelím b, lím —r--------co „ 4. ¡lím_1_n1 +As í. la serie es con v e rg e n te de a cu e rd o con la p ru e b a de la serie alternante.
  • 123. 730 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASEstimando sumasUn a suma pa rcial s„ d e c u a lq u ie r serie convergente se puede u sa r c om o u n a aproxima c ióna u n a suma total s, pe ro no se recurre mu c h o a esto, a me n o s q u e se e s t ime la exac titud dela ap ro x ima c ió n . El e r ro r involuc rado al u sa r s s„ e s e l re s iduo R „= s — s„. El teo remas iguiente e s table c e que p a ra las series que c umplen c o n la c o n d ic ió n de la p ru e b a de laserie alte rnante, el tama ñ o de l e r ro r e s me n o r que b„+1, lo c u a l e s e l va lor a bsoluto delp r ime r té rmin o ignorado.Desde el punto de vista de la geometríapodemos ver por qué el teorema de estimaciónpara series alternantes es verdacero alexaminar la figura 1 (en la página 728)lObserve que s - sA< ¿?5,s - | < btY así sucesivamente. Note también que squeda entre dos sumas parcialesconsecutivas.T e o r em a d e e s tim a c ió n p a r a s e r ie s a lte r n a n te s Si s = 2 ( — e s la suma de u n aserie a lternante q u e c ump le coni) « b„ y ii) lfm b „ — 0n —*0»e n to n c e s350II>11Su | í / )«+ 1DEMOSTRACIÓN S a b emo s de la d emo s t ra c ió n para la p ru e b a d e series a lternantesq u e s q u e d a entre d o s suma s pa rc ia le s conse cutiva s s„ y s„+l. (Ya h emo sd emo s t r a d o q u e s e s m a y o r q u e todas las suma s parciales pares. Un a rg ume n tos imila r d emu e s t r a q u e s es me n o r q u e toda s las sumas impa re s .) Se infiere que| s ~ s„ | sS 15„+i - | =P o r d e f in ic ió n . O ! = I (-0 | Ca lcule la suma d e la serie 2 ~-----— con u n a a p ro x ima c ió n de trescif ra s de c ima le s . n 'SOLUCIÓN Pr ime ro obs e rv amo s q u e la serie e s convergente de a cue rdo con la p ru e b a dela serie a lte rnante p orquei) (/? + !)! n! ( / i + l ) n1 1 1ii) O < — < * O p o r t a n t o ----------» O c u a n d o /; —* conn nPa ra ver cu án to s té rmin o s n e c e s i tamo s u sa r en nue s tra a p ro x ima c ió n , e s c r ib amo s losp r ime ro s té rmin o s de la serie1 1 1 1 1 1 1 1S O! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!i i i i i , i J _ , J _ _ i ,“ 1 ‘ 2 ~ t> ’ 24 ~ 120 720 — 5040 T * * *Ob s e rv e que — 5040 ^ 5(XX) — 0.0002Í 6 = l - 1 + T - S + ¿ - -® + 7 f e » 0 .3 6 8 0 5 6En la sección 11.10 se demuestra quee ' — x"/n para toda x, de modo queresultado del ejemplo 4 es en realidad unaaproximación al numero p~xDe a cue rdo con e l teo rema de la e s t ima c ió n de la serie alte rnante, se sabe que| s - s6 1 < b - ¡ < 0 . 0 0 0 2Este e r ro r de me n o s de 0 .0 0 0 2 no a fe c ta la tercera c if ra d e c ima l , de m o d o q u e ten emo ss 0 .3 6 8 que e s c o r re c ta h a s ta la te rc e ra c if ra d e cimal. H
  • 124. SECCIÓN 11.5 SERIES ALTERNANTES 731® NOTA La regla d e que el e r ro r (al usa r s„ p a ra a p ro x ima r s e a s) e s me n o r q u e el p r ime rté rmin o ig n o rad o e s en gene ra l vá lida sólo pa ra series a lte rnantes q u e c ump le n c o n lasc o n d ic io n e s de l t e o r ema de la e s t ima c ió n de la serie alternante. La regla no se aplic a aotros tipos de series.Ejercicios1 . a) ¿Qué es una serie alternante?b) ¿En qué condiciones una serie alternante converge?c) Si estas condiciones se cumplen, ¿qué puede decir conrespecto al residuo después de n términos?2-20 Pruebe las series para ver si son convergentes o divergentes.o 2 2 , 2 2 , 2 Z. j — 5 + 7 “ 9+11 “ ' ‘ '4 1 - 1 + 1 - 1 + 1p l yfh V4 /5 y/Z5. 2“1 2 n + I3 n - 1» ( - o - -, S ln(« + 4)8. 2 ( - 1)“v"/>’ + 2 n2 n + 3n s + 413 . 2 ( - 1 y - ' e 2*1n—Isen(« + 3)112. J í - i p ' n c - "’ 5' I + v'V17. | ( - i r ^ " ( 7 )19- 2 I —M '16 . 5 ¡n eos m 7n-l l18 . l í - ' V ' c o s ^20. i ( - i } 1 v ' ñ + 7 - V5T)21-22 Grafíque las sucesiones de términos y la sucesión de sumasparciales en la misma pantalla. Utilice la gráfica para hacer unaestimación de la suma de las series. Después utilice el teorema dela estimación de las series alternantes para estimar la suma con unaaproximación de cua:ro decimales.21. 2( - 0 .8)”23-26 Demuestre que la serie es convergente. ¿Cuántos términos dela serie necesitamas sumar para determinar la suma con laexactitud señalada?0 /—ly'-*-12 3 . 2 {--------- (| error | < 0 .0 0 0 0 5 )«—1 n” i— 1 v*2 4 . 2 ( (error | < 0 .0001)>»—1 n 5° í—IV'2 5 . 2 - 7 7 7 T T ( | e n o r | < 0 .0 0 0 0 0 5 )nmí) 10 n .2 6 . 2 (“ )n~ xne~n ( | error | < 0 .0 1 )27-30 Obtenga un valor aproximado de la suma de la serie con unaaproximación de cuatro cifras decimales.2 7 . S( - 1 )„ .i ( - ”)O)2 9 . S2 8 . S ( - T 1„-i n1 0 " 3 0 . 2 ^.4—1 3 t l -3 1 . ¿Es la 50a. suma parcial a» de la serie alternante27-, ( - 1 una sobreestimación o una subestimación de lasuma total? Explique.32-34 ¿Para qué valores de p es convergente cada serie?3 2 . 23 3 . 2„-i n + p3 4 . 2 ( “ O " Y« - 1 « ■3 5 . Demuestre que la serie S ( — I )"~xb,„ donde b„ = 1 //? si /i esimpar y b„ = 1 f n 2 si n es par, es divergente. ¿Por qué no aplicala prueba de la serie alternante?Se requiere calcu adora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 125. 7 3 2 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS36. Siga los pasos siguientes para demostrar queS < ^ = , „ 2„-i nSean /?„ y s„ las sumas parciales de las series armónica yarmónica alternante,a) Demuestre que Si,, = /i¿, — h,rb) Según el ejercic.o 44 de la sección 11.3 tenemosh„ — ln n —* y cuando n —* <»y, por tanto,/i¿, — ln(2n) —* y cuando n —* «>Apoyándose en estos hechos y el inciso a), demuestreque 51.» ~ 1* ln - cuando n —* <».Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raízDa d a u n a serie S í7„, p o d emo s c o n s id e ra r las series c o r re sp o n d ie n te sCO2a »= | t f | | + 1^2 | + | t f3 | + 4 "...Ic u y o s té rmin o s son los valores absolutos de los té rminos de la serie original.Hay pruebas para la convergencia para seriesm Definición Un a serie e s l lamad a a b s o l u t am e n t e c o n v e r g e n t e si la serie decon términos positivos y para series alternantes.valores a b solutos £|¿v„| e s convergente .Pero, ¿y si los signos de los térm nos cambiande manera irregular? En el ejemplo 3, seobserva que la idea de la convergencia absolutaayuda algunas veces en talescasos. Ob s e rv e que si e s u n a serie con té rminos positivos, e n to n c e s |¿í„| = a„ y por, tanto,la co n v e rg e n c ia ab so lu ta e s lo m i smo q u e la c o n v e rgenc ia en este caso.11.6EJEM PLO 1 La serie_ L _ L _ _ L" , / r 2 2 32 42e s a b so lu tamen te c onve rgente porque( “ O"e s u n a serie p con v e rg e n te (p = 2).EJEM PLO 2 Ya s a b emo s que la serie a rmó n ic a alternante£ ( - 1 ) " -1 1 1 12 - — -— = i — + ------------- +" n 2 3 4e s c onve rgente (vé ase e jemp lo 1 de la se c ción 11 5), p e ro no e s ab so lu tamen tec onve rgente p orque la serie co r re sp o n d ie n te de valores absolutos es( - i r ” i í i i= 2 — = i + — + — + — +, 3 n 2 3 4q u e es la serie a rmó n i c a (serie p con p = 1) y, por tanto, e s divergente.
  • 126. SECCIÓN 11.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 733En la figura 1 se ilustran las gráficas de lostérminos au y las sumas parciales .v„ de la seriedel ejemplo 3. Observe que la serie no esalternante, pero tiene términos positivos ynegativos.0.5 ■ww.. I l ^O nF IGURA 1|~2~l Definición Un a serie Z a „ se l lama condicionalmente convergente si e s c o n v e r ­gentep e ro no a b so lu tamen te convergente.En e l e jemp lo 2 se mu e s t ra que la serie a rmó n ic a a lte rnante e s c o n d ic io n a lme n te c o n ­vergente.As í, es pos ible q u e u n a serie sea convergente , p e ro no ab so lu tamen te c o n v e rg e n ­te.Sin emb a rg o , el t e o r ema s iguiente mu e s tra q u e la c o n v e rg e n c ia ab so lu ta impl ic aconvergencia .|~3~| Teorema Si u n a serie 2 a„ e s a b so lu tamen te c o n v e rg e n te , e n to n c e s e s c o n v e r ­gente.DEMOSTRACIÓN Ob s e rv e q u e la de s igualdad0 ' Z a n +a „* * 2a n e s c ie r ta porque |fl„| e s a„ o bien, — a„. Si 2 f l „ e s a b so lu tamen te c onve rgente , e ntonc e s2 |¿ í„ | e s con v e rg e n te , a s í q u e 2 2 |¿ í „ | e s convergente. Por tanto, según la p ru e b a de lac omp a ra c ió n , 2 (a„ + |« „ | ) es convergente . E n tonc e s2 a " = 2 (a " ~ | a « |) ” 2 | a >• |e s la d i fe re n c ia d e d os series co n v e rg e n te s y, por tanto, convergente . ■| De te rmin e si la serie« e o s n e o s 1 e o s 2 e o s 32 i— — ------i 1--------i— H ; h * * '« 2 l 2 2 3e s con v e rg e n te o divergente.SOLUCIÓN Es ta serie p ose e té rmin o s tanto positivos c om o negativos , pe ro no esa lternante. (El p r ime r té rmin o e s positivo, los s iguiente s tres son negativos , y los otrostres q u e siguen son positivos . Los s ignos no siguen un pa trón regular.) P o d emo s aplicarla p ru e b a de c omp a ra c ió n a la serie d e valores absolutosPue s to q u e |c o s /i| 1 p a ra toda n , entonc es|c o s n | 1i ^ ~S a b emo s q u e 2 1 / n 2 e s con v e rg e n te (serie p c o n p = 2) y, por tanto, 2 | c o s /? | / / i 2 escon v e rg e n te según la p ru e b a por c ompa ra c ión. De e s ta man e ra , la serie d a d a 2 (eos n ) / n 2e s a b so lu tamen te c onve rgente y, d e b id o a eso, con v e rg e n te de a cu e rd o con e l t e o r ema 3.La p ru e b a s iguiente e s mu y útil p a ra d e te rmin a r si u n a c ie r ta serie e s a b so lu tamen te c o n ­vergente.
  • 127. 7 3 4 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASPrueba de la razónA..+1a„i) Si límn—oi= L < 1, e n to n c e s la serie ]/=(y, p o r tanto, conve rgente ) .ii) Si límn—tocilt+a„= L > l , o bien, lím/I—CO a nes divergenteiii ) Si lím= co, e n to n c e s la serie 2 a„= 1, la pru e b a d e la razón no e s c o n c lu y en te ; es decir,no se puede sncnr c o n c lu s ió n a lguna con respecto a la co n v e rg e n c iao a la d iv e rg e n c ia d e 2 a„.DEMOSTRACIONi) L a id e a e s c omp a r a r la serie d a d a c o n u n a serie g e omé t r ic a convergente . Puesto queL < 1, p o d emo s e legi r un n úme ro r tal q u e L < r < 1. Comolím^«+i= L L < rla razón a„+l/a„ ev en tu a lmen te será me n o r q u e r; e s decir, exis te un e n te ro N tal que< r siempre q u e n > Na„o, e q u iv a len teme n te0 I a„+11 < | í j„ | r siempre que /? > NAl h a c e r n suc e s ivamente igual a N, N + 1, N + 2, . . . en [TL se obtiene| AjV+I | < | tf,v | /' a N+2< |«,v+i | r <a N r 2| íTat+3 | < 10 v+2 1 /' <a ,r 2y, en genera l,0A h o r a la seriecis+k | < | a N | r* para to d a k > 12 I « . v | /A = I«.v| r + |« . v | r 2 - f | a N | r 3 + * ■ •( - ie s c onve rgente p orque es u n a serie g e omé t r ic a con 0 < r < 1. De mo d o q u e lade s ig u a ld ad [31 junto con la p ru e b a de la comp a ra c ió n d emu e s t r a q u e la serie2 | a » | = 2 | a N+k | = | «,v+i | + | rt.v+2 | + 1«V+3 | +
  • 128. SECCIÓN 11.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 735La prueba de la razón generalmente esconcluyente si el n-ésimo término de la seriecontiene un exponencial o factorial, comovimos en los ejemplos 4 y 5.Estimación de sumasEn las tres últimas secciones usamos variosmétodos para estimar la suma de una serie, y elmétodo depende de cuál prueba se usaba parademostrar la convergencia. ¿Qué sucede con lasseries para las cuales sí funciona la prueba dela razón? Hay dos posibilidades: si la serie esalternante, como en el ejemplo 4, entonces esmejor aplicar los métodosde la sección 11.5. Sitodos los términos son positivos, entoncesaplicamos los métodos especiales que seexplican en el ejercicio 38tamb ién e s convergente . Se infiere q u e la seriea¡¡ |e s convergente . (Re cue rde queu n a c ant idad finita de té rmin o s no a fe c ta la convergencia .) Por tanto, 'Za,, esa b so lu tamen te convergente .ii) Si L > l , o b i e n , ci„+fci„—> co, e n to n c e s la razón a lt+{lcine v en tu a lmen te se rá ma y o r q u e 1; e s decir, existe un e n te ro N tal que¿b»+1> 1 siempre q u e n > NEs to s ignifica q u e |¿7;H-i | >|¿*«| s iempre q u e n > /V y de este mo d o ,lím a„ 5^ OI I—»coEn c o n s e c u e n c ia , h a „ e s dive rgente según la p ru e b a p a ra la d ivergencia .NOTA La pa r te iii) de la p ru e b a de la razón e s table c e q u e si lím„-*<o |¿zn+ i / t f „ | = I, lap ru e b a no p ro p o rc io n a informa c ión. Por e jemplo, en c u a n to a la serie c onve rgente £ 1 / t i 2ten emo s( - ) c u a n d o /? —* comie n t ra s q u e p a ra la serie divergente £ 1 //? tenemosn + 11/?n + 1c u a n d o n —* coPor tanto, si lím„_o» ü„+fa„ | = 1, la serie Y,a„ p o d r ía ser convergente o divergente . Ene s te c a so, la p ru e b a de la ra zón no func iona , por lo q u e d e b em o s aplic ar otra prueba.EJEM PLO 4 Pruebe si la serie 2 (— O" — es ab so lu tamen te convergente .nwm 3"SOLUCIÓN Apl ique la p ru e b a d e la ra zón con a„ = (— l)"/?3/3":( - 1 )"*'(/! + l ) !rt/í+l 3»+i _ (y/ + l ) 3 ( 3"Cln ( - i ) V3"3"+l n3< 1De e s ta man e ra , de a cu e rd o con la p ru e b a de la ra zón, la serie d a d a es absolutamentecon v e rg e n te y, en c o n s e cu e n c ia , convergente. I
  • 129. 7 3 6 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASQ Pruebe la c o n v e rg e n c ia d e la serie 2 — .SOLUCIÓN Pue s to q u e los té rmin o s a„ = n " /nson positivos , no n e c e s i tamo s los s ignosde l valor absoluto.(/i + 1) n "(n + !)(/? + 1)" n( n + 1)/?! * n "c u a n d o n —* co(Véase e cu a c ió n 3.6.6.) Puesto q u e e > 1, la serie d a d a e s divergente según la pru e b ade la razón. ■NOTA A u n q u e la p ru e b a d e la razón fu n c io n a en el e jemp lo 5, un mé to d o m á s fácil esu sa r la p ru e b a de la divergencia . Comon" n ♦ n * .............. ....> nn 1 - 2 - 3 - - * -se infiere q u e a„ no t iende a 0 c u a n d o n —> co. Por tanto, la serie d a d a e s dive rgente segúnla p ru e b a p a r a la d ivergencia .Es conveniente aplic ar la s iguiente p ru e b a c uando hay p o tenc ia s w-ésimas. Su d em o s ­tración e s s imila r a la de la p ru e b a de la razón y se d e ja p a ra el e je rc ic io 41.Prueba de la raízCOi) Si lím ¡ a „ | ™ L < 1, e n to n c e s la serie 2 a » e s ab so lu tamen te c o n v e rg e n te“ r _ l(y, p o r tanto, conve rgente ) .COi i ) Si lfm /c i„ I = L > I o lím v | a » I = °°» e n to n c e s la serie co ----“ 2 a„ e s d iv e rg e n te .iii) Si lím/a n | — 1, la pru e b a de la raíz no e s conc luyente .,1—. coSi l ím ;r_to y | a„ | = 1, e n to n c e s el inciso iii) de la p ru e b a de la raíz e s table c e que lap ru e b a no p ro p o rc io n a informa c ión. La serie p o d r ía ser con v e rg e n te o d ivergente. (SiL = 1 en la p ru e b a de la ra zón, no intente con la p ru e b a d e la raíz p orque L será otra vez1. Y si L = 1 en la p ru e b a de la raíz, no intente la p ru e b a d e la razón porque tambiénfallará.)□ B M — « y » A / 2/í + 3 yPruebe la co n v e rg e n c ia de la s e n e >. I ---------------] . 3 / i + 2 ^SOLUCION2 +2 n + 3 /?ya „ = ------------- = — — < 11 1 3/i + 2 2 33 H------/?As í, la serie d a d a converge según la pru e b a de la raíz.
  • 130. SECCIÓN 11.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 737Sumar ceros no afecta la suma de la serie; cadauno de los términos de la sucesión de sumasparciales se repite, pero el límite es el mismo.ReordenamientosLa p re g u n ta d e si u n a serie d a d a que e s convergente e s a b so lu tamen te c onve rgente o c o n ­dic io n a lmen te con v e rg e n te , tiene re la ción con la p re g u n ta si las suma s infinitas se c om p o r ­tanc om o las suma s finitas.Naturalmente, si re o rd e n amo s los términos en u n a suma finita, entonc es el valor de lasuma no c ambia. Pero esto no siempre sucede en las series infinitas. Con r e o r d e n am i e n t ode una serie infinita Z a„ se d a a entende r una serie obtenida simplemente al c amb ia r el ordende los términos. Por e jemplo, un reordenamiento de Z a„ podr ía emp e z a r c omo sigue:CI + Cl2 + Cl5 + C¡3 + CI4 + ¿í|5 + «6 4- «7 4* «20 +Re sul ta quesi Z a„ e s u n a serie absolutamente c onve rgente c o n suma s,e n to n c e s c u a lq u ie r r e o rd e n amie n to d e Z a „ tiene la m i sma suma s.Sin emb a rg o , cu a lq u ie r serie con d ic io n a lme n te convergente se puede reordena r , con loc u a l la suma será d istinta. Pa ra ilus tra r este h e cho co n s id e re la serie a rmó n i c a alternante1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 1 , , ~1 — 2 + 3 “ 4 + 5 “ f¡ + 7 — ST + « ■ ’ — ln 2(Véase e je rc ic io 36 en la se c ción 11.5.) Si mu lt ip lic amo s la serie por y, o b ten emo s2 41 +1 6' • • • = i l n 2Si in s e r tamo s c e ros entre los té rmin o s de esta serie, ten emo s[ 7 ] O + 3 + O 41 +. 0„ +, 6j +, „o ,1 + • • • = 4 l n 2A h o r a s um amo s la serie d e las e cu a c io n e s 6 y 7 u s a n d o e l teo rema 11.2.8:E 1 + T - Í + ? + 7 - :í + -----------2 ln 2Ob s e rv emo s q u e la serie en [8 ] c o n s ta de los mismos té rmin o s q u e en [ó], p e ro re o rd e n a d o sd e mo d o que h a y a un té rmin o negativo de spué s de c a d a p a r de té rmin o s positivos. Pero lassuma s d e e stas series son diferente s . De hecho, Riemann d emo s t ró quesi Z a „ e s u n a serie co n d ic io n a lme n te convergente y r e s c u a lq u ie r n úm e ro real,e n to n c e s h a y un r e o rd e n amie n to d e Za„ q u e tiene u n a suma igual a r.Un a d emo s t r a c ió n de este h e ch o se p lan te a en e l e je rc ic io 44.Ejercicios1. ¿Qué puede decir acerca de la serie Sr /„ en cada uno de loscasos siguientes?a) límc) lím11—10«/1+1b) límn—« = 0.82-30 Determine si la serie es absolutamente convergente,condicionalmente convergente o divergente." (—2)"2. 2 - M -„-i n3- 1/—I -1«■ E <—1)',—1 —j9. ,,-i n11. s(— 1 )V / '/_i n13. 2 10"Z i (n 4- l)42'6 y ( - • »' A (2/7 4- 1);co8. 2n„-i 100"10. S ( - l ) - 7 =>/—1 v /i + 212. Ssen 4n4"14- 2 Z i ( - 1 0 ) " 41. Tareas sugeridas disponibles en stew artcalculus.com
  • 131. 738 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS15. 2{—l)" arctan n 3 e o s nu-i wco / .1 7 . 2„_2 ln /»1 9 . 2c o s (mw/ 3 ).i n2 -? — cua rn. i n f - 2V-» *1 .a - i s f c ? - «-i n21« / 1»2 + 1 y' 2w 2 + ! )? ( • : )22 . 2 (-= ^ Y « + I y23~ w100100"2 2 , ;—-ít! co*■1 - 3 1 * 3 * 5 I * 3 * 5 * 72 7 . I -----------------+ + * * *3! 5! 7!, . . 1 - 3 * 5 ................ (2/i - l)+ ( - i ) ------------ ;-----------(2n - 1r)! ---------- + ‘2 2 * 6 2 ♦ 6 ♦ 10 2 • 6 ♦ 10 • 142 8 . — H H-------------------------- H-------------------------------------+5 5 - 8 5 - 8 * 1 1 5 - 8 * 1 1 * 142 * 4 * 6 * ■ * * • (2/?)2 9 . 23 0 . 2 2 "n!5 * 8 * 1 1 <3„ + 2 )3 1 . Los términos de una serie se definen en forma recursivamediante las ecuacioneser, = 25,7 + l«11+I -- ~ 0 ,4/7 + 3Determine si Sr ,„e s convergente o divergente.3 2 . Una serie Srt„está definida por las ecuacionesa i — 12 + eos n« i/41 ™Determine si Se/,, converge o diverge.33-34. Sea {/;„} una sucesión de números positivos que converge aDetermine si la serie dada es absolutamente convergente.3 3 . 2b" eos iiw3 4 . 2„ .i n "b ib 2b 3 ■ - - b„35. ¿Para cuáles de las series siguientes la prueba de la razón no esconcluyente (es decir, no proporciona una respuesta definida)?a) 2 —./-! '»( - 3 )11-1 y/n2 ti11-1 -od ) 2 - ^„ . l 1 + ,7 '3 6 . ¿Para cuáles enteros positivos k la serie siguiente esconvergente?v { " 'Y/,-! (*«)!3 7 . a) Demuestre que x"/nconverge para toda x.b) Deduzca que lím„_cox ' j n ! = 0 para toda x3 8 . Sea Ser,, una serie con términos positivos y sea r„ = a„+i/a„.Suponga que lím„_M ,„ = / . < 1, de modo que Sr,„ esconvergente según a prueba de la razón. Como es lo usual, seaR„ el residuo después de n términos, es decir,R„ = «/+! + «//+2 + + * * *a) Si {/„} es una sucesión decreciente y /„+i < 1, demueslie conla suma de una serie geométrica queR„ <5«//+!I - r„+,b) Si {r,,} es una sucesión creciente, demuestre quea . . j . iR„ *I - L3 9 . a) Calcule la suma parcial ssde la serie 2ÍÍLi l/{,72"). Conayuda del ejercicio 38 estime el error al usar sscomo unaaproximación a la suma de la serie,b) Determine un valor de ,7 de tal modo que s„ no difiera0.00005 de la suma real. Use este valor de /? para obtener unvalor aproximado de la suma de la serie.4 0 . Use la suma de los primeros 10 términos para obtener un valoraproximado de la suma de la serieCO»-i -Aplique el ejercicic 38 para estimar el error.4 1 . Demuestre la prueba de la raíz. [Sugerencia para inciso i):tome cualquier número r tal que L < r < 1 y utilice el hechode que hay un entero ,V tal que y | a„ | < /• siempre que n 5= ,V.J4 2 . Hacia 1910, Srinivasa Ramanujan, matemático de la India,descubrió la fórmula1 2 y 2 ^ (4 ,7)! <1 103 + 26390,,)iT 9 801 (»!)4396jWilliam Gosper utilizó esta serie en 1985 para calcular losprimeros 17 millones de dígitos de 77.a) Verifique que la serie es convergente.b) ¿Cuántos lugares decimales correctos de 77 obtiene el lectorsi usa sólo el primer término de la serie? ¿Qué pasa si usados términos?43 . Dada cualquier serie Ha„, definimos una serie S«„+ cuyos términosson todos positivos de Se?„ y una serie Ser- cuyos términos sontodos negativos de S a„. Para ser específicos, sea«,t«// | «n |9
  • 132. SECCIÓN 11.7 ESTRATEGIA PARA PROBAR SERIES 739Observe que si a .> O, entonces a* = a„ y aZ = a», mientrasque si a„ < O, entonces aZ = a„ y a,t = 0.a) Si 2¿/„es absolutamente convergente, demuestre que tantola serie Z a t como la Z a Z son convergentes.b) Si Za„ es condicionalmente convergente, demuestre quetanto la serie Za+ como la Z a z son divergentes.4 4 . Demuestre que si 2¿r„es una serie condicionalmenteconvergente y r e s cualquier número real, entonces hay unreordenamiento de 2¿í„cuya suma es /: [Sugerencias: utilicela notación del ejercicio 43. Tome sólo suficientes términospositivos ¿r,t de modo que su suma sea mayor que r. Luegosume sólo suficientes términos negativos az, para que la sumaacumulativa sea menor que r. Continúe así y aplique el teorema11.2.6.J4 5 . Suponga que a serie Za„ es condicionalmente convergente.a) Demuestre que la serie Z n 2a „ e s divergente.b) La convergencia condicional de Za„ no es suficiente paradeterminar si Z n a „ e s convergente. Demuestre esto dandoun ejemplo de una serie condicionalmente convergente talque Z na„ converge y un ejemplo donde Zna„ diverge.Estrategia para probar seriesYa ten emo s varias man e ra s d e p ro b a r la c o n v e rgenc ia o d iv e rg e n c ia d e u n a serie; a h o ra elp ro b l ema e s d e c id i r c u á l p ru e b a aplic a r en c a d a serie. En e s te a spe cto, p ro b a r series esp a re c id o a integrar funciones. No hay reglas r ígidas y rápida s con re spe c to a qué pru e b aaplic ar a u n a serie d a d a , p e ro puede seguir las re c ome n d a c io n e s siguiente s , q u e le puedenser útiles.No e s prudente aplic ar u n a lis ta d e pruebas en un orden e spe cíf ico h a s ta q u e u n a fu n ­cione . Eso se r ía un d e sp e rd ic io de t iemp o y e s fuerzo. En lugar de e so , al igual q u e en laintegrac ión, la e s t ra teg ia pr inc ipa l e s clasificar las series d e a cue rdo con su fo rm a .1 . Si la serie e s de la fo rma 2/ n p, es una serie p , lo c u a l s ignifica q u e escon v e rg e n te si p > 1 y divergente si p 1.2. Si la serie e s de la forma 2 a r " ~ l o Z a r " , e s u n a serie g e omé t r ic a , la cualc o nve rge si | r | < 1 y diverge si | r | 1. Se podr ían re que r i r a lg u n a s o p e ra c ione sa lgebra ic a s pa ra h a c e r q u e la serie adquie ra e s ta forma.3. Si la serie pose e u n a fo rma s imila r a la d e u n a serie p o a u n a serie geomé t r ic a ,e n to n c e s se d e b e c o n s id e r a r u n a d e las pru e b a s p o r c omp a ra c ió n . En particular,si ¿i/, e s u n a func ión ra c iona l o u n a función a lg e b ra ic a de n (es decir, q u e contienera íc es de po l in omia le s ) , e n to n c e s la serie se d e b e c om p a r a r c o n t r a u n a serie p .Obs e rve q u e la ma y o r í a d e las series de los e je rcic ios 11.4 p ose en e s ta forma.(El valor de p se debe e s c o g e r c omo en la se c ción 11.4, y c o n s e rv a r sólo lasp o tenc ia s má s altas d e n en el n ume ra d o r y en el d en omin a d o r . ) Las pru e b a s porc omp a ra c ió n se aplican sólo en series c o n té rmin o s positivos , p e ro si 2 a„ tienea lgunos té rmin o s negativos , e n to n c e s p o d emo s aplic a r la p ru e b a p o r c omp a ra c ió na 2 |¿ í„ | y p ro b a r si h a y co n v e rg e n c ia absoluta.4 . Si e s fácil v e r que l í m a„ 0, e ntonc e s se debe aplic ar la p ru e b a p a ra ladivergencia .5. Si la serie e s de la fo rma 2 ( — 1 )"~xb„, o bien, 2 ( — 1 )"b„, e n to n c e s u n a posibilidadobvia e s la p ru e b a d e la serie alternante.6. Las series q u e c o n tie n en factoriales u otros p ro d u c to s ( inc luso u n a c ons tantee le v ad a a u n a p o ten c ia /?-ésima) se pr.ieban en fo rma a c eptable u s a n d o la pru e b ad e la razón. Siemp re piense q u e |¿7„+i/¿iw| —» 1 c u a n d o n —* co pa ra toda s lasseries p y, p o r tanto, toda s las funciones ra ciona le s o a lgebra ic a s d e n. En e stasc o n d ic io n e s , la p ru e b a de la raíz no se d e b e aplic ar p a ra d ich a s series.7. Si a„ e s de la fo rma (£„)", e n to n c e s la pru e b a de la raíz p o dr ía se r útil.8. Si a„ = f ( n ) , d o n d e J,” /(•*) d x se puede ev a lu a r con facilidad, e n to n c e s la p ru e b ad e la integral e s e fec tiva ( su p o n ie n d o q u e la hipóte s i s de e s ta p ru e b a se c umple ) .
  • 133. 740 CAPITULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASEn los e jemp lo s siguiente s no se p re s en ta todo e l de sa rrollo, sino q u e s imp lemen te sein d ic a q u é p ru e b a se d e b e usar.□ EJEMPLO 1y n - l¿ i 2 n + 1Pue s to q u e a„ —* t t 6 O c u a n d o n —> co, d e b e u sa r la p ru e b a p a ra la divergencia.EJEM PLO 2 / n 3 + 13/i3 + 4/?“ + 2C omo a„ e s u n a función a lg e b ra ic a d e /?, c ompa re la serie d a d a con la serie p . La serie dec omp a ra c ió n pa ra la p ru e b a d e c omp a ra c ió n en el límite e s d o n d eb„ =n*r-3/i3 3/?3 3/?3/2□ EJEMPLO 3Pue s to q u e la integral Jj* x e 1 d x se e v a lú a con facilidad, use la p ru e b a d e la integral. Lap ru e b a de la razón también funciona.EJEMPLO 4n+ 1C omo la serie e s alte rnante, aplique la p ru e b a de la serie alternante.□ EJEMPLO 5 5 irC omo la serie contiene A'!, se aplic a la p ru e b a de la razón.EJEM PLO 6n— I, - +~ 3J "La serie e s tá e s t r e c h ame n te re la c io n a d a con la serie g e omé t r ic a 2 1 /3", p o r lo q u e seaplic a la p ru e b a p o r comp a ra c ió n . IEjercicios1-38 Pruebe si las series son convergentes o divergentes.1- -i + 3 "3- I ( - O " z i + 25- 2i r TI./-2 riyj ln n9.Z (2„ + I)"" , «*-4 £ < - * 7 T 2co .6. 2“i 2/i + 12 k<* + 2)!10. ¿ n V " 1Z 3" //*13. 2 — .,-1 «!2 * - ,3*+i15- 2A-lCO17. 21 2 * 5 - 8 (3 n - 1)“ / IV'-118. 2 V './-2 y/n — 12. sk y jk 2 + l14. 2H— ICO16. 2sen 2/t" , I + 2"/ r + 1#i3 + 1
  • 134. SECCIÓN 11.8 SERIES DE POTENCIAS 741vi , . ln /i19. S —,1-121. 2 ( - l ) " c o s ( l / , r )— 10923. 2 tan(l//i)_ n:25- 2 —27. 2A- ln £í T l y20. 2 y* - ik —1 k { y f k + l )1sen k 22. 2 ~A 2 + se0924. 2 n sen(l/w)M—I” n 2 + 126. 2 ^ 7 “n—I Jo 1/f28. 2 ^i nSeries de potencias29. 2 < - 0 "„_i cosh nca C k«■ 2 T í33*r, 3' + 4 -„T» + 1 /35' n ' + 'A'37. 2 ( ^ 2 - 0"30- 2 ( - 0 ' - ^ Tvi (/»!)"32. 2 ± J r „-l ti34. 2„_i n + n eos~n36. 21" pn « y -38. 2 ~ 0Un a s e r i e d e p o t e n c i a s e s u n a serie de la formam 2 CnXn = co + C l .r +■ C2X 2 + C3A'3 4-Series trigonométricasUna serie de potencias es una serie en la cualcada uno de los términos es una funciónpotencia. Una serie trigonométrica2 («» eos nx + b„ sen « a )es una serie cuyos términis son funcionestrigonométricas. Este tipo de serie se analiza enel sitio webwww.stewartcalculus.comHaga clic en Additional Topicsy luego enFourier Series.Nótese qued o n d e a-e s u n a v a r iable y las c„ son cons tante s llamad o s c o e f ic ie n te s d e la serie. Pa ra c ad aa- fija, la serie [T ] es u n a se r*e de c o n s tan te s que p o d emo s p ro b a r pa ra ver si son c o n v e rg e n ­teso divergentes. Un a serie d e p o tenc ia s podr ía ser c onve rgente p a ra a lgunos va lore s d e a:y ser divergente p a ra otros. La suma de la serie e s u n a función/ ( a ) ™ Co + C|.Y + c i x 2 + ♦ ♦ ♦ + c„x” + ♦ ♦ ♦c u y o d omin io e s e l c o n ju n to de todas las Ap a ra las c u a le s la serie converge . Ob s e rv e que/ e s an á lo g a a u n a func ión pol inomia l . L a única d i fe re n c ia e s q u e / tiene un infinito detérminos .Por e jemp lo , si tomamo s c„ = 1 p a ra toda /?, la serie de p o tenc ia s se t ra n s fo rma en unaserie g e omé t r ic aCO2 -v" = 1 + a + a2 + ■ • • + a" + • ■ •timi)q u e e s c onve rgente c u a n d o — 1 < a < 1 y es divergente c u a n d o | a | > 1. (Véase e cua c ión11.2.5.)Má s g e n e ra lme n te , u n a serie de la formaa 2 c„(x — « ) " — Co + C | ( * — « ) + C2( x — a)~ +se d e n om in a s e r i e d e p o t e n c i a s e n (x — a ), o bien, s e r i e d e p o t e n c i a s c e n t r a d a e n a , otambién, se r ie d e p o t e n c i a s e n t o r n o a a. Observe que al escribir el término cor re sp o n d ie n tea n = 0 en las e cu a c io n e s 1 y 2, se h a adoptado la con v en c ió n de q u e ( a — a)° = 1 aunc u a n d o a = a. As imi smo , note q u e c u a n d o a = a todos los té rmin o s son 0 p a ra n > 1 yd e e s te mo d o la serie de p o tenc ia s [T] siempre e s c onve rgente c u a n d o a = a.□ EJEM PLO 1 ¿ P a r a q u é valores d e Ala serie J /?!a " es convergente*SOLUCIÓN Ut i liz amos la p ru e b a d e la razón. S e a a,„ c om o se a co s tumb ra , el w-ésimoté rmin o de la serie, e n to n c e s a„ = y?! a " . Si x¥= O, ten emo s+ - 1) « • -3 - 2 - 1 lím — lím+ 1)/í! co a„ II—*co(/? -I- l )! a i ^,,+1— lím { w + l ) | a | — c °
  • 135. 7 4 2 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASSegún la p ru e b a d e la ra zón, la serie e s divergente c u a n d o x ^ 0. Así, la serie d a d ac o nve rge sólo c u a n d o x = 0.” ( y — 3 )"□ EJEMPLO 2¿Pa ra q u é valores de x la serie T e s c o n v e rgente ?„-i nSOLUCIÓN Seazz,, = ( x — 3 )" /n . E n tonc e stf/l+ l ( y - 3 ) " + l na n n + 1 ( y - 3 ) "I Y — 3 I | V — 3 |1 +•c u a n d o n —* coDe a cue rdo con la p ru e b a d e la ra zón, la serie dada e s ab so lu tamen te con v e rg e n te y, portanto, con v e rg e n te c u a n d o | x — 3 | < 1 y divergente c u a n d o | x — 3 | > 1. A h o ra| .y — 3 | < 1 - 1 < a — 3 < 1 2 < .y < 4de mo d o q u e la serie c o nve rge c u a n d o 2 < x < 4 y diverge c u a n d o x < 2 o bien x > 4.La p ru e b a d e la razón no p ro p o rc io n a informa ción c u a n d o |.y — 3 | = 1 d e mo d o qued e b em o s c o n s id e ra r x = 2 y x = 4 p o r sepa rado. Si p o n emo s x = 4 en la serie, re sulta2 1 / « , la serie a rmó n ic a , la c u a l e s divergente . Si .y = 2 , la serie es 2 ( — 1 ) " / n , la c u a l esc onve rgente de a cue rdo con la p ru e b a de la serie alternante. Por tanto, la serie dep o tenc ia s d a d a converge p a ra 2 x < 4.Ve remos q u e e l u so pr inc ipa l de las series de potenc ias e s p ro p o rc io n a r u n a m a n e r a dere p re s e n ta r alguna s de las func ione s má s impor tante s que surgen en ma temá tic a s , física yquímic a . En particular, la suma de la serie de pa tenc ia s de l e jemp lo s iguiente se llamaf u n c ió n d e Bessel, en h o n o r al a s t ró n omo a lemán Friedrich Be s se l (1 7 8 4 -1 8 4 6 ) , y lafunción d a d a en el e je rc ic io 35 e s otro e jemp lo c e la func ión de Bessel. En e fe c to, estasfunc ione s surgieron p r ime ro c u a n d o Be s se l resolvió la e cu a c ió n d e Keple r p a ra de sc r ibi re l mo v imien to de los planetas. De sde e s a época , e s ta s func ione s se aplican en diversass i tuac iones físicas, sin olvida r la d is tr ibuc ión de tempe ra tura s en u n a lámin a c ircula r y lasvibra c ione s de u n a m em b r a n a de un tambor.Observe cómo la aproximación del modelogenerado por computadora (el cual utilizafunciones de Bessel y de cosenos) coincide conla fotografía de una membrana v bratoria dehule.EJEM PLO 2 De te rmin e el d omin io de la función de Be s se l de orden 0 d e f inida porJo(x) = ¿ —3-2 (/?!)SOLUCIÓN S e a a„ - ( - l ) V " / [ 2 2,f(/i!)2]. Entonc es¿ b » + i ( - 1 ) " + , . y 2<"+ 1 > 2 2" ( nf2 2<"+ i , [ ( / i + l ) ! ] 2 ( - 1 ) V "2 2"(/r!)22 2"+2(/r + l ) 2(«! ) :2 x~0 < 14 ( „ +ypara toda jyDe e s te mo d o , d e a cue rdo con la p ru e b a d e la razón, la serie d a d a converge pa rato d o s los valores d e x. En otras pa labra s , el d omin io de la func ión d e Be s se l J 0 es(-c x > . co) = |R.
  • 136. SECCIÓN 11.8 SERIES DE POTENCIAS 743F IG U R A 1Sumas parciales de la funciónde Bessel / 0F IG U R A 2FIGURA 3Re cue rde q u e la suma de u n a serie es igual al límite de la suc e s ión d e las suma s p a r ­ciales.De e s a man e ra , c u a n d o se define la función de Bessel de l e jemp lo 3 c om o la sumad e u n a serie s ignifica q u e , p a ra todo n úme ro real x," / _ i y x *Jo{x) = lím .s „( .v ) don d e v „ ( . v ) = 2S 2 !)Las pr ime ra s suma s pa rc ia le s son. . . X X X . . 4 X ' •^(v) = 1 -------— F — ^ { a) = 1 -------— h4 64 2 304 ' 4 64 2 304 1 4 7 4 5 6En la figura 1 se mue s tran las gráficas de estas suma s pa rciale s , las c u a le s son func ione sp ol inomia le s . Toda s son a p ro x ima c io n e s de la func ión Jo, p e ro obse rve q u e la a p ro x im a ­ción e s me jo r c u a n d o se incluyen má s términos. En la figura 2 se i lus tra u n a gráfica má sc omp l e ta de la func ión de Bessel.En lo q u e re sp e c ta a la serie d e potenc ia s e x am in a d a s h a s ta e l m ome n to , el c o n ju n tod e va lore s d e x p a r a los c u a le s la serie es c o n v e rg e n te h a r e su l ta d o ser s iemp r e unin te rv a lo [un inte rva lo finito de la serie g e omé t r ic a y la serie d e l e jem p lo 2, e l inte rva loinfinito ( — co, co) d e l e jem p lo 3 y un inte rvalo c o la p s a d o [0, 0] = {0} d e l e jemp lo 1]. Elt e o r ema s iguiente , d emo s t r a d o en el apéndice F, e s ta b le c e q u e e s to e s vá lido en general.|~3~| T eorem a Pa ra una serie de p o tenc ia s d a d a 2 — a)” hay sólo trespos ibi lidade s : "™°i) L a serie c o n v e rg e só lo c u a n d o x “ a.ii) La serie c o n v e rg e pa ra toda x.iii) Ha y un n úme ro pos i t ivo R tal q u e la serie c o n v e rg e si x — a | < Ry d iv e rg e si | x — a | > R .El n úme ro R en el c a s o iii) se l lama r a d io d e c o n v e r g e n c i a d e la serie de potencias. Porc o n v en c ió n , e l radio de co n v e rg e n c ia e s R = 0 en el c a so i) y R = co en e l c a s o ii). Elin t e r v a lo d e c o n v e r g e n c i a de u n a serie d e potenc ias e s e l inte rvalo q u e c o n s i s te en todoslos va lore s de x p a ra los c ua le s la serie converge. En e l c a s o i) el inte rvalo c o n s ta de unsolo p u n to a. En e l c a s o ii) e l inte rvalo es (—«>, co). Ob s e rv e q u e en e l c a so iii) lad e s ig u a ld ad x — a< R se puede e s c r ib i r de nuevo c om o a — R < x < a + R. Cu a n d o .re s un extremo de l intervalo, e s decir, x = a ± R, cu a lq u ie r c o s a p u e d e suceder: la seriep o d r ía ser con v e rg e n te en u n o o en amb o s e x tremo s , o p o d r ía ser dive rgente en amb o sextremos . Por tanto, en e l c a s o iii) hay cua t ro p o s ibi lidade s p a ra el inte rvalo deconvergencia :(a — R, a + R) (a — R, a + R] [<a — R, a + R) [a — R, a + /?]La s ituac ión se i lus tra en la figura 3.convergencia paia |jv - a< Ra-R a a+Rd iv e r g e n c ia p a ra |.v — a> R-----------
  • 137. 7 4 4 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASA q u í r e sumimo s el radio y el inte rvalo d e c o n v e rgenc ia p a ra c a d a uno de los e jemp lo sy a c o n s id e ra d o s en e s ta sección.Series Radio de convergencia Intervalo de convergenciaSerie geométricaCO2 / R = 1 ( - 1. 1)Ejemplo 1CO2 n x n/i—<>R - 0 {»}Ejemplo 2,.-1 "R - 1 [2 .4 )Ejemplo 3 i ( - 1 y * 2aí 2 > ! ) 2R - «> ^—CO CO jEn genera l, la p ru e b a de la razón (o a veces, la p ru e b a de la raíz) se d e b e usa r pa rad e te rmin a r el radio de c o n v e rg e n c ia R. Las pruebas d e la ra zón y la raíz s iempre f racasanc u a n d o - re s un e x t r emo de l inte rvalo d e convergencia , de mo d o que e s n e c e sa r io verificarlos e x t remo s p o r med io de a lg u n a o t ra p rueba.EJEM PLO 4s eneDe te rmin e el radio de c o n v e rg e n c ia y el inte rvalo de co n v e rg e n c ia d e laC'5 ^ 3 ) "SOLUCIÓN S e a a„ = { - 3 ) " x " f y / ñ - f 1. E n tonc e sG «+1 ( - 3 ) " + ,A 'r+1 y / n + 13 a- r + 1cin y / n + 2 ( — 3 ) "a "VI + { l / j j ) . . .L í h 3xc u a n d o w —» coI -I- (2 f n ) 1 1 1 1De a cu e rd o con la p ru e b a de la ra zón, la serie dada c o nve rge si 3 |.r| < 1 y e s divergentesi 3 | a | > 1. En es tos té rminos , e s c onve rgente six< j y divergente si | . r | > j . Estos ignifica q u e el radio d e co n v e rg e n c ia e s R — j .S a b emo s q u e la serie converge en el intervalo (— t , j ) , p e ro ahora e s ne ce sa r io proba r sihay c o n v e rg e n c ia en los e x tremos de este intervalo. Si x = — la serie se t ran s fo rma en1 1 1 1 1„^ l y f ñ + 1 /.^l V n + 1 V 1 y /2 y / T y / 4la c u a l e s divergente . (Aplique la p ru e b a de la integral o s imp lemen te obse rve q u e e s unaserie p con p — ? < 1.) Si x = la serie es2 ( - ^ " ( D * _ y ( - • ) ■>1—0 y fñ + 1 tiM) yjll + 1la cual c o nve rge de a cu e rd o con la p ru e b a de la serie a lternante. Por tanto, la serie dep o tenc ia s d a d a converge c u a n d o —7 < a < i , d e modo q u e el inte rvalo de co n v e rg e n c iae* ( - i . i l . —
  • 138. SECCIÓN 11.8 SERIES DE POTENCIAS 745□ EJEMPLO 5d e la serieDe te rmin e el radio d e c o n v e rgenc ia y e l inte rvalo de c o n v e rg e n c ian(x + 2)"SOLUCIÓN Si a„ = n(x + 2 ) " /3" +l, e n to n c e s«„+, I I (n + l)(.v + 2 ) ’* 1 y>+a„ y * - n(.v + 2 ) ”- K H 21 |-v + 2 |3c u a n d o n —* coAl u sa r la p ru e b a de la ra zón, se ve q u e la serie e s con v e rg e n te si | x + 2 1 / 3 < 1 y quee s dive rgente si |a- + 2 | / 3 > 1. De mo d o que es con v e rg e n te si | x + 2 1 < 3 y divergentesi | x + 2 | > 3. A s í qu e , el radio de c o n v e rgenc ia e s R = 3.L a d e s ig u a ld adx + 2 | < 3 se puede escribir c om o — 5 < a- < 1, a s í q u e p ro b amo s laserie en los e x t remo s —5 y 1. Cu a n d o x = - 5 , la serie es¿ 4 # = d (-!)"«la cual e s dive rgente según la p ru e b a d e la d ive rgenc ia [ (— 1 )”n no c o nve rge a 0]. Cu a n d ox = 1, la serie esn p yo -3>‘«+1 2 »la cual tamb ién e s divergente según la prueba de la divergencia . Por e sto, la seriec o nve rge sólo c u a n d o — 5 < x < 1, de modo que el inte rvalo de c o n v e rg e n c ia es( - 5 , 1).Ejercicios1. ¿Qué es una serie de potencias? M r» ° 10"r"2. a) ¿Cual es el radio de convergencia de una serie de potencias? 9. »2-i ( - i ) ', Í L2t" - 10- >2j_i- ^ n- r -Cómo se wdewtiewr. m. . .i.n. .a. .? . 00 /__^i; <0b) ¿Cuál es el intervalo de convergencia de una serie de 11. 2 ——-7==-x " 12. 2 ------potencias? ¿Cómo se calcula? nyjn „-iconvergencia de la serie3. 2 ( - 1 Y»*?n y“ y' " V3-28 Determine el radio de convergencia y el intervalo de 13. 2 ( “ O "— 14. 2 (— 0 ” ~T~ Cc o n v e r g e n c i a d e s e r ie . ^ ^ n "™°t v (-■)">" 1 5 . 2 4 ^ 16- S ( - i y ¿ — 2 14’ M*—I y3//n7 Z o n 2 + 1 1 2 n + 1co •*;»/ * i Vi co5. y — —— 6. 2 ¡ < = ^ n . i * . 2 ^ + i r„_i 2;í — 1 „ _ ! / ? ■ »-i 4'i v” - „ v ( * - 2r on y7. 2 —«I 8- 2“ «^-1 — Vn1 ^ S" .'r7.T-i 5 yjnSe requiere calculadora graficadora o computadora |SAC | s c requiere sistema algebraico computa rizado 1. Tareas sugeridas d isponibles en stewartcalculus.com
  • 139. 746 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS21. 2 — b > ( )nal &22. 2 (v - «)". b > 0,,-2 ln n(O23. 2 w!(2.v — 1)"a—i(5-v - 4)“24 . 2,_i 2 ■ 4 * 6 (2«)25 . 2»-] w2 6 . 2/i-: (ln h)27 . 2„«i 1 * 3 * 5 ............. (2n — I)2 8 . 2r ", i - 1 1 * 3 * 5 ............(¿n — I)29. Si 2"-o c„4" es convergente, ¿se inñere que las siguientes seriesson convergentes?b) 2 ‘ 4 - 4 ) "3 0 . Suponga que 2£_o c„xK converge cuando .v = —4 y divergecuando a- = 6. ¿Qué puede decir con respecto a la convergenciao divergencia de la serie siguiente?CO COa) 2 c’> b) 2 <»*"II—O ri-<>co coc > 2 ‘4 - 3 ) " d) 2 ( - ! ) " « ■ 9"3 1 . Si es un entero positivo, encuentre el radio de convergenciade la serie¿ i <*/>)! ’3 2 . Sean p y q números reales con p < q. Encuentre una serie depotencias cuyo intervalo de convergencia seaa) (p. q) b) (p, qc) [p. q) d) l/), q]3 3 . 0Es posible hallar una serie de potencias cuyo intervalo deconvergencia sea [0, <»)? Explique.3 4 . Grafique las primeras sumas parciales s,fx) de la serie at",junto con la función suma /(a ) = 1/(1 — .y) sobre una mismapantalla. ¿Sobre qué intervalo parece que convergen estassumas parciales a /(.y)"35. La función J definida porm = 2< - 1 ) " . y2" + ',£> n!(/i + l ) !2 2"+1se llama función de Bes sel de orden I.a) Determine el dominio.Q b) Grafique las primeras sumas parciales en una mismapantalla.ISAC1 c) Si su SAC tiene incorporadas las funciones de Bessel,grafique J en la misma pantalla que las sumas parciales delinciso b) y observe cómo se aproximan las sumas parcialesa Ji.36. La función A se define mediante- 4 ( v )= 1 + ^2-- T3 + 2 - 3 - 5 - 6 2 - 3 - 5 - 6 - 8 - 9que se llama función d e A iry en honor al matemático yastrónomo inglés sir George Airy (1801-1892).a) Determine el dominio de la función de Air)'.@ b) Grafique las primeras sumas parciales en una mismapantalla.l'^C 1 c) Si su SAC tiene incorporadas las funciones de Air)', grafiqueA en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso b),y observe cómo las sumas parciales se aproximan a A.3 7 . Una función / está definida mediante/(.y) = 1 H- 2.V -h A-2 + 2.Y3 a-4 ■+■***es decir, sus coeficientes son ca, = 1 y ca.+i = 2 para todan > 0. Determine el intervalo de convergencia de la serie yplantee una fórmula explícita para / ( a ).3 8 . Si / ( a ) = 2w-oG,.y”, donde cvm = c„ para toda n 5= 0,determine el intervalo de convergencia de la serie y unafórmula para f(x ).3 9 . Demuestre que si lím„ ^M " c , donde c # 0, entoncesel radio de convergencia de la serie de potencias 2c „ a ;" esR = l/c .4 0 . Suponga que la sene de potencias S f„ (A — a )” satisfacecM# 0 para toda n. Demuestre que si l ím„ _ ro |c „/c„+ ¡existe,entonces es igual al radio de convergencia de la serie depotencias.4 1 . Suponga que el radio de convergencia de la serie ^C „ x " es 2 yque el radio de convergencia de la serie 2 d„X” es 3. ¿Cuál esel radio de convergencia de la serie 2 (c„ + d„)A'"?4 2 . Suponga que el radio de convergencia de la serie de potencias2 c„x" es R. ¿Cuál e s el radio de convergencia de la serie depotencias 2 C,,.*2"?Representación de las funciones como series de potenciasEn e s ta sección a p ren d e rá a re p re s e n ta r c ie r to s tipos de func ione s c omo suma s d e seriesde p o tenc ia s me d ia n te la man ip u la c ió n de series g e omé t r ic a s , o med ia n te de r iva ción ointegrac ión d e d ich a s series. Qu iz á se pregunte por q u é s iempre se b u s c a e x p re s a r u n afunc ión c o n o c id a c omo u n a s um a de u n a cantidad infinita de términos . Má s adelante see x p l ic a la utilidad de e s ta e s t ra teg ia en la integración d e func ione s que no tienen an tid e r i ­vadase lemen ta le s , en la soluc ión de e cu a c io n e s diferenc ia le s y p a ra a p ro x ima r func ione s
  • 140. SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 747Una ilustración geométrica de la ecuación 1 semuestra en la figura 1. Como la suma de unaserie es el límite de la sucesión de las sumasparcialesmed ia n te polinomia le s . (Los científ icos lo ha cen a s í p a ra simplif ica r las e x p re s io n e s conlas q u e trabajan; los e spe c ia l i s ta s en comp u ta c ió n lo ha c en a s í p a r a re p re se n ta r func ione sen c a lcu la d o ra s y c omp u ta d o ra s . )Emp e c emo s c o n u n a e cu a c ió n q u e y a e s tu d iamo s antes:Ya e n c o n t r am o s e s t a e c u a c ió n en e l e jem p lo 6 de la se c c ión 1 1.2, d o n d e la o b tu v im o sal o b s e rv a r q u e e s u n a se r ie g e om é t r i c a con a = 1 y /• = x . Pe ro en e s te c a s o n u e s t rop u n to d e v i s ta e s d i s t in to . A h o r a c o n s id e r e la e c u a c ió n 1 c om o e x p r e s ió n d e la fun c ió nf ( x ) = 1/ (1 - X) c om o u n a s um a d e u n a serie d e p o ten c ia s .donde+ x ”es la /r-ésima suma parcial. Observe que cuandon se incrementa, s„(a) se vuelve una mejoraproximación de/(.v) para - 1 < x < 1.F IG U R A 1f(x) = y al§imas sumas parciales| Ex p re s e I /(1 + jc2) c om o la suma de u n a serie de p o tenc ia s yd e te rmin e el inte rvalo de convergencia .SOLUCIÓN Al r e emp la z a r x p o r — .v2 en la ecua ción 1, ten emo s1 1r ; = 2 (- - v 2r 1 + X 1 - ( - V )= 2 (- O"*2" = i - *2 + *4 - *6 + *8----C omo é s ta e s u n a serie g e omé t r ic a , e s convergente c u a n d o | — x 2 < 1, e s decir, * 2 < 1,o bien,x< 1. Por tanto, el inte rvalo de conve rgenc ia e s (— 1, I). Na tu ra lme n te , p o dr íah a b e r d e te rmin a d o e l ra d io d e c o n v e rg e n c ia aplic ando la p ru e b a d e la ra zón, pe ro e sac ant idad d e t raba jo e s inn e c e s a r ia en este caso.EJEM PLO 2 De te rmin e u n a repre senta c ión en serie de potenc ia s p a ra/ ( x + 2).SOLUCIÓN Con objeto de p one r e s ta func ión en la fo rma d e l lado izquie rdo d e lae cu a c ió n 1, p r ime ro se fa c tor iz a un 2 de l denominador:+ ' ’H ) I ( 01= i y / -V=y e o : ,2 h2} .Si 2"+lE s t a serie converge c u a n d o | —x / 2< 1, e s decir, |jc| < 2. De mo d o q u e el inte rvalo deco n v e rg e n c ia e s ( — 2. 2). H l
  • 141. 748 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASEs válido pasar x l al otro lado del signode la suma porque no depende di n.[Aplique el teorema 11.2.8 i Jconr = x'EJEMPLO 3 Ob te n g a u n a repre senta c ión c om o serie d e p o tenc ia s de x 3/ ( x + 2).SOLUCIÓN Pue s to q u e e s ta func ión e s ju s tame n te x3 vece s la función de l e jemp lo 2, todolo q u e d e b e h a c e r e s mult iplic a r e s a serie p o r x 3:-v + 2 -v + 2 ’ £ 2 “+l £ 2 "+l '• 3 1 4 ■ 1 S 1 6 i = T-V - 4 X + ¿ X 5 ~ -¡¿X +Ot ra fo rma d e e sc r ibi r e s ta serie e s c om o sigue:x 2 i—’> 2C omo en el e jemp lo 2, el inte rvalo de c o n v e rgenc ia e s ( — 2, 2).En el inciso ii), J c0 dx — c0x + C, se escribecomo c0(x — a) + C, donde C = C, + ac0lde modo que todos los términos de la serietienen la misma forma.Derivación e integración de se r ie s de potenciasLa suma de u n a serie de p o tenc ia s e s u n a func ión f ( x ) = c„(x — t f ) " c u y o d omin io ese l inte rvalo de co n v e rg e n c ia d e la serie. Pa ra d erivar e integra r e s ta s func ione s , e l s ig u ien ­tet e o r ema (el c u a l no será d emo s t ra d o ) e s table e s que e s pos ible de r iva r o integra r c a d au n o de los té rmin o s d e la serie, ju s to c omo se ha r ía p a ra un polinomio. Es to se d e n omin ad e r iv a c ió n e i n t e g r a c ió n t é rm i n o a t é rm in o .|~2~| Teorema Si la serie d e p o ten c ia s 2 í „(.v — a )" p ose e un radio de co n v e rg e n c iaR > 0 . e n to n c e s la func ión / d e f i n i d a porCOf ( x ) = Co + í ,(.v - r/) + c2( x - a) 1 + •* * = 2 c»(* ~ “ )"jjhOes de r iv a b le (y, p o r tanto, c o n tin u a ) so b re el intervalo (« — R, a + R) ycoi) / '( .* ) = c+ 2C2(.V — a ) + 3 c* (x — + «« * = 2 n c n(x — a ) "~1i ¡) f f { x) d x = c + c<)( v “ a) + ‘ i ^ ^ + c2 ^= c + X r (I < ■ * - « )»+in H- 1L o s radios de c o n v e rg e n c ia de la serie d e potenc ias en las e c u a c io n e s i) y ii) son R.NOTA 1 Las e c u a c io n e s i) y ii) de l t e o r ema 2 se p u e d en volver a e sc r ibi r en la formadni)iv )í S < „{.v - « )"1 = 2 d - [« ,,(-v - a )* ] J »-o d x[ CO | co2 c « ( * — a)" d x — 2 f c»{x — «)"dxíl^l _| /!*() *
  • 142. SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 749S a b emo s qu e , p o r lo q u e to c a a las suma s finitas, la d e r iv a d a de u n a suma e s la suma delas de r ivada s y la integral d e u n a suma e s la suma de las integrales. L a s e c u a c io n e s iii) yiv) aseguran que lo m i smo se c ump le p a ra suma s infinitas, s iempre q u e e s té trab a ja n d o cons e n e s d e p o te n c ia s . (En e l c a s o de otros tipos de series de func ione s la s ituac ión no e s tansimple ; vé a s e e je rc ic io 38.)NOTA 2 Au n q u e el t e o r ema 2 e s tab le c e q u e el radio de co n v e rg e n c ia e s el mi smoc u a n d o u n a serie de p o tenc ia s e s d e r iv ad a o integrada, e s to no q uie re d e c i r q u e e l in té rn a lod e co n v e rg e n c ia s iga s iendo el mismo . Podría su c e d e r q u e la serie or igina l c o n v e r ja en ele x t remo , y q u e la serie d e r iv a d a sea divergente ahí. (Véase e je rc ic io e l 39.)NOTA 3 L a id e a de de r iva r u n a serie de potenc ias té rmin o a té rmin o e s la b a se de unmé to d o eficaz p a ra re solve r e c u a c io n e s diferencia le s . Es tu d ia remo s e s te mé to d o en elc ap í tu lo 17.EJEM PLO 4En el e jemp lo 3 de la sección 11.8 v imo s q u e la func ión de Bessel, , , _ y ( - O " * 1'" W 1 2 > ! ) ;se de f ine p a r a to d a x. De e s ta man e ra , de a cue rdo con e l t e o r ema 2 , J 0 es de r ivable pa rato d a x y su d e r iv ad a se e n c u e n t r a d e r ivando término a té rmin o c omo sigue:» tV d < ~ 1^ " i ( -y 2 n x ' - 'A X ) " Á d x 2 2”(/i!)2 2 2"(„!)2| Expre s e l / ( 1 — x )2 c om o una serie d e p o tenc ia s de r iv a n d o lae cu a c ió n 1. ¿Cuá l e s el radio de convergencia ?SOLUCIÓN Al de r iva r c a d a miemb ro de la ecuación1“ 1 + X + X 2 + X * + ‘ * * ™ 2 A ”1o b t e n emo s —--------- t t = 1 + 2 x + 3.x2 + •■ * = 2 nx"~l(1 “ X)- „-iSi q u i s ié ramo s p o d r íamo s r e emp la z a r n por n + 1 y e s c r ib i r la r e sp u e s ta c omo1(1 - v)r “ 2 ( » + •)•n—0De a cu e rd o con el t e o r ema 2, el radio d e c o n v e rgenc ia de la serie d e r iv a d a e s el m i smo quee l radio de co n v e rg e n c ia d e la serie or iginal, R = 1. ■ ■_____________ EJEM PLO 6De te rmin e u n a repre senta c ión c omo serie d e p o tenc ia s p a ra ln( l + x) y suradio de convergencia .SOLUCIÓN Ob s e rv e que la d e r iv ad a de e s ta función es 1 / ( I + *). De la e cu a c ió n 1ten emo s
  • 143. 750 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASLa serie de potencias para tan~'.r obtenidaen el ejemplo 7 se llama serie de Gregory enhonor al matemático escocés James Gregory(1638-1675), quien pronosticó algunos de losdescubrimientos de Newton. Ya se demostróque la serie de Gregory es válida cuando- 1 < x < 1, pero resulta que (aunque no esfácil de demostrar) también es válida cuando.v = ± 1. Observe que cuando x = 1 la seriese transforma enEste admirable resultado se conoce comofórmula de Leibniz para -ir.Integrando amb o s lados de e s ta ex p re s ió n , obtenemos1ln( l + .v) = f | + v d x = f {I - x + x 2 — .y5 + • • •)X ~ X X— A - + + • * * + C2 3 4d x- 2 + c | v | < IPa ra d e te rmin a r el valor de C h a c emo s x = O en esta e cu a c ió n y o b ten emo s1 n( I + 0) = C. Por tanto, C = O y. A2 A3 A’4 V» y v i x " i iEl radio d e co n v e rg e n c ia e s e l m i smo q u e e l d e la serie original: R = 1.| E n c u e n t r e u n a re p re s e n ta c ió n c omo serie de p o te n c ia s p a r a/ ( a ) = t a n " ' a .SOLUCIÓN Ob s e rv e q u e fx ) = 1 /(1 + a 2) y encuentre la serie re q u e r id a in tegrando laserie d e p o tenc ia s p a ra 1 /(1 + a 2) d e te rmin a d a en el e jemp lo 1.ta n - l A — | ---------- d x — | ( l — A2 + A4 — A6 + * * ' ) d x* 1 ■§■ X *- C + A ---------+ ------------------ +3 5 7Pa ra d e te rmin a r C h a c emo s a = O y o b te n emo s C = t a n _,0 = 0. Por tanto,Pue s to q u e el ra d io d e co n v e rg e n c ia de la serie para I /(1 + a2) e s 1, e l radio deco n v e rg e n c ia de e s ta serie p a r a t a n - ,Ae s también 1.EJEMPLO 8a) Evalúe J [ l / ( l + a 7 ) ] J a c omo u n a serie de potencias.b) Mediante el inciso a) o b te n g a u n a aproxima c ión de JoJ [1/(1 + * ')V * c o n u n aa p ro x ima c ió n de 10-7 de l va lor real.SOLUCIÓNa) El p r ime r pa so e s e x p re s a r e l integrando, 1 / ( I — a7) c om o la s um a d e u n a serie depotenc ias . C om o en e l e jemp lo 1, inicie con la e cu a c ió n 1 y r e emp la c e a por —a 7:1 1= 2 ( - v )1 + .Y 7 1 - ( - . V 7 )= 2 ( - 1)".Y7" = 1 - ,Y7 + ,YU -
  • 144. SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 751Este ejemplo muestra una manera en que lasrepresentaciones como series de potenciaspueden ser útiles. Integrar 1/(1 - .rT)a manoes increíblemente difícil. Diferentes sistemasalgebraicos computacionales dan respuestas dedistintas formas, pero son extremadamentecomplicadas. |Si tiene un SAC, inténtelo ustedmismo.) La respuesta de la serie infinita que seobtiene en el ejemplo 8a) es realmente muchomás fácil de manejar que a respuesta finita queproporciona un SAC.A h o r a in te g r amo s té rmin o a término:. i M «* r 7"-Hí 7 T 7 * - I 1 - c t í T -= C + .v —15 22Es ta serie converge p a ra | — x 7 < 1, e s decir, p a ra |jc| < 1.b) Si a p lic amo s el t e o r ema fu n d ame n ta l de l c á lculo no imp o r ta q u é antide rivadau s emo s , de mo d o q u e u t il ic emos la antide rivada de l inciso a) con C = 0:1 H- x ‘d x'r-15 228 ♦ 2 1 5 * 2 22 ♦ 2 ' (7/? + 1)2 7,/-HEs ta serie infinita e s el va lor e x a c to d e la integr al def inida, pe ro c omo e s u n a seriealte rnante, p o d emo s o b ten e r u n a aproximac ión de la suma a plic ando el t e o r ema de lae s t ima c ió n de la serie alternante. Si d e jamo s d e suma r d e sp u é s de l té rmin o n = 3, ele r ro r e s m e n o r que el té rmin o c o n n = 4:D e modo quero.5 1Jo ] + x 1d x29 *2-8 * T6.4 X 1 0 - "15 - 2' 22 - 2 "0 .4 9 9 5 1 3 7 4Ejercicios1. Sí e l radío de convergencia de la serie de potenciasZn-oOi.v” es 10, ¿cuál es el radio de convergencia de la serieZr?-i ncnx "~ lií ¿Por qué?2. Suponga que sabe que la serie XÍÍUi b„x" es convergente para|.v| < 2. ¿Qué puede decir de la siguiente serie? ¿Por qué?b„3 -1 0 Encuentre una representación como serie de potencias para lafunción y determine el intervalo de convergencia.3. / ( , ) -5- /(-v) =1 + A-23 - .v4. / ( a ) -6. / ( a ) =1 - 4 .x *1v + 107 / ( v ) =9. /(.v) -9 + A 21 +A-1 — X8- / < * ) = T2-aT + 110. /(.v)1 1 -1 2 Exprese la función como la suma de una serie de potenciasusando primero fracciones parciales. Determine el intervalo deconvergencia.i i . / ( . » ) - - -- 12. /(.v)2 x 2 - ,v - 113. a) Use la derivación para determinar una representación comoserie de potencias para/<>) (i + , )¿Cual es el radio de convergencia*!Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 145. 7 5 2 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASb) Por medio del inciso a) determine una serie de potenciaspara•*> =< n h yc) Mediante el inciso b) determine una serie de potencias para/ (> ) =0 + •'■)14. a) Utilice la ecuación 1 para determinar la representación enseries de potencias para / ( a) = ln( 1 — x). ¿Cual es el radiode convergencia?b) Mediante el inciso a) determine una serie de potencias para/( .x) = x ln( I - x).c) Haciendo x = y e n su resultado del inciso a), exprese ln 2como la suma de una serie infinita.15-20 Encuentre una representación como serie de potencias para lafunción y determine el radio de convergencia.15. / ( a) = ln(5 — jv) 16. /(.v ) = a2 tan " '(a3)17. / ( , ) =19. / ( , ) =(1 + 4 , )1 + .v(i - , y18. / ( , ) ( :)20. , ( , ) =. t ’ + .V( T T Ó 121-24 Encuentre una representación como serie de potencias para/,y g ra f iq u e /y varias sumas parciales s„(x) en la misma pantalla.¿Qué sucede cuando n se incrementa?x21 . / ( , ) =x - + 1623. f { x )22. /(.v ) = ln ( . Y 2 + 4)24. /(.y) = tan- l (2.Y)25-28 Evalúe la integral indefinida como una serie de potencias.¿Cuál es el radio de convergencia?a j - n b r "27. f A2ln(l + .y) d.26* í T T28. f1 + /t a n ad td x29-32 Use una serie de potencias para aproximar la integraldefinida con una aproximación de seis cifras decimales.f 02 I129. - d xJ o 1 + x31. [ .y arctan(3A-) d x30. [ 4 ln(l + .y * ) d x(0.3 .Y2T d x» 1 + A433. Con el resultado del ejemplo 7, calcule arctan 0.2 con unaaproximación de cinco cifras decimales.34. Demuestre que la función/(>) - 2( - | ) w.y2m<2/0!es una solución de la ecuación diferencial/ " (a) + /(.r) = 035. a) Demuestre que Jo (la función de Bessel de orden 0 dada enel ejemplo 4) cumple con la ecuación diferencialx 2Ja (x ) + xJÓ{x) + a 2Jo(a) = 0b) Evalúe J(* 70( v) ¿f.rcon una aproximación de tres cifrasdecimales.36. La función de Bessel de orden 1 se define con, / A _ VlW & n (n + l)l 22,,+la) Demuestre que J satisface la ecuación diferencialx 2J*{x) + xJ*{x) + ( a 2 - 1 ) 7 , 0 ) - 0b) Demuestre que /©(a) ™ —7,(a).37. a) Demuestre que la funciónco n/W - S ^ Ves una solución de la ecuación diferencialf ( A) = /(A)b ) Demuestre que j ( r ) = r '38. Se a / , ( a) = (sen n x )/n 2. Demuestre que la serie 2 f ,( x ) esconvergente para todos los valores de a , pero la serie dederivadas S f,',(x) es divergente cuando a = In-ir, n es un entero.¿Para qué valores de a la serie S f? (x ) es convergente?39. Seaco II/ <v) - 2 L<1-1 nDetermine los intervalos de convergencia p a r a / , / ' y / " .40. a) Empezando con la serie geométrica x", calcule la sumade la serie¿ / lA - ' | A | < 1b) Calcule la suma de cada una de las series siguientes,i) 2 »-y", | a < 1 ii) 2 ^ 7n—I /i— 1 ¿
  • 146. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 753c) Determina la suma de cada una de las series siguientes,i) 2 !.(» - l).v " . | v | < In-2to * ra 2X' " " « . ^ "11) 2 a ------------------- ^ ^n l l l ) ^2 a /*-)- -fJ--«—2 ¿ n—1 ¿41. Utilice la serie de potencias para tan"'a: para demostrar lasiguiente expresión para 77 como la suma de una serie infinita:n( 2 n + 1 ) 3 "4 2 . a) Completando cuadrados demuestre queílx ITJfa' , : ^ + i 3v/3b) Mediante la factorización de .v’ + 1 como una suma decubos, escriba de nuevo la integral del inciso a). Luegoexprese 1 / ( X3 + 1) como la suma de una serie de potenciasy úsela para demostrar la siguiente fórmula para 7r:y (- 1 )7 2 ■ 1 ^4 ¿ 8 " ^ 3 / t + l 3/ t + 2 /Series de Taylor y de MaclaurinEn la sección anterior, se repre senta ron corno series d e p o tenc ia s u n a c ie r ta cla se re s t r in ­gid a de funciones. En e s ta sección se tratan p ro b lema s má s generales: ¿qué func ione s sepueden repre sentar c omo series de potencias? ¿Cómo e s posible hallar e sa representación?Emp e c emo s p o r su p o n e r q u e / e s cua lquie r func ión q u e se p u e d e re p re se n ta r medianteu n a serie de potenc ia sfl~] f { x ) = Co + C |(.v — a ) 4- c 2{.y — a ) 2 + c 3(.y — a ) 3 + c 4(.v — a ) 4 + * * * |.v — a | < RTr a temo s de d e te rmin a r q u é coef iciente s c„ tienen q u e e s ta r en func ión d e / Pa ra emp e z a r ,obse rve q u e si h a c emo s x = a en la e cua c ión 1, e n to n c e s to d o s los té rminos d e sp u é s delp r ime ro son O y o b ten emo s/ ( « ) = c0De a cue rdo con el teo rema 1 1.9.2, p o d emo s de r iva r la serie de la e cu a c ió n 1 té rmin o atérmino:|~2~| / ' ( . v ) = C| + 2 c 2(.y — a ) + 3 c3( x — a ) 2 + 4 c 4{ * — a ) 3 + • ■ • | .v — a< Ry al sus tituir x = a en la e cu a c ió n 2 tenemos/ ' ( « ) - <■.En s e guida d e r iv emo s amb o s miemb ro s d e la e cu a c ió n 2 pa ra obtene r|~3~| /% * ) = 2c2 + 2 ■ 3c3(.y — a ) + 3 ■ 4 c 4(.y — a ) 2 + * * ♦ | x — a | < RUn a vez má s h a c emo s x = a en la e cu a c ió n 3. El re sul tado es/% ' ) = 2 c 2A p l iq u em o s e l p ro c e d imi e n to u n a vez más. L a d e r iv a c ió n d e la serie de la e c u a c ió n 3n os d a0 / " ( • ' ) = 2 • 3 f 3 + 2 ♦ 3 ♦ 4c.,{.v - « ) + 3 ♦ 4 • í r , ( . v - « ) ’ 4 - • • • | v - a< Ry la sus titución d e x = a en la e cu a c ió n 4 daf% ¡ ) - 2 • 3 c 3 - 3 ! c 3A h o r a y a p o d em o s v e r e l p a t ró n . Si c o n t in u am o s d e r iv a n d o y s u s t i tu y e n d o x = a ,o b t e n em o s/<">(«) - 2 * 3 * 4 nc„ — n : c,
  • 147. 7 5 4 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASTaylor y MaclaurinLa serie de Taylor lleva este nombre en honor almatemático ingles Brook Taylor (1685-1731) y laserie de Maclaurin se llama así para recordaral matemático escocés Colin Madaurin(1698-1746) a pesar del hecho de que la seriede Maclaurin es realmente un caso especial dela serie de Taylor. Pero la idea de representarfunciones particulares como sunras de seriesde potencias se remonta a Newt jn, y elmatemático escocés James Gregory conoció laserie general de Taylor en 1668 y el matemáticosuizo John Bernoulli la conoció por 1690.Al parecer, Taylor no conocía el trabajo deGregory ni de Bernoulli cuando pjblicó susdescubrimientos relacionados coi las seriesen 1715 en su libro Methodns incrementorumdirecta et inversa Las series de Maclaurinse llaman así porque Colin Maclaurin laspopularizó en su libro de texto Tnatise ofFluxionsque se publicó en 1742.Al re solve r e s ta e cu a c ió n p a r a el /i-é s imo coeficiente c„, ten emo s/ « w c „ - —/?!Es ta fó rm u la s igue s ie n d o vá lid a in c lu so p a r a n = O si a d o p tamo s la c o n v e n c ió n d e queO! = 1 y / 0 — / En es tos té rmin o s , h emo s d emo s t ra d o e l teo rema siguiente:|~5~| T eorem a S i / s e p u e d e re p re s e n ta r c om o una serie d e p o tenc ia s (e x p an s ió n )en a , e s de c i r , si co/(-*) = 2 c»(x - a )"x - a< R> i-Qe n to n c e s sus c o e f ic iente s e s tán d a d o s p o r la fórmulaSi su s ti tuimos e s ta fó rmu la p a ra c„ de nue v o en la serie, obs e rv amo s q u e s i / t i e n e und e s a r ro l lo en serie de p o tenc ia s en a , e n to n c e s debe ser de la fo rma siguiente:L®J fx ) = 2é — n—i (x - “)m +/ ' ( « ) (a - a ) +2!( a - <,y +/ % )3 !(,v - a y +La serie de la e c u a c ió n 6 se d e n omin a serie de T ay lo r de la función/ en a (o bien, entorno a a o centrada en a ). P a r a e l c a s o e s p e c i a l a = O la se r ie d e T a y lo r se t r a n s f o r ­ma eni— | . . £ / < " > ( ( ) ) . . / ’(()) / " (O ) ,0 / ( v) = E v = / (O ) + .V + A +Este c a s o surge c o n b a s ta n te f re c u e n c ia , y se le d a e l n omb r e e s p e c ia l de serie deM a clau rin.NOTA Ya se d emo s t ró que s i f se puede repre sentar c om o u n a serie de potenc ia s conre sp e c to a a, e n t o n c e s / e s igual a la suma d e sus series de Taylor. Pero hay func ione s queno son iguale s a la suma d e sus series d e Taylor. Un e jemp lo de tales func ione s se pre sentaen e l e je rc ic io 74.De te rmin e la serie de Mac laur in de la func ión f ( x ) = e x y su radio deconvergencia .SOLUCIÓN S 'i f ( x ) = ee n to n c e s f ” x ) = e x, p o r lo q u e f n 0 ) = e° = 1 p a r a to d a n. Portanto, la serie de Taylor p a r a / e n O (es decir, la serie de Ma c laur in) es
  • 148. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 755Para d e te rmin a r el radio de co n v e rg e n c ia h a c emo s a, = x"/n. Entonc e:jc"*1 /?! _ l - l(n + 1)! n H- 1O < 1asi qu e , según la p ru e b a de la ra zón, la serie c o nve rge p a r a to d a x y e l radio deco n v e rg e n c ia e s R = co.La c o n c lu s ió n que o b te n emo s de l teo rema 5 y e l e jemp lo 1 e s que si e x tiene und e s a r ro l lo en serie en p o tenc ia s en O, entonc es- 2o / i!A s í qu e , ¿ cómo p o d emo s d e te rmin a r si e x tien e u n a re p re senta c ión c omo serie de p o t e n ­cia s?Inve s t iguemos la cue s tión má s general: ¿en q u é c irc u n s tan c ia s u n a func ión e s igual a lasuma de su serie de Taylor? En otras pa labras , s i / t i e n e de r ivada s de todos los órdenes ,c u á n d o e s c ie r to que/ ( . v) = i - ^ ( v - « rn-0C omo suc ede c o n c u a lq u ie r serie convergente , e s to quie re de c i r q u e f ( x ) e s el límite de lasuc e s ión d e suma s parciales. En el c a s o de la serie de Taylor, las suma s pa rc ia le s sonU 4 - Í & Í,_n '!r t = / ( « ) +i — ¡7 - <(• ' ~ “1) +i / (' M' - /“ ) + y ,y ¡¡ f ' y = e xX / V = T 2(x ) J í >' = T 3{x )K . y = T 2{x )Y = 7-,(jy)¿ ? °.yy “ t & c)Ob s e rv e q u e T„ e s u n a p o l in omia l de g rado n llamad o p o l in om io d e T a y lo r d e / i-é s iniog r a d o d e / e n a. Por e jemp lo , en el c a so de la func ión e x p o n e n c ia l / ( .y ) = ee l re sul tadode l e jemp lo 1 mu e s t ra q u e las p o l in omia le s de Taylor en O (o p o l in omia le s de Ma c laur in) ,con n = 1, 2 y 3 sonT {( x ) =+ x T 2( x ) = 1 + .x +2! T*(x ) = ! + - * + + ~F IG U R A 1Cuando n crece, T„(x) parece aproximarsea e ' en la figura 1. Esto sugiere que e' esigual a la suma de su serie de Taylor.Las gráficas de la func ión e x p o n en c ia l y estos tres p o l in omio s d e Taylor se ilus tran en lafigura 1.En g e n e r a l , /(.*) e s la suma de su serie de T aylor si/( .y) = lím T„(x)n—coSi h a c emo sR„(x) = / ( a ) — T„(x) de man e ra q u e f ( x ) = T„(a) + R,{.)e n to n c e s R„(x) se l lama r e s i d u o d e la serie de Taylor. Si p o d emo s de a lg u n a man e r ad emo s t r a r q u e lím„^co#„(.Y) = 0, e n to n c e s se sigue quelím T„(x) = lím [ / ( . v ) — Rn(x¡¡] = f { x ) — lím R„{.) = / ( . y )II — n—C/3 11 — 03Por tanto, h emo s d emo s t r a d o e l s iguiente teorema.
  • 149. 756 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES IN F IN IT A S[~8~j T eorem a Si /(.v) — T„(x) + /?„{-v) d o n d e T„ e s el p o l in omio de T a y lo rde /?-ésimo g ra d o d e / e n a ylím R„(x) — 0M—• COpa ra x — a | < R e n t o n c e s / e s igual a la suma de sus se r ies d e T a y lo r en el intervalox — a< R.Al tratar de d emo s t ra r que lím„ _ eo /?„(-*) ™ 0 para u n a función e s p e c í f i c a / , se u s a porlo regula r e l s iguiente teorema .0 Desigualdad de Taylor Si | / ^ ^ ( a ) | ^ M para | * — a | «S el e n to n c e s el re s iduoR„(x) de la serie d e T a y lo r c ump le c o n la de s igua ldadIR,:^ 1 1 6 T» + i ) ~ I A' _ " I ” * ' p a r a I -v - a I ^ dPa ra ver por q u é e s c ie r to p a r a n = 1, su p o n g amo s q u e f"(x) M. En particular, setiene f 'x ) ^ M, d e tal m a n e r a q u e p a ra a x a + d ten emo sf 7 " ( í ) < * « [ M d tFórmulas para el residuo de TaylorOtras opciones aparte de la desigualdad deTaylor son las fórmulas siguientes para elresiduo. S i/<■*'» es continua sobre un intervalo/ y a- G /, entonces*(,)<*Esta expresión recibe el nombre de formaintegral del término 'del residuo. Dtra fórmula,que se llama forma de Lagrange del término 'delresiduo, establece que hay un número r entre .ry a tal que-«)'*■Esta versión es una generalización del teoremadel valor medio (que es el caso n = 0).Las demostraciones de estas fórmulas,además del análisis de cómo usarlas pararesolverlos ejemplosde las secciones 11.10y 11.11.se encuentran en la página webwww.stewartcalculus.comHaga clic en AdcStional Topicsy luego enFormulas for the ñemainder Terrr. in Taylorseries.Un a antide r ivada d e / e s / , por lo q u e según la parte 2 d e l t e o r ema fu n d ame n ta l delc á lculo tenemosfx ) - fa ) M (x - a) o bien f '( x ) < / ' ( « ) + M{x - «)A s í q u e | / ' ( / ) dt | [ f f(a) + M{t —Ja Jlt( , - c,y-2Pe ro R i(v) = f(.x) — T,(a ) = /( .v) — f{ci) — f*(a){x — a). De mo d o queM ,K '( ') « y C* - «)'Un ra z o n amie n to similar, a p lic an d o f" (x ) 5= —M, d emu e s t r a queMDe ma n e r a q u e | R(x) | «S — | a — a | 2A u n q u e h emo s supue s to que x > a, c á lcu lo s s imilares mu e s tra n q u e e s ta de s ig u a ld ad esválida también para x < a.
  • 150. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 757En 1748, Leonhand Euler aplicó la ecuación 12para determinar el valor di e con 23 dígitosdecimales. En 2007 Shigem Kondo, usando denuevo la serie calculó e con más de100 000 millones de lugares decimales. Lastécnicas especiales que ulilizaron para acelerarel cálculo se explican en la página webnumbers.compir.ation.free.frEs to d emu e s t r a la de s ig u a ld ad de Taylor p a ra e l c a s o don d e n = 1. El re sul tado pa rac u a lq u ie r n se d emu e s t r a de m a n e r a p a re c ida in te g ran d o n + 1 veces. (Véase el e je rcic io7 3 p a ra e l c a s o n = 2.)NOTA En la sección 11.11 se e x p lo ra el u so de la de s ig u a ld ad de T aylor en laa p ro x ima c ió n de funciones. Aquí , e l u so inmediato e s ju n to c o n el t e o r ema 8.Con f recuencia, al aplic ar los teo rema s 8 y 9 e s útil re cur r i r al h e ch o siguiente.X*K m — = 0 para to d o n úm e ro real .vn Es to e s ve rd ad e ro p orque , d e a cu e rd o c o n e l e jemp lo 1. la serie 2 x " /ne s c onve rgente pa rato d a jcp o r lo q u e su /7-ésimo té rmin o se a p ro x ima a 0.| Demu e s t re q u e e x e s igual a la suma d e su serie de Ma claurin.SOLUCIÓN S 'if(x ) = e x, e n to n c e s f ”*vx ) = ex p a ra to d a n. Si d e s cu a lq u ie r n úme ropos itivo y |.v| ^ d, e n to n c e s | / ("+,)(.y)| = e x =S e*. As í q u e la de s ig u a ld ad d e Taylor, cona = O y M = e *, e s table c e quel Jw i * T T o r l - v r pa ra | a | * dOb s e rv e q u e la m i sma c o n s tan te M = e * func iona pa ra to d o valor de n. Pero, según lae cu a c ió n 10, ten emo se d IjcI"*1lím —---------— l-vl"+l = e d lím —-— r— — 0M—co ^,2 + 1^1 eo 1^1Se infiere e n to n c e s de l t e o r ema de la comp re s ió n q u e l ím„ ^w = 0 y, por tanto,lím,;_co/?„(A) = 0 p a ra to d o s los valores de x. De a cue rdo c o n e l t e o r ema 8, e x e s igual ala suma de su serie de Ma c la u r in , e s decir,DEEn particular, si h a c emo s x = 1 en la e cua c ión 11, o b te n emo s la s iguiente expres iónp a r a e l n úme ro e c om o u n a suma de u n a serie infinita:12EJEM PLO 3 De te rmin e la serie de Taylor para f ( x ) = e x en a = 2.SOLUCIÓN Se tiene JXn 2 ) = e 2 y, de e s te modo, al h a c e r a = 2 en la d e f inición de la seried e Taylor [ó], o b ten emo s
  • 151. 758 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASEn la figura 2 se ilustra la gráfica de sen.v juntocon su polinomio de Taylor (o de Maclaurin}U v ) = vn (v ) = v _ ¥Observe que cuando n se increminta, T„(x) sevuelve una mejor aproximación para sen.v.F IG U R A 2También se p u e d e verificar, c omo en el e jemp lo 1, que el radio de co n v e rg e n c ia e sR = a>. C omo en e l e jemp lo 2 p o d emo s c omp ro b a r q u e lím„_co /?„(.v) ™ O, d e mo d o queHH — 2 —7 t v — 2)" pa ra toda x;i—o ii-Hay d o s d e sa r rol los en series de p o tenc ia s para e x, la serie de Ma c laur in de la e cua c ión11 y la serie de Taylor d e la e cu a c ió n 13. El pr ime ro e s me jo r si e s tá inte re s ado en valoresde .v c e r c a n o s a O y e l segundo fu n c io n a mu y bien si a e s c e rc a n o a 2._____________ EJEM PLO 4De te rmin e la serie de Ma c laur in para sen x y d emu e s t r e que r e p re s e n ta asen A" p a r a to d a x.SOLUCIÓN Org a n iz amo s nue s t ros c á lculos en d os c o lumn a s c omo sigue:/ ( • ' ) = sen x / (O ) = 0/ ' ( ' ) = e o s X / ' (O ) = 1/ % ' ) - —sen x / • ( o ) - 0/ « ( , ) = —e o s X / " (O ) = - 1/ « ( * ) - sen x / « ( 0 ) = 0Pue s to q u e la d e r iv a d a se repite en un c ic lo de cuatro, p o d emo s e sc r ibi r la serie deMa c laur in c om o sigue:. m . r < ()> 2 . n ° ) 3 ./ ( O ) + — - — x + — — — V + — — — X +1! 2!A 5 X'3!— v — -i — i- ♦ ♦ ♦ — y (— i y*-----------------3! 5! 7! ¿!> (2 n + l)!Pue s to q u e / " +l>(A) es ± s e n x o bien, ± c o s x, sabemos que | / ,"+i>( a ) | ^ 1 pa ra to d a x. Dee s te m u d o p o d e in u s loma r M — 1 en la d e s igua ldad d e Tayloi;0M a r*I «»(•')1 v n I « 7(/ í + 1)! 1I 1I = (/?' +1 1s) !De a cue rdo con la e cu a c ió n 10, el lado d e re c h o de e s ta de s ig u a ld ad t iende a O c u a n d on co, d e mo d o q u e | R„(x)—> O según el teo rema de c omp re s ió n . Se infiere e n to n c e sq u e R„(x) —* O c u a n d o n —> co, de mo d o q u e sen .ves igual a la suma de su serie deMa c laur in d e a cue rdo con el t e o r ema 8. ■Se e s table c e el re sul tado de l e jemp lo 4 p a ra re fe renc ia futura.15E J EM P LO 5 De te rmine la serie de Mac laur in para e o s x.
  • 152. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 759SOLUCIÓN Po d r íamo s p ro c ed e r en fo rma d i re c ta c om o en e l e jemp lo 4, p e ro e s má s fácilde r iva r la serie de Ma c laur in p a ra sen a d a d a p o r la e cu a c ió n 15:eosA5 A77! +• )II1rUz ) IW>, 1 K>+ü l 1l f■u1l x b ________ _ L . . . = i■» A ___ ______ _ i_ A^ _ A^7! 2! + 4! 6!Lasseriesde Maclaurin parae” , senA ycosA Pue s to q u e la serie de Ma c laur in p a ra s e n a c o n v e r g e p a ra to d a x, e l t e o r ema 2 de laque encontramos en los ejemplos 2 ,4 y 5fueron descubiertas por Newton aplicandométodos distintos. Estas ecuaciones sonnotables poique se conoce todo con respectoa cada una de estas funciones si conocemostodas sus derivadas en el número 0.sección 1 1.9 seña la que la serie d e r iv ad a pa ra e o s Ac o n v e rg e tamb ién p a ra to d a x. As í,DÜX 1 X 4 .V6e o s .v = 1 Y -----------------+2! 4! 6!= , ? ( _ 0 " é )7 paratoda xE JEM P LO 6 De te rmin e la serie de Mac laur in p a r a la función / ( a ) = .veos x.SOLUCIÓN En lu g a r de c a lcu la r las de r ivada s y sus tituir en la e cu a c ió n 7, e s má s fácilmu lt ip lic a r la serie p a ra eos a; e cu a c ió n 1 6, por x:.veos .V = .V 2 ( - l ) " 7 7 V = S C - ' ) " T T V,_o (2/?)!2 n )E JEM P LO 7 Re p r e s e n t e / ( a) = sen .v e om o la s um a d e su serie d e T a y lo r c e n t r a d aen Tr/3.SOLUCIÓN Pr ime ro a c omo d amo s los valores en c o lumn a sHemos obtenido dos diferentesrepresentaciones en serie para sen a , la seriede Maclaurin en el ejemplo 4 y la serie deTaylor en el ejemplo 7. Es mejor utilizar la seriede Maclaurin para los valores de a cercanos a 0y la serie de Taylor para .vcercanos a 17/3.Observe que el tercer polinomio de Taylor T, enla figura 3 es una buena aproximación al sen acerca de tt/3, mas no asícerca de 0.Compárelo con el tercer polinomio de MaclaurinT, en la figura 2, donde lo opuesto es verdadero./( .v) “ sen a/ ' ( a ) = e o s A/% v ) = —sen .v/ w(.v) — —eos xfí(f)-y /L2<?)--(í)~V3_2_1_2y e s te pa trón se repite indef inidamente . Por tanto, la serie d e T aylor en 7t/ 3 es'OK’Í 'V T 1 'V T2 2 * 1 !FIGURA 3L L — l _ L - ’ y 3 J 2 • 2! y 3 / 2 • 3!3 /
  • 153. 760 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASLa d emo s tra c ió n d e q u e e s ta serie r e p re s e n ta sen x p a r a to d a x e s mu y s imila r a la dele jemp lo 4. [Sólo r e emp la c e a: p o r x — iil?> e n (14).] P o d emo s e sc r ibi r la serie con lanota c ión s igma si s e p a ramo s los té rmin o s q u e contienen y /3 :(— 1 )" v 3 ( _ j r V - £ (- 1 )- ' / _ j r V ' ,+lX 2(2,,)! V 3 / -)2(2«+ l):V 3/sen v = 2Las series d e p o tenc ia s ob ten id a s med ia n te mé todos indire c tos en los e jemp lo s 5 y 6 yen la sección 1 1.9 son re a lmente la serie de Taylcr o d e Ma c laur in d e las func ione s d ad a sp orque el t e o r ema 5 a s í lo e s table c e , y a que no impor ta c ómo se o b ten g a u n a repre sentac iónen u n a serie de p o tenc ia s /( .v) — 2 c „ ( a - — a ) ' siempre e s c ie r to q u e c„ = !. Enotras pa labra s , la d e te rmin a c ió n de los coeficiente s e s única.En cuentre la serie de Ma c laur in para f ( x ) = ( l 4- .v) EJEM PLO 8 d o n d e k es c u a lq u i e rn úme ro real.SOLUCIÓN Al ord e n a r nu e s t ro t raba jo en c o lumn a s , ten emo s. / ( ' ) - ( i + ')• / (O ) - 1fx ) = A(1 + / ' (O ) - k/ * ( v) = k ( k - 1 )(1 + a ) - ' /*{( ) ) = k (k - 1)= k ( k - 1 )(A - 2 ) { 1 + . v ) - ' f% > ) = k ( k - 1 )(A - 2 )/<">(a) = k ( k - 1) • • • (k - n + 1 ) 0 + •')■ ■'' / (,,,(0) = k (k - l ) • • • (k - n + l )Por tanto, la serie de Ma c laur in de f( x ) = (1 + a:)* es2 / (,,>( ° ) ... = ¿ a(a - Q - ( t - „ + i) ,,,_0 ' l! ,1-0 n -Es ta serie se d e n om in a se r ie b in o n i i a l . Ob s e rv e que si k e s un ente ro no negativo,e n to n c e s los té rmin o s son e v en tu a lmen te c e ro y por tanto la serie e s finita. Pa ra otrosvalores d e A n in g u n o de sus té rminos e s c e ro, p o: lo que p o d emo s intenta r la p ru e b a dela razón. Si el /?-ésimo té rmin o e s e n to n c e sk (k - 1 ) - - (k - n + 1 ) ( * - n ) x r+'a„ (n + 1 )! k (k - 1 )■■*( * — /? + l).v"n + I | v |, - LnI*!- *|*| cuando n —> co1 +As í, p o r la p ru e b a d e la ra zón, la serie b in omia l converge si x< 1 y divergesi 1*1 > 1.La nota c ión tradiciona l p a ra los coef ic iente s de la serie b in omia l es0 k ( k - 1 )(A — 2) **■( * — / ! + 1)y e s tos n úme ro s se llaman coeficientes binomiales
  • 154. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 761El s iguiente t e o r ema e s table c e que (1 + x)k e s igual a la s um a de su serie de Ma c laur in.Es pos ible d emo s t ra r e s to al p ro b a r q u e el res iduo R„(x) se a p ro x ima a O, p e ro e s to resultaser mu y difícil. La d emo s t ra c ió n r e sumid a en e l e je rc ic io 75 e s mu c h o má s fácil.0 Serie binomial Si k e s c u a lq u ie r n úme ro real y | a -| < 1, e n to n c e s(1 + a ) ‘ = 2 ( : ]x” =I + k x + J i ( 2 + Ü ÍÍL -------=LX 3 +¿ * ) , - ii—on /Au n c u a n d o la serie b in omia l s iempre converge c u a n d o |j r | < 1, la p re g u n ta de sic o nve rge o no en los e x tremo s , ± 1, dep en d e d e l va lor d e k. Re sul ta que la serie convergeen 1 si — 1 < k ^ O y en amb o s e x t remo s si n > k. Nóte se q u e si k e s un ente ro positivoy n > k, e n to n c e s la e xpre s ión p a ra ( ¿ ) contiene un factor (k — k), de mo d o q u e ( * ) = Op a r a n > k. Es to s ignifica q u e la serie te rmina y se re duc e al teo rema d e l b in omio ordinar ioc u a n d o k e s un e n te ro positivo. (Véase la página d e re fe re n c ia 1.)□ EJEM PLO 9 En cu e n tre la serie d e Maclaurin p a ra la func ión / ( . y )radio de convergencia .SOLUCIÓN Es c r ib imo s / (a r ) d e fo rma q u e p o d amo s u sa r la serie binomial:v"'4y su■'V< .)'-VY al u sa r la serie b in omia l c o n k = —y donde x fue r e emp la z a d a p o r ~ x / 4 , ten emo s1 1 1 * 3 , 1 * 3 * 5 , 1 - 3 * 5 ...................(2/í — 1)- t [1 H x H — .y " H------------------^— .y + * * - + -------------------------------------------------------------- .y " +8 2 ! 8 3 ! 8 ' n8 "S a b emo s de (17) q u e e s ta serie converge c u cn d o | —x ¡ 4< 1, e s decir,x< 4, de mo d oq u e el ra d io d e co n v e rg e n c ia e s R = 4.En la tab la s iguiente se r e sumen , p a ra re fe renc ia futura, alguna s d e las series imp o r ta n te sd e Ma c laur in q u e h emo s d e d u c id o en e s ta sección y en la anterior.
  • 155. 762 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASTABLA 1Series importantes de Maclauriny sus radios de convergencia.EE3 Module 11.10/11.11 permite ver cómopolinomios sucesivos de Taylor se aproximana la función original.1= J x n = 1 + a: + ;c2 + x* + • • « R = 11 ~ -v ,_<)” x " X x 2 X3e x ™ ™ 1 H + h h * ' * R ™;Zü> n1! 2 ! 3 !" , A'-,,+1 A5 A5 A7co 2 n 2 4 6COS X = 2 ( “ O " / A = 1 1- — — h * * * R = 00í o ' (2 / r )! 2 ! 4 ! 6!” . . a 2"+i a;3 x 5 Xa:_i_ AT5 a: 7 i_i_ . . .3tan ■*— 2 < ~ 0 % 2/ 1 T, i1 + - — + * ” * " 15 7i_i_ A^_ .r 4 _L . . ,m + . v ) = 2 ( — i r , T - A - T + T - T T+ - * = •2■3Tf1(I + ,v)‘ 2 1 " k ' = I + k* + k( , 0 v: + — + . . . fi = |»‘ = í ( * y =/ r /EJEM PLO 10J_________ 1___ 1 1• 2 • 2 + 3 • 2-'En cuentre la suma de la serie —— : ------- — r r + ~— r r ---;— Ti" +1 « 2 2 - 2 " 3 « 2 3 4 « 2 aSOLUCIÓN Co n la notac ión s igma p o d emo s e scribir le serie d a d a c omo 50 /'IV'S í - ' r ' T T F - s t - r r ^ •i-i n * z h—i nEntonces , en la tabla 1 vemos que e s ta serie relaciona la entrada para ln( l +■ .v) c o n x = ?.As í¿ ( - 1 ) " - 1— *— — ln(l + 4 ) - l n | H«-i n * 2Un a razón d e que las series de T aylor sean imp o r tan te s , e s q u e pe rmi ten integrarfunc ione s q u e no se podían ma n e ja r antes. En efecto, en la in t roduc c ión de e s te c apí tulome n c io n am o s q u e New ton in te g rab a a me n u d o func ione s e x p re s á n d o la s p r ime ro c omoseries de potenc ia s , y q u e d e sp u é s in te g rab a la serie té rmin o a término. No e s posibleintegrar la func ión f ( x ) = e~x2 p o r med io d e las técnicas c o n o c id a s h a s ta e s te mome n to ,p orque su antide r ivada no e s u n a función e lemen ta l (véase sección 7.5). En e l e jemp los iguiente se aplic a la id e a d e New ton p a ra integrar e s ta función.□ EJEMPLO 11a) Evalúe J e ~ x d x c om o u n a serie infinita.b) Evalúe J0‘ e ~ x' d.x:d e tal ma n e r a que no di f ie ra 0.001 de l va lor real.SOLUCIÓNa) Pr ime ro e n c o n t r amo s la serie de Ma c laur in p a ra f ( x ) = e ~ ' Au n q u e e s pos ible usa re l mé to d o d i re c to, d e te rmin émo s la s imp lemen te mediante el re emp la z o de x c o n — x 2 enla serie p a ra e x d a d a en la tabla 1. As í, p a ra todos los valores de x ,
  • 156. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 763Es posible hacer C = O ei la antiderivada delinciso a).Algunos sistemas algebraicos computacionalescalculan los límites de est3 manera.A h o r a in te g r amo s té rmin o a té rminof ■ C ( x 2 x A x 6 x-— h * • 4 J d xn 13 5 X X= C + . v - — — + 1)"3 ♦ 1! 5 * 2 ! 7 * 3 ! ' ' (2» + l )n !E s t a serie e s c o n v e rg e n te p a r a to d a x p orque la serie o r ig in a l p a r a e~jl c o n v e rg e p a r ato d a x.b) El t e o r ema fu n d ame n ta l de l c á lcu lo d a, r ^ x s x 1 x* ie ' d x ™ I x -------------- + ----------------------------+ ------------------♦ ♦ ♦ IJo [ 3 - 1! 5 ♦ 2! 7 * 3 ! 9 * 4 ! J„“ 1 “ T + T7T — ¿ + 2177“ * * *1 - + 7 ü - ¿ + TT6 ** 0.7475El t e o r ema de e s t ima c ió n de la serie alternante d emu e s t r a q u e el e r ro r in voluc rado ene s ta a p ro x ima c ió n e s me n o r que1 < 0.001 |1 1 * 5 ! 1320Ot ra aplic ac ión d e la serie de Taylor se ilustra en e l e jemp lo siguiente. El límite p o dr íaser c a lcu la d o con la regla d e l’Hospita l, pero en lugar d e ha c e r lo a s í se re cur re a lasseries.E JEM P LO 12e x - 1Evalúe l ím ?x—*o xSOLUCIÓN Al utiliza r la serie de Ma c laur in para e x ten emo sl ím : = lím.r—*0 X~ r—»0X X 2 X 3 Ai + — + — + — + • • • ! - i — xe* -- x1! 2! 3! )+ h h2! 3! 4!= 11 r n --------------------^----------r~*° x( 1 a: x 2= . lm„ ( T + 3 t + 4!p orque las series d e p o tenc ia s son func ione s continua s .Mult iplicac ión y división de series de potenciasSi las series d e p o tenc ia s se suma n o restan, se comp o r tan c omo p o l in omio s (el teo rema11.2.8 lo d emue s t ra ) . De h e ch o , c om o lo ilustra e l e jemp lo s iguiente , las series tamb ién sep u e d en mult iplic a r y div id i r c om o los polinomios . D e te rmin amo s sólo los p r ime ro s t é rm i ­nos p orque los c á lculos p a r a los siguiente s se vue lven tediosos y los té rmin o s iniciales sonlos má s impor tante s
  • 157. CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS__E_J_E_M__P_L_O__ 1_3__ Ca lc u le los p r ime r o s tre s té rmin o s no c e r o d e la serie d e Ma c la u r in p a r aa) e x sen x y b) tan x.SOLUCIONa) Mediante la serie de Ma c laur in p a ra e 1 y sen a en la tab la 1, ten emo se*sen.v= ( l + -jL + i - + i - + . . _ | ¡ - + . . . JAl mult iplic a r e s ta e xpre s ión y ag ru p a r p o r té rminos seme jante s , al igual q u e con lospolinomios :i1 i+ X +i -I x 2¿ +■ tI x 1-■ +i * * * 6I i~ 6*~.V + A 2 +x ~ + ¿ A * * +i :• 1 46 X 6 XX + A2 + JA' +A s í e * s e n a = a + a 2 + | a 3 + * * *b) Al utilizar la serie d e Ma c laur in en la tab la 1A -------- + ----------s e n A 3 ! 5 !tan a = ----------- = -------------- :-----------:------COS A A" A1 + ----2! 4 !Us amo s un p ro c ed imie n to c omo e l de la divis ión larga:a + J a 3 + -f^A5 +l 1 2 . 1 4 1 ¡ , — 2 * ~r 2 4 x ~ * ’ VA " “ -V + J12-0 Ar 5 -* 3 1 5 ,3 A - 30 A +1 3 1 5 .3 A “ 6 A +b a 5 +Por c o n s iguiente , tan a = a + i a 3 + t? a +No se h a intentado jus tif ic ar las man ip u la c io n e s formales que se utiliza ron en ele jemp lo 13, p e ro son legítimas. Hay un teo rema que e s table c e q u e si tanto / ( a) — 2 c„a "c om o #{a) = 2 b „ x " convergen pa ra | a | < R y las series se mult iplic an c om o si fueranp o l in om io s , e n to n c e s la se r ie re su l ta n t e tamb ién c o n v e rg e p a r a | a | < R y r e p r e s e n t a/ ( a ) g (a). En cu an to a la divis ión e s n e c e s a r io q u e b {) ^ 0 ; la serie re sultante converge pa ra| a | suf ic ientemente pequeña .
  • 158. SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 765Ejercicios1 . Si / ( a ) = 2 ^ - d ¿>.,(a — 5)" para toda a, escriba una fórmulapara ¿>8-2. Se proporciona la gráfica de /a) Explique porqué la serie1 .6 - 0 .8 { .v - 1 ) + 0 . 4 (a- - l ) 2 - 0 .1 ( a -f 'no es la serie de Taylor de / centrada en 1.b) Explique porqué la serie2.8 + 0.5(.v - 2) + 1 .5(a - 2)2 - 0.1 (.v - 2)3 + • ■ *no es la serie de Taylor d e /c e n t r a d a en 2.3. Si /M(0 ) — (>1 + l)! para n — 0, 1, 2 encuentre la seriede Maclaurin p a r a /y su radio de convergencia.4. Encuentre la serie de Taylor p a r a / c o n centro en 4 si/<*(4 ) , n y |,!J K} r ( n + 1)¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor?5-12 Encuentre la serie de Maclaurin para / ( a ) usando la definiciónde la serie de Maclaurin. LSuponga q u e / t ie n e un desarrollo enserie de potencias. No demuestre que —* 0.) Determinetambién el radio asociado con la convergencia.5. /(.v) — (1 — a ) -2 6. /(.v) — ln(l + a)7. / ( a ) = sen 77 a 8. / ( .v ) = e~2x9. / ( a) - 2 V 1 0 . / ( . v ) - a c o s a -11. / ( a ) — senhA- 12. /(.v) — cosh a2 1 . Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 7 representasen 77a- para toda x.22. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 18 representasen x para toda x23. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 1 1 representasenh a- para toda x24. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 12 representacosh a- para toda x25-28 Use la serie binomial para desarrollar la función como unaserie de potencias. Establezca el radio de convergencia.25.127.(2 -+- a)326. v 8 + a28. (1 - . v p29-38 Utilice la serie de Maclaurin que aparece en la tabla I paraobtener la serie de Maclaurin para la función dada.29. / ( a ) = scn77A- 30. / ( a ) = e o s ( tt.x/ 2 )3 1 . /(.v) - + e 2x 32. /(.v) - e x + 2c - '133. / ( a ) = ACOs(yA2) 34. / ( a ) = a 2 ln(l + a 3)35. / ( a )V 4 + a236. / ( v )37 . / ( v ) — sen2A sugerenca: uses f i + Tse sen2A — t(1 — eos 2 a ).]38. / ( a) = -a — sen asi v 7* 0si a - 039-42 Determine la serie He Maclaurin He/(meHiante cualquiermétodo) y su radio de convergencia. Gra f ique /y sus primerospolinomios de Taylor en la misma pantalla. ¿Qué observ a respectoa la correspondencia entre estos polinomios y / ?39. / (a ) — c o s {a 2) 40. / (a ) — e ~ x' + c o s a4 1 . / ( a ) = x c ~ l 42. / ( a ) = t a n - ' ( a 3)13-20 Calcule la serie de Taylor para / ( a ) centrada en el valor dadode a. [Suponga q u e / t ie n e un desarrollo en serie de potencias. Nodemuestre que /?„(a) —* O.J También encuentre el radio deconvergencia asociado.1 3 . / ( a ) - a 4 - 3 a 2 + 1 , « - 114. / ( a ) = a - a 3 , « = - 215 . / ( a ) = In a, a = 2 16. / ( a ) — 1 / a , a = — 31 7 . / ( a ) — e2x, a — 3 18. / ( a ) — sen a , a — 7r/219. / ( a ) = eos a, ct = 77 20. / ( a ) = % a , o = 1643. Mediante la serie de Maclaurin para eos a calcule eos 5o conuna aproximación de cinco decimales.44. Utilice la serie de Maclaurin para e* a fin de calcular 1 ¡ y econ una aproximación de cinco decimales.45. a) Use la serie binomial para desarrollar 1 / v 1 — a 2.b) Use el inciso a) para hallar la serie de Maclaurin parasen- ,A.46. a) Desarrolle 1 j i ¡ 1 + a como una serie de potencias.b) Use el inciso a) para estimar 1 ¡f~ X con una aproximaciónde tres decimales.Se requiere calcu adora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 159. 766 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS47-50 Evalúe la integral indefinida como una serie infinita.e x ~ 147 . [ x eos (.y3) d.ieos x — 148 . f d. x4 9 . f d x 5 0 . |* are tan (.y: ) d:2'51-54 Utilice series para obtener un valor aproximado de la integraldefinida con la exactitud indicada.(t |^-v 3 are tan .v d x ( cuatro decimales)o5 2 . f sen ( a 4) d x (cuatro decimales)Jo5 3 . | y 1 + .y4 d x ( |e r ro r | < 5 X 10"6)5 4 . | x~e~1'd x (| error | < 0.001)55-57 Mediante las series evalúe el límite.x - ln(l + v)5 5 . l ím -----------^ ------ -«—•o x~5 6 . límI — eos x•0 1 + V - ei 3„ „ s e n x - x + zx5 7 . l im -------------A— O V 55 8 . Utilice la serie del ejemplo 13b) para evaluarlímtan .y — xEste límite se calculó en el ejemplo 4 de la sección 4.4utilizando la regla de l’Hospital tres veces. ¿Cuál métodoprefiere?59-62 Utilice la multiplicación o la división de series de potenciaspara determinar los primeros tres términos diferentes de cero en laserie de Maclaurin para cada función.5 9 . y — emmX‘ eos .v6 1 . y =6 0 . y ™ sec x6 2 . y = e x ln(l + .v)6 7 . 2, Z 4 :,,+ l(2/; + l)!( l n 2 ) : { l n 2 ) '6 8 . I - ln 2 + -------— - v ^ - +2! 3!9 27 8169- : , + - + 3 r + i r + "1 1 1 17°‘ 1 - 2 3 - 23 + 5 * 25 7 • 27 +7 1 . Demuestre que si p es una función polinomial de «-grado,entoncesi p “ 0/>(•' + 0 - 27 2 . Si f ( x ) = (I + -v3)30, ¿qué e s / ^ O ) ?7 3 . Demuestre la desigualdad de Taylor para n = 2, es decir,demuestre que si < M para |;c — a | «5 d , entonces| #:(.y) | ^ — | .y — a |3 para | .y — a | ^ d7 4 . a) Demuestre que la función definida por/ ( ' )r c~ ‘7a si .Y 7^|_0 si .Y =no es igual a su serie de Maclaurin.b) Grafique la función del inciso a) y comente sucomportamiento cerca del origen.7 5 . Recurra a los siguientes pasos para probar [TT].a) Sea 5 ( y) — ( * ).y". Derive esta serie para demostrar que*g(-y)l + -Y1 < -Y < 1b) Sea /»(y) ™ (1 + A-)”*g(.Y)y demuestre que h '(x ) = 0.c) Deduzca que g(.x) = (1 + x)k.7 6 . En el ejercicio 53 de la sección 10.2 se demostró que lalongitud de la elipse x = a sen 6, y = b eos 0, dondea > b > 0, es63-70 Calcule la suma de la serie.v4''63- —co *>rj65 . 2 —>:—1 n J64 . 2< - l ) "7T 2"Z , 6 (2//)!66. 23",Z> 5"ni= 4 « p V l “ ^ 2 sen-fl d 6donde e = ¡ a 2 — b 2 j a es la excentricidad de la elipse.Desarrolle el integrando como serie binomial y use el resultadodel ejercicio 50 de la sección 7 . 1 para expresar L como unaserie de potencias ce la excentricidad hasta el término en e b.
  • 160. REDACCIÓN DE PROYECTO CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIAL 767P ROY E C TO DE L AB OR A TO R IO fsÁclUN LÍMITE ESCURRIDIZOEste proyecto trata con la funciónsen (tan .v) — tan(sen.v)arcsen(arctar. .v) — arelan (aresen a )1. Utilice su sistema algebraico computarizado para evaluar / ( a ) para x = 1, 0.1, 0 .0 1, 0.001 y0.0001. ¿Parece t e n e r /u n límite cuando x —■* 0?2. Use el SAC para gra fic a r /c e re a de x = 0. ¿Parece t e n e r /u n límite cuando x —* 0?3. Intente evaluar l ím,_ o /{ v ) c o n la regla de l’Hospital, usando el SAC para hallar las derivadasdel numerador y el denominador. ¿Qué descubrió? ¿Cuántas aplicaciones de la regla del’Hospital se requieren?4 . Evalúe lím , _ 0./{v)con ayuda del SAC para encontrar la cantidad suhciente de términos dela serie de Taylor del numerador y el denominador. (Utilice el comando t a y l o r en Maple os e r i e s en Mathematica.)5. Utilice el comando l í m i t e en su SAC para calcular directamente l ímt_ 0/(-v) (La mayoríade los sistemas algebraicos computarizados utilizan el método del problema 4 para calcularlímites.)6. En vista de las respuestas a los problemas 4 y 5, ¿cómo explica los resultados de losproblemas 1 y 2?|SAC| Se requiere sistema algebraico computarizadoR ED A C C IÓN DE P ROY E C TO CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIALEl teorema binomial, que proporciona el desarrol.o de (a + b)k, ya lo conocían los matemáticoschinos muchos siglos antes de que naciera New ton, en especial para el caso donde el exponente kes un entero positivo. En 1665, cuando New ton tenía 22 años, descubrió por primera vez eldesarrollo de la serie infinita (a + /^ ‘ cuando k es un exponente fraccionario, positivo o negativo.No publicó sus descubrimientos, pero los planteó y proporcionó ejemplos de cómo usarlos en unacarta con fecha 13 de junio de 1676, carta (ahora se llama epístola prior) que envió a HenryOldenburg, secretario de la Royal Society o f Lonáon, para que la transmitiera a Leibniz. Cuandoéste contestó, le preguntó a New ton cómo había descubierto las series binomiales. New ton escribióuna segunda carta, la epístola posterior, del 24 de octubre de 1676, en la cual explica con lujo dedetalles la manera como llegó a su descubrimiento mediante una ruta muy indirecta. Estabainvestigando las áreas bajo las curvas y = (1 — a 2) " 2 de 0 a a para n = 0, 1, 2, 3, 4,... Sonfáciles de calcular si n es par. Al observar patrones y al interpolar, New ton fue capaz de adivinarlas respuestas de valores impares de n. Por tanto, se dio cuenta de que podía obtener las mismasrespuestas expresando (1 — a 2)"'2 como una serie infinita.Escriba un ensayo sobre el descubrimiento de New ton. Inicie dando el enunciado de seriebinomial en la notación de New ton (véase epístola p rio r en la página 285 de [4J o la página 402 de12]). Explique por qué la versión de New ton es equivalente al teorema 17 de la página 761. Luegolea la epístola p o sterior de New ton (página 287 ce [4] o página 404 de L2J) y explique los patronesque descubrió New ton en las áreas bajo las curvas y = (1 — a-2) " ' 2. Muestre cómo podíaél calcular el área bajo las curvas restantes y cómo comprobó su respuesta. Para finalizar,explique cómo estos descubrimientos llevaron a las series binomiales. Los libros de Edwards L Uy Katz [3] contienen comentarios de las cartas de New ton.1. C. H. Edw ards, The Historical Deveiopment o f the Calculus, Nueva York: Springer-Verlag,1979, pp. 178-187.
  • 161. 768 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS2. John Fauvel y Jeremy Gray, eds., The History o f Mathematics: A Reader, London: MacMillanPress, 1987.3. Victor Katz, A History o f Mathematics: An Introduction, Nueva York: HarperCollins, 1993, pp.463-466.4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800, Princeton, N.J.: PrincetonUniversity Press, 1969.Aplicaciones de los polinomios de TaylorEn e s ta sección se exploran d os tipos d e aplic ac ione s de los p o l in omio s d e Taylor. P r im e ­rose e x amin a c óm o se usan p a ra a p ro x ima r funciones; a los c ientíf icos de la c omp u ta c ió nles gustan p orque las p o l in omia le s son las má s sencillas de las func ione s . Lu eg o inves ti­gamo s c ómo los físicos y los in g en ie ro s los usan en c am p o s c om o la re la tividad, óptica,radia ción d e c u e rp o s n e gros , d ip o lo s e lé c t r ico s , la veloc idad d e las ondas en el a g u a y laco n s t ru c c ió n de c a r re te ra s en el desierto.Aproximación de funciones mediante polinomiosS u p o n g a q u e / ( a ) e s igual a la s um a d e su serie de T aylor en a:/ W = í — ( ' - « ) “En la sección 1 1.10 se in trodujo la nota c ión T„(x) p a ra la n -é s ima suma pa rcial de e s taserie y se le l lamó p o l in omio de Taylor de «-é s imo g rado d e / e n a. Así,T „ { x )= 2 i — -— ( x ~ a )*-oPue s to q u e / e s la suma de su serie de Taylor, sabemos q u e T„(x) —> f ( x ) c u a n d o n —* co yde este mo d o T„ se puede usa r c om o u n a aproxima c ión de / : / ( a ) Tn(x).Ob s e rv e q u e e l p o l in omio de p r ime r g rado de TaylorT ^ ) = f{ a ) + / 'M ( -V - a)e s lo m i smo q u e la l ine a liza c ión d e / e n a q u e e s tu d iamo s en la sección 3.10. Note tambiénq u e Ti y su d e r iv ad a tienen los mi smo s valores en a que / y / ' . En genera l, se pueded emo s t ra r q u e las de r ivada s d e T„ en a co n cu e rd an c o n las d e / h a s t a las de r ivada s de ordenn, inclusive.C o n e l fin d e i lu s t r a r e s t a s id e a s , v e a u n a vez m á s la s g r á f i c a s d e y = e x y su s p r i ­mero s p o l in omio s d e Taylor, c om o se ilus tran en la figura 1. La gráfica de 7", e s la r e c t atangente a y = e z en (0, 1); e s ta re cta tangente e s la me jo r aproxima c ión lineal a e x c e r c a de(0, 1). L a grá fic a de T z e s la p a r á b o l a y = 1 + x + a ^/2, y la grá fic a de T 3 e s la c u rv ac ú b i c a y = 1 + x + x 2/ ! + a ^ /6 , q u e e s un a jus te m á s c e r c a n o a la c u r v a e x p o n e n c i a ly = e x q u e 7. El s ig u ien te p o l in om io d e Tay lo r T* se r ía u n a a p ro x ima c ió n me jo r , y a s ísu c e s iv amen te .
  • 162. SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 769X - 0.2 x - 3.0mTifa)M ' )r ( ' )7-,„(.v)1.2200001.2214001.2214031.2214031.2214038.50000016.37500019.41250020.00915220.079665e x 1.221403 20.085537Los valores de la tabla p ro p o rc io n a n u n a d emo s tra c ió n n umé r i c a d e la co n v e rg e n c ia delos p o l in omio s d e Taylor T„(x) a la función y = e*. Vemos q u e c u a n d o x = 0.2 laco n v e rg e n c ia e s muy rápida , p e ro c u a n d o x = 3 e s un po c o má s lenta. De h e ch o , entre má slejos e s té x de 0, e s un po c o má s lenta la c o n v e rgenc ia d e T„(x) a e Cu a n d o u s amo s un p o l in omio de Taylor T„ p a ra ap ro x ima r u n a func ión f d e b emo spregunta rnos : ¿qué tan b u e n a e s u n a a p ro x ima c ió n ? ¿Qu é tan grande d e b emo s toma r n conobjeto de q u e a lc anc e u n a pre ci s ión d e s e a d a 0 Pa ra r e sp o n d e r e s ta s pre g u n ta s , e s ne ce sa r ioq u e e x amin emo s e l valor a bsoluto de l residuo:|* . .< ' ) | = | / < v ) - U v ) |Hay tres mé to d o s p o s ible s p a ra e s t ima r e l tamañ o de l error:1. Si c u e n t a con u n a c a lc u la d o r a q u e trace gráficas o u n a c omp u ta d o ra , la puede usarp a r a gr a fie ai | /?„(a) | y d e a h í e s t ima r el error.2. Si suc ede q u e la serie e s a lte rnante, po d emo s aplic ar el t e o r ema d e e s t ima c ió n dela serie alternante.3. En todos los c a so s p o d emo s aplic ar k d e s ig u a ld ad de T aylor ( te o rema 11.10.9), elc u a l e s table c e q u e si | /*" +l*(.v) | ^ M , e ntonc e sM .□ EJEMPLO 1 a) Ob te n g a u n a a p ro x ima c ió n d e la función /( .v) ™f x por med io de l p o l in omio deTaylor de g rado 2 en a = 8.b) ¿Qu é tan e x a c ta e s e s ta a p ro x ima c ió n c u an d o 7 x 9?SOLUCIÓNa) / ( a ) = = , ' /> m = 2/ - ( a ) = i . v —-v' m = - n/ * ( ' ) = / e(8) = -TTT/* (■ ') = j t x -WEn e s tos té rmin o s , e l p o l in omio de Taylor de seg u n d o grado e s’f - U = m + — ■(■' - 8 ) + - 8) :2 + 13 ( a' - 8 ) - ¿ ( .V - 8) -La a p ro x ima c ió n d e s e a d a es& tá x) = 2 + M x - 8) ~ ¿ ( a' - 8) 2b) La serie de Taylor no e s a lternante c uando x < 8, de mo d o que no p o d emo s aplic ar elt e o r ema d e e s t ima c ió n de la serie a lternante en e s te e jemp lo . Pero p o d emo s u sa r lad e s ig u a ld ad d e Taylor con n = 2 y a = 8:
  • 163. 770 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASd o n d e | . r { . v ) | < M. C om o x 5* 7, t e n emo s a?/3 ^ 78/3 y de e s a man e ra2.5F IG U R A 20.00031510 1 10 1{ % ' ) = — • ^ < ° . ° 0 2 1Por tanto, p o d emo s h a c e r M = 0.0021. As imi smo , 7 x 9, d e mo d o que— 1 x — 8 =S 1 y | x — 8 | 1. E n tonc e s la de s igua ldad de T aylor daR :(x ) | <0.00213!, 0.0021l 3 ------------------< 0 . 0 0 0 4En e s tos té rmin o s , si 7 ^ x ^ 9, la ap ro x ima c ió n en el inciso a) no difiere en má s de0 .0 0 0 4 de l valor real.Con la a y u d a d e u n a c a lc u la d o r a p a ra t raz ar gráficas o de u n a c omp u t a d o ra c omp ru e b ee l c á lcu lo de l e jemp lo 1. En la figura 2 se mue s tra q u e las gráficas de y —' x y y = 7(x)e s tán mu y c e rc an a s entre sí c u a n d o A-está c e r c a de 8. En la figura 3 se i lus tra la gráfica de| R 2(x) | c a lc u la d a a pa r tir de la expres iónA partir de la gráfica| * 2<a ) | - | ^ - 7 2<a ) |I R 2( x ) | < 0.0003F IG U R A 3c u a n d o 7 < x ^ 9. As í, la e s t ima c ió n d e e r ro r mediante mé to d o s gráficos e s l ige ramenteme jo r q u e c u a n d o se h a c e a partir d e la d e s igua ldad de Taylor, en este caso.□ EJEM PLO 2a) ¿Cu á l e s el e r ro r m á x im o pos ible al utilizar la a p ro x ima c ió nx : x 5sen x » x + —3! 5!c u a n d o —0.3 x 0.3 ? Utilice e s ta aproxima c ión p a ra c a lcula r sen 12° con unaa p ro x ima c ió n de seis cif ra s de c imales .b) ¿Pa ra q u é valores d e x e s t a a p ro x ima c ió n no difiere en má s de 0 .0 0 0 0 5 de l valor real?SOLUCIÓNa) Ob s e rv e q u e la serie de Ma c laur inX 3 X 5 x 7sen x = x + -----------------+ •«■3! 5! 7!e s a lternante p a ra to d o s los valores no c e ro de x, y los té rmin o s suc esivos d e c re c en entama ñ o p orque |x | < 1, de mo d o q u e p o d emo s usar el t e o r ema de e s t ima c ió n d e la seriealternante. El e r ro r en la a p ro x ima c ió n de sen x p o r med io de los tres té rmin o s de suserie d e Ma c laur in e s c u a n d o mu c h o| x | 75 040Si —0.3 x < 0.3, e n to n c e s |x | 0.3, de mo d o que el e r ro r e s má s p e q u e ñ o que(0.3)75 0 4 0« 4 . 3 X 10*
  • 164. SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 771Pa ra c a lcu la r sen 12° p r ime ro c o n v e r t imo s a radianessen 12= s e n ( í i r ) = !,en( ~ i r )~ i ? - ( t ^ i + ( t t H ~°- 2 0 7 9 1 1 6 9As í, con u n a a p ro x ima c ió n de seis de c ima le s , sen 12° ^ 0.207912.b) El e r ro r será me n o r q u e 0 .0 0 0 0 5 siI vi7< 0.0 0 0 0 55 040Al re solve r la de s ig u a ld ad y e n c o n t r a r a| .v |7 < 0 . 2 5 2 o b i e n | j r | < (0 .2 5 2 )1' 7 ~ 0.821De mo d o que la aproximación d a d a n o difiere en más de 0.00005 c uando |.v| < 0.82.¿Qué suc ede si re cu r r imo s a la de s igua ldad d e T aylor p a ra re so lv e r el e jemp lo 2? Puesto■ u ü E n Module 11.10/11.11 se muestran enforma gráfica los residuosde las aproximaciones q Ue f ^x )de los polinomios de Taylcr.- e o s x , ten emo sf 7 x ) | 1 y de e s a man e ra4.3 x 10"8FIGURA 40.00006FIGURA 5l* t o l 'í — | v|?De e s te mo d o lle g amo s a la m i sm a e s tima ción q u e con e l t e o r ema de la e s t ima c ió n de laserie alternante.¿Qué hay con re sp e c to a los mé to d o s gráficos? En la figura 4 se i lus tra la gráfica de| R(y{x) | = | sen a- — ( a — | a 3 4-y o b s e rv amo s q u e | /?*(.*)| < 4.3 X 10-8 c u an d o | a | ^ 0.3. É s ta e s la m i sma e s t ima c ió nq u e o b tu v imo s en el e jemp lo 2. En e l c a s o cel inciso b) q u e r emo s |/?6(a)| < 0 .0 0 0 0 5 , dem o d o que gra fic amos tanto y = | R(,(x) | c omo y = 0 .0 0 0 0 5 en la figura 5. Si c o lo c amo s elc u r so r en el p unto de inte rse cc ión de recho, verá q u e la de s ig u a ld ad se c ump le c u a n d o| a | < 0.82. Un a vez má s lle g amo s a la mi sma e s t ima c ió n q u e o b tu v imo s en la soluc ión dele jemp lo 2.Si se h u b ie ra p e d id o q u e a p ro x imá ramo s sen 7 2 ° en lugar de sen 12° en e l e jemp lo 2,h a b r ía s ido p ru d e n te utiliza r los p o l in omio s de Taylor en a = tt/ 3 (en lu g a r d e a = 0),p o rq u e son me jo re s a p ro x ima c io n e s al sen x p a ra valores de A c é r c a n o s a t t / 3 . Observeq u e 7 2 ° e s c e rc a n o a 60° (o tt/ 3 radiane s ) , y las de r ivada s de sen a son fáciles de c a lcula ren tt/ 3 .La figura 6 mu e s tra las gráficas de las aproxima c ione s de los po l in omio s de Maclaurin3r,(.v) = v/■(v) = v É . jL3! + 5!7i(.v) - v -I , ( a) = v5!a la curva seno. Podemos ver q u e c uando n se incrementa, T„(x) e s una buena aproximación asen a sobre un inte rvalo má s y má s grande.FIGURA 6
  • 165. 7 7 2 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASLa curva superior de la figura 7 es la gráfica dela expresión de la energía cinética K de unobjeto con velocidad y en la relatividadespecial. La curva inferior muestra la funciónusada para K en la física clásica newtoniana.Cuando v es mucho más pequeña que lavelocidad de la luz, las curvas so iprácticamente idénticas.Las c a lcu la d o r a s y c omp u ta d o ra s aplican e l tipo de c á lcu lo h e ch o en los e jemp lo s 1 y2. Por e jemp lo , c u a n d o usted p re s io n a la te c la sen o e x d e su c a lcu la d o ra , o bien, c u a n d oun p ro g r ama d o r de c omp u ta d o ra s utiliza u n a s u b ru t in a e n e l c a s o d e u n a func ión t r ig o n o ­mét r ic a o e x p o n en c ia l o de Bessel, en mu ch a s má q u in a s se c a lc u la u n a aproxima c iónpol inomia l . Con f recuencia, el p o l in omio e s uno d e Taylor q u e h a s ido mo dif ic ado dem o d o q u e e l e r ro r se extiende má s u n i fo rmemen te en todo el intervalo.Ap lic a c ion e s en la f ís ic aLos p o l in omio s de Taylor tamb ién se usan con mu ch a f re cuenc ia en la física. Co n objetode e n te n d e r u n a e cu a c ió n , los físicos simplifican a m e n u d o u n a función c o n s id e r a n d o sólod o s o tres té rmin o s de Taylor. En otras pa labra s , los físicos usan un p o l in omio de Taylorc om o u n a a p ro x ima c ió n de la función. La d e s igua ldad de Taylor se puede u sa r p a r a med i rla exac ti tud de la ap ro x ima c ió n . En el e jemp lo siguiente, se mu e s t ra u n a m a n e r a en la cuale s ta id e a se u s a en la re la tividad e special.| En la teor ía de Eins te in de la relatividad e spe c ia l , la ma s a de un objetoq u e se d e sp l a z a con ve loc idad v e sm QmV 1 — V2f ed o n d e m 0 es la m a s a d e l objeto c u a n d o e s tá en reposo y c e s la ve loc idad de la luz. Lae n e rg ía c in é t ic a de l objeto e s la d i fe re n c ia entre su e n e rg ía total y su e n e rg ía en reposo:Ki s = m e 2 — moc 2a) Demu e s tre q u e c u a n d o v es mu y p e q u e ñ a c omp a r a d a con c, e s ta e x p re s ió n p a ra Kc o n c u e rd a con la física c lá s ic a de Nevvton: K = n io v 2.b) Utilice la de s ig u a ld ad de Taylor p a ra e s t ima r la d i fe re n c ia en e s ta s e x p re s io n e s pa ra Kc u a n d o |l>| 100 m / s .SOLUCIÓNa) Mediante las e x p re s io n e s d a d a s p a ra K y m, obtenemosJ A ,1 K = mc ~ moC = Tn^F ' "!o1"= Wof'IA JCon x = ~ v 2/ c 2, la serie d e Ma c laur in p a r a (1 + x )~l/2 es má s fácil de c a lcu la r q u e u n aserie b in omia l con k = —y. (Ob s e rv emo s q u e | jc| < 1 p orque v < c .) Por tanto(1 , _ - i + b | i ) , + H H d l H Jr> + . . .= il - y1 * +i 3g X1- “ f5Z X 3 +, • • •[ /v2 3 v4 5 v (>Imoc w J I I v2 r + 3 v4 r *l-------5 y6 7 +1 * 8 c 4 16 cF IG U R A 7 Si v e s m u c h o m á s p e q u e ñ a q u e c, e n to n c e s to d o s lo s t é rm in o s d e s p u é s d e l p r im e ro
  • 166. SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 773F IG U R A 8Refracción en una interfaz esféricaEn este caso utilice la identidadcosíx — ó ) = —eos óson m u y p e q u e ñ o s c u a n d o se les c om p a r a c o n e l p r im e r t é rmin o . Si los om i t im o s ,o b t e n em o sK ** hiqc ( 1 ” 2 1 2b) Si a = — v 2/ c 2, f { x ) = m 0c 2[( 1 + .v)“ — 1], y M e s un n úme ro tal que| /% v ) | < M, e n to n c e s p o d emo s utiliza r la de s igua ldad de Taylor p a ra e sc ribir> v . M ,2 ÍT e n emo s / * ( a ) — j/?z()c 2( l + .v)-5^2 y sabemos q u e | | ^ 100 m / s , de m o d o que r n / 3m° c2 ^ 3m 0c 24(1 - i ,- / c 2y ' : 4 ( i - i o o - / c - y r - ( *As í, con c = 3 X 108 m / sI *'<■') I * T * 4(1 - < (4 I? X IO" 0)m0De m o d o que c u a n d o |t>| 100 m / s , la magnitud de l e r ro r al u sa r la e xpre s iónn ewto n ia n a p a r a la e n e rg ía c in é t ic a e s c u anto mu c h o (4.2 X 10-,0)/«o.Es tos c o n c e p to s también se aplican en e l c amp o d e la óptica. La figura 8 re p re se n ta unaon d a d e la fuente puntual S que se e n cu e n t ra una interfaz e s fé r ic a de radio R c ent rado en C.El rayo SA se re fra c ta h a c ia P.Al u sa r el pr inc ipio de Fe rma t de q u e la luz v ia ja en el me n o r t iemp o pos ible, He chtd e d u c e la e cu a c ió nm j_ ÜL — _!_ / ,llSi — n 'So |u e„ e,. ~ re, e„ )d o n d e /?, y n 2 son índices de refracción y €0> (,.s0 y s, son las di s tanc ias indic ada s en la figu­ra8. De a cue rdo con la ley de los c o s e n o s aplicada a los triángulos A C S y ACP, tenemos[ 2 ] = v R - + (.V.. + K y - 2 R(s„ + R ) eos <f)(t = v/«- + (.v, - R): + 2R(s¡ - R) eos é
  • 167. 7 7 4 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASC omo es un po c o c omp l ic a d o traba ja r con la ecua ción 1, Gaus s , en 1841, la simplificóu s a n d o la ap ro x ima c ió n lineal eos ó 1 p a ra valores p e q u e ñ o s d e ó . (Es to equivale a u sa re l p o l in omio d e Taylor de g rado 1.) Por tanto la e cu a c ió n se t ra n s fo rma en la siguientee cu a c ió n má s sencilla, q u e se le pide d emo s t ra r en e l e je rc ic io 34a):nL + nL = n1 - n LSo s, RLa teor ía óp t ic a re sultante se c o n o c e c omo ó p tic a d e G a u s s u ó p tic a d e p r im e r o rd en , yse h a vue lto la h e r ramie n ta teór ic a b á s ic a p a ra d i seña r lentes.U n a teor ía má s e x a c ta se obt iene al ap ro x ima r e o s <f> p o r med io de su p o l in omio deTaylor de g rado 3 (que e s el m i smo q u e el pol inomio de T aylor d e g rado 2). Es to c o n s id e ralos rayos p a r a los c ua le s <£ no e s tan p e q u eñ a , e s decir, rayos q u e golpean la superficie ama y o re s dis tanc ia s h p o r a r riba d e l eje. En el ejercicio 34b) se le pide u sa r e s ta a p ro x im a ­ción p a ra d e d u c i r la e cu a c ió n má s e x a c taLa teor ía óp t ic a re sultante se c o n o c e c omo ó p tic a d e te r c e r orden.Otra s a p lic a c io n e s de los p o l in omio s de Taylor a la física y la ingenie r ía se e x p lo ra n enlos e je rc ic ios 32, 33, 35, 36, 37 y 38, y en e l proye cto d e aplic ac ión de la p á g in a 777.Ejercicios7y 1. a) Encuentre los polinomios de Taylor hasta de grado 6para / ( a ) = eos a-centrada en a = 0. Gra f iq u e /y estospolinomios en una misma pantalla.b) Evalúe / y estos polinomios en a- = tt/4 , 7t/2 y 7r.c) Explique cómo los polinomios de Taylor convergena / ( a).2. a) Encuentre los polinomios de Taylor hasta de grado 3 paraf ( x ) = 1/ a centrada en a = 1. Gra f ique /y estos polinomiosen una misma pantalla.b) Evalúe / y estos polinomios en a- = 0.9 y 1.3.c) Explique cómo los polinomios de Taylor convergen a / ( a).^ 3-10 Determine los polinomios de Taylor 7j (a ) para la fu n c ió n /centrada en el número a. Grafique / y 7j en la misma pantalla.3. / ( a ) — l/.v, (i — 24. / ( a ) - v + e~ a - 05. / ( a ) — eos x, a — 77/26. / ( a ) = e~x sen v. a = 07. / ( a ) = In x , a = 18. / ( a ) ™ a- eos a, a ™ 09 . / ( . v ) — x e ~ 2 a - 010. / ( a ) — tan- lA, a — IlSACl 11-12 Use un sistema algebraico computarizado para encontrar lospolinomios de Taylor 7* con centro en a para n = 2, 3, 4, 5. Luegografique estos polinomios y f en la misma pantalla.11 . / ( . v ) = cot a, a = tt/ 412 . / ( a ) = v' l T -V2 , ¿ 1 = 01 3 -2 2a ) Encuentre un valor aproximado d e /me d ia n te un polinomio deTaylor con grado n en el número a.b) Con la desigualdad de Taylor estime la exactitud de laaproximación / ( a ) « T„(x) cuando a está en el intervalo dado.£ 9 c) Compruebe el resultado del inciso b) mediante la gráfica de13. /{ a ) =f x , a = ¿ , n = 2, 4 <S a < 4.214. / ( a ) = a “2, a = 1, n = 2, 0.9 «S v «S I. ISe requiere calculadora gratícadora o computadora | ’ - : | Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas su g erid a s disponibles en steMartcalculus.com
  • 168. SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 77515. / ( .v ) - x 2*a - 1, /; - 3 , 0 .8 <5 x «5 1.216. / ( . y ) ™ sen .t , a ™ ^ / 6 , n “ 4 , O ^ x ^ 77 /317. / ( . v ) ™ sec x , « ™ O, n ™ 2 , —0 .2 « í v *5 0 .218. / ( . y) = l n ( l + 2 .v), « = I , /i = 3 , 0 .5 < v 1.519. /(.v) = ex a = O, ;? = 3, O v < 0 .120. / ( .y) = y ln x, y. = I. /i = 3, 0.5 *S y I .52 1. / ( . y ) = x sen .y; a = O, n = 4 . — l <5 x »C l22. / ( x ) = se n h 2 x , « = O, n = 5, - 1 «S ,v «S I2 3 . Mediante la información del ejercicio 5 estime eos 80° con unaaproximación de cinco cifras decimales.2 4 . Mediante la información del ejercicio 16 estime sen 38° conuna aproximación de cinco cifras decimales.2 5 . Utilice la desigualdad de Taylor para determinar el número detérminos de la serie de Maclaurin para ¿r'que se debe usar paraestimar e 0 ,de tal manera que no difiera de 0.00001 del valorreal.2 6 . ¿Cuántos términos de la serie de Maclaurin para ln(l + x) sonnecesarios para estimar ln 1.4 con 0.001 de precisión?27-29 Aplique el teorema de estimación de la serie alternante o ladesigualdad de Taylor para estimar los valores de x para los cualesla aproximación dada es exacta y está dentro del error establecido.Compruebe gráficamente su respuesta.x 32 7 . sen.y » x ------3 2 . La resistividad p de un alambre conductor es el recíproco de laconductividad y se mide en unidades ohmios-metros (Q-m). Laresistividad de un metal dado depende de la temperaturade acuerdo con la ecuaciónPÍ!) ~ P 2o e n ( f- 2 0 )|error | < 0 .0 1)donde / es la temperatura en °C. Hay tablas que dan los valoresde a (llamado coeficiente de temperatura) y p x (la resistividada 20 °C) para varios metales. Excepto a temperaturas muy bajas,la resistividad varía casi en forma lineal con la temperatura, porlo que es común aproximar la expresión para p(t) mediante supolinomio de Taylor de primero o segundo grados en / = 20.a) Encuentre expresiones para estas aproximaciones lineales ycuadráticas.b) Por lo que se refiere al cobre, las tablas dan a = 0.0039/°Cy p x = 1.7 X 10-8 n-m. Grafique la resistividad delcobre y las aproximaciones lineales y cuadráticas para- 2 5 0 °C =5 /=£ 1000 °C.c) ¿Para qué valores de / la aproximación lineal concuerda conla expresión exponencial de tal manera que no difiera 1%del valor real?3 3 . Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas eléctricas de igualmagnitud y signos opuestos. Si las cargas son q y — q y hayuna distancia d entre ellas, entonces el campo eléctrico E en elpunto P en la figura es£ - - « ________ íí____D2 (D + d fAl desarrollar esta expresión para E como serie en potenciasde d/D, demuestre que E es aproximadamente proporcional a1 /D 3 cuando P está alejada del dipolo.2 8 . eos x » I — + ( |e r ro r | < 0.005).r x ,.2 9 . arelan x « x ----------1-------(I error3 5< 0 .0 5 )30. Suponga que sabemos que/<”»(4) { - O 1'-’3"(„ + I)y la serie de Taylor de / con centro en 4 converge a / (x ) paratoda x e n el intervalo de convergencia. Demuestre que elpolinomio de Taylor de quinto grado aproxima/(5) con errormenor a 0.0002.3 1 . Un vehículo se desplaza a una velocidad de 20 m / s y a unaaceleración de 2 m / s 2 en un instante dado. Mediante unpolinomio de Taylor de segundo grado, estime qué tantose desplazará el automóvil en el siguiente segundo. ¿Seríarazonable utilizar este polinomio para estimar la distanciarecorrida durante el minuto siguiente?D34. a ) D e d u z c a la e c u a c ió n 3 para la ó p t ic a de G au s s a p a r tir d e laecuación 1 aproximando eos ó en la ecuación 2 mediante supolinomio de Taylor de primer grado,b) Demuestre que si eos ó es reemplazado por su polinomiode Taylor de tercer grado en la ecuación 2, entonces laecuación 1 se transforma en la ecuación 4 para una ópticade tercer orden. [Sugerencia: utilice los dos primerostérminos de la serie binomial para C~{ y f,-1. Use también<¡> ~ sen ó 3 5 . Si una onda de agua de longitud L se desplaza con unavelocidad V a través de un cuerpo de agua de profundidad dcomo en la figura de la página 776, entoncesgL 27~d= tan h -------2 77 La) Si el agua es profunda, demuestre que u » y’g¿/{27r) .b) Si el agua es poco profunda, use la serie de Maclaurin paratanh para demostrar que v x g d . (Así, en agua poco
  • 169. 776 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASprofunda, la velocidad de una onda tiende a serindependiente de la longitud de la onda.)c) Mediante el teorema de estimación de la serie alternante,demuestre que si L > 10d, entonces la estimación V2 « gdes exacta dentro de O.O140L.3 8 . El periodo de un péndulo con longitud L que subtiende unángulo máximo 0o con la vertical es-4#V 9 Jre. y f - k 2 s e n 2*3 6 . Un disco uniformemente cargado tiene radio R y densidadde carga superficial <7-,como se ve en la figura. El potencialeléctrico V en un punto P a una distancia d a lo largo de laperpendicular al eje central del disco esV = 2 ~kefr(y d 2 + R 2 - d)donde k ,e s una constante llamada constante de coulomb.Demuestre que7rk,R'para d muy grande3 7 . Si un topógrafo mide diferencias en la altitud cuando haceplanos para una carretera que cruza un desierto, se deben hacercorrecciones tomando en cuenta la curvatura de la Tierra.a ) Si R p s e l r a d i o d e la T i e r r a y / . e s l a l o n g i t u d d e lacarretera, demuestre que la corrección esC - R se c (L /R ) - Rb) Mediante un polinomio de Taylor demuestre que2 R 24 R*c) Compare las correcciones dadas por las fórmulas en losincisos a) y b) para una carretera que mide 100 km delongitud. Tome como radio de la Tierra 6 370 kmdonde k — sen(-7 0o) y g es la aceleración debida a la gravedad.En el ejercicio 42 de la sección 7.7 se aproximó esta integralusando la regla de Simpson.a) Desarrolle el integrando como una serie binomial y useel resultado del ejercicio 50 de la sección 7.1 parademostrar que-VFt' 1232123 2522 ;4;2-4-6*Si 0o no es demasiado grande, se usa a menudo laaproximación 7 ** iTTyjLjq .obtenida usando sóloel primer término de la serie. Se obtiene una mejoraproximación si se usan sólo dos términos:b) Observe que todos los términos de la serie después delprimero tienen coeficientes que son cuanto mucho j.Use este hecho para comparar esta serie con una seriegeométrica y demuestre que(l 4- i * 2) / « 277IT 4 - 3k 2 j ~ 4 - 4k 2c) Mediante las desigualdades del inciso b), estime el periodode un péndulo con L = 1 m y 0o = 10°. ¿Cómo es si se lecompara con la estimación 7' » 2t7[l J q ? ¿Cómo es si0o = 42o?39. En la sección 4.9 utilizamos el método de New con para obtenerun valor aproximado de una raíz / de la ecuación/(jc) = 0, y apartir de una aproximación inicial ai obtuvimos aproximacionessucesivas .v2, Aj, . . . , donde-v„+i / ( < 9Aplique la desigualdad de Taylor con n = 1, a = x„yx = r para demostrar que si f ( x ) existe sobre un intervalo /que contiene a r, x„y x„+i, y l / t t l > K paratoda .v E /, entoncesMb » + ,LEsto significa que si x„ es exacta con d cifras decimales,entonces a„+i es exacta con una aproximación de 2d cifrasdecimales. Más exactamente, si el error en la etapa n es cuantomucho 10-, entonces el error en la etapa // + I es a lo más(A#/2JC)10-*".]
  • 170. PROYECTO DE APLICACIÓN 11.1 RADIACIÓN PROVENIENTE DE LAS ESTRELLAS 777PROYECTO DE APLI CACI ON RADIACION PROVENIENTE DE LAS ESTRELLASCualquier objeto emite radiaciones cuando se cal.enta. Un cuerpo negro es un sistema que absorbetoda la radiación que le llega. Por ejemplo, una superficie negra mate o una cavidad grande con unpequeño agujero en su pared (como un alto horno) es un cuerpo negro y emite radiación decuerpo negro. Incluso la radiación que llega del Sol está cerca de ser radiación de un cuerponegro.La ley de Rayleigh-Jeans, propuesta a fines del siglo X IX , expresa la densidad de energía deradiación de cuerpo negro de longitud de onda A como/ W =877ATdonde A se mide en metros. 7 es la temperatura en kelvins (K) y k es la constante de Boltzmann.La ley de Rayleigh-Jeans concuerda con las mediciones experimentales para longitudes de ondalargas, pero no sucede lo mismo con las longitudes de onda cortas. [La ley predice que /(A ) —* <»cuando A —* 0 + pero los experimentos han demostrado que/(A) —* O.J Este hecho recibe el nombrede catástrofe ultravioleta.En 1900, Max Planck encontró un mejor modelo (que se conoce ahora como ley de Planck)para la radiación de cuerpo negro:m8 77/1 c-A'_jdonde A se mide en metros, 7* es la temperatura en kelvins yh = constante de Planck = 6.6262 X 10-34 J*sc = velocidad de la luz = 2.997925 X 108 m/sk — constante de Boltzmann — 1.3807 X 10” 23 J/K1. Con ayuda de la regla de 1’Hospital demuestre quelím /'(a) ™ 0 y lím / (A) — 0 A-o+ ' 7 ' i- * * v 7paia la ley de Planck. De este mudo, esta lsy modela la iadiación de cueipu negiu mejoique la ley de Rayleigh-Jeans para longitudes de onda cortas.2. Use un polinomio de Taylor para demostrar que, en el caso de las longitudes de onda largas,la ley de Planck da aproximadamente los mismos valores que la ley de Rayleigh-Jeans.Í Y 3. Gra f ique /de acuerdo con ambas leyes en una misma pantalla y comente sobre lassimilitudes y las diferencias. Use 7 = 5700 K (la temperatura del Sol). (Quizá quieracambiar de metros a la unidad más conveniente de micrómetros: 1 jjum = 10“6 m.)4. Use la gráfica del problema 3 para estimar el valor de A para el cual/(A) es un máximosegún la ley de Planck.5. Investigue cómo la gráfica de / cambia cuando 7 varía. (Utilice la ley de Planck.) Enparticular, dibuje/ para las estrellas Betelgpuse (7 = 3400 K), Procyon (7* = 6 400 K)y Sirio (7 = 9 200 K), así como para el Sol. ¿Cuál es la variación de la radiación totalemitida, es decir (el área bajo la c u n a), con 7 ? Apóyese en las gráficas y explique por quéa Sirio se le conoce como estrella azul y a Betelgeuse como una estrella roja.^ Se requiere c alculadora graficadora o computadora
  • 171. 778 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITASRepasoVerificación de conceptos1. a) ¿Qué es una sucesión convergente?b) ¿Qué es una serie convergente?c) ¿Qué significa lím„_ra«„ ™ 3?0) ¿Qué significa ™ 3?2. a) ¿Qué es una sucesión acotada?b) ¿Qué es una sucesión monótona?c) ¿Qué puede decir con respecto a una sucesión monótonaacotada?3. a) ¿Qué es una serie geométrica? ¿En qué circunstancias esc o n v e r g e n te ? ¿C u á l e s su suma?b) ¿Qué es una serie />? ¿En qué circunstancias e s convergente?4. Suponga que 2 ttn = 3 y s„ e s la w-ésima suma parcial de laserie. ¿Qué e s lím „ _CT «„? ¿Qué e s lím,,—» .v„?5. Enuncie lo siguiente.a) Prueba de la divergenciab) Prueba de la integralc) Prueba por comparaciónd) Prueba por comparación en el límitee) Prueba de la serie alternantef) Prueba de la razóng) Prueba de la raíz6. a) ¿Qué es una serie absolutamente convergente?b) ¿Qué puede decir acerca de dicha serie?c) ¿Qué es una serie condicionalmente convergente?7. a) Si una serie e s convergente de acuerdo con la prueba de laintegral, ¿cómo estima su suma?b) Si una serie e s convergente según la prueba porcomparación, ¿cómo estima su suma?c) Si una serie e s convergente según la prueba de la seriealternante, ¿cómo estima su suma?8. a) Escriba la forme general de una serie de potencias.b) ¿Qué e s el radio de convergencia de una serie de potencias?c) ¿Qué e s el intervalo de convergencia de una serie depotencias?9 . Suponga que f ( x ) es la suma de una serie de potencias conradio de convergencia R.a) ¿Cómo d e riv a /" ¿Cuál es el radio de convergencia de laserie p a r a / '?b) ¿Cómo in teg ra /? ¿Cuál es el radio de convergencia de laserie para f / (a ) d x l1 0 . a) Escriba una expresión para el polinomio de Taylor den-ésimo grado de / centrada en a.b) Escriba una expresión para la serie de Taylor d e /c e n tr a d aen a.c) Escriba una expresión para la serie de Maclaurin d e /.d) ¿Cómo demuestra q u e /(.r) e s igual a la suma de su serie deTaylor?e) Enuncie la desigualdad de Taylor.1 1 . Escriba la serie de Maclaurin y el intervalo de convergenciapara cada una de las funciones siguientes.a) 1/ (1 - a) b)c ) sen.v d ) cosae ) t a n -1 f) ln ( l + a)1 2 . Escriba el desarrollo de la serie binomial de (1 + a)¿Cuál esel radio de convergencia de esta serie?Examen rápido Verdadero-FalsoDetermine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero,explique por qué. Si es falso, cé la razón o proporcione un ejemploque contradiga el enunciado.1 . Si l í m , ™ 0, entonces 2 o„ e s convergente.2 . La serie E^-i /í” 'cnl es convergente.3. Si lím,i—c9 «„ = L, entonces lím„_co « 2,1+1 ■■ L.4. Si 2 c ,6" e s convergente, entonces 2 c „ (— 2)" e s convergente5. Si 2 c „ 6" e s convergente, entonces 2 c „( —6)" e s convergente.6. Si 2 c„xn diverge cuando x = 6, entonces diverge cuandoa = 1 0 .7. La prueba de la razón se puede usar para determinar siconverge 2 1 //i3.8. La prueba de la razón se puede usar para determinar siconverge 2 l/w!9. Si 0 =S a„ =S b„ y 2 b„ diverge, entonces la serie 2 a„ diverge11. Si — 1 < a < 1, entonces lím „ _ ro a n = 0.12. Si 2 « „ es divergente, entonces 2 |«„| e s divergente.13. Si /(.v ) ™ 2 x — x ‘ + 5A3 — * * 4 converge para toda .v,entonces / " '( 0 ) = 2.14. Si {«„} y {í>„} son diverg en te s, en to n c es {«„ + b„} e sdivergente.15. Si {«.,} y {b,,} son divergentes, entonces {«„ b„} e s divergente16. Si {«„} es decreciente y a„> 0 para toda /?, entonces {«„} esconvergente.17. Si a„> 0 y 2 « „ converge, entonces 2 (— 1 converge.
  • 172. CAPÍTULO 11. REPASO 779«o , i , ^ , ,, „ 21. Si un número finito de términos se agrega a una serie18. Si a„ > 0 y hm„_o, Uin+ far) < 1. entonces = ().convergente, la nueva serie aún converge.19. 0.99999. . . = 100 CO co20. Si lím a„ = 2, entonces lím (« „+3 - «,,) = 0 . 22 Sl 2 " A > 2 b" " « .en to n c e s 2 <*nb„ - AB.Ejercicios1-8 Determine si la sucesión e s convergente o divergente. SÍ6S on v <—1 )0 . + 1)3" oc ¿ ( - 1 Y J ñconvergente, determine su límite. 25- «2■i — 2 26- /i2—2 — —ln n—11 . a„ — 2 + " 3 r Z. a,1 + 2 n s 10"27-31 Calcule la suma de la serie.* J ^n sen/i ln n on 4^ r - i / , ,s - i -> «n ’T1 L— 0 ''7T"5. a . = - r — 6. an = —-=■ 29- Z ['“ (" + I) - lan ,,] 30. 211 + 1 ^ ,'/ j n—1 n—O 3 l —W /.7. {{I + 3 / „ n 8. {(-1 0 )" / ,,!} 31. I - , + 2 , 3 ,9. Una sucesión se define recursivamente mediante las ecuaciones(¡ = l , a„+ = « + d). Demuestre que {«„} es creciente ya„<2 para toda Deduzca que {«„} es convergente y determinesu límite.10. Demuestre que límn_con*e~” ™ 0 y mediante una gráficadetermine el valor m ás pequeño de N que corresponde ae = 0.1 en la definición exacta de límite.11-22 Determine si la serie e s convergente o divergente.CO11 „S_i - nT f+T 1-“ n 3«-1 -515. 2«-2 n V ln nco17. E«—1CO19. Seos 3n" , 1 + (1 .2 ) "1 * 3 * 5 * (2 1)21. E ( - > )5"íi!y /ñn + In 2 i i’ 2. u— i n + 1“ í '- lV16. 2 l n (— íí— ')2 3 « + 1 /n 2n’8' ,? (I + 2ir)”» 1 7 7 T22. Ey/7l + 1 — y/n — 132. Exprese el decimal periódico 4.17326326326... como unafracción.33. Demuestre que cosh x > 1 + y-*'2 para toda x.34. Para qué valores de a-converge la serie 2 ”- , (ln a)"?35. Calcule la suma de la serie J { con una aproximación/i—i n 5de cuatro dígitos decimales.36. a) Determine la suma parcial r5 de la serie l // í6 y estimeel error al asarla como aproximación de la suma de la serie,b) Calcule la suma de esta serie con una aproximación decinco dígitos decimales.37. Use la suma de I03 primeros ocho términos para aproximarse ala suma de la serie S^-i (2 + 5")“ ‘. Estime el error involucradoen esta aproximación.o n „38. a) Demuestre que la serie 2 ——— es convergente.(2«)!b) Deduzca que lím ——— = 0.n—to (2/í)!39. Demuestre que si la serie a„ es absolutamente convergente,entonces la serie? ( * )es también absolutamente convergente.23-26 Determine si la serie es condicionalmente convergente,absolutamente convergente o divergente.23. S (— 24. 240-43 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo deconvergencia de la serie.( ' + 2)" ■ r2r— I ( - i r - /í+ Jr41. 2,r , » 4 "^ Se requiere calculadora graficadora o computadora
  • 173. 780 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS42. 22% x - 2 ) n<" + 2)!43- 22 n( x - 3)':> yfñ + 344. Calcule el radio de convergencia de la serie—i (»•)45. Determine la serie de Taylor de /(.r) = sen.ven a = 7t/6.46. Encuentre la serie de Taylor d e / ( a ) = c o s a 'en a = tt/3 .47-54 Encuentre la serie de Maclaurin p a r a /y su radio deconvergencia. Puede aplicar el método directo (definición de unaserie de Maclaurin) o las ssnes conocidas, como la seriegeométrica, serie binomial o la serie de Maclaurin para esen x,tan-1.* y ln(l + a).47. / « -X1 + x48. / W = tan '(.v2)49. /<v) = ln(4 — .v) 5 0 . / ( v ) = .re 2t51 . / « " scn(.v4) 5 2 . m - 10 a53. /( v ) = 1 / v i 6 - x 54. / w = (1 - 3x)-sf e *55 . Evalúe | — dx como una serie infinita.56. Mediante series aproxime J0'/ l + .Va d x con dos dígitosdecimales.57-58a) Obtenga un valor aproximado de /m e d ia n te un polinomio deTaylor de grado n en el número a.b) D ib u je /y T„ en una misma pantalla.c) Use la desigualdad de Taylor para estimar la exactitud dela aproximación / ( a ) « T„(x) cuando A' se encuentra en elintervalo dado.d) Compruebe su resultado del inciso c) mediante la gráfica de|*X v )|.57. /(.v ) - v/ 7 , a - I, n - 3, 0.9 <£ v 1.158. /(.* ) — scc x , £ /= ( ) . n = 2, 0 x < fr/659. Mediante las series evalúe el siguiente límite.lím.t—o60. La fuerza debida a la gravedad que actúa sobre un objeto demasa m a una altura h por encima de la superficie de la TierraC SmgK2(K + /,)’donde R es el radio de la Tierra y g es la aceleración de lagravedad.a) Exprese F como una serie en potencias de h /R.b) Observe que si aproxima F con el primer término de laserie, obtenemos la expresión F mg que se usa por locomún cuando /; e s mucho más pequeña que R. Aplique elteorema de la estimación de la serie alternante para calcularlos valores de h para los cuales la aproximación F mg nodifiere 1% del valor real. (Use R = 6400 km.)61. Suponga que f ( x ) = c„x" para toda aa) Si / e s una función impar, demuestre quec, = c 2 = c-4 0b) S i / e s una función par, demuestre quec'i = cj = c s = = 062. Si / ( a ) = e 'demuestre que / ^ ( O ) =
  • 174. Problemas adicionalesAntes de ver la solución dal ejemplo, cúbrala eintente resolver el problema por sí mismo. EJEMPLO E n c u e n tre la sum a d e la se rie J(v + 2)"{n + 3)!SOLUCIÓN E l p rin c ip io d e re so lu c ió n d e p ro b lem a s e s re le v an te a q u í y a q u e h ay q u er e c o n o c e r a lg o fam ilia r . ¿L a se rie d a d a se p a re c e a a lg u n a q u e y a c o n o z c am o s ? B u en o ,tie n e a lg u n o s in g re d ie n te s en c om ú n c o n la serie d e M a c la u rin p a ra la fu n c ió ne x p o n e n c ia l:' = 2 ^ = 1 + , +n—0 W.P o d em o s h a c e r q u e e s ta se rie se p a re z c a m ás re em p la z a n d o x p o r x +(/■■{I ” • ¿ •P e ro a q u í e l e x p o n e n te en e l n um e ra d o r c o in c id e c o n e l fa c to ria l d e l n úm e ro en eld e n om in a d o r. P a ra h a c e r q u e e s to p a se en la se rie d a d a , m u ltip lic a rem o s y d iv id irem o sp o r ( x + 2 ) 3:(v + 2 Y 1 _ 2 C' + 2 )“+J{« + 3)! ( x + 2 ) (n + 3)!- (v + 2)Vemos q u e la s e rie e n tre p a ré n te s is e s ju s tam e n te la se rie p a ra e x+2c o n los tre s p rim e ro sté rm in o s fa ltan te s. A s í q u em—o n + 3)!1 - (a + 2)'■ ¥ ]Problemas 1. S i / ( a) = senU3). e n c u e n tr e / l5)(0).2. Una fu n c ió n /e s tá definida por, . .t2" - 1¿Dónde e s co n tin u a /?3. a) Demuestre que tan j a ™ c o tj.v — 2 cotb) Calcule la suma de la serieF IG U R A PA R A E L P RO B L EM A 4CO |4. Sea {P,,} una sucesión de puntos determinados de acuerdo con la figura. Por tanto |A P i| = I,|P„P„+1| = 2"-1 y el ángulo A P , f>r¥ e s un ángulo recto. Calcule lím„_to ¿_P„AP„+1.
  • 175. F IG U R A P A R A E L P RO B L EM A 55. Para construir la cu rv a del copo de nieve, inicie con un triángulo equilátero de lados delongitud igual a 1. El paso 1 de la construcción consta de dividir cada lado en tres partesiguales, construir un triángulo equilátero en la parte media y luego borrar la parte media(véase figura). El paso 2 e s repetir el paso 1 en cada lado del polígono resultante. Se repiteeste procedimiento en cada paso posterior. La c u n a del copo de nieve es la curva que resultade repetir este proceso indefinidamente.a) Sean s,„ l„ y p,n respectivamente el número de lados, la longitud de un lado y la longitudtotal de la curva de aproximación n-ésima, es decir, la curva obtenida después del paso ndel trazo. Encuentre fórmulas para s,„ l„ y p„.b) Demuestre que p„ —* «> cuando n —* co.c) Sume una serie infinita para encontrar el área encerrada por la curva del copo de nieve.Nota: Los incisos b) y c) demuestran que la curva del copo de nieve e s infinitamente larga peroencierra un área finita.6. Calcule la suma de la seriel i l i l í 11 + — + — + — + — + — + — + + " ■2 3 4 6 8 9 12donde los términos son los recíprocos de los enteros positivos cuyos factores primos son 2s y 3s.7. a) Demuestre que para xy ^ — 1.x — varelan a- — arelan y = arelan1 + x ysi el primer miembro queda entre — 7r/2 y 7t/2.b) Demuestre que aretan — arelan = tt/4 .c) Deduzca la fórmula siguiente de John Machin (1680-1751).4 arelan y — aretand) Utilice la serie de Maclaurin del aretan a- para demostrar que0.1973955597 < arelan 7 < 0.1973955616e ) Demuestre que0.004184075 < arelan 555 < 0.004184077f ) Deduzca que el valor siguiente es correcto con siete cifras decimales 7r "= 3.1415927.Machin aplicó este método en 1706 para determinar 77 con 100 cifras decimales.Recientemente, con la ayuda de computadoras, se ha calculado cada v e z con mayorexactitud el valor de 77. En 2009 T. Dausuke y su equipo calcularon el valor de 77 ¡con másde dos trillones de lugares decimales!8. a) Demuestre una fórmula similar a la del problema 7a), pero que contenga arccot en lugar dearetan.b) Calcule la suma de la serie X”—o a rccot(n* + n + 1).9. Determine el intervalo de convergencia de 2w_i « V y calcule la suma.10. Si «o + + a2 + + ak = 0, demuestre quelím (a o y fñ + a Xin + 1 + a 2fn + 2 + ►»* + akv n + k ) = 0/i—*®Si no encuentra cómo demostrarlo, intente con la estrategia de resolución de problemas usandolas analogías (véase página 75). Intente primero los casos especiales k = 1 y k = 2. Si puedever cómo demostrar la afirmación para estos casos, probablemente verá cómo demostrarla engeneral.11. Calcule la suma de la serie782
  • 176. 1 2 . Suponga que posee una gran cantidad de libros, todos del mismo tamaño, y que los apila en elborde de una mesa, y que cada libro sobresale un poco más del borde de la mesa que el libroanterior. Demuestre que es posible hacerlo de modo que el libro que queda hasta encima estápor completo más allá del borde de la mesa. En efecto, muestre que el libro de hasta encima sepuede acomodar a cualquier distancia más allá del borde de la mesa si la pila de libros tiene laaltura suficiente. Aplique el método siguiente para apilar los libros: la mitad del largo delúltimo libro sobresale del penúltimo libro. De este penúltimo libro sobresale sólo un cuarto desu largo con respecto al libro antepenúltimo. De este libro sobresale un sexto de su largo conrespecto al libro anteantepenúltimo, y así sucesivamente. Inténtelo usted mismo con un juegode cartas. Tome en cuenta el centro de mesa.1 3 . Si la curva y = e~1 10 sen .v, x 3= 0, gira en torno del eje x, el sólido resultante se observa comoun infinito collar de esferillas decreciente.a) Encuentre el volumen exacto de la /i-ésima esferilla. (Use una tabla de integrales o sistemacomputarizado de álgebra.)b ) E n c u e n tre el vo lum e n to ta l de la s e s fe r illa s .14 . Si p > 1, evalúe la expresión1 1 1l + ^ + ^ + ^ +1 1 11 — + — — +2 p y vp.1 5 . Suponga que círculos de igual diámetro están acomodados apretadamente en n filas dentro deun triángulo equilátero. (La figura ilustra el caso n = 4.) Si A es el área del triángulo y A„es elárea total ocupada por las n filas de círculos, demuestre queA„ 7Tlím — =A 2 v 'T16 . Una sucesión {«„} se define recursivamente mediante las ecuacionesa o — a i — 1 n(n — 1 )í/„ — ( i — l ) ( /? — 2 ) r / „ _ , - (n - 3 ) í / n_ 2Calcule la suma de la serie17. Tome el valor de x* en 0 a 1 e integre una serie término a término, y con esto demuestre quei - ' ) '—18 . Inicie con los vértices PiíO, 1), P íO , 1), P jíLO ), P*(0, 0) de un cuadrado, y localice puntoscomo se muestra en la figura: Ps e s el punto medio de P i / ^ T ^ e s el punto medio de P2P j,Pi esel punto medio de P¡Pi, y así sucesivamente. La trayectoria espiral de la poligonalPiPiPs PtPsPbP? se aproxima al punto P dentro del cuadrado.a) Si las coordenadas de P„ son (a,,, y„), demuestre que 2-v« + vn+i + -V,,-*: + -v»+3 ™ ~ yencuentre una ecuación similar para las coordenadas y.b) Determine las coordenadas de P.19. Encuentre la suma de la serie 2 ( - i ) 'F IG U R A P A R A E L P RO B L EM A 18( 2 n + 1 ) 3 " '2 0 . Lleve a cabo los siguientes pasos para demostrar que1 1 1 1+ i + i—" + + • • • = ln 21 ♦ 2 3 - 4 5 * 6 7 - 8a) Use la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (11.2.3) para obtener unaexpresión para783
  • 177. b) Integre el resultado del inciso a) de 0 a 1 para obtener una expresión para1 1 1 1 1' - 7 + 7 - 7 + 2 n - 1 2 ncomo una integral,c) Del inciso b) deduzca que1 1 11 • 2 3 - 4 5 - 61 r i dx2 n - 1)(2 n) ~ Jo T Td) Utilice el inciso c) para demostrar que la suma de la serie dada es In 2.21. Encuentre todas las soluciones de la ecuaciónx x 2 x 3 x4= o< | 1 x 2" dxJoF IG U R A PA R A E L P RO B L EM A 22Sugerencia: considere los casos x 5= 0 y x < 0 por separado.22. Se trazan triángulos rectángulos como en la figura. Cada uno de los triángulos tiene una alturade 1 y su base e s la hipotenusa del triángulo precedente. Demuestre que esta sucesión detriángulos da una cantidad indefinida de vueltas alrededor de P mostrando que Y.Q,, es unaserie divergente.23. Considere la serie cuyos términos son los recíprocos de los enteros positivos que se puedenescribir con la notación de base 10 sin usar el dígito 0. Demuestre que esta serie e s convergentey que la suma es menor que 90.24. a) Demuestre que la serie de Maclaurin de la función/ M " l - x - x »2 ¡ , ydonde f , es el n-ésimo número de Fibonacci, es decir, f=, f i = 1 y f , = f„- + f„-i paran > 3. [Sugerencia: escriba x / ( l — x — x2) = c0 + C|X + c2x 2 + ■■ ■ y multiplique amboslados de esta ecuación por 1 — x — .v2.]b) Determine una fórmula explícita para el n -ésimo número de Fibonacci, escribiendo f( x )como una suma de fracciones parciales y con ello obteniendo la serie de Maclaurin de unamanera distinta.25. Seax 3 x 6 x 9x 4 x 7 x'°y - x + — + -----+ + • • •4! 7! 10!x 2 x 5 x 8w = — + — + — H-------2! 5! 8!Demuestre que i/3 + t>3 + W} — 3 uvw = 1.26. Demuestre que si ;í > 1, la /i-ésima suma parcial de la serie armónica no e s un entero.Sugerencia: sea 2* la máxima potencia de 2 que es menor o igual a n y sea ¡Vi el producto detodos los enteros impares que sean menores o iguales a n. Suponga que s„= ni, un entero.Entonces M 2 ks„ ™ M 2 km. El lado derecho de esta ecuación es par. Pruebe que el ladoizquierdo e s impar al demostrar que cada uno de sus términos es un entero par, excepto elúltimo.784
  • 178. © DieanstiieVectores y geometríadel espacioLos paraboloides (utilizados en los discossatelitales) y los hiperboloides (utilizadosen las torres de enfriamiento dereactores nucleares) son ejemplosde las superficies y sólidos queestudiaremos en este capítulo.En e ste c a p ítu lo in tro d u c im o s v e c to re s y sistem a s d e c o o rd e n a d a s p a ra e sp a c io s d e tresd im e n s io n e s . E sto c o n fig u ra rá n u e s tro e s tu d io d e l c á lc u lo d e fu n c io n e s d e d o sv a ria b le s en e l c a p ítu lo 14, p o rq u e la g rá fic a d e ta le s fu n c io n e s e s u n a su p e rfic ie ene l e sp a c io . En e ste c a p ítu lo v e rem o s q u e los v e c to re s p ro v e en u n a d e s c rip c ió n p a rtic u la rm e n tesim p le d e re c ta s y p la n o s en e l e sp a c io .785
  • 179. 786 CAPITULO 12 VE:TORES Y GEOMETRIA DEL ESPACIOSistemas tridimensionales de coordenadasF IG U R A 1Ejes de coordenadasPa ra loc a l iz a r un p u n to en un p lan o , son ne ce sa r ios d o s n úme ros . Se sabe q u e cu a lq u ie rp u n to en e l plano se puede re p re se n ta r c om o un p a r o rd e n ad o (¿i, b) de n úme ro s reales ,d o n d e a e s la c o o rd e n a d a a y b e s la c o o rd e n a d a y. Por e s ta ra zón, un p lan o se l lama bidi-mensiona l . Pa ra loc a l iz a r un p u n to en el e sp a c io , se requie ren tres n úme ros . Se repre sentac u a lq u ie r p unto en e l e sp a c io med ia n te u n a te rn a o rd e n a d a (íj, by c) de n úme ro s reales.A fin de re p re se n ta r p u ntos en e l e sp a c io , se elige p r ime ro un p u n to fijo O (el or igen) ytres rectas que pasan por O que son pe rpendiculares entre sí, llamada s e je s d e c o o rd en a d a sy ma rc a d a s c omo eje a, eje y y eje z. Por lo c omú n , se c o n s id e ra q u e los e je s x y y sonho r izo n ta le s , y q u e el eje z e s vertical, y se dibuja la or ientac ión de los e je s c omo en lafigura 1. La d i re c c ión de l eje z se d e te rmin a mediante la r eg la de la m a n o d e r e c h a , c omose i lus tra en la figura 2: si c u rv a los d e d o s d e su ma n o d e r e c h a a lre d ed o r de l eje z en ladi re c c ión de u n a rotac ión de 90° en el sentido contra r io a las man e c i l la s de l reloj d e sde ele je p o s i t iv o x h a s t a e l e je p o s i t iv o y, e n to n c e s su d e d o p u lg a r a p u n ta en la d i r e c c ió np o s i t iv a d e l eje z.Los tres e je s de c o o rd e n a d a s d e te rmin a n los tres p la n o s c o o r d e n a d o s ilus trados en lafigura 3a). El plano Ay» e s el plano q u e c o n tie n e los e je s x y y; el plano yz c o n tie n e los ejesy y z; el plano xz c o n t ie n e los e je s A y z. Es tos tres planos c o o rd e n a d o s dividen e l e sp a c ioen oc h o pa rtes, llamad o s o c ta n te s . El p r im e r o c ia n te , en p r ime r plano, se d e te rmin amed ia n te los e je s positivos.F IG U R A 2Regla de la mano derechaF IG U RA 3 b)De b id o a q u e mu ch a s pe r so n a s tienen c ie r ta dif icultad p a ra v i sua liz a r d i a g r ama s defiguras t r id imen s io n a le s , se p o dr ía e n c o n t ra r útil h a ce r lo s iguiente [vé ase figura 3b)J. Mirec u a lq u ie r e sq u in a infer ior de u n a habita c ión y llame a la e sq u in a e l origen. L a pared a suizq u ie rd a e s el p lan o a i , la pared sobre su lado d e re cho es el plano y z y el piso e s el planoAy. El eje A c o r r e a lo largo d e la inte rse cc ión de l piso y la pared izquie rda . El eje y correa lo largo de la inte rse cc ión de l piso y la pared de recha. El eje z cor re h a c ia a r riba d e sdee l p i so h a c i a e l t e c h o a lo la rgo d e la in te r s e c c ió n d e las d o s p a red e s . Us ted se lo c a l iz aen el p r ime r octante y a h o ra puede ima g in a r otras siete ha b ita c io n e s s ituadas en los otrossiete oc tantes (tres en el m i smo piso y c u a t ro en el piso de abajo), todos c o n e c ta d o s p o r elp u n to de e sq u in a c om ú n O.A h o r a si P e s cu a lq u ie r p u n to en e l e spa c io, sea a la d i s ta n c ia (dirigida) de l p lan o yz aPy sea b la d i s tan c ia d e l p lan o a z a P y sea c la d is tanc ia de l p lan o xy a P. Se re p re se n ta elp unto P med ia n te la te rn a o rd e n a d a (a, c) de n úme ro s reales y se llaman a ay b y c lasc o o r d e n a d a s d e P a e s la c o o rd e n a d a a, b e s la c o o rd e n a d a y y c e s la c o o rd e n a d a z. Así,p a ra loc a l iz a r el p unto (a , b, c) se puede emp e z a r en el or igen O y mo v e r s e a u n id ad e s alo largo de l eje a, luego b un id ad e s pa ra le la s al eje y y luego c u n id ad e s pa ralela s al eje z,c om o en la figura 4.
  • 180. SECCIÓN 12.1 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE COORDENADAS 787El p unto P(ay b, c) d e te rmin a u n a c a ja re c tangula r c omo en la figura 5. Si se t ra z a unap e rp en d icu la r de P al plano xy, se obtiene un p unto Q con c o o rd e n a d a s (a, b, 0) c o n o c id oc omo p r o y e c c ió n de P en e l plano xy. De man e ra similar, R(0, c) y S(a, 0, c) son lasp ro y e c c io n e s de P sobre el plano yz y el plano xz, re spec tivamente.C omo r e p re s e n ta c io n e s n umé r ic a s , los puntos ( — 4, 3, —5) y (3, —2, —6) se dibujan enla figura 6.R{ 0, b , c)P(a, b , c)El p ro d u c to c a r te s ia n o IR X IR X IR = { (a ; y, z)x, y, z E IR } e s e l c o n ju n to de todaslas terna s o rd e n ad a s d e n úme ro s re ales y se d e n o ta p o r RHemo s d a d o u n a c o r r e s p o n d e n ­ci a u n o a u n o e n t r e los p u n to s P en e l e sp a c io y las te rn a s o rd e n a d a s (a , b, c) en IR ’.Se d e n om in a s is tem a tr id im e n s io n a l d e c o o rd en a d a s r e c ta n g u la r e s . Ob s e rv e qu e , enté rmin o s d e c o o rd en a d a s , e l p r ime r octante se puede d e s c r ib i r c omo e l c o n ju n to de puntosc u y a s c o o rd e n a d a s son todas positivas.En g e ome t r ía a nalítica b id ime n s io n a l , la gráfica de u n a e cu a c ió n en a; y y e s u n a c u rv aen IR2. En g e ome t r ía a nalítica t r idimens iona l , u n a e cu a c ió n en a , y y z r e p re s e n ta u n a super­ficieen IR 3.□ EJEM PLO 1 e cu a c io n e s ?a) z = 3¿Qué superficies en IR 3 están re p re s e n tad a s por las siguiente sb ) y = 5SOLUCIONa) L a e cu a c ió n z = 3 r e p re s e n ta el c o n ju n to { ( a ; y, z)z = 3 } , q u e e s el c o n ju n to deto d o s los p u ntos en R3 c u y a c o o rd e n a d a z e s 3. Éste e s e l plano ho r izo n ta l pa ra le lo alp lan o xy y e s tá tres un id ad e s a r riba d e él c omo en la figura 7a).plano eny i50 -Vc ) v = 5 , una recta en R 2b) La e cu a c ió n y = 5 re p re se n ta el conjunto de to d o s los p u ntos en IR 3 c u y a c o o rd e n a d ay e s 5. Éste e s el p lan o vertical q u e e s paralelo al p lan o xz y e s tá c in c o u n id ad e s a lad e r e c h a d e él c om o en la figura 7b).
  • 181. 788 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACION O T A Cu a n d o se tiene u n a e c u a c ió n , se debe e n te n d e r de l c o n te x to si re p re se n ta u n ac u rv a en IR- o u n a superficie en IR3. En el e jemp lo 1, y = 5 re p re se n ta un p lan o en IR3, pe rop o r supue s to, y = 5 tamb ién p u e d e re p re se n ta r una re cta en IR2 si se trata con ge ome t r íaa nalítica b id ime n s io n a l . Véase la figura 7b) y c).En genera l, si k e s u n a c o n s tan te , e n to n c e s x = k r e p re s e n ta un plano pa ra le lo al planoyz, y = k e s un plano pa ra le lo al plano xz y : = k e s un plano pa ralelo al plano xy. En lafigura 5, las c a ra s d e u n a c a ja re c tan g u la r se forman med ia n te los tres planos co o rd en a d o sx = 0 (el plano yz), y = 0 (el plano xz) y z = 0 (el plano Ay) y los planos x = a, y = b yEJEM PLO 2a ) ¿Q u é p u n to s (a-, y , z) s a tis fa c en las e c u a c io n e sa2 + y 2 = 1 y z = 3?b) ¿Qué r e p re s e n ta la e cu a c ió n x2 + y 2 = 1 c omo u n a superficie en IR3?SOLUCIÓNa) C om o z = 3, los p u ntos e s tán en e l p lan o hor izontal z = 3 d e l e jem p lo 1 a). De b id o aq u e a2 + y 2 = 1, los p u ntos se hallan sobre la c irc u n fe re n c ia con radio 1 y c en t ro sobree l eje x. Véase la figura 8.b) Dado q u e xr + y2 = 1, sin restricción sobre z, vemos que el p unto (a; y , z) p o d r ía e s tarsobre u n a c i rc u n fe re n c ia en cu a lq u ie r plano z = k. A s í q u e la superficie X2 + y 2 = 1 enIR3 c o n s i s te de todas las p os ibles c irc u n fe re n c ia s hor izonta le s aT + y 2 = 1, z = k y, portanto, se trata de un c il indro con radio 1 c u y o eje e s el eje z. Véase la figura 9.F IG U R A 8La circunferencia x~ + y 2 = 1 ,2 = 3F IG U RA 9El cilindro x~ + y2 = 1F IG U R A 10El plano V = a-□y = x.EJEMPLO 3 De s c r ib a y b o sq u e je la superficie en IR' re p re s e n ta d a p o r la e cua c iónSOLUCIÓN L a e cu a c ió n re p re se n ta el c o n ju n to de todos los p u n to s en IR3 cu y a sc o o rd e n a d a s x y y son iguale s , e s decir, { ( a; a ; z ) | x E IR, z G IR }. Éste e s un planovertical q u e in te r se c a al plano Ay en la re c ta y = x, z = 0. La porc ión d e estep lan o que se e n c u e n t r a en el p r ime r octante se b o sq u e ja en la figura 10.La c o n o c id a fó rmu la p a ra la di s tan c ia entre dos p u ntos en un plano se extiende fácil­mente a la s iguiente fó rmu la t r idimens iona l.F ó rm u la de d is t a n c ia en tr e s d im e n s io n e s La d is tanc ia | PP2 | entre los puntosP i(jci, yi* - i ) y Pifa* yi> z2 ) es| ^1^21 — v (* 2 — * i )2 + (,V2 - y .)2 + (-2 - -1)2
  • 182. SECCIÓN 12.1 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE COORDENADAS 789F IG U R A 11Pa ra ver p o r q u é e s ta fó rmu la e s cie r ta , se co n s t ru y e u n a c a j a r e c tan g u la r c omo en lafigura 11, d o n d e Px y P2 son vér tices opuestos, y las c a ra s d e la c a j a son pa ra le la s a losp lan o s coo rd en a d o s . Si A(x2, y h z¡) y B(x2, y 2, z x) son los vértices de la c a j a ind ic a d o s en lafigura, e ntonc e s| / M | - | V 2 - * , | | a b | — 1>'2 - v , | BP2-z 2 - z t De b id o a q u e los t r iángulos P xBP2y P XAB son re c tángulos , las d os aplic a c ione s de l teo re ­ma d e Pi tágora s danP 1P2 - -p , b: +b p 22y P¡B |: “ | PA |: + |.AB | :Al c omb in a r e s ta s e c u a c io n e s , o b ten emo sPPi 2 = P iA2 + AB2 + BP22= |-V2 - . v i p + | . y 2 - y , f + z2 - zf= ( v2 - x i) ' + ( y 2 - y , ) - + (*2 - i , ) :Por tanto, PPi= y ¡ { x i — Xf + ( v i - y i)2 + (z2 ~ z { fLa d i s tanc ia de l p unto P{2, — 1, 7) al p unto Q( 1, —3, 5) es| PQ | = v (! “ 2)- + ( - 3 + l ) 2 + (5 - 7)- = v I + 4 + 4 = 3EJEM PLO 4P(.v, y, z)F IG U R A 1 2□ EJEM PLO 5 Halle u n a e cu a c ió n d e la e s fera con radio r y c en t ro C(/i, /).S O L U C IÓ N Por de f inición, u n a e s fe ra e s el conjunto de todos los p u ntos P{xy y , z) c u y ad i s ta n c ia d e sd e C e s r. (Véase la figura 12). Así, P e s tá sobre la e s fe ra si y sólo si| PC | = r. Al e leva r al c u a d r a d o amb o s lados, se tiene | PC |2 = r 2, o bien,( v - hy + ( y - k y + (z - I f =Vale la p e n a re co rd a r e l re sul tado de l e jemp lo 5.E c u a c ió n d e u n a e s fe r a La e cu a c ió n de una e s fe ra con c en t ro C(/i, k> /) y ra d io r e s( ' - h f + ( y - k)2 + (r - / ) ; = r 2En particula r , si e l c en t ro e s el origen O, entonc es la e cu a c ió n de la e s fe ra esx~ + y- + r - = / -Demu e s t re q u e x2 + y 2 + z2 + 4x — 6y + 2z + 6 = 0 e s la e cu a c ió n deu n a e s fera , y d e te rmin e su c en t ro y radio.S O L U C IÓ N Se p u e d e re esc r ibir la e cu a c ió n d a d a en la fo rma de la e cu a c ió n de u n ae s f e r a si se c omp le ta n los cuadrados :(a-2 + 4 x + 4 ) 4- ( y 2 - 6y + 9 ) + ( z2 + 2z + l ) = - 6 + 4 + 9 + 1(.v + 2 f + (>• — 3) : + ( : + l ) 2 = 8EJEM PLO 6
  • 183. 790 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOAl c omp a r a r e s ta e cu a c ió n c o n la forma e s tándar, se ve que es la e cu a c ió n de u n a e s fe racon c ent ro ( — 2, 3, — 1) y radio v "8 = - '•I ¿Qué región en IR ' e s tá re p re sentada p o r las siguiente s d e s ig u a ld ad e s ?1 « jc2 + y 2 + z2 « 4 z « OSOLUCIÓN Las d e s ig u a ld ad e s1 .v2 + y 2 4- z2 < 4se p ueden re esc r ibir c omo1 *5,V“ + y 2 + z 2 2de mo d o q u e repre sentan los p u ntos (a, y, z) c u y a d i s ta n c ia d e sde el origen es por lom e n o s 1, y a lo má s , 2. Pe ro se t iene tamb ién que z ^ O, por tanto, los p u n to s e s tánsobre o d e ba jo de l p lan o xy. As í, las de s ig u a ld ad e s d a d a s repre sentan la región que ya ceentre (o sobre) las e s fera s jT + y 2 + z~ = I y xr + y 2 + z2 = 4 y d e b a jo d e (o sobre) elF IG U R A 13 p lan o xy. El b o sq u e jo se mu e s t ra en la figura 13.Ejercicios1. Suponga que empieza en el origen, se mueve a lo largo del ejex una distancia de 4 unidades en la dirección positiva y luegose mueve hacia abajo una distancia de 3 unidades. ¿Cuáles sonlas coordenadas de su posición?2. Ubique los puntos (O, 5, 2), (4, O, — 1), (2, 4, 6) y (1, — 1, 2) enun solo conjunto de ejes de coordenadas.3. ¿Cuál de los puntos A( —4, O, — 1), B(3, 1, —5) y C(2, 4, 6) estámás próximo al plano y z ? ¿Qué punto yace en el plano a z ?4. ¿Cuáles son las proyecciones del punto (2, 3, 5) sobre losplanos xy, y z y xz'! Dibuje una caja rectangular con el origeny (2, 3, 5) como vértices opuestos y con sus caras paralelas alos planos coordenados. Etiquete todos los vértices de la caja.Halle la longitud de la diagonal de la caja.5. Describa y bosqueje la superficie en R ’ representada por laecuación x + y = 2.6. a) ¿Qué representa la ecuación .v = 4 en R 2? ¿Qué representaen RJ? Ilustre con bosquejos,b) ¿Qué representa la ecuación y = 3 en RJ? ¿Qué representar = 5? ¿Qué representa el par de ecuaciones y = 3, z = 5?En otras palabras, describa el conjunto de puntos (.v, y, z)tales que y = 3 y z = 5. Ilustre con un bosquejo.7-8 Halle las longitudes de los lados del triángulo PQR. ¿Es untriángulo rectángulo? ¿Es un triángulo isósceles?7. 7>(3,- 2 , - 3 ) 0 ( 7 ,0 , 1), K ( l , 2 , l )8. P(2, - 1 , 0 ) (2(4, 1 ,1 ), * ( 4 , - 5 , 4 )9. Determine si los puntos yacen sobre una línea recta.a) 4 (2 , 4, 2), * ( 3 , 7 , - 2 ) , C ( l ,3 ,3 )b) D ( 0 , - 5 , 5 ) , £ ( 1 , - 2 , 4 ) , £ ( 3 ,4 ,2 )10 . Determine la distancia de (4, —2, 6) a cada uno de lo siguiente,a) El plano xy b) El plano yzc) El plano xz d) El eje xe) El eje y f) El eje z11 . Halle la ecuación de la esfera con centro ( — 3, 2, 5) y radio 4.¿Cuál es la intersección de esta esfera con el plano yz?1 2 . Halle la ecuación de la esfera con centro (2, —6, 4) y radio 5.Describa su intersección con cada uno de los planoscoordenados.13. Halle la ecuación de la esfera que pasa por el punto (4, 3, — 1)y tiene centro (3, 8. 1).14 . Obtenga la ecuación de la esfera que pasa por el origen y cuyocentro es (1, 2, 3).1 5 -1 8 Demuestre que la ecuación representa una esfera y determinesu centro y radio.1 5 . .v2 + y 2 + z2 - 2 x - 4y + 8z = 151 6 . .v2 + y 2 + z 2 + 8 a - 6y + 2z + 1 7 = 01 7 . 2a2 + 2 y 2 + 2 z2 - 8 a - 24 z + 11 8 . 3 a 2 + 3y 2 + 3 z2 = 10 + 6y + 12z1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 184. SECCIÓN 12.2 VECTORES 79119. a) Demuestre que el punto medio del segmento de recta deP ¡( a i, y I , n ) a Pi(.X2, y 2, : 2) e s(•Vi + x i VI + >'2 T i + -2 ]2 2 ’ 2 /b) Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo convértices ¿4(1, 2, 3), B( — 2, 0, 5) y C(4, 1, 5).2 0 . Obtenga la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tienepuntos terminales (2, 1, 4) y (4, 3, 10).2 1 . Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro (2, —3, 6)que tocan a) el plano xy, b) el plano yz, c) el plano xz.2 2 . Halle una ecuación de la esfera más grande con centro (5, 4, 9)que está contenida en el primer octante.23-34 Describa en palabras la región de K3 representada por laecuación o desigualdad.2 3 . x - 52 4 . y - - 22 5 . y < 82 6 . v > - 32 7 . 0 z 62 8 . z 2 = 12 9 . a 2 + y ' 4. 23 0 . y 2 H- r 2 =1631. .v2 + y 2 + z 2 33 2 . v = 23 3 . v2 + 93 4 . a 2 + y 2 +> 2235-38 Escriba las desigualdades para describir la región.3 5 . La región entre el plano y z y el plano vertical x = 5.3 6 . El cilindro solide que está sobre o debajo del plano r = 8 ysobre o por e n c in a del disco del plano xy con centro en elorigen y radio 2.3 7 . La región que consiste de todos los puntos entre (pero nosobre) las esferas de radios r y R centradas en el origen, donder < R.3 8 . La sennestera superior sólida de la estera de radio 2 centradaen el origen.3 9 . La figura muestra una recta L 1 en el espacio y una segundarecta L 2, que e s la proyección de L 1 en el plano xy. (En otraspalabras, los puntos sobre L 2 están directamente debajo,o arriba de los puntos sobre L 1.)a) Halle las coordenadas del punto P sobre la recta L .b) Localice sobre el diagrama los puntos A , B y C, dondela recta L 1 corta al plano xy, plano y z y el plano xz,respectivamente.40. Considere los puntos P tales que la distancia de P a 4 (— 1, 5, 3)es dos veces la distancia de P a B(b, 2 , —2 ). Demuestre queel conjunto de estos puntos e s una esfera y determine su centroy radio.4 1 . Obtenga la ecuación del conjunto de todos los puntosequidistantes de los puntos A( — 1, 5, 3) y B(6, 2 , —2 ). Describael conjunto.4 2 . Encuentre el volumen del sólido que está dentro de las esferasa 2 -+ y 2 + r 2 + 4 a - 2 y + 4 z + 5 = 0y a 2 + y 2 +4 3 . E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e l a s e s f e r a s .v1 4- y 2 4- z 2 = 4 ya 2 + y 2 + z2 = 4 a + 4y + 4z - 11.4 4 . Describa y trace un sólido con las siguientes propiedades:cuando es iluminado por rayos paralelos al eje 2, su sombraes un disco circular. Si los rayos son paralelos al eje y, susombra es un cuadrado. Si los rayos son paralelos al eje a ,su sombra es .in triángulo isósceles.VectoresFIGURA 1Vectores equivalentesL o s c ie n tífico s em p le an e l té rm in o v e c to r pa ra in d ic a r u n a c an tid ad (p o r e jem p lo , un d e s p la ­zam ie n to o v e lo c id a d o fu e rz a ) q u e tien e m ag n itu d y d ire c c ió n . Un v e c to r se r e p re s e n tap o r lo c om ú n m e d ia n te u n a fle ch a o un se gm en to d e re c ta d irig id o . L a lo n g itu d d e la flech are p re s e n ta la m ag n itu d d e l v e c to r y la flecha ap u n ta en la d ire c c ió n d e l vector. Un v e c to r sed e n o ta p o r m e d io d e u n a le tra en n e g rita (v ) o e s c rib ie n d o u n a fle ch a so b re la le tra (F )P o r e jem p lo , su p o n g a q u e u n a p a rtíc u la se m u ev e a lo la rg o d e un se gm e n to d e re c tad e l p u n to A al p u n to B. El v e c to r de d e sp la z am ien to v c o rre sp o n d ie n te , m o s tra d o en lafig u ra 1, tien e p u n to in ic ia l A (la c o la ) y p u n to te rm in a l B (la p u n ta ) y e s to se in d ic a
  • 185. 792 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOCAFIGURA 2FIGURA 5EE3 En Visual 12.2 se muestra cómofuncionan las leyes del triángulo y delparalelogramo para varios vectores a y b.FIGURA 6e s c rib ie n d o v = A B . O b s e rv e q u e e l v e c to r u = CD tie n e la m ism a lo n g itu d y la m ism ad ire c c ió n q u e v aun c u a n d o e s tá en d ife re n te p o sic ió n . Se d ic e q u e u y v son e q u iv a len te s(o ig u a le s ) y se e s c rib e u = v. El v e c to r c e r o , d e n o ta d o p o r 0 , tien e lo n g itu d 0. Es e l ú n ic ov e c to r sin d ire c c ió n e sp e c ífic a .Combinación de vectoresS u p o n g a q u e u n a p a rtíc u la se m u ev e de A a B , asi q u e su v e c to r de d e sp la z am ie n to e s A B.E n to n c e s la p a rtíc u la c am b ia d e d ire c c ió n y se m ueve d e B a C, c o n v e c to r d e d e s p la z a ­mie n to B C c om o en la fig u ra 2. El e fe c to c om b in a d o d e e s to s d e sp la z am ie n to s e s q u e lap a r tí c u l a se h a m o v id o d e A a C. E l v e c to r d e d e s p la z am ie n to r e s u lta n te A C se llam asum a de A B y B C y se e sc rib eA C = A B 4- B CEn g e n e ra l, si se em p ie z a c o n v e c to re s u y v, p rim e ro se m u ev e a v d e m o d o q u e su c o lac o in c id a c o n la p u n ta d e u y se d e fin e la sum a d e u y v c om o sigue.Definición de suma vectorial Si u y v son v e c to re s c o lo c a d o s d e m o d o q u e e l p u n toin ic ia l d e v e s té en e l p u n to te rm in a l d e u, e n to n c e s la sum a u + v e s e l v e c to r d e lp u n to in ic ia l d e u al p u n to te rm in a l d e v.L a d e fin ic ió n d e sum a v e c to ria l se ilu s tra en la fig u ra 3. Se p u e d e ve r p o r q u é e s ta d e f i­nic ió n a v e c e s se llam a ley d e l tr iá n g u loFIGURA 3 Ley del triángulo FIGURA 4 Ley del paralelogramoEn la fig u ra 4 se em p ie z a c o n lo s m ism o s v e cto res u y v c om o en la fig u ra 3, y se d ib u ­ja o tra c o p ia d e v c o n e l m ism o p u n to in ic ia l q u e u. Al c om p le ta r e l p a r a le lo g ram o , se veq u e u + v = v + u. E s to d a o tr a fo rm a d e c o n s tru ir la sum a : si se c o lo c a n u y v d em o d o q u e em p ie c e n en e l m ism o p u n to , e n to n c e s u + v e s tá a lo la rg o d e la d ia g o n a ld e l p a ra le lo g ram o c o n u y v c om o lad o s. (E sto se llam a ley d e l p a r a le lo g r am o .)D ib u je la sum a d e lo s v e c to re s a y b m o s tra d o s en la fig u ra 5.EJEMPLO 1SOLUCIÓN P rim e ro se tra s la d a b y se c o lo c a su c e la en la p u n ta d e a , te n ie n d o c u id a d od e d ib u ja r u n a c o p ia d e b q u e tien e la m ism a lo n g itu d y d ire c c ió n . L u eg o se d ib u ja elv e c to r a + b [v é a se la fig u ra 6a)J em p e z a n d o en el p u n to in ic ia l d e a y te rm in a n d o en elp u n to te rm in a l de la c o p ia d e b.De m a n e r a a lte rn a tiv a , se p o d ría c o lo c a r b p a ra q u e em p ie c e d o n d e c om ie n z a a yc o n s tru ir a + b m e d ia n te la ley d e l p a ra le lo g ram o c om o en la fig u ra 6b).
  • 186. SECCIÓN 12.2 VECTORES 793Es pos ible mult iplic a r un ve c tor p o r un n úme ro real c. (En e s te co n tex to l lamamo s aln úm e ro real c un escalar p a ra d i s t in g u i r lo de un vector.) Por e jemp lo , se d e s e a q u e 2v seae l m i smo ve c tor que v + v, q u e tiene la mi sma di re c c ió n q u e v, pe ro tiene el doble delargo. En genera l, se mu lt ip lic a un ve c tor por un e s c a la r c om o sigue.D e f in ic ió n d e m u lt ip lic a c ió n p o r un e s c a la r Si c e s un e s c a la r y v e s un vector, e n to n c e sel múltiplo escalar ces el ve c tor c u y a longitud e s | c | mu lt ip lic ad o por la longitudde v y c u y a di re c c ió n e s la m i sma que v si c > 0 y e s o p u e s ta a v si c < 0. Si c = 0o v = 0, e n to n c e s cv = 0.F IG U R A 7M ü l t i p l o s e s c a l a r e s d e VEs ta de f inición se i lus tra en la figura 7. Se ve q u e a q u í los n úme ro s reales func ionanc om o factores d e e sc a la ; é s a e s la razón por la q u e se llaman e sc alare s . Ob s e rv e q u e losd o s ve ctores no c e ro son paralelos si son múltiplos e sc a la re s entre sí. En particular, elve ctor —v = (— l )v tiene la m i sma longitud que v, p e ro ap u n ta en la d i re c c ión opuesta. Sele l lama negativo de v.Por la diferencia u — v d e d o s ve ctores se entiendeti — v = u + (—v)A s í q u e se p u e d e c o n s t ru ir u — v si se d ib u ja p r ime ro e l negativo de v, — v, y luego se sumaa u p o r la ley d e l p a ra le lo g ramo c om o en la figura 8a). De ma n e r a a lternativa, p u e s to quev + (u — v) = u, el ve c tor u — v, c u a n d o se suma a v, d a u A s í q u e se p o dr ía co n s t ru iru — v c omo en la figura 8b) p o r me d io d e la ley de l triángulo.F IG U RA 8Trazo de U — V b )F IG U R A 9EJEM PLO 2 Si a y b son los ve ctores mos t rados en la figura 9, dibuje a — 2b.SOLUCIÓN Pr ime ro se d ib u ja el ve ctor —2b que ap u n ta en la di re c c ión o p u e s ta a b ycon el doble de largo. Se c o lo c a c o n su c o la en la p u n ta de a y luego se u s a la ley deltr iángulo p a r a d ib u ja r a + ( — 2b) c om o en la figura 10. ■FIGURA 10ComponentesPara c ie r tos p ropós i tos es me jo r introduc i r un s i s tema d e c o o rd e n a d a s y tratar a los v e c to ­resa lgebra ic amente . Si se c o lo c a e l p unto inicial de un ve ctor a en el origen d e un s i s temad e c o o rd e n a d a s re c tangula re s , e n to n c e s e l punto termina l de a tiene c o o rd e n a d a s d e lafo rma (ai, ¿*2) o (a 1, ai, ¿73), lo c u a l d e p e n d e de si e l s i s tema d e c o o rd e n a d a s e s d e d os o tresd ime n s io n e s (vé ase la figura 1 1 ).FIGURA 11
  • 187. 794 CAPITULO 12 VE:TORES Y GEOMETRIA DEL ESPACIO(4.5)(1,3) P(3, 2)0 --- AFIGURA 12Representaciones del vector a <3, 2)FIGURA 13Representaciones de a = (c,, a2.Es tas c o o rd e n a d a s se llaman c om p o n e n t e s d e a y se e sc ribena = (ai, ai) o a = <«i, ai, ai)Se emp l e a la nota c ión (ai, ai) p a ra el p a r ordenado q u e se refiere a un vector, p a ra n o c o n ­fundirlo c o n el p a r o rd e n ad o (ai, a 2) q u e se refiere a un p unto en el plano.P o r e j em p lo , los v e c to r e s m o s t r a d o s e n la f igura 12 son los e q u iv a l e n t e s al v e c to rOP = (3, 2} c u y o p unto termina l e s P(3, 2). Lo cue tienen en c om ú n e s q u e el p u n to ter ­minal se a lc an z a d e sde el p unto inicial med ia n te un d e sp la z amie n to d e tres un id ad e s a lad e r e c h a y d o s h a c ia arriba. Se puede co n s id e ra r a e s tos ve ctores g e omé t r ic o s c om o r e p r e ­se n t a c io n e s de un ve c tor a lgebra ico a = {3, 2). La r e p re senta c ión pa r ticula r OP d e l origenal p u n to P(3, 2) se l lama v e c to r p o s i c ió n de l punto P.En tres d ime n s io n e s , el ve ctor a = OP = (ai, «2, ai) e s e l v e c to r d e p o s i c ió n d e l puntoP(ai, ai, ai). (Véase la figura 13.) Co n s id e r emo s cu a lq u ie r otra re p re senta c ión AB de a ,d o n d e e l p u n to in ic ia l e s A ( x 1, yi, z 1) y e l p u n to te rmin a l es B(xi, yi, Z2). E n to n c e s d e b e ­mo s te n e r A i + a 1 = A2, yi + ai = yi y z t + ai = Zi, p o r tanto, a = xi — a i , ai = yi — y iy ai = Zi — zi. As í, se tiene el s iguiente resultado.| En cuentre el ve c tor repre sentado p o r el s e gmen to d e re c ta d i r igido conp u n to inicial A (2, —3, 4) y p unto te rmin a l B( — 2, 1 ,1 ) .SOLUCIÓN Por [ Q el ve ctor co r re sp o n d ie n te a AB esa = ( - 2 - 2, 1 - ( - 3 ) , 1 - 4 ) = < - 4 , 4, - 3 > HLa m a g n i t u d o lo n g i tu d de l ve ctor v e s la longitud de c u a lq u ie ra d e sus re p re s e n ta c io ­nes,y se d e n o ta por el s ímb o lo | v | o || v ||. Al usar la fó rmu la d e di s tan c ia p a ra c a lcu la r lalongitud d e un segmen to OP, se obtienen las s iguientes fórmulas.La longitud del v e c to r b id ime n s io n a l a = {ai. a i ) es| a | = v'V/f -I- a La longitud del v e c to r t r id imen s io n a l a = {a, a i, a i } e s| a | = >Ja¡ + a¡ + a]¿C óm o se s um a n a lg e b r a i c am e n t e los v e c to r e s ? En la f ig u r a 14 se m u e s t r a q u e sia = ( « 1, ai) y b = (b, bi), e n to n c e s la suma e s a + b = (¿o + b 1, ai + ¿ 2), al me n o s pa rae l c a s o d o n d e las c omp o n e n t e s son positivas. En otras pa labra s , para sumar algebraica­mentevectores se suman sus componentes. De man e ra similar, para restar vectores serestan componentes. De los t r iángulos semejante s en la figura 15 v emo s q u e las c om p o ­
  • 188. SECCIÓN 12.2 VECTORES 795F IG U RA 15n e n te s de c a son c«i y c a 2. A s í q u e p a r a m u ltip lic a r u n v e c to r p o r un e s c a la r s e m u ltip lic ac a d a c om p o n e n te p o r e se e sca la r .Si a = ( a i , ¿¡2) y b = e n to n c e sa + b = {a i + b,a 2 + b2) a — b = ( a i — b>a2 — b2)ca = (c¿7|, Ca2}De ma n e r a s imila r , pa ra ve c tore s en tres d ime n s io n e s ,( a l, a 2, a) + ( b,b 2yb2) = ( « i + b i , a 2 + b2> ay + by)( a {, a 2, a) — {b,b 2,bi>) — ( a i — bl, a 2 — b2,ay — by)c ( a i , a 2, a 3) = (c a i,c a 2,c a 3)Los vectores en n dimensiones se empleanpara enlistar varias cantidades de una maneraorganizada. Por ejemplo, las componentes deun vector en seis dimensionesP = (p>,pi, p»p*,p*, p*)podrían representar los precios de seisingredientes distintos requeridos para hacer unproducto particular. Los vectores en cuatrodimensiones {.x, y, z, r> se emplean en la teoríade la relatividad, donde las primeras trescomponentes especifican una posición en elespacio y la cuarta representa el tiempo.| Si a = (4, O, 3) y b = (—2. 1, 5), e n c u e n tre | a | y los v e c to re s a + b,a - b, 3b y 2a + 5b.SOLUCIÓN | a | = V 4 2 + O2 + 32 = /25" = 5a + 1) = <4.0,3) + <-2.1,5)= <4 + (-2). O + 1,3 + 5) = (2, 1,8 )a - b = {4,0, 3) - <-2.1,5)= <4 - (-2). O - 1,3 - 5) = (6,-1.-2)31» = 3(—2. 1. 5) = <3(—2). 3(1), 3(5» = ( - 6 , 3. 15)2a 4- 51» = 2(4.0.3) 4- 5(-2,1,5)= (8.0,6) 4- (-10,5,25) = (-2,5,31)D e n o tem o s p o r V2 e l c o n ju n to d e to d o s los v e c to re s en d o s d im e n s io n e s y c o n V3 e lc o n ju n to d e lo s v e c to r e s en tre s d im e n s io n e s . D e m a n e r a m á s g e n e r a l, m á s ta rd e n e c e ­sita r em o s c o n s id e r a r e l c o n ju n to V„ d e to d o s lo s v e c to r e s « -d im e n s io n a le s . Un v e c to r« -d im e n s io n a l e s u n a « -a d a o rd e n ad a :a = (¿7,, a 2, . . . , a„)d o n d e a i, a 2t. . a„ son n úm e ro s re a le s llam ad o s las c om p o n e n te s d e a . L a sum a y lam u ltip lic a c ió n p o r un e s c a la r se d e fin e n en té rm in o s d e c om p o n e n te s só lo p a ra los c a so s« = 2 y « = 3.P ro p ied ad e s de v e c to re s Si a , b y c son vectores en Vn y c y d son e sc a la re s , e n to n c e s1. a + b = b + a 2. a + (b -f- c ) = (a + b ) + c3 . a + 0 — a 4. a 4- (-a) - 05 . c ( a -1- b ) = c a + c b 6. (c + d ) a = c a + d a7 . (c r / )a = c(da) 8. l a = a
  • 189. 796 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOEs tas ocho p ro p ied a d e s d e ve ctores se pueden c omp ro b a r fá c ilmente y a sea en fo rmag e omé t r ic a o en a lgebraica. Por e jemp lo , la propiedad 1 se puede ver de la figura 4 (esequiva lente a la ley de l parale lo g ramo ) o c om o sigue p a ra el c a s o n = 2:a + b = (¿71, 02) + (¿1, 62) = {«1 + bx,a2 + b2)= (/?[ + 0|,¿>2 4- 0 ’) = (^ 1 , ^ 2) + ( 01, 0 2 )-b + aSe puede ver por q u é la propiedad 2 (la ley asociativa) e s c ie r ta al o b se rv a r la figura 16y aplic ar la ley de l tr iángulo varias veces: el ve ctor PQ se obtiene y a sea al c o n s t ru ir p r i ­mero a + b y suma r d e sp u é s c o al suma r a al vector b + c.Tres ve ctores en V3 ju eg a n un papel e special. Sean= < 1 , 0 . 0 ) .i = <0 . 1 .0) k = < 0 , 0 , 1 )Es tos ve c tore s i, j y k se d e n omin a n vectores base estándar. Tienen longitud 1 y apuntanen las d i re c c io n e s d e los e je s positivos x , y y z . De m a n e r a similar, en d o s d ime n s io n e s , sede finen i = ( l , 0 ) y j = (0, 1). (Véase la figura 17.)F IG U RA 17Vectores base estándar en V2 y V3FIGURA 18Si a = (au a 2, a3), e n to n c e s se puede e sc ribira — (0 1 ,0 2 ,0 3 ) “ ( 01, 0, 0 ) + (0 , 02,0 ) + ( 0 , 0 , 03)- 0 , ( 1 , 0 , 0 ) + 0 2( O , 1 , 0 ) + 0 3(O ,O ,1 >|~2~| a — 0i i + 02 j + 03kAs í, c u a lq u ie r ve c tor en V3 se puede e x p re s a r en términos de los ve ctores b a se e s tán d a r i,j y k. Por e jemp lo ,<1, -2, 6) = i —2j + 6kDe m a n e r a similar, en d os d ime n s io n e s , se puede e sc r ibi r|~3~| a = (0 1,0 2) = 0 i ¡ + 02 jVéase en la figura 18 la inte rpreta ción g e omé t r ic a de las e c u a c io n e s 3 y 2 y c omp á re la scon la figura 17.
  • 190. SECCIÓN 12.2 VECTORES 797Si a = i + 2 j — 3k y b = 4 i — 7k, ex p re se el ve c tor 2 a + 3b en té rminosGibbsJosiah Willard Gibbs(1839-1903). un profesorde física matemática en Yale College, publicóel primer libro sobre vectores, Vector Analysis,en 1881. Loscuaterniones* objetos máscomplicados, fueron inventados más tarde porHamilton como herramientas matemáticas paradescribir el espacio, pero no ha sido fácil su usopara los científicos. Los cuatemiones tienen unaparte escalar y una parte vectorial. La idea deGihhsfne ntilbar los vertrros por separadoMaxwell y Heaviside tuvieron ideas similarespero se ha demostrado que el enfoque de Gibbses un modo másconvenieite para estudiarel espacio.EJEM PLO 5d e i, j y kSOLUCIÓN Se emp le a n las p ro p ied a d e s 1, 2, 5, 6 y 7 de los ve ctores p a ra obtene r2a + 3b - 2(i + 2j - 3k) + 3(4¡ 4- 7k)- 2i 4- 4j - 6k + 12i + 21k - 14¡ + 4j 4- 15kUn vector unitario e s un ve c tor c u y a longitud e s 1. Por e jemp lo , i, j y k son vectoresunitarios. En genera l, si a ^ O, e n to n c e s e l vector unita r io q u e tiene la m i sm a d i re c c iónq u e a esu = 1 _ a a I a laA fin de c omp ro b a r e sto, s e a c = 1 / | a |. En.onc es u = r a y c e s un e s c a la r positivo, dem a n e r a q u e u tiene la m i sma di re c c ión q u e a. También,M - M - M M — f i j - M - iI En cuentre e l ve c tor unita r io en la d i re c c ió n de l ve c tor 2i — j — 2 k.SOLUCIÓN El ve ctor d a d o tiene longitud12i - j - 2k | = v 2; + (-1)- + (— 2)- = v 9 = 3asi, p o r la e cu a c ió n 4 , el ve c tor uni ta r io con la m i sma di re c c ión es}{2 ¡ - j - 2k) = § i - j j - j kF IG U RA 19A p lica c ion e sLos ve ctores son útiles en mu c h o s a spe ctos d e la física y la ingeniería. En el c apí tulo 13se verá c óm o d e s c r ib i r la veloc idad y la acele ra ción d e objetos q u e se mueven en e l e s p a ­cio.A q u í se e x amin an fuerzas.Un a fue rz a se re p re se n ta med ia n te un vector p orque tiene u n a mag n i tu d (me d id a enlibras o n ewto n s ) y u n a di re c c ión. Si sobre un objeto actúan varias fuerzas, la fuerzaresultante que e x p e r ime n ta el objeto e s la suma vector ia l de e s ta s fuerzas.____________ EJEM PLO 7Un a p e s a de 100 libras c u e lg a de d o s c ab le s c om o se mu e s t ra en la figura19. De te rmin e las tens ione s ( fuerz a s ) T | y T 2 en amb o s c able s y sus magnitudes .SOLUCIÓN Pr ime ro se ex p re san T | y T 2 en té rminos de sus c omp o n e n t e s ho r izo n ta l yvertical. De la figura 20 se ve que[5] T ,----1T, |eos 50° i + |Ti | sen 50° j|T ¡ T : = | T : | c o s 3 2 <’ ¡ + | T ; | s e n 3 2 ° jLa re sultante T ( + T 2 de las ten s io n e s contra r re s ta el p e so w y, por tanto, ten emo sT, + T 2 = -v v = 100 jA s í,F IG U RA 20 (—| T, | eos 50° + |T, | eos 32°) i 4- (|T, |sen 50° + | T, |sen 32°) j - lOOj
  • 191. 798 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOA l ig u a la r c om p o n e n te s , o b te n em o s- 1T, | eos 50° + | T : | eos 32° - 0| T, | sen 50° + |T2|sen 32o- 100A l d e s p e ja r | T 2 1 de la p rim e ra d e e s ta s e c u a c io n e s y su s titu ir en la se g u n d a , o b te n em o s. . ÍTJcos 50oT , sen 50° -1 1 I- J eos 32°— sen 32° = 100A s í, las m a g n itu d e s d e las te n s io n e s son100 T 1i sen 50 ° + tan 3r2ri° eos 5—0° « 85.64 libras, T, . = J—T , -e-o-s- 5-0-°- «64.91 libras 1 1 eos 32°A l s u s titu ir e s to s v a lo re s en [3 ] y [6], o b te n em o s los v e c to re s d e ten s ió nT , « - 5 5 . 0 5 i + 6 5 .6 0 j T 2 ~ 5 5 . 0 5 i + 3 4 .4 0 jEjercicios1. ¿Las siguientes cantidades son vectores o escalares? Explique.a) El costo de un boleto de teatro.b) La corriente en un r'o.c) La trayectoria de vuelo inicial de Houston a Dallas.d) La población del mundo.2. ¿Cuál es la relación entre el punto (4, 7) y el vector (4, 7)?Ilustre con un bosquejo.3. Indique los vectores iguales en el paralelogramo mostrado.B4 . Escriba cada combinación de vectores como un solo vector,a) M i + BC b) CD + DBC) DB - AB d ) DC + C A + A BA*r------------------------ -xB5. Copie los vectores de la figura y empléelos para dibujarlos siguientes vectores,a) u + v b) u + wc) v + w d) u — ve) v + u + w f) u — v — v6. Copie los vectores de la figura y utilícelos para dibujarlos siguientes vectores,a) a + b b) a — bc) 4a d) —3bc) a + 2b f) 2b — a7. En la figura, la punta de c y la cola de d están ambos en elpunto medio de QR. Exprese c y d en términos de a y b.1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 192. SECCIÓN 12.2 VECTORES 7998. Si los vectores de la figura satisfacen | u | = | v | = 1 yu + v + w = 0 ,¿q u é es | w |?9-14 Encuentre un vector a con la representación dada por elsegmento de recta dirigido AB. Dibuje AB y la representaciónequivalente empezando en el origen.9. A ( -.) . B{3 .2 ) 10. 4 ( - 4 . - l ) . B{ 1 .2 )11. 4 ( - l , 3 ) , B{2 .2 ) 1 2 .4 ( 2 .1 ) . B{0 ,6 )1 3 .4 ( 0 ,3 .1 ) . t f ( 2 , 3 , - l ) 14. 4 ( 4 , 0 , - 2 ) . £f(4,2 .1 )15-18 Encuentre la suma de los vectores dados e ilustregeométricamente.15 . ( - 1 , 4 ) . ( 6 . - 2 ) 16 . ( 3 , - 1 ) . ( - 1 , 5 )17 . ( 3 . 0 , 1 ) . ( 0 ,8 , 0 ) 18 . < 1 ,3 , - 2 ) . ( 0 ,0 , 6 )19-22 Encuentre a + b , 2a + 3 b . | a | y | a — b |19 . a = ( 5 , - 1 2 ) . b = ( —3, —6 )20. a = 4 i + j . h = i — 2 j21. a - i + 2j - 3k, b - -2 i - j + 5k22. a = 2 i - 4 j + 4k. b = 2 j - k23-25 Halle un vector unitario que tenga la misma dirección que elvector dado.23. - 3 1 + 7j 24. ( - 4 , 2 , 4 )25. 8 i - j + 4 k26. Determine un vector que tenga la misma dirección que( — 2, 4, 2) pero tiene longitud 6.27-28 ¿Cuál e s el ángulo entre el vector dado y la dirección positivadel eje a?27. i + v/3 j 28. 8 i + 6j29. Si v se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo7 t/3 con el eje .v positivo y | v | = 4, determine v en forma decomponentes.30. Si un niño jala un trineo sobre la nieve con una fuerzade 50 N ejercida a un ángulo de 38° por arriba de la horizontal,encuentre las componentes horizontal y vertical de la fuerza.31. Un mariscal de campo lanza un balón con ángulo de elevaciónde 40° y una rapidez de 60 p ies/s. Encuentre las componenteshorizontal y vertical del vector velocidad.32-33 Encuentre la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo queforma con el eje .v positivo.34. La magnitud de un vector velocidad se llama rapidez.Suponga que an viento sopla desde la dirección N45°0 a unarapidez de 50 km /h . (Esto significa que la dirección desde laque sopla el viento e s 45° al oeste de la dirección norte.) Unpiloto dirige in avión en la dirección N60°E a una rapidezde aire (rapidez en aire tranquilo) de 250 km /h . El cursoverdadero, o ruta, del avión es la dirección de la resultantede los vectores de velocidad del avión y el viento. La rapidezabsoluta del avión es la magnitud de la resultante. Encuentreel curso verdadero y la rapidez absoluta del avión.35. Una mujer camina al oeste sobre la cubierta de un barco a3 m illas/h. El barco se mueve al norte a una rapidezde 22 millas/h. Encuentre la rapidez y la dirección de la mujerrespecto a la superficie del agua.36. Cuerdas de 3 m y 5 m de longitud están atadas a una estrelladecorativa suspendida sobre una plaza principal. La decoracióntiene una masa de 5 kg. Las cuerdas, sujetadas a distintasalturas, forman ángulos de 52° y 40° con la horizontal.Encuentre la tensión en cada cuerda y la magnitud de cadatensión37. Un tendedero está atado entre dos postes separados 8 m. Lacuerda está bastante tensa y tiene una curvatura insignificante.Cuando se cuelga una camisa húmeda con una masa de 0.8 kga la mitad de a cuerda, el punto medio baja 8 cm. Determine latensión en cada mitad del tendedero.38. La tensión T en cada extremo de la cadena tiene magnitud 25 N(véase la figura). ¿Cuál e s el peso de la cadena?39. Un lanchero quiere cruzar un canal que tiene 3 km de ancho ydesembarcar a la orilla opuesta a 2 km río arriba del punto departida. La corriente en el canal fluye a 3 .5 km /h y la rapidezde su lancha es de 13 km /h .a) ¿En qué dirección debe dirigirse?b) ¿Cuánto tiempo le llevará el traslado?
  • 193. 800 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO40. Tres fuerzas actúan sobre un objeto. Dos de las fuerzasestán a un ángulo de 130° una de la otra y tienenmagnitudes 25 N y 12N. La tercera es perpendicular alplano de esas dos fuerzas y tiene una magnitud de 4 N.Calcule la magnitud de la fuerza que equilibraría exactamentelas tres fuerzas.41. Encuentre los vectores unitarios que son paralelos a la rectatangente a la parábola y = a 2 en el punto (2, 4).42. a) Encuentre los vectcres unitarios que son paralelosa la re c ta tangen te a la c u r v a y = 2 sen a e n e l punto( t t/6 , 1).b) Encuentre los vectcres unitarios que son perpendicularesa la recta tangente.c) Trace la curva y = 2 sen av los vectores en los incisosa) y b), todos comenzando en (7t / 6 , 1).43. Si 4 , B y C son los vértices de un triángulo, determineA B + B C + CA.44. Sea C el punto sobre el segmento de recta AB que está al doblede distancia de B de lo que está de 4 . Si a = 0 4 . b = OBy c = O C . demuestre que c ■■ y a + yb.45. a) Dibuje los vectores a = (3, 2), b = (2, — 1) y c = (7, 1).b) Demuestre, por medio de un bosquejo, que hay escalaress y t tales que c = ;a + /b.c) Use el bosquejo para estimar los valores de s y /.d) Encuentre los valores exactos de s y t.46. Suponga que a y b son vectores no nulos que no sonparalelos y c es cualquier vector en el plano determinadopor a y b. Dé un argumento geométrico para mostrar que cse puede escribir como c = sa + zb para escalares apropiadoss y t. Después proporcione un argumento por medio decomponentes.47. Si r = (a, y, z) y r o = (.x*>, yo, ro), describa el conjunto de todoslos puntos (a, y, r) tales que | r = r 0 | = 1.El producto puntoH a sta a h o ra h em o s sum a d o d o s v e c to re s y m u ltip lic a d o un v e c to r p o r un e sc a la r. S u rg e lap re g u n ta : ¿ es p o sib le m u ltip lic a r d o s v e c to re s de m o d o q u e su p ro d u c to se a u n a c a n tid a dú til? U n a re s p u e s ta e s e l p ro d u c to p u n to , c u y a d e fin ic ió n se d a a c o n tin u a c ió n . O tro e s e lp ro d u c to c ru z , q u e se a n a liz a en la sig u ie n te sección.[T] D e fin ición S i a = ( 0 1 , 0 2 , 0 3 ) y b = { b, b i , ¿ 3) , e n to n c e s e l producto puntod e a y b e s e l n úm e ro a * b d a d o p o ra - b = cib + 02.^2 + 03/73A s í, p a r a h a lla r e l p ro d u c to p u n to d e a y b se m u ltip lic a n las c om p o n e n te s c o r r e s ­po n d ie n te s y se sum a n . E l r e s u lta d o n o e s un v e cto r. Es un n úm e ro re a l, e s d e c ir , une s c a la r . P o r e s ta ra z ó n , e l p ro d u c to p u n to se llam a a v e c e s p r o d u c to e s c a la r (o p r o ­du c to in te r n o ). A u n q u e la d e fin ic ió n 1 se d a p a ra v e c to re s trid im e n s io n a le s , e l p ro d u c top u n to d e v e c to re s b id im e n s io n a le s se d e fin e d e un m o d o sim ila r:(01, 0 ,) • {b, b?) = «Tib 1 + a->b->12.34 8 . Si r = (a , y) , n = { a i , yi) y r 2 = (x2, yi), describa el conjuntode todos los puntos (a, y) tales que | r — n | + | r — r* | = k,donde k > | T| — r: |.4 9 . En la figura 16 se da una demostración geométrica de lapropiedad 2 de los vectores. Use las componentes para daruna demostración algebraica de este hecho para el caso n = 2.5 0 . Demuestre en forma algebraica la propiedad 5 de los vectorespara el caso n = 3. Después use triángulos semejantes para daruna demostración geométrica.51. Use vectores para demostrar que la recta que une los puntosmedios de dos lados de un triángulo e s paralela al tercer lado ytiene la mitad de su longitud.5 2 . Suponga que los tres planos coordenados poseen espejos yque un rayo luminoso dado por el vector a = («i, « 2, 03) chocaprimero con el plano a z , como se muestra en la figura. Useel hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo dereflexión para demostrar que la dirección del rayo reflejadoestá dada por b = <01, — 02, 03). Deduzca que, después de serreflejado por los tres espejos mutuamente perpendiculares,el rayo resultante es paralelo al rayo inicial. (Los científicosespaciales estadounidenses emplearon este principio, junto conrayos láser y una configuración de espejos esquinados sobrela Luna, para calcu ar de manera muy precisa la distanciade la Tierra a la Luna.)
  • 194. SECCIÓN 12.3 EL PRODUCTO PUNTO 801u m s m< 2 ,4 > • < 3 , - l > = 2 ( 3 ) + 4 { - l ) = 2< - 1 , 7 , 4> • { b , 2 , - I ) = ( - 1 )<fi) + 7 (2 ) + 4 ( - i ) = 6(i + 2 j - 3 k ) • ( 2 j - k ) = 1(0) + 2 (2 ) + (—3 ) ( - l ) = 7 MEl p ro d u c to p u n to o b e d e c e m u c h a s d e las ley e s q u e se c um p le n p a ra p ro d u c to s o rd in a ­rios de n úm e ro s re a le s. É sta s se e x p re s a n en e l sig u ie n te teo rem a .|~2~| P r o p ie d a d e s d e l p ro d u c to p u n to S i a, b y c son ve c tore s en V3 y c e s un esc alar ,e n to n c e s1. a - a ™ | a |2 2. a - b — b • a3 . a « (b 4 c) = a • b 4 a » c 4. (c a ) • b = i (a ■ b) = a * (cb)5. 0 • a = 0E sta s p ro p ie d a d e s se d em u e s tra n fá c ilm e n te p o r m e d io d e la d e fin ic ió n 1. P o r e jem p lo ,a q u í e stán las d em o s tr a c io n e s d e las p ro p ie d a d e s I y 3:1. a * a “ ci 4 a i + «3 ™ | a |~3. a * (b 4- c) “ (« i, a 2, «3} ♦ (¿>1 + ci, ¿2 + C2, 63 + C3)= a i(b¡ 4 n ) + a 2(b2 4 «':) 4 a i{ b 3 4 o )= a b4 aCi + a 2b 2 4 a2c2 4 a 2b i 4 0303“ {cib 4 a 2b2 + í?3¿>3) 4 (í7|£'i 4 a 2c2 4 ¿73C3)= a * b 4 a ♦ cL a s d em o s tra c io n e s d e las d em á s p ro p ie d a d e s se d e ja n c om o e je rc ic io s .A l p ro d u c to p u n to a • b se le p u e d e d a r u n a in te rp re ta c ió n g e om é tric a en té rm in o s d e lángulo $ entre a y b, q u e se d e fin e c om o e l án g u lo e n tre las re p re s e n ta c io n e s d e a y b q u eem p ie z a n en e l o rig en d o n d e 0 0 77. En o tra s p a la b ra s , d e s e l á n g u lo e n tre lo s s e g ­me n to s d e re c ta OA y O B en la fig u ra 1. Note q u e si a y b son v e c to re s p a ra le lo s , e n to n c e s0 = 0 o 0 = 7r.L o s físico s em p le a n la fó rm u la d e l sig u ien te te o rem a c om o la d e fin ic ió n d e l p ro d u c top u n to .FIGURA 1 |~3~| Teorema Si 0 e s e l á n g u lo e n tre los v e c to re s a y b , e n to n c e sa ♦ b = |a11 b | e o s 0DEMOSTRACIÓN Si a p lic am o s la ley d e los c o se n o s al triá n g u lo OAB en la fig u ra 1,o b te n em o s|T j |,4fi |: = | OA |: + | OB- — 2 | OA 11 OBeos 8(O b s e rv e q u e la ley d e lo s c o s e n o s aún se a p lic a en c a so s lím ite c u a n d o 0 = O o 0 = 7 r oa = 0 o b = 0.) P e ro | OA= | a |, | O B= | b | y | A B | = | a — b |, d e m o d o q u e lae c u a c ió n 4 se c o n v ie rte en| a — b |2 ™ | a |2 4 | b |: — 2 | a 11 b | eos 0
  • 195. 802 CAPITULO 12 VE:TORES Y GEOMETRIA DEL ESPACIOA l u s a r las p ro p ie d a d e s 1, 2 y 3 d e l p ro d u c to p u n to , se p u ed e r e e s c r ib ir e l lad o iz q u ie rd od e e s ta e c u a c ió n c om o sigue:| a — b |2 = {a — b ) ♦ {a — b )= a * a — a * b — b * a + b ♦ b= | a |2 — 2 a * b + | b | 2P o r ta n to , la e c u a c ió n 5 d a| a | 2 —2 a - b + | b | 2 = | a | 2 + | b | 2 — 2 | a | | b | eos 0Así, —2a ■ b = —2 | a 11 b | eos 6o b ien , a • b — | a 11b | e o s 6 ■__E_JE__M__P_L_O_ _2_ Si los v e c to r e s a y b tienen lo n g itu d e s 4 y 6, y e l á n g u lo en tr e e llo s e s n / 3,e n cu e n t re a • b.SOLUCIÓN Con e l t e o r ema 3, se tienea * b = | a 11 b | e o s (* r /3 ) = 4 ♦ 6 • I = 12La fórmula de l t e o r ema 3 pe rmite h a lla r también e l á n g u lo entre d o s vectores.| De te rmin e el ángulo entre los vectores a = (2, 2 , — 1) y b = (5, —3, 2).SOLUCIÓN Pue s to que| a | = V 2 2 + 2 2 + ( - l y = 3 y 11) | = y/b2 + (—3 ) 2 + 2 2 = ^y p u e s to quea • b - 2(5) + 2 {—3) + ( - l ) ( 2 ) - 2se t iene, de l c o ro la r io 6,eos 6a • ba l i b i 3^/38"A s í q u e e l á n g u lo entre a y b es6 — e o s ' G ir) 1.46 (u 84°)Los ve ctores no c e ro a y b se llaman perpendiculares u o rto g on a les si e l á n g u lo entree llos e s 0 = 7 t /2 . E n to n c e s el t e o r ema 3 d aa * b = | a 11 b | e o s ( n / 2 ) = 0
  • 196. SECCIÓN 12.3 EL PRODUCTO PUNTO 803y a la inversa, si a • b = O, e n to n c e s e o s 0 = O, por tanto, 0 = tí/'I. El ve ctor c e ro, O, esc o n s id e r a d o p e rp en d icu la r a todos los vectores. En c o n s e c u e n c ia , se tiene el s iguientemé to d o pa ra d e te rmin a r si d o s ve ctores son or togonales .m Dos ve c tore s a y b son or togonales si y sólo si a * b = O.EJEM PLO 4SOLUCIÓN Pue s to quea • b > 00 agudoa • b = 06= TT¡ 2a • b < 0^obtuso(21 + 2 j - k) • (51 - 4 j + 2 k ) = 2(5) + 2 ( - 4 ) + (—1)(2) = Oe s tos ve ctores son p e rp en d icu la re s p o r [7]. ■ ■De b id o a q u e eos 0 > O s i O = S 0 < ir ¡ 2 y e o s 0 < O si t t / 2 < 0 t t , se ve q u e a • be s positivo p a ra 0 < t t / 2 y nega t ivo p a ra 0 > t t / 2 . Se puede c o n s id e ra r a • b c omola m agnitud a la que a y b apuntan en la misma dirección. El produc to punto a • b e s p o s i t i ­vosi a y b apuntan en la m i sm a d i re c c ió n general, O si son p e rp en d icu la re s y negativo siapuntan en di rec cione s genera lmente opuestas (véase la figura 2). En el c a so e x tr emo d on d ea y b apuntan en e x a c tamen te la m i sma direc ción, se tiene 0 = 0, a s í q u e eos 0 = 1 yF IG U R A 2U U Visual 12.3A muestra una animación dela figura 2.a • b a 11 b |Si a y b apuntan en e x a c tamen te dire c c ione s opue s ta s , e n to n c e s 0e o s 0 = —1 y a • b = — | a j | b |ir y, por tanto,Angulos y cosenos directoresLos án gu lo s d irecto res de un ve ctor a diferente de c e ro son los á n g u lo s a, (3 y y (en elinte rvalo [0, ir]) q u e a fo rma c o n los e je s positivos x., y y z (vé ase la figura 3).Los c o s e n o s de es tos ángulos dire c tore s , eos a , e o s (3 y e o s y , se llaman co sen o s d ir e c ­tores d e un v e c to r a . Si se em p ic a el c o ro la rio 6 c o n b en lu g a r d e i, o b te n em o sE a I Mcila IF IG U R A 3(Es to también se puede v e r d i re c tamen te de la figura 3.)De m a n e r a similar, se tiene tambiénS Cl~> Í I 3eos ¡3 = eos y =a aAl e leva r al c u a d r a d o las e x p re s io n e s de las e cua c ione s 8 y 9 y sumar , v emo s que[TÓ] c o s ~ a + e o s 2/: + c o s 2y = 1Se p ueden u sa r también las e cu a c io n e s 8 y 9 p a ra e sc ribira — {a 1, « 2, a 3) “ (| a | eos a .a | e o sa | e o s y}— | a |( c o s a , eos £ eos y )
  • 197. 804 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOPor tanto,Ma = ( e o s a, eos /3, e o s y )la c u a l d ic e q u e los c o s e n o s d i re c to re s de a son las c omp o n e n t e s de l ve ctor unita r io en ladi re c c ión de a.EJEMPLO 5 En cuentre los ángulos dire c tore s de', ve ctor a = ( 1 ,2 , 3).SOLUCIÓN Pue s to q u e | a | = N/ l 2 + 2 2 + 3 2 = v' 1 4, las e c u a c io n e s 8 y 9 d;eos j8 e o s yy, por tanto,( vit) « 74° (5 — e o s ' (*) 5 8 ° y — eos U ) « 37°l u Ü Visual 12.3B muestra cono cambia lafigura 4 cuando se hace variar a j b.F IG U R A 4Proyecciones de vectoresProyec cionesEn la figura 4 se mu e s tra n las r e p re s e n ta c io n e s PQ y PR de d os ve ctores a y b con elmismo punto inicial P. Si S es el pie de la perpenciculai- de R a la recta que contiene a PQ,e n to n c e s e l ve c tor con repre senta c ión PS se llama v e c to r p r o y e c c ió n de b sobre a y sed e n o ta p o r proy„ b. (Po d emo s p ensa r lo c omo u n a somb r a de b.)La p r o y e c c ió n e s c a la r de b sobre a ( l lamad a también la c om p o n e n te d e b a lo la rg od e a ) se define c om o la mag n i tu d d e la proye cc ión vectorial, q u e es e l n úme ro | b | e o s 0,d o n d e 0 e s el á n g u lo entre a y b (Véase la figura 5.) Es to se d e n o ta p o r c om p . b Obs e rveq u e es nega t iva si ir /2 < 0 77. La e cua c ióna * b = | a | | b | eos 0 = | a | ( | b | eos 0)mu e s t r a q u e el p ro d u c to p unto de a y b se p u e d e inte rpre ta r c om o la longitud de a mu l t i ­pl ic a d a p o r la proye c c ión e s c a la r de b sobre a. Puesto queb | e o s 0a * bMla c omp o n e n t e de b a lo largo de a se c a lc u la toma n d o e l p ro d u c to p unto de b con el v e c ­toruni ta r io en la d i re c c ión d e a. Es tas ideas se re sumen c om o sigue.|b | eos 6 = com p jbF IG U R A 5Proyección escalara 4 bProye c ción e s c a la r d e b sobre a: comp-a b — . .M/ a ♦ ba a • bProye c ción ve c tor ia l de b sobre a: p io ja b l - - 1 - - - r alal / Ia 1 MOb s e rv e q u e la p ro y e c c ió n vector ia l e s la proye cc ión e s c a la r mu lt ip lic ad a p o r el ve ctorunita r io en la di re c c ión de a.
  • 198. SECCIÓN 12.3 EL PRODUCTO PUNTO 805| Halle la pro y e c c ió n e s c a la r y la pro y e c c ió n vector ia l de b = <1, 1,2)sobre a = ( — 2, 3, 1).SOLUCIÓN Pue s to q u e | a | = N ( ” 2 ) : + 3 2 + l 2 = v 14, la pro y e c c ió n e s c a la r d e bsobre a escompa ba - b _ (—2 X l ) + 3 ( 0 + 1(2) _ 3M V Í 4 v 'T ÍLa proye c c ión vector ia l e s e s ta pro y e c c ió n e sc alar mu lt ip lic ad a p o r el ve ctor unitarioen la d i re c c ión de a:proja b3 a 3, / Í T | a | 14/ - — — 3 7 * 1 4 ’ 1 4 /F IG U R A 6Un u so de las pro y e c c io n e s se p re sen ta en física al c a lc u la r e l trabajo. En la se c ción 6.4se de f ine el t raba jo h e c h o por u n a fue rz a cons tante F al mo v e r un objeto p o r u n a d i s tanc iad c om o W = Fd, pe ro e s to se aplic a sólo c uando la fue rz a se dir ige a lo largo d e la rectad e mo v imie n to de l objeto. Sin emb a rg o , su p o n g amo s q u e la fue rz a c o n s tan te e s un ve ctorF = PR q u e ap u n ta en a lg u n a otra direc ción c om o en la figura 6. Si la fue rz a mueve elobjeto de P a Q, e n to n c e s el vector de desplazamiento e s D = PQ. El trabajo h e ch o pore s ta fue rz a se define c om o el p ro d u c to de la c omp o n e n t e de la fue rz a a lo largo de D y lad i s ta n c ia recorrida:W = ( I F I e o s 9 ) I D IPero ento n c e s , d e l t e o r ema 3, se tiene12 W = | F 11 D | eos 0 = F * DAs í, e l t raba jo h e c h o por u n a fue rz a cons tante F e s e l p ro d u c to p unto F • D, d o n d e D e s elve ctor d e d e sp la z amiento.F IG U R A 7EJEM PLO 7 Un c a r r i to es ja la d o u n a d i s tanc ia d e 100 m a lo largo de u n a traye c tor iah o r iz o n ta l p o r u n a fu e rz a c o n s ta n te d e 7 0 N. L a m a n ija d e l c a rrito se m a n tie n e a uná n g u lo d e 3 5 ° sobre la hor izontal. Encuentre e l t raba jo re a l iz ado por la fuerza.SOLUCIÓN Si F y D son los ve ctores de fuerza y de d e sp la z amien to , c omo se ilus traen la figura 7, e n to n c e s e l t raba jo h e c h o e sW = F * D = | F 1 1D | e o s 35°= <70)(100) e o s 35° 5 7 3 4 N-m = 5 7 3 4 J__E_J_E_M__P_L_O__ 8__ U n a fu e r z a e s t á d a d a p o r un ve ctor F = 3i + 4 j + 5 k y m u e v e u n ap a r tícu la d e l p unto P(2, 1, 0) al p unto Q(4, 6, 2). E n cu e n tre e l t raba jo re alizado.SOLUCIÓN El ve ctor d e d e sp la z amie n to e s D = PQ = (2, 5, 2) , a s í q u e por la e cu a c ió n12, e l traba jo h e c h o esVF = F * D = < 3 , 4 , 5 ) * < 2 , 5 , 2 )= 6 + 2 0 + 10 = 36Si la unidad de longitud e s tá en me t ro s y la magnitud de la fue rz a se mide en newtons ,e n to n c e s e l t raba jo h e c h o e s 36 jo u le s (J). ■
  • 199. 806 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOEjercicios1 . ¿Cuáles de las siguientes expresiones son significativas?¿Cuáles carecen de sentido? Explique.a) (a ♦ b) ♦ c b) (a ♦ b)cc) ja | (b ■ c ) d) a * {b + c)e) a » b ■+■ c f ) | a | ' (b + c)2-10 Encuentre a • b2. a = < - 2 , 3 ), b = (0.7, 1.2)3. a = ( - 2 , j ) . b = < - 5 , 12>4. a = ( 6 , - 2 , 3 ) . b = (2 , 5 , - 1 )5. a = { 4 ,1 , y), b = (6, - 3 , - 8 )6. a - (/>. -/> , 2p ) , b - (2 ^ , c¡, - c / )7. a — 2 ¡ + j , b — i — j + k8. a = 3 i + 2 j - k, b = 4 ¡ + 5k9. | a | “ 6, | b | — 5, el ángulo entre a y b e s 2-77/310 . | a | = 3, | b | = V 6 , el ángulo entre a y I) es 45°1 1 - 1 2 Si u es un vector unitario, encuentre u • v y u ■ w.12. u13. a) Demuestre que i , j = j k = k , i = 0.b) Demuestre que i * i = j * j = k - k = 1.14. Un vendedor ambulante vende a hamburguesas, b hot dogsy c bebidas carbonatadas en un día dado. Cobra $2 por unahamburguesa, $ 1.50 por un hot dog y $ 1 por una bebidacarbonatada. Si A = (a, 6, c) y P = (2, 1.5, 1), ¿cuál es elsignificado del producto punto A • P?15-20 Encuentre el ángulo entre los vectores. (Primero encuentreuna expresión exacta y luego aproxime hasta el grado máspróximo.)15. a - ( 4 ,3 ) , b - ( 2 , - 1 )16. a = ( - 2 , 5 ) , b = (5. 12)17. a = ( 3 , - 1 , 5 ) . b = ( - 2 , 4 , 3 )18. a = ( 4 , 0 , 2 ) , b = < 2 , - 1 , 0 )19. a = 4 i - 3j + k. b = 2i — k20. a = i + 2 j - 2 k , b = 4 i - 3 k21-22 Encuentre, con una aproximación hasta el grado máspróximo, los tres ángulos del triángulo con los vértices dados.21. P (2 ,0 ). 0 ( 0 ,3 ) . * (3 ,4 )22. A (l, 0, —l). * ( 3 , - 2 , 0 ) , C ( l, 3, 3)23-24 Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos oninguno.23. a) a - ( - 5 , 3 , 7 ) , b - ( 6 , - 8 , 2 )b ) a - ( 4 . 6 ), b - ( - 3 , 2 )c) a - - i + 2 j + 5 k , b - 3 i + 4 j —kd) a ■■ 2 i + 6 j — 4 k , b — —3 i — 9 j + 6 k24. a) u - ( - 3 , 9 , 6 ) , v - ( 4 , - 1 2 , - 8 )b) u - i - j + 2 k . v - 2 i - j + kc) u ™ (rt, b y c ) , V ™ ( — by fl, 0 )2 5 . Use vectores para decidir si el triángulo con vérticesP{ 1, —3, —2), 0 ( 2 ,0 , —4) y * (6 , —2, —5) es rectángulo.26. Encuentre los valores de .v tales que el ángulo entre los vectores<2, 1, — 1) y <1, .r, C) e s de 45°2 7 . Encuentre un vector unitario que e s ortogonal a i + j e i + k .28. Encuentre dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60°con v = (3, 4).29-30 Encuentre el ángulo agudo entre las rectas.29. 2 a- - y = 3, 3a + y = 730. v + 2y - 7, 5a - y - 231-32 Encuentre los ángulos agudos entre las curvas en suspuntos de intersección. (El ángulo entre dos curvas e s el ánguloentre sus rectas tangentes en el punto de intersección.)31. y - a 2, y - . r 332. y = sen at, y = co s a -, 0 .v *£ 77/233-37 Halle los cosenos directores y los ángulos directoresdel vector. (Dé los ángulos directores con una aproximación hastael grado más próximo.)33. <2, 1 ,2 ) 34. ( 6 , 3 , - 2 )35. i — 2 j — 3k 36. vi + j + k37. (c , c, c ) , donde c > 038. Si un vector tiene ángulos directores a = ir /4 y /3 = 7 t/3 ,encuentre el tercer ángulo director y .1. Tareas sugeridas disponibles en stew artcalculus.com
  • 200. SECCIÓN 12.3 EL PRODUCTO PUNTO 80739-44 Encuentre las proyecciones escalar y vectorial de b sobre a.39. a - < - 5 , 12). b - <4, 6>4 0 . a - < 1 ,4 ) , b - < 2 ,3 )4 1 . a - <3, 6 , - 2 ) . b - < 1 ,2 ,3 )4 2 . a - < - 2 , 3 , - 6 ) , b - <5, - 1 , 4 )43. a - 2¡ - j + 4 k , b - j + yk44. a ™ i + j + k, b — i — j + k4 5 . Demuestre que e. vector ort, b = b — proy, b es ortogonal a a(Se llama p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l de b.)4 6 . Para los vectores del ejercicio 40, encuentre ort„ b e ilustredibujando los vectores a , b. proy„ b y ort» b4 7 . Si a = <3, 0, — l), encuentre el v e cto r b tal quecomp„ b = 2.4 8 . Suponga que a y b son vectores no cero.a) ¿Bajo qué circunstancias compB b = compi a?b) ¿En qué circunstancias proy, b = proyb a?4 9 . Encuentre el trabajo realizado por una fuerzaF = 8i — 6 j + Sk que mueve un objeto del punto (0, 10, 8)al punto (6, 12, 20) a lo largo de una línea recta.La distancia se mide en metros y la fuerza en newtons.5 0 . Un camión de remolque arrastra un auto a lo largo de uncamino. La cadena forma un ángulo de 30° con el camino y latensión en la cadena es de 1500 N. ¿Cuánto trabajo es realizadopor el camión al tirar del auto 1 kilómetro?51. Un trineo es jalado por una cuerda a lo largo de un senderonivelado. Una fuerza de 30 libras que actúa a un ángulo de40° sobre la horizontal mueve el trineo 80 pies. Encuentreel trabajo realizado por la fuerza.5 2 . Un bote navega e1 sur con ayuda de un viento quesopla en la dirección S36E°con magnitud de 400 libras.Encuentre el trabajo realizado por el viento cuando el botese mueve 120 pies.5 3 . Use una proyección escalar para demostrar que la distancia deun punto Pi(xu yi) a la recta a x + by + c = 0 es|0 A , + byi + c |y /a 2 + b 2Use esta fórmula para hallar la distancia del punto ( — 2, 3) a larecta 3 a — 4y + 5 = 0.5 4 . Si r = ( a, y, z), a = (01, 02, 03) y b = (b 1, b 2, b3), demuestreque la ecuación vectorial (r — a) • (r — b) = 0 representa unaesfera, y determine su centro y radio.5 5 . Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una desus aristas.5 6 . Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y unadiagonal de una de sus caras.5 7 . Una molécula de metano, C H*, está estructurada con los cuatroátomos de hidrógeno en los vértices de un tetraedro regular yel átomo de carbono en el centroide. El ángulo ele enlace es elángulo formado por la combinación H—C— H; es el ánguloentre las rectas que unen el átomo de carbono con dos de losátomos de hidrógeno. Demuestre que el ángulo de enlace esaproximadamente 109.5°. [Sugerencia: tome los vérticesdel tetraedro como los puntos (1 ,0 , 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y(1, 1, 1), como se muestra en la figura. Entonces el centroidees(U.i)J5 8 . Si c = | a | b + | b | a , donde a , b y c son los vectores nocero, demuestre que c biseca el ángulo entre a y b.5 9 . Demuestre las propiedades 2, 4 y 5 del producto punto(teorema 2).6 0 . Suponga que os lados de un cuadrilátero son de igual longitudy los lados opuestos son paralelos. Use métodos vectorialespara demostrar que las diagonales son perpendiculares.6 1 . Use el teorema 3 para demostrar la desigualdad deCauchy-Schwarz:|a • b | < | a | + |b |6 2 . La desigualdad del triángulo para vectores es| a + b | = s | a | + | b |a) Dé una interpretación geométrica de la desigualdad deltriángulo.b) Use la desigualdad de Cauchy-Schw arz del ejercicio 61 parademostrar la desigualdad del triángulo. [Sugerencia: use elhecho de que | a + b |2 = (a + b) • (a + b) y emplee lapropiedad 3 del producto punto.]6 3 . La ley del paralelogramo establece que| a + b | 2 + | a - b | 2 = 2 | a | 2 + 2 | b | 2a) Dé una interpretación geométrica de la ley delparalelogramo.b) Demuestre la ley del paralelogramo. (Véase la sugerenciadel ejercicio 62.)6 4 . Demuestre que s i u + v y u — v son ortogonales, entonces losvectores u y > deben tener la misma longitud.
  • 201. CAPITULO 12 VE:TORES Y GEOMETRIA DEL ESPACIOEl producto cruzHamiltonDa d o s d os ve ctores no c e ro a = <«i, a2, ci3) y b = (bx, b2, b3) e s mu y útil d i sp o n e r d e unve ctor no c e ro c q u e sea p e rp en d icu la r a a y b, c omo ve remo s en la s iguiente sección y enlos c apí tulos 13 y 14. Si c = (cXy c2, c3) e s tal vector, e n to n c e s a • c = 0 y b • c = 0, dem a n e r a quem a ¡c i + q2c2 + ^ 3 = o[Y] bC + biCi + 63C3 = 0Para e l imin a r c3y mu l t ip l ic amo s T p o r b3 y [2] por ci3 y restamos:[~3~| (¿ti b 3 — ü j b i ^ c 1 ■+■ ( c i j b i — a 3b ^ )c 2 = 0La ecuación 3 tiene la f o rm a p c x + qc2 = 0 en la que u n a solución obvia es ci = q y c3 = ~ pA s í q u e u n a soluc ión d e |~3~| esc 1 = a2b3 — a3b2 c2 = a 3b x ~ a xb 3S u s ti tu y en d o es tos va lore s en T y [T|, obtenemosc3 = a xb2 — a2b xEs to s ignifica q u e un ve ctor p e rp en d icu la r a a y b es(cu c 2, c3) = (a2b 3 - ci3biy a 3bx - cixb3, a ib 2 ~ a2b)El ve ctor resultante se l lama producto cruz d e a y b y se d e n o ta p o r a X bEl producto cruz fue inventado per elmatemático irlandés Sir William RowanHamilton (1805-1865), quien a su vez fueprecursor de los vectores llamadoscuaterniones. Cuando tenía cinco años de edad,Hamilton podía leer en latín, griego y hebreo.A la edad de ocho años, agregó el francés y elitaliano, y cuando tenía 10 años podía leer enárabe y sánscrito. A los 21 años, reciéngraduado del Trinity College en Dublín, Hamiltonfue nombrado profesor de astronDmía en laUniversity and Royal Astronomerof Ireland.|~4~| Definición Si a = (¿ n , ai, « 3) y b = {bu b i, ¿ 3}, e n to n c e s el p r o d u c to c r u z dea y b e s el ve c tora X b = {cnbi — ciibi* a ib — cibiy abi — aib 1)Note que el producto cruz a X b de d o s vectores a y b, a d i fe re n c ia de l pro d u c toesc alar , e s un vector. Por e s ta razón también se le l lama producto vectorial. Ob s e rv e quea X b e s tá de f inido sólo c u a n d o a y b son vectores en tres dimensiones.A fin de h a c e r la def inición 4 má s fácil d e recordar, se u s a la nota c ión de de te rminante s .Un determinante de orden 2 se define mediantea bc d= cid — bePor e jemp lo ,2 1- 6 4= 2(4) - l ( - ó ) = 14Un determinante de orden 3 se puede de f inir en té rminos de d e te rmin a n te s de segundoorden c om o sigue:
  • 202. SECCIÓN 12.4 EL PRODUCTO CRUZ 809Ob s e rv e q u e en c a d a té rmin o de l lado d e re cho d e la e cu a c ió n 5 h a y un n úme ro a¿ en elp r ime r renglón de l d e te rmin a n te , y íí, se mult iplic a p o r e l d e te rmin a n te de seg u n d o ordenobtenido d e l lado izquie rdo al e l imin a r e l renglón y la c o lum n a en la q u e apare c e af. O b s e r ­vetambién el s igno me n o s en e l seg u n d o término. Por e jemp lo ,1 2 -13 0 1■5 4 20 14 2- f ( - l )3- 5- 1(0 - 4 ) - 2(6 + 5) + (— 1 ){l 2 - 0 ) - - 3 8Si a h o ra se re esc r ibe la de f inición 4 usando los d e te rmin a n te s d e seg u n d o orden y losvectores base e stándar i, j y k, se ve que el producto c ruz de los vectores a = a t i 4- ¿72j + r/3ky b = i i + b2j + bi k esa X b =(l2 O3b i t>3a i a 3b b3a i ü2b biEn vis ta de la similitud entre las e c u a c io n e s 5 y 6, se e sc r ibe con f re cuenc iam a X b =i j k(l ÍÍ7 &3b 1 ¿?2 b3A u n q u e e l p r ime r renglón de l d e te rmin a n te s imbólico en la e cu a c ió n 7 c o n s ta d e ve ctores ,si se de s a r ro l la c om o si fuese un de te rminante ordina r io p o r med io de la regla de la e c u a ­ción 5, se obtiene la e cu a c ió n 6. La fó rmu la s imb ó l ic a d e la e cu a c ió n 7 es p ro b a b leme n tela forma má s fácil de re co rd a r y c a lcula r produc tos cruz.□ EJEM PLO 1 Si a = ( l , 3, 4 ) y b = (2, 7, —5), e n to n c e sa X b =i j k1 3 42 7 - 53 47 - 5 J +1 32 7= ( - 1 5 - 2 8 ) i - ( - 5 - 8) j + (7 - 6 ) k = - 4 3 i + 1 3j + k| Demu e s t re q u e a X a = 0 para cu a lq u ie r ve ctor a en V3.SOLUCIÓN Si a = (íi,, a2, a3), e ntonc e sa X ai j ka i a 2 a 3Cl Ü2 O3= ( ( 1 2 0 3 — 0 3 0 2)1 — (rtlrt3 — a 3 0 l ) j + ( oO l “ 0 2 0 |) k- O i - O j + Ok - 0
  • 203. 810 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOCo n s t ru imo s e l p ro d u c to cruz a X b de man e ra que s e a p e rp en d icu la r a a y b . És ta e su n a de las p ro p ied a d e s má s imp o r ta n te s de un produc to c ru z , p o r lo q u e lo e n fa t iz amo s yver if icamos en el s iguiente t e o r ema d a n d o u n a d emo s tra c ió n formal:|~8~| Teorema El v e c to r a X b e s or to g o n a l a a y bDEMOSTRACIÓN A fin de d emo s t r a r q u e a X b es or togona l a a , c a lc u lamo s su pro d u c top u n to c om o sigue:(a X b ) * a =ai a3b 2 b 3a -ab b 3ü2 +ci aibb2 « 3= a {a2b3 -- ci3b2) — a 2(ab3 — a 3b i) + ¿13(^162 — « 2^ 1)— ¿na 2 b 3 — axbiai — ciaibi + bxaiai + axbiai — bxaiai— OUn c á lc u lo s im ila r d em u e s tr a q u e (a X b ) • b = 0. P o r ta n to , a X b e s o rto g o n a l aa y b H BSi a y b se re p re s e n ta n m e d ia n te s e gm e n to s de r e c ta d irig id o s c o n e l m ism o p u n to in i­cia l (c om o en la fig u ra 1), e n to n c e s e l te o rem a 8 d ic e q u e e l p ro d u c to c ru z a X b a p u n taen u n a d ire c c ió n p e rp e n d ic u la r al p la n o de a y b R e su lta q u e la d ire c c ió n d e a X b e s tád a d a p o r la regla d e la m a n o d e r e c h a : si los d e c o s d e su m a n o d e r e c h a se c u rv an en lad ir e c c ió n (p o r un á n g u lo m e n o r d e 180°) d e a a b , e n to n c e s su d e d o p u lg a r a p u n ta enla d ire c c ió n d e a X b.A h o ra q u e se c o n o c e la d ire c c ió n d e l v e c to r a X b , lo ú ltim o q u e se n e c e s ita p a r a c om ­ple ta r su d e s c rip c ió n g e om é tric a e s su lo n g itu d | a X b |. É sta se d e te rm in a m e d ia n te e ls ig u ien te teo rem a .FIGURA 1La regla de la mano derechada la dirección de a X b.[~9~| Teorema Si 6 es el ángulo entre a y b (de mo d o q u e 0 < 0 < ir), e ntonc e s| a X b | = | a 11 b | sen 0E 3 Visual 12.4 muestra cómo cambia a x b DEMOSTRACIÓN De la s d e fin ic io n e s d e l p ro d u c to c ru z y la lo n g itu d d e un v e cto r, se tien ecuando cambia b.|a X b |2 = {a2b3 — a 3b2f + (fhbi — c b 3)2 + (ab2 — a 2b)2= a l b j — 2a2a3b2b3 + a j b l +- a l b 2 — 2aa3bb3 + a 2b]+ ab 2 — 2aa2bb2 + a l b 2= (a2 - f a 2 + a$}(b2 + b l + b ] ) — {cib + a 2b2 + a 3b3y= Ia Pl b |" — (a * b ) 2= | a | '| b |2 — | a | '| b |2c o s 2 0 (por el teorema 12.3.3)= |a |2| b |2 (1 — c o s2 0)= | a |21 b |2 sen2 6Al toma r las ra íc es c u ad ra d a s y obse rva r q u e ísen29 — sen 6, c omo sen 6 ^ 0 c u a n d o0 ^ ^ /7r, se tiene| a X b | = | a | | b | sen dCaracterización geométrica de a x b P u e sto q u e un v e c to r se d e te rm in a p o r c om p le to m e d ia n te su m ag n itu d y d ire c c ió n ,a h o ra se puede de c i r q u e a X b es e l ve ctor q u e es p e rp en d icu la r a a y b. c u y a orientación
  • 204. SECCIÓN 12.4 EL PRODUCTO CRUZ 811FIGURA 2se d e te rmin a p o r la regla d e la m a n o d e re cha , y c u y a longitud e s | a | | b | sen 0. De h e cho,asi e s e x a c tamen te c om o los físicos definen a X b.DEMOSTRACIÓN D o s v e c to re s n o c e ro a y b son p a ra le lo s si y só lo si 0 = 0 o ir. Enc u a lq u ie r c a so sen 0 = 0 , a s í q u e | a X b | = 0 y, p o r ta n to , a X b = 0. ■ ■L a in te rp re ta c ió n g e om é tric a d e l te o rem a 9 se p u e d e v e r e x am in a n d o la fig u ra 2. Si a yb se re p re s e n ta n m e d ia n te s e gm e n to s d e re c ta d irig id o s c o n e l m ism o p u n to in ic ia l, e n to n ­ce s d e te rm in a n un p a ra le lo g ram o con b a se | a |, a ltitu d | b |sen 0 y á re aA = | a | ( | b | sen 0 ) = | a X b |A s í, se tie n e la s ig u ien te fo rm a d e in te rp re ta r la m ag n itu d d e un p ro d u c to c ru z.La longitud de l p ro d u c to c ruz a X b e s igual al á rea d e l p a ra le lo g ramo d e te rmin a d op o r a y b.E JEM P LO 3 En cuentre un ve ctor pe rp en d icu la r al plano q u e p a s a p o r los puntosP{ 1 ,4 , 6), Q ( - 2, 5, — 1) y /?( ! , — 1, 1).SOLUCIÓN El ve ctor PQ X PR e s pe rpendicula r a PQ y P R , p o r tanto, esp e rp en d icu la r al p lan o a través de P, Q y R. Se sabe de (12.2.1) queP Q - ( - 2 - l ) i + (5 - 4 ) j + ( - 1 - 6 ) k - —3 i + j - 7 kP R - {l - l ) i + ( - 1 - 4) j + (l — 6) k — —5j - 5kSe c a lc u la e l p ro d u c to c ruz de e s tos vectores:¡ j kPQ X PR = —3 1 - 70 - 5 - 5- ( - 5 - 3 5 ) i - (15 - 0 ) j + (15 - 0 ) k = - 4 0 i - 15j + 1 5 kA s í q u e e l ve ctor ( — 40, — 1 5, 15) e s pe rp en d icu la r al plano dado. Cu a lq u ie r múltiploe s c a la r no c e ro de este vector, tal c om o (—8. —3, 3), también e s p e rp en d icu la ral plano. II En cuentre el á re a d e l t r iángulo con vér tices P( 1 ,4 , 6), Q{ — 2, 5, — 1) yR( l , - l , l).SOLUCIÓN En el e jemp lo 3 se c a lcu ló q u e PQ X PR = ( — 40, — 1 5,1 5). El á rea d e lp a ra le lo g ramo con lados ady a c en te s PQ y PR e s la longitud de este p ro d u c to cruz:PQ X PR = ^ { - 4 0 y + ( - 1 5 ) 2 + 15 2 = 5 y ' 8 2El á rea A de l tr iángulo PQR e s la mitad de l área d e este p a ra le lo g ramo , e s decir,|/8 2 ~ -
  • 205. 812 CAPITULO 12 VE:TORES Y GEOMETRIA DEL ESPACIOSi se aplican los teo rema s 8 y 9 a los vectores b a se e s tán d a r i, j y k con d = ' t t /2 , seobtienei X j = k j X k = i k X i = jj X i = —k k X j = —i i X k = — jOb s e rv e que¡ X j ^ j X iAs í, el p ro d u c to c ruz no e s conmuta tivo. También,i X (i X j) = i X k = - jmie n t ra s que(i X i) X j = 0 X j = 0Así, la ley asociativa p a ra la multiplicación por lo común no se cumple ; es decir, en general,(a X b) X c # a X (b X c)Sin emb a rg o , a lguna s d e las leyes usua le s de l álgebra se c ump le n p a ra el p ro d u c to cruz.En el s iguiente t e o r ema se re sumen las propiedade s de los pro d u c to s vectoriales .[íí~ | T e o r e m a S i a , b y c son v e c to re s y c e s u n e s c a la r, e n to n c e s1. a X b = - b X a2. (c a ) X b = c ( a X b) = a X ( c b )3. a X ( b + c) = a X b + a X c4. (a + b ) X c = a X c + b X c5. a ♦ (b X c ) = (a X b ) * c6. a X (b X c) = (a * c ) b — (a • b ) cEs tas p ro p ied a d e s se p ueden d emo s t r a r si se e scriben los ve ctores en té rmin o s de susc om p o n e n te s y se u s a la d e fin ic ió n d e un p ro d u c to c ru z . Se d a u n a d em o s tra c ió n d e lapropiedad 5 y se d e jan las d emo s t ra c io n e s restantes c om o e jercicios .DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 5 Si a = (at, aly a 3 b = (bu b2, b 3) y c = <c„ c2, c3>,e n to n c e s12 a • (b X c) — a 1(62^3 — b3c2) + ¿*2(63 Ci — bc3) 4- ¿73(61 C2 — b2c ()— ab2c3 — ¿7163C2 + QibiCx — a2bc3 + a 3bc2 — a3b2c— (a2bi — a ib2)c + (¿7361 — cib2)c2 4* (¿7162 — a2b)ci— (a X b) * cProductos triplesEl p ro d u c to a • (b X c) q u e se p re s en ta en la propiedad 5 se d e n omin a triple productoescalar de los ve ctores a, b y c. Ob s e rv e de la e cua c ión 12 q u e se p u e d e e sc r ibi r el triplep ro d u c to e s c a la r c omo un de te rminante :D3 a * (b X c) =Cl Cl2 ÍI3b b2 63ci c2 c3
  • 206. SECCIÓN 12.4 EL PRODUCTO CRUZ 813El s ig n ific a d o g e om é tric o d e l trip le p ro d u c to e s c a la r se p u e d e ve r c o n s id e r a n d o e l p a r a ­lele p íp e d o d e te rm in a d o p o r lo s v e c to r e s a, b y c (v é a s e la f ig u r a 3). E l á r e a d e la b a s ed e l p a ra le lo g ram o e s A = | b X c |. Si d e s e l ángulo e n tre a y b X c , e n to n c e s la a ltu ra h d e lp a ra le le p íp e d o e s h = | a | | e o s d |. (S e d e b e u sa r | e o s d | en lu g a r d e e o s 0 en c a s o d e q u ed > tt/2). P o r ta n to , e l v o lum e n d e l p a ra le le p íp e d o e sV = Ah = | b X c | | a 11 e o s 6= | a • (b X c ) |A s í, se h a d em o s tra d o la fó rm u la sig u ien te .pÍ4~| El v o lume n de l p a ra le le p íp e d o d e te rmin a d o p o r los ve c to re s a, b y c esla m ag n i tu d de su triple p ro d u c to escalar:V = | a * (b X c ) |Si se u s a la fó rmu la en 4 y se d e s c u b re que e l vo lume n de l pa ra le le p íp e d o d e te rm in a ­do por a, b y c e s 0, e n to n c e s los ve ctores deben e s ta r en el m i smo plano; es decir, soncoplanares.| Use e l triple p ro d u c to e sc alar pa ra d emo s t ra r que los ve ctoresa = ( l , 4, — 7), b = (2, — 1, 4 ) y c = (0, — 9, 18) son coplana re s .SOLUCIÓN Se u s a la e cu a c ió n 13 p a ra calcula r su triple p ro d u c to escalar:(b x c)1 4 - 72 - 1 40 - 9 18- 1 4 2 4 2 - 1'—; 1 - 4 - 7- 9 1800O0 - 9= 1 (l 8) - 4{3ó) - 7 { - l 8 ) = 0Por tanto, p o r 4 el vo lume n de l p a ra le lepípedo d e te rmin a d o p o r a, b y c es 0. Estos ignifica q u e a, b y c son coplanare s .El p ro d u c to a X (b X c) q u e se p re sen ta en la pro p ied a d 6 se d e n om in a triple p roduc­tovectorial de a, b y c. La propiedad 6 se usará pa ra d e d u c i r en el c ap í tu lo 13, la p r ime raley de Keple r de mo v imie n to planetario. Su demos tra c ión se d e ja pa ra el e je rc ic io 50.TorqueLa id e a de p ro d u c to cruz se p r e s e n ta c o n f recuenc ia en física. En pa r ticula r , se c o n s id e rau n a fu e rz a F q u e a c tú a sobre un c u e rp o r ígido en un p u n to fijado p o r un v e c to r d e p o s i ­ción r. (Por e jemp lo , si se a p r ie ta un p e rn o a p l ic an d o u n a fue rz a a u n a llave c om o en lafigura 4, se pro d u c e un e fe c to de giro.) El torque 7 ( relativo al or igen) se define c omo elp ro d u c to cruz de los ve ctores de pos ic ión y fuerza7 = r X Fy mide la t en d e n c ia de l c u e rp o a girar en torno al origen. La di re c c ión de l ve ctor torquein d ic a el eje d e rotación. De a cu e rd o con el t e o r ema 9, la mag n i tu d de l ve c tor torque e s| r | = | r X F | = | r | | F | sen 0
  • 207. 8 1 4 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOd o n d e 0 es e l ángulo entre los ve ctores de posición y fuerza. Ob s e rv e q u e la ú n ic a c om p o ­nented e F q u e p u e d e c au s a r rotac ión e s la q u e es p e rp en d icu la r a r, e s decir, | F | sen 0.La magni tud de l torque e s igual al á rea de l p a ra le logramo d e te rmin a d o p o r r y F.F IG U R A 5EJEMPLO 6 Se apr ie ta un p e rno a plic ando u n a fuerza de 4 0 N a u n a llave de 0.25 mc om o se mu e s t r a en la figura 5. En cuentre la magnitud d e l torque re spe c to al c en t ro delperno.SOLUCIÓN L a mag n i tu d de l ve c tor torque es| r | = | r X F | = | r 11F | sen 75° = (0 .2 5 ) (4 0 ) sen 7 5 °= 10 sen 7 5 o » 9.66 N*mSi e l p e rn o tien e c u e rd a d e re c h a , e n to n c e s e l v e c to r to rq u e e sT = | r | n » 9.66 nd o n d e n es un ve ctor unita r io c o n di re c c ión ha c ia la página.Ejercicios12.41-7 Encuentre el producto cruz a X b y compruebe que esortogonal a a y b.1. a - < 6 ,0 , - 2 ) . b - <0. 8 ,0 )2. a - < l, l, - I ) , b - < 2 ,4 , 6 )3. a = i + 3 j — 2 k, b = - i + 5 k4. a = j + 7 k , b — 2 i — j -f 4 k5. a = i — j — k, b = T ¡ + j + 3 k6 . a ™ ti + eos tj 4- s e n /k , b — i — sen tj + eos /k7 . a - (t, 1, 1 / / ) , b - ( t 2, t 2, 1 )8. S i a = i — 2 k y b = j + k , encuentre a X b. Trace a . b ya X b como vectores que se inician en el origen.9-12 Encuentre el vector, no con determinantes, sino usandopropiedades de productos cruz.9. (i X j ) X k 1 0 . k X (i - 2 j)1 1 . (j - k ) X <k - i ) 1 2 . ( i + j ) X ( i - j)1 3 . Diga si cada expresión tiene sentido. Si no, explique po rq u é .En caso afirmativo, diga si es un vector o un escalar,a) a * (b X c ) b ) a X (b • c )c) a X (b X c ) d ) a • (b • c )e) ( a • b) X (c • d) f) (a X b) ■ (c X d)14-15 Encuentre | u X v | y determine si u X v está dirigido haciala página o hacia afuera de ésta.14 . | v | — 5 15 . | v | = l 61 6 . En la figura se muestra un vector a en el plano xy y un vector ben la dirección de k. Sus longitudes son | a | = 3 y | b | = 2.a) Encuentre | a X b |.b ) Use la regla de la mano derecha para decidir si lascomponentes de a X b son positivas, negativas o 0.1 7 . Si a = (2, — I, 3) y b = (4, 2, 1), encuentre a X b y b X a .18 . Si a = ( 1 ,0 , 1), b = (2, 1, — 1) y c = (0, 1 ,3 ) demuestre quea X (b X c) # (a X b) X c.19 . Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a (3, 2, l) y< - L LO).1. Tareas sugerid as dispon i ble s e n stevsartcalculus.com
  • 208. SECCIÓN 12.4 EL PRODUCTO CRUZ 8152 0 . Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a j — k e i + j.2 1 . Demuestre que 0 X a = 0 = a X 0 para cualquier v e c to raen V3.2 2 . Demuestre que (a X b) • b = 0 para todos los vectores a y ben Vj.23. Demuestre la propiedad 1 del teorema 11.2 4 . Demuestre la propiedad 2 del teorema 11.25. Demuestre la propiedad 3 del teorema 11.2 6 . Demuestre la propiedad 4 del teorema 11.2 7 . Encuentre el área del paralelogramo con vértices A( — 2, 1),* (0 , 4), C(4, 2) y D(2, — 1).2 8 . Encuentre el área del paralelogramo con vértices * (1 , 2, 3),L( 1, 3, 6), M(3, 8, 6) y Af(3, 7, 3).29-32 a) Encuentre un vector no cero ortogonal al plano que pasapor los puntos * , 0 y * , y b) determine el área del triángulo PQR.29. * ( 1 ,0 , I), 0 ( - 2 ,1 ,3 ) , * ( 4 ,2 ,5 )3 0 . * (0 , 0, - 3 ) , Q{4, 2, 0), * (3 , 3, 1)3 1 . * ( 0 , - 2 , 0 ) , (2(4, 1 , - 2 ) , * ( 5 ,3 ,1 )3 2 . * ( - 1 , 3 , 1), 0(0 * 5 , 2), * ( 4 , 3 , - I )33-34 Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por losvectores a , b, y c.33. a - < 1 , 2 , 3 ), b — < — 1, 1 ,2 ), c - <2, 1,4>34. a = i 4- j , b = j + k, c = i + j + k35-36 Halle el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentesPQ, PR y PS.35. * ( - 2 , 1 ,0 ), 0 ( 2 ,3 ,2 ) , * ( 1 , 4 , - 1 ) , 5 (3 ,6 , 1)3 6 . * ( 3 ,0 , 1), 0 ( —1 ,2 ,5 ) , * (5 , 1 , - 1 ) , 5 (0 ,4 , 2)37. Use el triple producto escalar para verificar que los vectoresu = i + 5j — 2 k, v = 3¡ — j y w = 5¡ + 9 j — 4k soncopl añares.3 8 . Use el triple producto escalar para determinar si los puntos4 (1 , 3, 2), * (3 , - 1 , 6 ) , C(5, 2, 0) y D(3, 6, —4) están en elmismo plano.39. Un pedal de bicicleta e s empujado por un pie con una fuerzade 60 N como se ilustra. El eje del pedal e s de 18 cm de largo.Encuentre la magnitud del torque respecto a *4 0 . Determine la magnitud del torque respecto a P si se aplica unafuerza de 36 libras como se muestra.4 pies4 1 . Una llave de 30 cm de largo está a lo largo del eje y positivoy sujeta un perno en el origen. Se aplica una fuerza enla dirección <0, 3, —4) y al final de la llave. Encuentre lamagnitud de la fuerza necesaria para suministrar 100 N • mde torque al perno.4 2 . Sea v = 5j y sea u un vector con longitud 3 que empieza enel origen y gira en el plano .xy. Encuentre los valores máximoy mínimo de la longitud del vector u X v. ¿En qué direcciónapunta u X v*4 3 . Si a * b = V3 y a X b = { l , 2 , 2 ) , encuentre el ángulo entrea y b.4 4 . a) Encuentre todos los vectores v tales que<1,2, 1) X v = <3, 1, - 5 )b) Explique por qué no existe un vector v tal que<1,2, 1> X v = <3, 1, 5)4 5 . a) Sea * un punto fuera de la recta L que pasa por los puntos0 y *. Demuestre que la distancia el desde el punto * a larecta L esIaXblMdonde a = Q R y b = QP.b) Use la fórmula del inciso a) para hallar la distancia delpunto * (1 , 1, 1) a la recta que pasa por 0 (0 , 6, 8) y*(-1,4, 7).4 6 . a) Sea * un punto fuera del plano que pasa por los puntos0 , * y 5. Demuestre que la distancia el desde * al plano es< / = l a / ( b X ,c ) i| a X b |donde a = Q R , b = Q S y c = QP.b) Use la fórmula del inciso a) para hallar la distancia desde elpunto * (2 , 1, 4) al plano que pasa por los puntos 0 (1 , 0, 0),* (0 , 2, 0) y 5(0, 0, 3).4 7 . Demuestre que | a X b |2 = | a |2 | b |2 — (a • b )2.4 8 . Si a + b + c = 0, demuestre quea X b = b X c = c X a
  • 209. 8 1 6 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO4 9 . Demuestre que ( a — b ) X ( a + b ) = 2 ( a X b ).50. Demuestre la propiedad 6 del teorema 11, es decir,a X (b X c = (a • c ) b — (a • b ) c5 1 . Use el ejercicio 50 para demostrar quea X (b X c ) + b X (c X a ) + c X ( a X b ) = 05 2 . Demuestre que{ a X b ) ♦ (c X d )a ♦ c b ■ ca ♦ d b ■ d5 3 . Suponga que a # 0 .a) Si a • b = a • c, ¿se deduce que b = c?b) Si a X b = a X c, ¿se deduce que b = c'.'c) S i a , b = a , c y a X b = a X c ¿se deduce que b = el5 4 . Si v,, v2y vj son vectores no coplanares, seank, =V2 X v v3 X V,V | ♦ (v2 X V , ) V , ♦ (v, X v3)k _ V | X v 2V | * (v2 X V 3)(Estos vectores aparecen en el estudio de la cristalografía.Vectores de la forma /i|V| + / i 2v 2 + n 3v 3, donde cada es unentero, forman un retículo para un cristal. Vectores escritos demanera similar en términos de ki, k2 y k3 forman el retículorecíproco).a) Demuestre que k¿ es perpendicular a v; si i # j.b) Demuestre que k¿ • v. = 1 para i = 1, 2, 3.1c) Demuestre que k| ♦ (k> X k 3)V| * (> '2 X v 3)P R O Y E C T O P A R AUN D E S C U B R IM I E N T O GEOMETRÍA DE UN TETRAEDROUn tetraedro es un sólido con cuatro vértices P, Q, R y S, y cuatro caras triangulares, como semuestra en la figura.1. Sean vi, v2, v3 y v* vectores con longitudes iguales a las áreas de las caras opuestas a losvértices P, Q, R y S, respectivamente, y direcciones perpendiculares a las caras respectivasy que apuntan hacia afuera. Demuestre queV I + V2 + v3 + V4 = 02 . El volumen V de un tetraedro es un tercio de la distancia de un vértice a la cara opuesta,multiplicada por el área de la cara.a) Encuentre una fórmula para el volumen de un tetraedro en términos de las coordenadasde sus vértices P, Q, R y S.b) Encuentre el volumen del tetraedro cuyos vértices son P( 1, 1, 1), Q( 1, 2, 3), R( 1, 1, 2) y5(3, - 1 ,2 ) .3 . Suponga que el tetraedro de la figura tiene un vértice trirrectangular 5. (Esto significa quelos tres ángulos en S son ángulos rectos.) Sean A, B y C las áreas de las tres caras quesatisfacen a S, y sea D el área de la cara opuesta PQR. Por medio del resultado del problema1, o de otro modo, demuestre queD 2 = .42 + B'-+ C 2(Esta es una versión tridimensional del teorema de Pitágoras.)PEcuaciones de rectas y planosUn a re cta en e l plano xy se d e te rmin a c u a n d o se dan un p unto sobre la re cta y la d i rec ciónde é s ta (su pendiente o á n g u lo d e inclinac ión) . La e cu a c ió n de la re cta se p u e d e e sc ribire n to n c e s c o n la fo rma punto-pendiente .De igual forma, u n a re cta L en el e sp a c io tr idimens iona l se d e te rmin a c u a n d o se c o n o ­ce un p unto Po(Xih yo, ¿o) sobre L y la di re c c ió n de L. En tres d ime n s io n e s la di re c c ión deu n a re cta se de sc r ib e c o n v en ien teme n te por un vector, a s í q u e sea v un ve ctor pa ra le lo a L.Se a P(x. y, z) un p unto arbitrar io sobre L y sean r 0 y r los ve ctores de pos ic ión de P0 y P
  • 210. SECCIÓN 12.5 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 817F IG U RA 2En la figura 3 se muestra la recta L delejemplo 1 y su relación con el punto dadoy con el vector que da su dirección.F IG U R A 3(es de cir , tienen re p re se n ta c io n e s OPo y OF). Si a e s el ve c tor con repre senta c ión Po r ,c om o en la figura 1, e n to n c e s la ley de l tr iángulo p a ra la suma de ve ctores d a r = r<> + a.Pero, pue s to q u e a y v son ve ctores paralelos, h a y un e s c a la r í tal que a = tx. Así,mr = i*o + txq u e e s u n a ecuación vectorial de L. Ca d a valor de l parámetro t d a e l ve ctor d e posiciónr de un p unto sobre L. En otras pa labra s , c i an d o t varía, la re cta e s t ra z ad a por la puntade l ve c tor r. C omo in d ic a la figura 2, los v a b r e s positivos de í q u e c o r re sp o n d e n a puntossobre L que e s tán sobre un lado de Po, mientras q u e valores negativos de t c o r re sp o n d e n ap u ntos q u e se hallan sobre el otro lado de Po.Si e l ve ctor v q u e d a la di re c c ió n d e la recta L se e sc r ibe en fo rma de c omp o n e n t e s c omov = (a, b, c ) , e n to n c e s se tiene tx = (tay tby te). Se puede e sc r ibi r tamb ién r = ( a , y, z) yr o = ( aó, yo, zo), p o r tanto, la e cu a c ió n vectorial [7] se t ra n s fo rma en{x, y , z) = <-v0 + ¡a, y 0 + tb, z0 + te)Dos ve ctores son igua le s si y sólo si las c omp o n e n te s co r re sp o n d ie n te s son iguales. Portanto, se tienen tres e c u a c io n e s e scalares:a = A0 + a t y = ye + b t z = z0 + ctd o n d e t E R. Es ta s e c u a c io n e s se l laman ecu a c ion e s p a ran ié tr ica s de la r e c ta L quep a s a p o r el p unto Pn(Xo, y0, -o) y e s p a ra le la al ve ctor v = (a, /?, e). Ca d a valor de l p a r á ­met ro t d a un p u n to ( a , y, z) sobre L.E JEM P LO 1a) En cuentre la e cu a c ió n vector ia l y las e cua c ione s pa ranié t r ic a s p a ra la re cta q u e p a sap o r el p u n to (5, l , 3) y es p a ra le la al ve c tor i + 4 j — 2 k.b) En cu e n tre otros d os p u ntos sobre la recta.SOLUCIÓNa) A q u í r0 = (5, 1, 3) = 51 + j + 3k y v = i + 4 j — 2 k , a s í que la e cu a c ió n vectorialm se convie r te enr = (5i + j + 3k) + /(i + 4 j - 2 k )o bien, r = (5 + t)i + (1 + 4f)j + (3 — 2/)kLas e cu a c io n e s pa ranié t r ic a s sona = 5 + / y = I + 4t z = 3 2tb) La e le c c ión de l valor de p a ráme t ro t = 1 d a .v = 6, y = 5 y z = 1, p o r tanto,(6, 5, 1) e s un p u n to sobre la recta. De man e ra similar, t = — 1 d a el puntoLa e cu a c ió n vectorial y las e c u a c io n e s pa raniétr ica s de u n a re cta no son únicas. Si sec am b i a el p u n to o el pa ráme t ro , o se e lige un ve c tor pa ra le lo dife rente , e n to n c e s c amb ianlas e cu a c io n e s . Por e jemp lo , si en lugar de (5, 1, 3), se e lige e l p unto (6, 5, 1) en el e j em ­plo1, e n to n c e s las e c u a c io n e s pa ranié t r ic a s de la re c ta se convie r ten enx = 6 + t y = 5 + 4t z = 1 — 2t
  • 211. 818 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOEn la figura 4 se muestra la recta L del ejemplo 2Y el punto P donde cruza el plano xy. LAF IG U R A 4O b ien , si se p e rm an ec e con e l p u n to (5, 1, 3) pero se e lig e un v e cto r pa ralelo 2i + 8j — 4k,se lle g a a las e c u a c io n e sx = 5 + 2 t y =+ S t z = 3 - 4 tEn g e n e ra l, si un v e c to r v = (a y b , c ) se em p le a p a ra d e s c rib ir la d ire c c ió n d e u n a re c taL, e n to n c e s los n úm e ro s ci> b y c se llam an números d irecto res de L. P u e sto q u e se p o d ríau s a r c u a lq u ie r v e c to r p a ra le lo a v se ve q u e tre s n úm e ro s c u a le s q u ie r a p ro p o rc io n a le s a a ,b y c se p o d ría n u sa r tam b ién c om o un c o n ju n to de n úm e ro s d ire c to re s p a ra L.O tr a fo rm a d e d e s c r ib i r u n a r e c ta L e s e lim in a r e l p a r ám e tr o t d e la s e c u a c io n e s 2.Si n in g u n a d e las lite ra le s a y b o c e s 0 , se p u ed e re so lv e r c a d a u n a d e e s ta s e c u a c io n e sp a ra /, ig u a la r los re su lta d o s y o b ten e r1i?1i1*1N1ME s ta s e c u a c io n e s se llam a n e cu a c io n e s sim é tr ica s d e L. O b s e rv e q u e lo s n úm e ro s a y by c q u e a p a re c e n en los d e n om in a d o re s d e las e c u a c io n e s 3, son los n úm e ro s d ire c to re sd e L, e s d e c ir, las c om p o n e n te s d e un v e c to r p a ra le lo a L. Si u n a d e las lite ra le s a , b o ce s 0 , se p u e d e e lim in a r a t. P o r e jem p lo , si a = 0, se p o d ría n e s c rib ir las e c u a c io n e s d e Lc om oy - yo r - iox = .xo------------— ------ = ------------b cE sto s ig n ific a q u e L y a c e en e l p la n o v e rtic a l x = Xo.EJEM PLO 2a) En cu e n tre las e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s y las simétricas de la re cta q u e p a s a a travésde los p u ntos A(2, 4, — 3) y B(3, — 1, 1).b) ¿En q u é p unto in te r se c a e s ta re c ta el plano x y9S O L U C IÓ Na) No se d a d e m a n e r a e x p líc ita un v e c to r p a ra le .o a la re c ta , p e ro o b se rv e q u e e l v e c to rv con re p re senta c ión AB es pa ralelo a la re c ta yv = <3 - 2 . - I - 4 , 1 - ( - 3 ) ) = < 1 . - 5 , 4 )As í, los n úme ro s d i re c to re s son a = 1 , 6 = —5 y c = 4. Si se tom a el p u n to (2, 4, —3)c om o Po, se ve que las e cu a c io n e s p a ramé t r ic a s [T| sonx = 2 + t y = 4 — 5 t z = ~ 3 + 4 ty las e c u a c io n e s s imé t r ic a s [T] son.v - 2 y - 4 r + 31 “ - 5 ~ 4b) La re c ta in te r se c a el plano xy c u a n d o r = 0, así q u e se pone : = 0 en las e cu a c io n e ss imé t r ic a s y se obtienex — 2 y — 4 31 _ - 5 ~ 4oa1-Q1E sto d a a- —• -íf y y — ¿ a s í q u e la r e c ta in te r s e c a al p la n o x y en e l p u n to (-If, o ).
  • 212. SECCIÓN 12.5 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 819Las rectas L, y L2 del ejenplo 3, mostradas enla figura 5, son rectas oblicuas.5 -FIGURA 5En genera l, el p ro c ed imie n to de l e jemp lo 2 mu e s t ra que los n úme ro s dire c tore s de lare cta L q u e p a sa p o r los p u ntos P0(X(>, yo, zo) y P i ( * i , yu ¿) son x x - Xo, y x - y0 y z, - z0,p o r tanto, las e c u a c io n e s s imétr ica s de L son.y — xp _ y ~ Vo _ z — z0x i ~ x q y , — y 0 z t - r 0Con f re cuenc ia se ne c e s i ta u n a de sc r ipc ión, no de u n a re cta ente ra , s ino de sólo uns e gm e n to d e re cta. ¿C óm o se p o d r í a d e s c r ib i r e l s e gm e n to d e r e c ta AB en e l e j em p lo 2?Si se e s c r ib e t = 0 en las e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s d e l e j em p lo 2 a ) , se o b t ie n e e l p u n to(2, 4, — 3) y si se e sc r ib e / = 1 se obtiene (3, —1, 1). A s í q u e el s e gmen to de re cta AB sede sc r ib e med ia n te las e c u a c io n e s pa ramétr ica sx = 2 + t y = 4 — 5/ z = ~ 3 + 4t 0 f ^ 1o p o r la e cu a c ió n vector ia l cor re sp o n d ie n ter ( / ) = { 2 + /, 4 - 5 tt - 3 + 4 1 ) 0 « / «5 1En genera l, se sabe de la e cu a c ió n 1 que la e cu a c ió n vector ia l d e u n a re cta q u e p a s a p or(la p u n ta de l) ve c tor r 0 en la d i re c c ión de un ve c tor v e s r = r 0 + t x . Si la re cta p a sa t am ­biénpor (la p u n ta d e ) r , , e n to n c e s se puede toma r v = r , — r 0 y, p o r tanto, su e cu a c ió nvector ia l esr = r0 + /(ri - r0) = (1 - t)r0 + fnEl segmento de recta d e ro a n se d e te rmin a mediante el intervalo pa ramétr ico 0 t 1.|~4~| El se gm e n to de re c ta r0 a n se d e te rm in a m e d ia n te la e c u a c ió n v e c to ria lr{/) ™ (l — í)r0 + /ri 0 t < 1| D em u e s tre q u e las re c ta s Ly L 2 c o n e c u a c io n e s p a ram é tric a sx =+ t y = - 2 + 3 / z = 4 — tx = 2 s y = 3 + 5 z = — 3 + 45son rectas oblicuas; e s d e c ir, n o se in te rse c a n y n o son p a ra le la s (y, p o r ta n to , nop e rte n e c e n al m ism o p lan o ).SOLUCIÓN L a s re c ta s n o son p a ra le la s p o rq u e los v e c to re s c o rre sp o n d ie n te s 0 , 3 , — 1) y(2 , 1, 4 ) no son p a ra le lo s. (S u s c om p o n e n te s n o son p ro p o rc io n a le s .) Si Ly L i tu v ie ranun p u n to d e in te rs e c c ió n , h a b ría v a lo re s d e t y s ta le s q ue1 + / = 2 s- 2 + 3 / = 3 + 54 — t = —3 + 4s11 8P e ro si se re su e lv e n las d o s p rim e ra s e c u a c io n e s , se o b tie n e t = y y s = 5 , y e sto sv a lo re s n o sa tisfa c en la te rc e ra e c u a c ió n . Por ta n to , n o h ay v a lo re s d e t y d e s q u esa tis fag a n s im u ltá n e am e n te las tre s e cu a c io n e s. A s í, Ly L i n o se in te rse c a n . Enc o n s e c u e n c ia , Ly L i son re c ta s o b lic u a s.PlanosA u n q u e u n a r e c ta en e l e sp a c io se d e te rm in a p o r un p u n to y u n a d ire c c ió n , e s m á s d ifíc ild e s c r ib ir un p la n o en e l e s p a c io . Un so lo v e c to r p a r a le lo al p la n o e s in s u f ic ie n te p a rad e te rm in a r la “ d ir e c c ió n ” d e l p lan o , p e ro un v e c to r p e rp e n d ic u la r al p la n o e s p e c ific a p o r
  • 213. 820 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOF IG U RA 6c omp l e to su di rec ción. As í, un plano en el e spa cio se d e te rmin a por un p unto PQ(Xo, y©, -o)en e l plano y un ve c tor n que e s or togona l al plano. Este ve c tor or to g o n a l n se l lama v ec­tornormal. S e a P(x, y, z) un p unto arbitrar io en el plano, y sean r0 y r los ve ctores dep os ic ión d e P0 y P. E n to n c e s e l ve c tor r — r« se repre senta p o r P o r . (Véase la figura 6.) Elve ctor n o rma l n e s or to g o n a l a todo ve ctor en el plano dado. En particular, n e s or togona la r — r0 y, p o r tanto, se tienen * {r - r0) = Oq u e se puede re esc r ibir c omo0 n • r = n • r0La e cu a c ió n 5 o la e cu a c ió n 6 re ciben el n omb re de ecuación vectorial del plano.Pa ra o b ten e r u n a e cu a c ió n e s c a la r de l plano, se e sc r ib e n = (a, b, c), r = {x., y, z) yr0 = y0. ¿o)- En tonc e s la e cu a c ió n vectorial [3] se t ra n s fo rma enb , c ) ■ ( x - Xo, y — yo, z - z0> = 0o bien,0 a (x — xo) + b (y — yo) + c{z — zo) = 0La e cu a c ió n 7 es la ecua ción escalar del plano que pasa por P0(-Xo* y0, z0) con vectornormal n = (a, b , c).| En cuentre u n a e cu a c ió n de l plano q u e p a sa p o r el p unto (2, 4, — I ) conve ctor n o rma l n = (2, 3, 4). De te rmin e las inte r se cc iones c o n los e je s y b o sq u e je elplano.SOLUCIÓN Si se e sc r ibe a = 2, b = 3, c = 4, Ab = 2, y0 = 4 y z0 = ~ 1 en la e cu a c ió n 7,se ve q u e u n a e cu a c ió n de l plano e so bien,2(x - 2) + 3(y - 4) + 4 (z + 1) = 02 x + 3y + 4 z = 12Pa ra h a l la r la inte rse cc ión c o n el eje x, se establece q u e y = z = 0 en e s ta e cu a c ió n y seobtiene x = 6. De ma n e r a similar, la inte rse cc ión con el eje y es 4 y la inte rse cc ión conel eje z e s 3. Es to pe rmite b o sq u e ja r la porc ión del p lan o q u e ya ce en e l p r ime r octante(vé ase la figura 7).Al reunir los té rmin o s en la e cu a c ió n 7 c om o se hizo en el e jemp lo 4, se puede r e e s c r i ­bir la e cu a c ió n de un plano c omo0 ax + by cz + d = 0d o n d e d = — («Ab + by0 + cz0). L a e c u a c ió n 8 se l lam a e cu a c ión lin ea l en x, y y z. Ala inve r s a , se p u e d e d em o s t r a r q u e si a, b y c no son 0, e n to n c e s la e c u a c ió n line a l [§]r e p r e s e n t a un p la n o c o n v e c to r n o rm a l (a, b, c). (Véase e l e je r c i c io 81.)
  • 214. SECCIÓN 12.5 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 821En la figura 8 se muestra la porción del plano en E n c u e n tre la e c u a c ió n d e l p lan o q u e p a s a p o r los p u n to s P( 1, 3 , 2 ) ,el ejemplo 5 encerrada por el triángulo PQR. £ ( 3 , — 1 6 ) y R( 5 , 2 , O)SOLUCIÓN L o s v e c to re s a y b q u e c o rre sp o n d e n a P Q y P R sona = < 2 , - 4 , 4 ) b = ( 4 , - 1 , - 2 )P u e sto q u e a y b e s tá n en e l p lan o , su p ro d u c to c ru z a X b e s o rto g o n a l al p la n o y sep u e d e tom a r c om o e l v e c to r n o rm a l. A sí,/?(5,2,0)FIGURA 8n = a X b = = 1 2 i + 2 0 j + 1 4 kEn la figura 10 se muestran los planosdel ejemplo 7 y su recta d i intersección L.F IGURA 10Co n e l p u n to /^ ( l, 3, 2 ) y e l v e c to r n o rm a l n. la e c u a c ió n d e l p la n o e s2 { x - 1) + 2 0 (y - 3 ) + 14(z - 2 ) = Oo b ie n , 6a + lOy + 7 z = 50 M IE n c u e n tre e l p u n to en e l c u a l la re c ta c o n e c u a c io n e s p a ram é tric a sE JEM P LO 6x = 2 + 3/, y = —4 t, z = 5 + t in te rs e c a al p la n o 4 x + 5y — 2z = 18.SOLUCIÓN S e su s titu y en las e x p re s io n e s p a ra x , y y z d e las e c u a c io n e s p a ram é tric a s en lae c u a c ió n d e l p lan o :4 (2 + 37) + 5( — 4 0 - 2 (5 + 0 = 18E sto se sim p lific a a — 10/ = 2 0 , a s í q u e t = — 2. P o r tan to , e l p u n to d e in te rse c c ió n o c u rrec u a n d o e l v a lo r d e l p a rám e tro e s t = — 2. E n to n c e s x = 2 + 3 (— 2 ) = —4,V = — 4 ( — 2 ) = 8, z = 5 — 2 = 3 y, p o r c o n s ig u ie n te , e l p u n to d e in te rs e c c ió n e s( - 4 , 8, 3). MD o s p la n o s son p a r a l e lo s si su s v e c to re s n o rm a le s son p a ra le lo s. P o r e jem p lo , lo s p la ­no s x + 2 y ~ 3z = 4 y 2 a + 4 y — 6z = 3 son p a ra le lo s p o rq u e su s v e c to re s n o rm a le s sonni = 0 , 2, —3) y n 2 = (2, 4 , —6} y n 2 = 2n,. Si d o s p la n o s no son p a ra le lo s , e n to n c e s sein te rs e c a n en u n a r e c ta y e l á n g u lo e n tre los d o s p la n o s se d e fin e c om o e l á n g u lo ag u d oe n tre su s v e c to re s n o rm a le s (v é a se e l á n g u lo 0 en la fig u ra 9).□ EJEMPLO 7a) E n c u e n tre e l á n g u lo e n tre los p la n o s x + y + z = 1 y x — 2y + 3z = 1.b ) O b te n g a las e c u a c io n e s sim é tric a s p a ra la re c ta d e in te rs e c c ió n L d e e sto s d o s p lan o s.SOLUCIÓNa) L o s v e c to re s n o rm a le s d e e s to s p la n o s sonn , = <1, 1, 1) n . = < 1 , - 2 , 3>y, p o r ta n to , si d e s e l á n g u lo e n tre lo s p lan o s , e l c o ro la r io 12 .3 .6 d atí - »■ ’ n - _ 1 ( 0 + l ( ~ - ) + 1 ( 3 ) _______ 2 _¡n111 r>21 Vi + 1 + I v i + 4 + 9 ¿ 4 2b ) P rim e ro se n e c e s ita h a lla r un p u n to sobre L. P o r e jem p lo , se p u e d e h a lla r e l p u n tod o n d e la re c ta in te rs e c a al p la n o x y p o n ien d o z = 0 en las e c u a c io n e s d e am b o s p lan o s.jc + y + z - 1 x — 2 y+ 3z = 1
  • 215. 822 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOOtra forma de encontrar la recta de intersecciónes resolver las ecuaciones de los planos parados de las variables en términos de la tercera,que puede ser tomada como el parámetro.F IG U R A 11En la figura 11 se muestra cómo a recta L delejemplo 7 se puede considerar también como larecta de intersección de los planos deducidosde sus ecuaciones simétricas.F IGURA 12Es to d a las e cu a c io n e s x + y = 1 y x — 2 y = 1, c u y a soluc ión e s A '= 1, y = O. Portanto, e l p unto (1, O, O) pe r te n e c e a la re c ta L.A h o r a se o b se rv a que , p u e s to que L ya ce en ambos planos , e s p e rp en d icu la r a los dosvectores normales . As í, un ve ctor v pa ra le lo a L e stá d a d o p o r e l p ro d u c to cruzv — n i X i i : “j k1 1-2 35 i — 2 j — 3 ky, p o r tanto, las e c u a c io n e s s imétr ica s de L se pueden e s c r ib i r c omox — 1 V z—NOTA Pu e s to q u e u n a e c u a c ió n line a l e n a , y y z r e p r e s e n t a un p la n o y d o s p la n o sn o p a r a l e lo s se c o r ta n en u n a re c ta , se d e d u c e q u e d o s e c u a c io n e s l in e a le s p u e d e nr e p r e s e n t a r u n a re c ta . L o s p u n to s ( a , y, z) q u e s a t is fa c en a xx + b y + CZ 4- d = O yciix + biy + ciz + di = O están en ambos planos y, por tanto, el par d e e cua cione s linealesre p re se n ta la re cta de inte rse cc ión d e los planos (si no son paralelos ) . En el e jemp lo 7, larecta L se dio c omo la recta de intersección de los planos x + y + z = I y x — 2y + 3z = 1.Las e cu a c io n e s s imé t r ic a s q u e se e n co n t ra ro n para L se podr ían e sc r ibi r c omox - 1 y r y _5 - 2 y - 2 - 3que es de nuevo un par d e ecuaciones lineales, que exhiben a L c omo la recta d e intersecciónde los planos (a- — 1 ) / 5 = y (—2) y y / ( — 2) = z / ( — 3). (Véase la figura 11.)En genera l, c u a n d o se e sc r iben las e cu a c io n e s d e u n a re cta en la fo rma s imét r ic a-y ~ -vq _ y - yo _ - - - (>a b ese puede c o n s id e ra r a la re cta c om o la intersección de los d o s planos.y — .vq y — y0 ^ y - y0 z - z0a b y b cEn cuentre u n a fó rmu la p a ra la dis tanc ia D de un p u n to Pi ( a i , yi, Zi) al planoa x + by + cz + d = Q.SOLUCIÓN S e a Po(xó, yo, ro) c u a lq u ie r p unto en el plano d a d o y sea b el vectorc o r re sp o n d ie n te a p Tt i . E n tonc e sb = (x i — a'o, yi — y0, - i — r0)De la figura 12 se puede ver q u e la d i s ta n c ia D de Px al plano es igual al valor absolutode la proye cc ión e sc alar d e b sobre el vector normal n = (a, by c). (Véase la sección 12.3.)As í,D = i c om p n b i = 111 * b IMa(xj — Aq) + b(y - y0) + t(z i - z0) |V * 2 + * 2 + c*___ | (flAi + by + cz i) - [axp + by0 + cz0) |VV + b 2 c2EJEM PLO 8
  • 216. SECCIÓN 12.5 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 823Pue s to q u e P0 ya ce en e l plano, sus c o o rd en a d a s satis facen la e cu a c ió n d e l plano y, portanto, se tiene a x0 + by0 + cz0 + d = O. Así, la fó rmu la p a ra D se puede e s c r ib i r c omoacix + by i + cz + d |yja1 + b 2 + c 2En cuentre la di s tan c ia entre los planos pa ralelos 10* + 2y — 2 r = 5 yEJEM PLO 95x + y - z = 1.SOLUCIÓN Pr ime ro n o tamo s q u e los planos son pa ralelos p orque sus ve ctores n o rma le s(10, 2, —2) y {5, 1, — l ) s o n paralelos. Para hallar la dis tanc ia D entre los planos, se eligec u a lq u ie r p unto sobre un plano y se c a lc u la su d i s ta n c ia al otro plano. En particular, sise e sc r ibe y = z = O e n la e cu a c ió n de l pr ime r plano, se obtiene 10* = 5 y, p o r tanto,(y, 0, O) e s un p unto en e s te plano. Por la fórmula 9, la d i s ta n c ia entre (y, 0, o) y el plano5 * + y — z — 1 = 0 esD =N i ) + 1 ( 0 ) - 1 ( 0 ) - l | V 3%/s2 + i 2 + ( - i y 3 V3A s í q u e la di s tan c ia entre los planos e s ^ 3 / 6 ,E JEM P LO 10 En el e jemp lo 3 se d emo s t ró cue las rectasL i: * = 1 - » - / y = - 2 + 3/ z = 4 - tL 2: x = 2 s y = 3 + s z = — 3 + 45son oblicuas. En cuentre la d i s tan c ia entre ellas.SOLUCIÓN Pue s to q u e las d o s re ctas L , y L 2 son oblicua s , se puede c o n s id e r a r q u e ya cenen d os planos pa ralelos P t y P2. L a d i s tan c ia entre L x y L 2 es la m i sma q u e la d i s tanc iaentre P x y P2, q u e se puede c a lcu la r c om o en e l e jemp lo 9. El ve ctor n o rma l c omú n pa raamb o s planos debe se r or to g o n a l a v, = <1, 3, — 1) (la d i re c c ió n de L i) y v 2 = (2, 1, 4 )(la d i re c c ió n de L 2). A s í q u e un ve ctor norma l esn = V i X V2 =i j k1 3 - 12 1 4= 13i - 6 j - 5 kSi se pone s = 0 en las e cu a c io n e s de L 2, se obtiene el p unto (0, 3, —3) sobre L 2 y, portanto, u n a e cu a c ió n pa ra P2 e s13 (* - 0) - 6 (y - 3) - 5 ( r + 3) = 0 o bien 13* - 6y ~ 5z + 3 = 0Si a h o ra se po n e t = 0 en las e c u a c io n e s pa ra L i, se obt ie n e el p u n to (1, —2, 4)so b re P. As í, la d i s t a n c i a e n t re L i y L 2 e s la m i sm a q u e la d i s t a n c i a de (1, —2, 4) a13* — 6y — 5z + 3 = 0. Por la fó rmu la 9, e s ta d i s t a n c i a es
  • 217. 8 2 4 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOEjercicios1. Determine si cada enunciado es verdadero o falso.a) Dos rectas paralelas a una tercera recta son paralelas.b) Dos rectas perpendiculares a una tercera recta son paralelas.c) Dos planos paralelos a un tercer plano son paralelos.d) Dos planos perpendiculares a un tercer plano son paralelos.e) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas.0 Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas.g) Dos planos paralelos a una recta son paralelos.h) Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos.i) Dos planos se cortan o son paralelos,j) Dos rectas se cortan o son paralelas.k) Un plano y una recta se cortan o son paralelos.2-5 Encuentre una ecuación vectorial y ecuaciones paraniétricaspara la recta.2. La recta que pasa por el punto (6, —5, 2) y es paralela alvector ( l , 3.3. La recta que pasa por el punto (2, 2.4, 3.5) y es paralela alvector 3i + 2 j — k4 . La recta que pasa por el punto (0, 14, — 10) y es paralela a larecta x = — 1 + 2/, y = 6 — 3/, z = 3 + 9 t5. La recta que pasa por el punto (1, 0, 6) y es perpendicular alplano x + 3y + z = 56-12 Encuentre las ecuaciones paraniétricas y las ecuacionessimétricas para la recta.6. La recta que pasa por el origen y el punto (4, 3 , - 1 )7. La recta por los puntos (o, 4, 1) y (2, 1, —3)8. La recta por los puntos (1.0, 2.4, 4.6) y (2.6, 1.2, 0.3)9. La recta por los puntos ( — 8, I, 4) y (3, —2, 4)1 0 . La recta por (2, I, 0) y perpendicular a i + j y j + k11. La recta por (1, — 1, 1 y paralela a la rectaA + 2 = j y = " - 3.1 2 . La recta de intersección de los planos x + 2y + 3z = 1 yx - y + : = 11 3 . La recta que pasa por ■ —4, — 6 , 1 ) y ( — 2, 0, —3), ¿es paralelaa la recta que pasa por (10, 18, 4) y (5, 3, 14)?14 . La recta que pasa por — 2, 4, 0) y ( 1, 1, 1) , ¿es perpendicular ala recta que pasa por (2, 3, 4) y (3, — 1, —8)?1 5 . a) Encuentre ecuaciones simétricas para la recta que pasapor el punto (1, —5, 6) y e s paralela al vector< - 1 ,2 , —3).b) Encuentre los puntos en los que la recta requerida en elinciso a) corta a los planos coordenados.12.516. a) Encuentre las ecuaciones paraniétricas de la recta que pasapor (2, 4, 6) que es perpendicular al plano x — y + 3z = 7.b) ¿En qué puntos esta recta corta a los planos coordenados?1 7 . Obtenga una ecuación vectorial para el segmento de recta de(2, - 1 , 4 ) a (4 ,6 , I).18 . Encuentre las ecuaciones paraniétricas del segmento de recta de(10, 3, 1) a (5, 6, - 3 ) .19-22 Determine si las rectas Ly L 2 son paralelas, oblicuas o secortan. Si se intersecan, determine el punto de intersección.a - 3 + 2f, y - 4 — f, z - I + 3/x = 1 + 4 s, y = 3 — 2 5, z = 4 + 5sx - 5 - I2f, y - 3 + 9/, z - I - 3/.v = 3 + 8 s, y = - 65, z = 7 + 25v - 2 _ y - 3 - I1 ~ - 2 ~~ - 3.y - 3 _ y + 4 -- - 21 _ 3 ~ - 7x _ y - 1 _ z - 21 ” - 1 ~~ 3A- - 2 _ y - 3 _ z2 ” - 2 “ 719 . L.Lr.2 0 . LL 2:2 1 . L.L 2:2 2 . L.23-40 Encuentre una ecuación del plano.2 3 . El plano que pasa por el origen y es perpendicular al vector< 1 , - 2 , 5)2 4 . El plano que pasa por el punto (5, 3, 5) y con vector normal2i + j - k25. El plano que pasa por el punto (—1,4, 3) y con vector normali + 4 j + k2 6 . El plano que pasa por el punto (2, 0, 1) y perpendicular a larecta x = 3t, y = 2 — /, z = 3 + 4 12 7 . El plano que pasa por el punto ( 1 , — 1, — 1 ) y es paralelo alplano 5.v — y — z = 62 8 . El plano que pasa por el punto ( 2 , 4, 6) y es paralelo al planoz = x + y2 9 . El plano que pasa por el punto (1 ,4 , y) y es paralelo al plano.r + y + z = 030. El plano que contiene la recta .y = 1 + t, y = 2 — t, z = 4 — 3/y es paralelo al plano 5a- + 2y + z = 13 1 . El plano que pasa por los puntos (0, I, 1), (1, 0, 1) y (1, 1 ,0 )3 2 . El plano que pasa por el origen y los puntos (2, —4, 6)y (5, 1,3)1. Tareas sugeridas disponioles en stew artcalculus.com
  • 218. SECCIÓN 12.5 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 82533. El plano que pasa por los puntos ( 3 , — 1, 2 ) , (8, 2, 4) y( - 1 , - 2 , - 3 )34. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3 ) y contiene a la recta.v = 3 t ,y = 1 + t, z = 2 - t35. El plano que pasa por el punto (6, 0, —2) y contiene a la rectaa = 4 — 2ty y = 3 + 5ty r = 7 + 4 /36. El plano que pasa por el punto ( I , —I, l ) y contiene a la rectacon ecuaciones simétricas x = 2y = 3z37. El plano que pasa por el punto (—1,2, 1) y contiene a la rectade intersección de los planos x + y — z = 2 y 2.v — y + 3 r = 138. El plano que pasa por los puntos (0, —2, 5) y (—1 ,3 , 1) y esperpendicular al plano 2r — 5x 4- 4y39. El plano que pasa por el punto ( 1 ,5 , l ) y es perpendicular a losplanos 2x + y — 2z = 2 y .v + 3 z = 440. El plano que pasa a través de la recta de intersección de losplanos x — z = 1 y y + 2z = 3 y e s perpendicular al planoa + y - 2z = 1.41-44 Utilice intersecciones con los ejes para esbozar el plano.4 1 . 2 a + 5 y + z = 10 4 2 . 3.v + y + 2z = 64 3 . 6 a- — 3 y + 4 z = 6 4 4 . 6.v + 5y — 3z = 1545-47 Encuentre el punto en el que la recta interseca al plano dado.4 5 . .v = 3 — f, y = 2 + /, z = 5f, a - y + 2z = 94 6 . a- = I + 2t, y = 4/, z = 2 - 7>ty x + 2y - z + 1 = 047. x — y 1 = 2z; 4.v - y + 3 r = 84 8 . 6Dónde la recta que pasa por (1, 0, 1) y (4, —2, 2) corta alplano a - + y + z = 6?4 9 . Encuentre los números directores para la recta de intersecciónde los planos x + y + z — 1 y a + z = 0.5 0 . Encuentre el coseno del ángulo entre los planos x + y + z = 0y a + 2y + 3z = 1.51-56 Determine si los planos son paralelos, perpendiculares oninguno. Si no son paralelos ni perpendiculares encuentre el ánguloentre ellos.5 1 . .v + 4y - 3z = 1, —3a + 6y + 7z = 05 2 . 2z = 4y - .v, 3x - 12y + 6z = 153. x + y + z = I, x - y + z = 15 4 . 2a - — 3y + 4z = 5 , x + 6y + 4z = 35 5 . a- = 4y - 2z, 8y = 1 + 2.v + 4z5 6 . a- + 2y + 2z = I, 2.v - y + 2z = 157-58 a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta deintersección de lo» planos y b) determine el ángulo entre losplanos.5 7 . .r + y + z = I, a + 2y + 2z = 15 8 . 3a - 2y + z = 1, 2a + y - 3z = 359-60 Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta deintersección de lo» planos.5 9 . 5a - 2 y - 2 z = 1, 4a - + y + z = 66 0 . z = 2a - y - 5 , z = 4a + 3 y - 56 1 . Encuentre la ecuación para el plano que consta de los puntosque son equidistantes de los puntos ( 1 , 0 , —2 ) y ( 3 , 4 , 0 ) .6 2 . Obtenga una ecuación para el plano que consta de los puntosque son equidistantes de los puntos ( 2 , 5 , 5 ) y ( — 6 , 3 , 1).6 3 . Halle una ecuación del plano con intersección a del eje a,intersección b del eje y e intersección c del eje z.6 4 . a) Encuentre el punto en el que se cortan las rectas dadas:r - < 1 , 1 ,0 ) + /< 1, —1 ,2 )r - < 2 , 0 , 2 ) + 5 < - l , 1 , 0 )b) Encuentre una ecuación del plano que contenga estasrectas.6 5 . Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta quepasa por el punto (0, 1 , 2) que es paralela al planoA + y + z = 2 y perpendicular a la recta a = I + /,y = 1 - t , z = 2t.66. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta que pasapor el punto (0, 1, 2) y es perpendicular a la recta a = 1 + t,y = 1 — í, z = 2 t y corta a esta recta.6 7 . ¿Cuáles de los siguientes cuatro planos son paralelos?¿Algunos de ellos son idénticos?P i: 3 a + 6y - 3 z = 3 P 2: 4 a - I 2 y + 8 z = 5Py 9 y = 1 + 3 a + 6z Py z — a + 2 y - 268. ¿Cuáles de las siguientes cuatro rectas son paralelas? ¿Algunasde ellas son idénticas?L i: a = I + 6 Z, y = 1 — 3 f , z = 1 2 / + 5L 2: x = 1 + 2ty y = t, z = 1 + 4 /Ly. 2 a — 2 = 4 — 4 y = z + 1L a r = <3, 1 , 5 ) + t ( 4 , 2 , 8>69-70 Use la fórmula del ejercicio 45 en la sección 1 2 .4 para hallarla distancia del punto a la recta dada.6 9 . ( 4 , 1, - 2 ) ; a = I + t, y = 3 - 2 / , z = 4 - 3 /7 0 . ( 0 , 1 , 3 ) ; a = 2 1, y = 6 — 2t, z = 3 + t
  • 219. 826 CAPITULO 12 VE:TORES Y GEOMETRIA DEL ESPACIO71-72 Encuentre la distancia del punto al plano dado.71. (1, - 2 , 4 ) , 3 .v+ 2 y +- 6r = 572. (-6, 3, 5), x - 2y - 4z = 873-74 Determine la distancia entre los planos paralelos dados.73. 2a- - 3y + z = 4, 4.t - 6y + 2: = 374. 6_- = 4y - 2a-, 9 r = 1 - 3 a + 6y7 5 . Demuestre que la distcncia entre los planos paralelosax + by + cz + d = D y a x + by + c z + d i = 0 esD = d x - d 1 y ja - + ¿>2 + c 27 6 . Encuentre las ecuaciones de los planos paralelos alplano a- + 2y — 2z = 1 y están a dos unidades de él.7 7 . Demuestre que las rectas con ecuaciones simétricasx = y = z y x + I = y /2 = r /3 son oblicuas, y encuentrela distancia entre estas rectas.7 8 . Encuentre la distancia entre las rectas oblicuas con ecuacionesparamétricas a = 1 + t, y = I + 6/, z = 2 / y a- = 1 + 2s,y = 5 + I5 j, z = - 2 + 6s.7 9 . Sea Li l a recta que pasa por el origen y el punto (2, 0, — 1). SeaLi l a recta que pase por los puntos (1, — 1, 1) y (4, 1 ,3).Encuentre la distancia entre L | y L 2.80. Sea L i la recta que pasa por los puntos (1, 2, 6) y (2, 4, 8). SeaL 2 la recta de intersección de los planos 7Tj y ir*, donde 7T| esel plano a- — y + 2: + 1 = 0 y tt* es el plano que pasa porlos puntos (3, 2, — 1), (0, 0, 1) y ( 1 ,2 , 1). Calcule la distanciaentre L i y L 2.81. Si a y b y c no son 0, demuestre que la ecuacióna x + by + cz + d = 0 representa un plano y (a, b, c) es unv e c l o i u o im a l al p l a n o.Sugerencia: suponga que a ^ 0 y reescriba la ecuación en laforma(*) + b (y — 0) + c (: — 0 ) = 08 2 . Dé una descripción geométrica de cada familia de planos,a) x + y + z = c b) x + y + c z = 1c) y eos 6 + z sen 9 = 1P R O Y E C T O DE L A D E R A PONIENDO TRES DIMENSIONES EN PERSPECTIVALos programadores de gráficas por computadora enfrentan el mismo problema que los grandespintores del pasado: cómo representar una escena tridimensional como una imagen plana en unplano bidimensional (una pantalla o un lienzo). Para crear la ilusión de perspectiva, en la que losobjetos más cercanos se ven más grandes que los que están lejos, los objetos tridimensionales enla memoria de la computadora son proyectados sobre una pantalla rectangular desde un puntode visión donde se localiza el ojo o cámara. El volumen de visión, la porción del espacio que serávisible, es la región contenida por los cuatro planos que pasan por el punto de visión y una aristade la pantalla. Si el objeto en la escena se extiende más allá de estos cuatro planos, se debe truncarantes de enviar a la pantalla los datos de píxeles. Por tanto, estos planos se llaman planos detruncamiento.1. Suponga que la pantalla se representa mediante un rectángulo en el plano y z con vértices(0, ± 4 0 0 , 0) y (0, ± 4 0 0 , 600), y la cámara se coloca en (1000, 0, 0). Una recta L en laescena pasa por los puntos (230, —285, 102) y (860, 105, 264). ¿En qué puntos debeser recortada L por los planos de truncamiento?2 . Si el segmento de recta recortada se proyecta sobre la pantalla, identifique el segmento derecta resultante.3 . Use ecuaciones paramétricas para trazar las aris:as de la pantalla, el segmento de rectarecortada y su proyección sobre la pantalla. Después sume las rectas de visión que unenal punto de visión con cada extremo de los segmentos recortados para comprobar que laproyección e s correcta.4 . Un rectángulo con vértices (621, — 147, 206), (563, 31, 242), (657, — 1 11, 86) y(599, 67, 122) se agrega a la escena. La recta L corta a este rectángulo. Para hacer queel rectángulo aparezca opaco, un programador puede usar la eliminación de rectas ocultasque remueve porciones de objetos que están detrás de otros objetos. Identifique la porciónde L que se debe eliminar.
  • 220. SECCIÓN 12.6 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS 827Cilindros y superficies cuádricasYa se h a n c o n s id e ra d o d o s tipos e sp e c ia le s d e superficies: planos (en la sección 12.5) ye s f e r a s (en la s e c c ió n 12.1). A q u í se inve s tigan ot ros d o s t ip o s de supe r f icies : c i l in d ro sy superficies cuádr ica s .A fin de b o sq u e ja r la gráfica de u n a superficie, e s útil d e te rmin a r las curva s de in te r s e c ­ción de la superficie con planos pa ra le los a los planos coo rd en a d o s . Es tas c u rv a s se llamantra za s (o se c ciones transve r sa le s ) d e la superficie.CilindrosUn cilindro e s u n a superficie q u e cons i s te de todas las líne a s re ctas ( l lamad a s g en era tri­ces)q u e son pa ra le la s a u n a re cta d a d a y pasan p o r u n a c u rv a p la n a dada.F IG U RA 1La superficie r = x 1 es uncilindro parabólico.□ EJEM PLO 1 Bosque je la gráfica de la superficie zSOLUCIÓN Ob s e rv e que la e cu a c ió n de la gráfica z = a 2, no involuc ra a la y . Estos ignifica q u e cu a lq u ie r plano vertical con e cua c ión y = k (pa ra le lo al plano xz) c o r ta a lagráfica en u n a c u rv a c o n e cu a c ió n z = x 2. As í q u e e s ta s traz as vertica les son parábolas .En la figura 1 se mu e s t ra c óm o se fo rma la gráfica al toma r la p a ráb o la z = x 2 en elp lan o xz y mo v e r la en la di re c c ión d e l eje y. La gráfica e s u n a superficie, l lamadacilindro parabólico, h e c h a d e un n úme ro infinito de co p ia s d e sp la z a d a s de la m i smapa rábola. A q u í las gene ra tr ic e s de l c il indro son pa ra le la s al eje y.Se o b se rv a q u e la var iable y falta en la e cua c ión d e l c il in d ro de l e jemp lo 1. Es to esc a ra c te r í s tico de u n a superficie c u y a s generatr ices son pa ralela s a u n o de los ejesc o o rd en a d o s . Si u n a d e las variable s a; y o z falta en la e cu a c ió n de u n a superficie,e n to n c e s la superficie e s un cilindro.I Identifique y b o sq u e je las superficies,a) x 2 + y 2 = 1 b) y 2 + z 2SOLUCIONa) Pue s to q u e z falta en las e c u a c io n e s x 2 + y 2 = 1, z = k r e p re s e n ta u n a c irc u n fe re n c iad e radio 1 en e l p lan o z = k, la superficie x 2 + y 2 = I e s un c il in d ro c ircula r c u y o eje ese l e je 7 (v é a se la fig u ra 2 ) A q u í las d ire c tric e s son re c ta s v e rtic a le sb) En este c a s o falta x y la superficie e s un cilindro c i rc u la r c u y o eje es e l eje x (vé ase lafigura 3). Se obtiene al toma r la c i rcu n fe ren c ia y 2 + z 2 = 1, x = 0 en el p lan o yz ymo v e r lo pa ralelo al eje x. ■ ■E ) NOTA C u a n d o se t r a t a c o n supe r f ic ie s , e s imp o r ta n te r e c o n o c e r q u e u n a e c u a c i ó n c omox 2 + y 2 = 1 representa un cilindro y no u n a circunferencia. La t raza de l c ilindro x 2 + y 2 = 1en el p lan o xy e s la c i rc u n fe re n c ia con e cua c ione s x 2 + y 2 = 1, z = 0.FIGURA 3 v2 + "S u pe r f ic ie s cu ádr ica sUn a superficie cuádrica e s la gráfica de una e cu a c ió n de seg u n d o g rado en tres variablesx, y y z. La e cu a c ió n má s genera l esA x 2 + B y 2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0d o n d e A, C, . . . , 7 son co n s tan te s , pe ro p o r tras la ción y rotac ión se puede llevar a u n a delas d o s forma s e s tán d a rA x 2 + B y 2 + C z 2 + 7 = 0, o bien, A x 2 + B y 2 + Iz = 0
  • 221. 828 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO(O, a 2)F IG U R A 4*, vLa elipsoide x~ + y - + — = 1F IG U R A 5La superficie z = 4.v2 + y2 es unparaboloide elíptico. Las trazashorizontales son elipses,las trazas verticales son parábolas.Las superficies c u á d r ic a s son las c o n tra p a r te s en tres d ime n s io n e s d e las se c c io n e s c ónic a sen e l plano. (Véase la se c ción 10.5 pa ra un repaso d e las se c ciones cónic a s .)Use traz as p a ra b o sq u e ja r la superficie c u á d r ic a con e cu a c ió nEJEM PLO 3SOLUCIÓN Al sus tituir z = 0, se e n c u e n t r a que la t raz a en e l plano Ay e s a 2 + y 2/ 9 = 1,q u e se re co n o c e corno e cu a c ió n de u n a e lipse . En genera l, la t raz a hor izonta l en elp lan o z = k esq u e es u n a elipse , s iempre q u e k 2 < 4, e s decir, - 2 < k < 2.De m a n e r a similar, las trazas vertica les son también elipses:2 2— + — = 1 - k 2 x = k (si - 1 < k < 1)9 4 v 'z2 k 2x 2 + — = 1 v — k (si —3 < k < 3)4 9 V 'En la figura 4 se i lus tra c ómo con d ib u ja r alguna s traz as se in d ic a la fo rma d e lasuperficie. Se l lama elipsoide p orque toda s sus trazas son e lipses. Obs e rve q u e ess imé t r ic a re spe c to a c a d a p lan o co o rd en a d o ; é s ta e s u n a reflexión de l h e c h o deq u e su e cu a c ió n tiene q u e ver sólo c o n p o tenc ia s pa res de a, y y z.Use traz as p a ra b o sq u e ja r la superficie z = 4 x 2 + y 2.EJEM PLO 4SOLUCIÓN Si se e sc r ibe .v = 0, se obtiene z = y 2, d e mo d o q u e el p lan o yz c o r ta a lasuperficie en u n a parábola. Si se e sc r ibe x = k (una co n s tan te ) , se obtiene z = y 2 + 4 k 2.Es to s ignifica que si se c o r ta a la gráfica en se c ciones c o n c u a lq u ie r p lan o pa ralelo alp lan o yz, se obt iene u n a p a ráb o la q u e abre h a c ia arriba. De m a n e r a similar, si y = k,la t raz a e s z = 4 a*2 + k 2, q u e e s de nuevo u n a pa rábola q u e abre h a c ia arriba. Si see sc r ibe z = k, se obtienen las traz as h or izonta le s 4 a 2 + y 2 = A q u e se re co n o c en c omou n a familia d e e lipses. Al c o n o c e r las forma s d e las trazas , se puede b o sq u e ja r la gráficade la figura 5. C omo re sul tado de las traz as elípticas y p a raból ic a s , la superficie c u á d r ic az = 4 a 2 + y 2 se l lama paraboloide elíptico.
  • 222. SECCIÓN 12.6 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS 829B o sq u e je la su p e rfic ie z = y 2 — x 2.EJEMPLO 5SOLUCIÓN L a s tra z a s en lo s p la n o s v e rtic a le s * = k son las p a rá b o la s z = y 2 — k 2, q ueab ren h a c ia a rrib a . L a s tra z a s en y = k son las p a rá b o la s r = — x 2 + k 2, q u e ab ren h a c iaa b a jo . L a s tra z a s h o riz o n ta le s son y 2 — x 2 = k , u n a fam ilia d e h ip é rb o la s . L a fam iliad e tra z a s se d ib u ja en la fig u ra 6, y se m u e s tra c óm o se a p a re c e n las tra z a s c u a n d o sec o lo c a n en sus p la n o s c o rre c to s en la fig u ra 7.F IG U R A 6Las trazas verticales sonparábolas; las trazas horizontalesson hipérbolas. Las trazas semarcan con el valor de k.F IG U R A 7Trazas movidas a susEn la fig u ra 8 se in teg ran las tra z a s d e la figura 7 p a ra fo rm a r la su p e rfic ie z = y 2 — x 2,un paraboloide hiperbólico. O b s e rv e q u e la fo rm a d e la su p e rfic ie c e r c a d e l o rig en sea s em e ja a la d e u n a s illa d e m o n ta r. E s ta su p e rficie se in v e s tig a rá m á s en la se c c ió n 14.7c u a n d o se a n a lic e n los p u n to s silla.F IG U R A 8La superficie z = y 2 — .v2 e s unparaboloide hiperbólico.■> ■>x~ . z~B o sq u e je la s u p e r f i c i e 1- y * = 1.4 4EJEM PLO 6SOLUCIÓN L a tra z a en c u a lq u ie r p la n o h o riz o n ta l r = k e s la e lip s eplanos correctosU Ü f l Module 12.6A se puede investigar cómolas trazas determinan la forma de una superficie.Trazasen .v = k Trazasen ' = k Trazasen
  • 223. 830 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOp e ro las traz as en los planos xz y yz son las hipérbolas4 4 1y = 0r - t " 1x = 0Es ta superficie se l lama hiperboloide de una hoja y se b o sq u e ja en la figura 9. ■ ■La idea de usa r traz as p a ra d ib u ja r u n a superficie se em p l e a en so f twa re de graficacióntr id imen s io n a l p a ra comp u ta d o ra s . En la ma y o r parte de e s ta cla se de sof twa re , las trazasen los planos vertica les x = k y y = k se dibujan para valores ig u a lmen te e sp a c ia d o s de k,y p a r te s de la grá fic a se e l imin a n p o r me d io d e la e l im in a c ió n de líne a s oculta s . En lat a b la 1 se mue s tran las gráficas t raz ada s p o r c omp u t a d o ra de los seis tipos b á s ico s desuperficies cuádricas en forma estándar. Todas las superficies son simétricas respecto al eje z.Si una superficie c u á d r i c a e s simétr ica respecto a un eje diferente, su e cua c ión c amb i a c omoc or re sponde .TA B LA 1 Gráficas de superficies cuádricasSuperficie Ecuación Superficie EcuaciónElipsoide T + -cT = 1Todas las trazas son elipses.Si a = b = c , la elipsoidee s una esfera.Cono a2+l 2Las trazas horizontales sonelipses.Las trazas verticalesen los planos x = k y y = k sonhipérbolas si k # 0 pero sonpares de rectas si k = 0.Paraboloide elípticoC ~ C , 2 + b 2Las trazas horizontales sonelipses.Las trazas verticales sonparábolas.La variable elevada a laprimera potencia indica eleje del paraboloide.Hiperboloide de una hoja ■vLas trazas verticales son elipses.Las trazas verticales sonhipérbolas.El eje de simetría correspondea la variable cuyo coeficientee s negativo.Paraboloide hiperbólico - _ *_ y"c “ « 2 b 2Las trazas horizontales sonhipérbolas.Las trazas verticales sonparábolasSe ilustra el caso donde c < 0.Hiperboloide de dos hoja;x 'a 2 b~ c mLas trazas horizontales en : = kson elipses si k > c o k < —c.Las trazas verticales sonhipérbolas.Los dos signos menos indicandos hojas.
  • 224. SECCIÓN 12.6 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICASl u l f l E n Module 12.6B se puede ver cómocambiara, b y e en la tabla i afecta la formade la superficie cuádrica.| Identifique y b o sq u e je la superficie 4 x 2 — y 2 + 2z 2 + 4 = 0.SOLUCIÓN Div id ie n d o p o r —4, p r ime ro se escribe la e cu a c ió n en la forma estándar:.2 i jv_ _2______ |4 2 “Al c om p a r a r e s ta e c u a c ió n c o n la tab la 1, se ve q u e re p re se n ta un h ip e rb o lo id e de d osh o ja s , la ú n ic a d i fe re n c ia e s q u e en e s te c as e el eje d e l h ipe rboloide e s e l eje y. Lastraz as en los planos xy y yz son las hipérbolasF IG U R A 104.v2 - v2 + 2 " + 4 = 0La superficie no tiene t raz a en e l plano xz, pero las traz as en los planos vertica les y = *p a r a | A> 2 son las e lipse s2 z 2 A 2x + ™ ---------- 1 y - A2 4q u e se p ueden e sc r ibi r c omoA'2- 1 ( H= 1 y = AEs tas traz as se emp le a n p a ra h a c e r el bosque jo d e la figura 10.__E_J_E_M__P_L_O__ 8_ Cla s ifiq u e la supe rficie c u á d r i c a a 2 + 2 z 2 — 6 x — y + 10 = 0.SOLUCIÓN Al c omp le ta r e l c u a d ra d o se reescribe la e c u a c ió n c omo( a - 3 ) 2 + 2 z 2Al c omp a r a r e s ta e c u a c ió n c o n la tab la 1, se ve q u e re p re se n ta un pa rab o lo id e elíptico.Sin em b a rg o , a q u í e l e je d e l p a ra b o lo id e e s p a ra le lo al e je y, y h a sid o d e sp la z a d o dem o d o que su vértice e s el p unto (3, 1, 0). Las traz as en el plano y = A (A > 1) son lase lipse s( a - 3 ) 2 + 2 z 2La tra z a en e l p la n o xy e s la p a rá b o la c o n e cu a c ió n y = 1 + ( a — 3)2, zp a ra b o lo id e se b o s q u e ja en la fig u ra 11.0. ElF IG U R A 11a 2 + 2z r - 6 a - v + 10 = 0
  • 225. 832 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO© DavklFfff h , C c ib eAp lic a c ion e s de supe r fic ie s cuádrica sA su a lre d ed o r puede ha lla r e jemp lo s de superficies cuádr ica s . De h e ch o , e l m u n d o en síe s un buen e jemplo. Aun c u a n d o la Tie r ra se mo d e la p o r lo genera l c omo e s fera , un m o d e ­lomá s p re c i so e s un e lipsoide p orque la rotac ión de nue s t ro plane ta h a c a u s a d o un a p la ­namie n to en los polos. (Véase el e je rc ic io 47.)Los pa rab o lo id e s c ircula re s , o btenidos al girar una p a rá b o la a l rededor d e su eje, se usanp a ra re cole c ta r y reflejar luz, sonido y seña le s de radio y televis ión. En un radiote le scopio,p o r e jemp lo , las seña le s pro v e n ie n te s de e s trellas di s tante s y q u e incidan en el plato sonre flejadas al r e c e p to r s i tuado en e l foco y a h í son amplif ic ada s . (La idea se e x p lic a en elp ro b l ema 2 0 de la p á g in a 271.) El m i smo pr incipio se aplic a en mic ró fo n o s y antenas ded i s c o en fo rma de pa raboloide s .Las torres de enf riamiento pa ra reactores nucleares suelen diseñarse en forma de h ip e rb o ­loidesde u n a h o ja p or razone s de es tabilidad estructural. Se emple an pares de hiperboloidespa ra t ransmitir mo vimiento rotacional entre ejes sesgados. (Los d ientes d e engrana je s son laslíneas gene radoras de los hiperboloides . Véase e l ejercicio 49.)Una antena de disco refleja señales satelitales alfoco de un paraboloide.Los reactores nucleares tienen torres deenfriamiento en forma de hiperboloides.Los hiperboloides producen transmisiónpor engranajes.Ejercicios1. a) ¿Qué representa la ecuación y = x 2 como una curva en IR2?b) ¿Qué representa como una superficie en IR3?c) ¿Qué representa la ecuación z = y 2?2. a) Bosqueje la gráfica de y = e ' como una curva en IR2.b) Bosqueje la gráfica de y = c 'c om o una superficie en R'.c) Describa y bosqueje la superficie z = e y.3-8 Describa y bosqueje 1e superficie.3. x 2 + z 2 = 1 4. 4.r2 + y 2 = 45. z = 1 — y 2 6. y = z 27. x y = 1 8. z = sen y9. a) Encuentre e identifique las trazas de la superficie cuádricax 2 + y 2 — z 2 = I y explique por qué la gráfica se ve comola del hiperboloide de una hoja en la tabla 1.b) Si se cambia la ecuación del inciso a) a .r2 — y 2 + z 2 = 1,¿cómo se afecta la gráfica?c) ¿Qué pasa si se cambia la ecuación del inciso a) a.r2 + y 2 + 2y — z 2 = 0?^ Se requiere calculad o rag ra fic ad o ra o computadora 1. Tareas su g erid asd isp o n ib le sen stewartcalculus.com
  • 226. SECCIÓN 12.6 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS 83310 . a) Encuentre e identifique las trazas de la superficie cuádrica—a 2 — y 2 + z 2 = 1 y explique por qué la gráfica se vecomo la del h perboloide de dos hojas en la tabla 1.b) Si la ecuación del inciso a) se cambia a x 2 — y 2 — z 2 = I,¿qué sucede con la gráfica? Bosqueje la nueva gráfica.11-20 Use trazas para bosquejar e identificar la superficie.11 . a = y 2 4 - 4 z 213 . v 2 = . v 2 + 4 - 215 . - a 2 + 4 y 2 - z 2 = 417 . 3 6 a 2 + y 2 + 3 6 z 2 - 3 619 . v - z 2 - x 21 2 . 9 a 2 — y 2 + z 2 = 014 . 2 5 a 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 0 016 . 4 a 2 + 9 y 2 + r = 018 . 4 a 2 - 1 6 y 2 + z 2 - 1 620. a - v 2 - z 221-28 Relacione la ecuación con su gráfica (marcadas I-VIII). Dérazones para sus elecciones.2 1 . a 2 + 4 y 2 + 9z2 - 12 2 . 9 a 2 + 4 y 2 + z 2 - 12 3 . a 2 - y 2 + z 2 - 12 4 . - a 2 + y 2 - z 2 - 12 5 . y = 2 a 2 + z 22 6 . y 2 = a 2 + 2 r 22 7 . a 2 + 2 z 2 - 12 8 . y - a 2 - z 2IIIII IVVII VIII29-36 R e d u z c a la e c u a c ió n a u n a de la s fo rm a s e s tá n d a r, c la s ifiq u ela s u p e rfic ie y b o sq u é je la .2 9 . y 2 - a 2 + ¿ z : 3 0. 4 a 2 - y + 2 z 2 - 03 1 . a 2 + 2 y - 2 z 2 - 0 3 2. y 2 - a 2 + 4 z 2 + 43 3 . 4 a 2 + y 2 + 4 z 2 - 4 y - 2 4 z + 3 6 - 03 4. 4 y 2 + z 2 - a - 1 6 y - 4 z + 2 0 - 03 5 . a 2 - y 2 + z 2 - 4 a - 2 y - 2 z + 4 - 03 6 . a 2 - y 2 + z2 - 2 a + 2 y + 4 z + 2 - 037 40 Use una computadora con software de graficacióntridimensional para dibujar la superficie. Experimente con losrectángulos de vista y con dominios para las variables hasta queobtenga una bueni panorámica de la superficie.37 .- 4 ay + - = i39 .- 4 a 'y 2 z 2 = 03 8 . v 2 - y 2 - z = 04 0 . a 2 - 6 a + 4 y 2 - = 041. Bosqueje la región acotada por las superficies z = f.x2 + y 2y a 2 + y 2 = 1 para 1 ^ z ^ 2 .42. Bosqueje la región acotada por los paraboloides z = a 2 + y 2y z = 2 - a 2 - y - .43. Encuentre una ecuación para la superficie obtenida al hacergirar la parábola y' = a 2 respecto al eje y.44. Halle una ecuación para la superficie obtenida al rotar la rectaa = 3y respecto al eje a .45. Encuentre una ecuación para la superficie que consta de lospuntos que son equidistantes del punto (— 1, 0, 0) y el planoa = I. Identifique la superficie.46. Obtenga una ecuación para la superficie que consiste de todoslos puntos P para los cuales la distancia de P al eje a es dosveces la distancia de P al plano yz. Identifique la superficie.47. Tradicionalmente, la superficie de la Tierra se ha modeladocomo esfera, pero el Sistema Geodésico Mundial de 1984(WGS-84) emplea un elipsoide como modelo más preciso.Sitúa el centro de nuestro planeta en el origen y el polonorte en el eje z positivo. La distancia del centro a los poloses 6 356.523 km y la distancia a un punto en el ecuador es6378.137.a) Encuentre una ecuación de la superficie terrestre como lautilizada por el WGS-84.b) Las curvas de igual latitud son trazas en los planos z = k.¿Cuál es la forma de estas curvas?c) Los meridianos (curvas de igual longitud) son trazas enplanos de la forma y = mx. ¿Cuál es la forma de estosmeridianos?48. Una torre de enfriamiento para un reactor nuclear ha deconstruirse en forma de hiperboloide de una hoja (vea lafoto en la página 832). El diámetro de la base e s 280 m y el
  • 227. 8 3 4 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIOdiámetro mínimo, 500 m sobre la base, es 200 m. Encuentreuna ecuación para la torre.49. Demuestre que si el punto (a, b y c) yace sobre el paraboloidehiperbólico : = y 2 — x 2y entonces las rectas con ecuacionesparamétricas x = a + t, y = b + t, r = c + 2(b — a )t yx = a + t , y — b — t ,z = c — 2(b + a )t yacen por completosobre este paraboloide. (Esto muestra que el paraboloidehiperbólico es lo que « llama s u p e r f i c i e g e n e r a d a ; esdecir, puede ser generada por el movimiento de una recta. Dehecho, este ejercicio muestra que a través de cada punto sobreel paraboloide hiperbólico hay dos rectas generatrices. Lasúnicas otras superficies cuádricas que son superficies generadasson los cilindros, conos e hiperboloides de una hoja.)50. Demuestre que la curva de intersección de las superficiesx 2 + 2 y 2 - z 2 + 3.V = I y 2a 2 + 4 y 2 - 2 z 2 - 5y = 0 yaceen un plano.r i 51. Grafique las superficies : = a 2 + y 2 y : = 1 — y 2 en unapantalla común con el dominio | a | 1 . 2 , | y | ^ 1.2 y observela curva de intersección de estas superficies. Demuestre que laproyección de esta curva sobre el plano Ay es una elipse.RepasoVerificación de conceptos1. ¿Cuál e s la diferencia entre un vector y un escalar?2. ¿Cómo suma geométricamente dos vectores? ¿Cómo los sumaalgebraicamente?3. Si a e s un vector y e es un escalar, ¿cómo se relaciona c a con ageométricamente? ¿Como determinaría c a en forma algebraica?4. ¿Cómo encuentra el vector de un punto a otro?5. ¿Cómo determina el producto punto a • b de dos vectoressi conoce sus longitudes y el ángulo entre ellos? ¿Qué pasa siconoce sus componentes?6. ¿De qué manera e s útil el producto punto?7. Escriba las expresiones para las proyecciones escalar yvectorial de b sobre a. Ilustre con diagramas.8. ¿Cómo determina el producto cruz a X b de dos vectoressi conoce sus longitudes y el ángulo entre ellos? ¿Qué pasa siconoce sus componentes?9. ¿Cómo es útil el producto cruz?10. a) ¿Cómo encuentra el área del paralelogramo determinado pora y b?b) ¿Cómo obtiene el volumen del paralelepípedo determinadopor a , b y c?11. ¿Cómo encuentra un vector perpendicular a un plano?12. ¿Cómo determina el ángulo entre dos planos que se cortan?13. Escriba una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas ylas ecuaciones simétricas para una recta.14. Escriba una ecuación vectorial y una ecuación escalar para unplano.15. a) ¿Cómo expresa si dos vectores son paralelos?b) ¿Cómo indica si dos vectores son perpendiculares?c) ¿Cómo asegura si dos planos son paralelos?16. a) Describa un método para determinar si tres puntos P. Q y Restán en la misma recta,b) Describa un método para determinar si cuatro puntosP, Q, R y 5 están en el mismo plano.17. a) ¿Cómo obtiene la distancia de un punto a una recta?b) ¿Cómo halla la distancia de un punto a un plano?r ) ¿ C ó m o d e t e rm i n a la d i s t a n c i a e n t r e d o s r e c ta s '*18. ¿Cuáles son las trazas de una superficie? ¿Cómo las obtiene?19. Escriba ecuacionesen forma estándar de los seis tipos desuperficies cuádricas.Examen rápido Verdadero-FalsoDetermine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero,explique por qué. Si es falsc, explique por qué o dé un ejemploque desapruebe al enunciad}.1. Si u = <i/i, 1/2) y v = <01, 02), entonces u • v = (uivi, 1/202)-2. Para vectores cualesquiera u y v en V3y | u + v | = j u | + | v |.3. Para vectores cualesquiera u y v en Vj, | u • v | = | u | | v |.4. Para vectores cualesquiera u y v en V3y | u X v | = | u | | v |.5. Para vectores cualesquiera u y v en V3y u • v = v • u.6. Para vectores cualesquiera u y v en Vj, u X v = v X u.7. Para vectores cualesquiera u y v en Vj, | u X v | = | v X u |.8. Para vectores cualesquiera u y v e n VJy y un escalar k ,k (u • v) = (k u ) • v.9 . Para vectores cualesquiera u y v en V3 y cualquier escalar k yk{u X v) = (Jfcu) X v.10. Para vectores cualesquiera u, v y w en V3y(u + v) X w = u X w + v X w.
  • 228. CAPITULO 12 REPASO 83511. Para vectores cualesquiera u .v y w en V3,u • (v X w) = (u X v) • w12. Para vectores cualesquiera u, v y w en V3,u X (v X w) = (u X v) X w13. Para vectores cualesquiera u y v en Vj, (u X v) • u = 0.14. Para vectores cualesquiera u y v e n Vj, (u + v) X v = u X v.15. El vector (3, — 1, 2) es paralelo al plano 6 a - — 2y + 4z — 1.16. Una ecuación lineal A x + By + Cz + D = 0 representa unarecta en el espacio.17. El conjunto de puntos {(a, y, z ) | x 1 + y 2 = 1} es unacircunferencia.18. En R ' la gráfica de y = .v2e s un paraboloide.19. Si u • v = 0, entonces u = 0 o v = 0.20. Si u X v = 0. entonces u = 0 o v = 0.21. Si u • v = 0 y u X v = 0, entonces u = 0 o v = 0.22. Si u y v están en V3, entonces | u • v | | u | | v |.Ejercicios1. a) Encuentre la ecuación de la esfera que pasa por el punto(6, —2, 3) y tiene centro (—1,2, 1).b) Encuentre la curva en la que esta esfera cruza el plano yz.c) Encuentre el centro y radio de la esferaa-2 + y 2 + z 2 - 8 a - + 2y + 6z + 1 = 02. Copie los vectores de la figura y empléelos para dibujar cadauno de los siguientes vectores.a) a + b b) a c)V —-I a d) 2a + b3. Si u y v son los vectores mostrados en la figura, determineu • v y | u X v |. ¿u X v está dirigido hacia la página o haci:afuera de ésta?4. Calcule la cantidad dada sia = i + j — 2 kb = 3¡ — 2 j + kc = j — 5ka) 2 a + 3 b b) |b |c) a * b d) a X be) | b X c | f ) a • (b X c)g) c X c h) a X (b X c)i) com p a b j ) proja bk) El ángulo entra a y b (con una aproximación hastael grado más próximo)5. Determine los valores de a- tales que los vectores (3, 2, a )y (2.v, 4, .v) son ortogonales.6. Encuentre dos vectores que son ortogonales aj + 2 k e i — 2j + 3 k.7. Suponga que u • (v X w) = 2. Determinea) {u X v ) ♦ w b) u ♦ (w X v)c) v * (u X w) d) {u X v) * v8. Demuestre que si a, b y c están en Vj, entonces(a X b) ♦ [(!» X c) X (c X a)] - [a ♦ (b X c)]29. Determine el ángulo agudo entre dos diagonales de un cubo.10. Dados los puntos .4(1, 0, 1), Z?(2, 3, 0), C (— 1, 1 ,4 ) yD(0, 3, 2), encuentre el volumen del paralelepípedo conaristas adyacentes AB, AC y AD.11. a) Encuentre un vector perpendicular al plano que pasa por lospuntos A( 1, 0, 0), B(2, 0, - 1) y C( 1, 4, 3).b) Determine el área del triángulo ABC.12. Una fuerza constante F = 3 i + 5 j + 10 k mueve un objeto alo largo de un segmento de recta de (1, 0, 2) a (5, 3, 8). Calculeel trabajo hecho si la distancia se mide en metros y la fuerza ennew tons.13. Un bote es jalado hacia la orilla por medio de dos cuerdas,como se ilustra en el diagrama. Si se requiere una fuerza de255 N, determine la magnitud de la fuerza en cada cuerda.14. Encuentre la magnitud del torque respecto a P si se aplica unafuerza de 50 N como se muestra.
  • 229. 836 CAPÍTULO 12 VE:TORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO15-17 Obtenga las ecuaciones paramétricas para la recta.15. La recta que pasa por (4, — I, 2) y (1, 1,5)16. La recta que pasa por '1 ,0 , — 1) y es paralela a la rectat ( v - 4) = {y - r + 217. La recta que pasa por —2, 2, 4) y es perpendicular al plano2 x - y + 5z = 1218-20 Encuentre una ecuación del plano.18. El plano que pasa por (2, 1, 0) y es paralelo a .v + 4y — 3z = 119. El plano que pasa por (3, — 1, 1), (4, 0, 2) y (6, 3, 1)20. El plano que pasa por (1 ,2 , —2) que contiene a la recta x = 2/,y = 3 - t , r = l + 3 /21. Encuentre el punto en el que la recta con ecuacionesparamétricas x = 2 — t, y = 1 + 3t, z = 4 t corta al plano2x - y + z = 2.22. Encuentre la distancia del origen a la recta x = I + /,y = 2 — t, z = — 1 + 2t.2 3 . Determine si las rectas dadas por las ecuaciones simétricas.v — 1 y — 2 z — 32 “ 3 ~~ 4.v + 1 y - 3 z + 5son paralelas, oblicuas o se intersecan.24. a) Demuestre que los planos .v + y — z = 1 y2x — 3y + 4r = 5 no son paralelos ni perpendiculares.b) Encuentre, con una aproximación hasta el grado máspróximo, el ángulo entre estos planos.2 5 . Encuentre la ecuación del plano que pasa por la rectade intersección de los planos x — z = 1 y y + 2z = 3 yperpendicular al plano x + y — 2z = 1.2 6 . a) Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos4(2, 1, 1), * < -1 , - I , 10) y C(1, 3, - 4 ) .b) Encuentre ecuaciones simétricas para la recta que pasa porB y es perpendicular al plano del inciso a).c) Un segundo plano pasa por (2, 0, 4) y tiene vector normal(2, —4, —3). Demuestre que el ángulo agudo entre losplanos es aproximadamente de 43°.d) Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta d eintersección de los dos planos.2 7 . Encuentre la distancia entre los planos 3.v + y — 4z = 2y 3.v + y — 4z = 24.28-36 Identifique y bosqueje la gráfica de cada superficie.2 8 . v - 3 2 9 . * - z3 0 . y — z 2 3 1 . .r: = y 2 + 4 z 23 2 . 4.v - y + 2r - 4 3 3 . - 4 .v : + y 2 - 4z2 - 43 4 . y 2 + r 2 - 1 + a-23 5 . 4.t2 + 4 y 2 - 8y + z2 = 03 6 . v - y2 + z2 - 2y - 4z + 537. Un elipsoide se crea al hacer girar la elipse 4.v2 + y 2 = 16respecto al eje x. Encuentre la ecuación del elipsoide.38. Una superficie consiste de todos los puntos P tales que ladistancia de P al plano y = 1 es el doble de la distancia de P alpunto (0, — 1, 0). Encuentre una ecuación para esta superficiee identifíquela.
  • 230. Problemas adicionales1 mF IG U R A PA R A E L P RO B L EM A 11. Cada arista de una caja cúbica tiene una longitud de 1 m. La caja contiene nueve bolasesféricas con el mismo radio r. El centro de una bola está en el centro del cubo y toca alas otras ocho bolas. Cada una de las otras o c io toca tres lados de la caja. Así, las bolasestán compactadas en la caja. (Véase la figura.) Encuentre r. (Si hay alguna dificultad con esteproblema, lea la estrategia para resolver problemas titulada Use la analogía en la página 75.)2. Sea B una caja sólida con longitud L, ancho 1/ y altura H. Sea 5 el conjunto de los puntos queestán a una distancia de a lo sumo 1 desde algún punto B. Exprese el volumen de 5 en términosde L, W y H.3. Sea L la línea de intersección de los planos cj. + y + r = c y x — cy + cz = — 1, donde c esun número real.a) Encuentre las ecuaciones simétricas para L.b) Cuando varía el número c, la recta L barre una superficie S. Encuentre la ecuación para lacurva o intersección de S con el plano horizontal z — t (la traza de 5 en el plano r = t).c) Encuentre el volumen del sólido acotado por S y los planos : = Oy : = 1.4 . Un avión es capaz de volar a una velocidad de 180 km/h en aire tranquilo. El piloto despegade un aeródromo y se dirige al norte de acuerdo con la brújula del avión. Después de30 minutos de tiempo de vuelo, el piloto nota que, debido al viento, el avión ha viajado enrealidad 80 km a un ángulo de 5o al noreste.a) ¿Cuál es la velocidad del viento?b) ¿En qué dirección se debe dirigir el piloto para llegar al destino pretendido?5. Suponga que V| y v2 son vectores con | V| | = 2, | v2 | = 3 y V| • v2 = 5. SeaV3 ™ projv v 2,i ™ projv V3, Vs ™ projv.V4, y así sucesivamente. Calcule | v„ |.6. Encuentre una ecuación de la mayor esfera que pasa por el punto (—1, 1,4) y es tal que cadauno de los puntos (.v, y, z) dentro de la esfera satisface la condiciónx 2 + y 2 + z 2 < 136 + 2{x + 2 y +- 3z)7. Suponga que un bloque de masa m se coloca sobre un plano inclinado, como se muestra enla figura. El descenso del bloque por el plano es desacelerado por la fricción; si 0 no esdemasiado grande, la fricción evitará que el bloque se mueva del todo. Las fuerzas que actúansobre el bloque son el peso W, donde | W | = mg (g es la aceleración debida a la gravedad);la fuerza normal N (la componente normal de la fuerza de reacción del plano sobre el bloque),donde | N | = /?; y la fuerza F debida a la fricción, la cual actúa paralela al plano inclinado, enoposición a la dirección de movimiento. Si el bloque está en reposo y se incrementa 0, | F |también aumenta hasta que en última instancia | F | alcanza su máximo, más allá del cual elbloque comienza a deslizarse. A este ángulo, 9„ se ha observado que | F | es proporcional a n.Así, cuando | F | es máxima, se puede decir que | F | = fx,n, donde ¡x, se llama coeficientede fricción estática y depende de los materiales que están en contacto.a) Observe que N + F + W = 0 y deduzca que / i , = tan(0,).b) Suponga que, para 0 > 0,, una fuerza externa adicional H se aplica al bloque,horizontalmente desde la izquierda, y sea | H | = /?. Si h es pequeña, el bloque aún puededeslizarse por el plano; si h es suficientemente grande, el bloque ascenderá por el plano.Sea Iimí>el valor más pequeño de h que pennite que el bloque permanezca inmóvil(de modo que | F | es máxima).Al elegir los ejes coordenados de modo que F esté a lo largo del eje .v, resuelva cadafuerza en componentes paralelas y perpendiculares al plano inclinado y muestre que:) Demuestre que¿Parece rExpliqueh min sen B + m g eos 0 = n y/t mil =hmin eos B + ¡JLsn = mg sen Btan (9 ~ 9,)razonable esta ecuación? ¿Tiene sentido para 00,? ¿Cuándo 9 —* 90o?837
  • 231. d) Sea h„áy el mayor valor de h que permite al bloque permanecer sin movimiento. ¿En quédirección apunta F? Demuestre que/'uax — "><! t a n ( 0 + $,)¿Parece razonable esta ecuación? Explique.8. Un sólido tiene las siguientes propiedades: cuando es iluminado por rayos paralelos al eje r,su sombra es un disco circular. Si los rayos son paralelos al eje y, su sombra es un cuadrado.Si los rayos son paralelos al eje .v, su sombra es un triángulo isósceles. (En el ejercicio 44 dela sección 12.1 se le pidió describir y trazar un ejemplo de tal sólido, pero hay muchosde esos sólidos.) Suponga que la proyección sobre si plano xz es un cuadrado cuyos ladostienen longitud 1.a) ¿Cual es el volumen del mayor de tales sólidos?b) ¿Hay un volumen mínimo?
  • 232. 13 Funciones vectoriales© Qviskis Gecctjhbii / StutterstodLas funciones que hemos estado utilizando hasta este momento han sido funciones de valores reales.A continuación estudiamos funciones cuyos valores son vectores porque esas funciones son necesariaspara describir curvas y superficies en el espacio. Usaremos también funciones de valores vectoriales paradescribir el movimiento de cuerpos en el espacio. En particular, las utilizaremos para deducir las leyes deKepler del movimiento planetario.839
  • 233. 840 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES13.1Funciones vectoriales y curvas en el espacioEn genera l, u n a func ión e s u n a regla q u e a s igna a c a d a e leme n to de l d omin io un e lemen tode l rango. Un a fu n c ió n con v a lo re s v e c to ria le s , e s de cir , u n a fu n c ió n v e c to ria l, e s s im­pleme n te u n a función c u y o d omin io es un conjunto de n úme ro s re ales y c u y o ra n g o e s unc o n ju n to de v e c to re s . El in te ré s se c e n t r a m á s en fu n c io n e s v e c to r ia l e s r c u y o s v a lo r e sson ve c tore s tr idimens iona le s . Es to s igni f ic a q u e p a ra c a d a n úme ro Z en e l d omin io d e rhay un v e c to r ú n ico en V3 q u e se d e n o ta c o n r(Z). Si f(t), g(t) y h(f) son las c omp o n e n t e s delve c tor r(Z), e n to n c e s / , g y h son func ione s de valores re ales llamada s fu n c io n e s com p o ­nentesde r y p o d emo s escribir:r ( 0 = (/(O» 9(*)> KO) = f{t) i + g(t) j + h(t) kSe usa la lel ia l p a r a d e n o ta r la var iable independiente p o rq u e re p re se n ta e l t iemp o en lama y o r pa r te d e las aplic a c ione s d e func ione s vectoriales.Sir(0 = ln(3 “ 0» y f i )EJEM PLO 1e n to n c e s las func ione s c omp o n e n t e s son/ ( ' ) = '* <?(') = ln(3 - /) h(i) = v'7De a cu e rd o c o n la c o n v e n c ió n usua l, el d omin io de r cons i s te de todos los v a lore s de Zpa ra los c u a le s la e x p re s ió n p a ra r(Z) e s tá definida. Las e x p re s io n e s Z3, ln(3 — Z), yestán d e f in id a s p a ra c u a n d o 3 — Z > O y Z > 0. Por tanto, el d omin io de r e s elinte rva lo [O, 3). M iEl lím ite de u n a func ión ve c tor ia l r se de f ine o b ten ie n d o los límites de sus func ione sc omp o n e n t e s c om o se s e ñ a la a c o ntinua c ión.Si l í m r ( í ) — L esta definición equivalea decir que la longitud ydireccíói del vectorHO se aproxima a la longitud y dirección delvector L[TI s í r ( 0 = (/(O» 9(0» ¿ ( 0 ) . e n to n c e slím r(r) = / lím / ( r ) , lím g(t), lím /?(z)t— ii *a t — t t—a fs iempre q u e exis tan los límites d e las funciones c omp o n e n te s .De igual man e ra , p o d r íamo s h a b e r us a d o u n a d ef inición e-S (vé ase el e je rc ic io 51). Loslímite s de func ione s ve c tor ia le s siguen las mismc s reglas q u e los límites d e las func ione sde va lore s re ales (vé ase el e je rc ic io 49).EJEM PLO 2 De te rmin e lím r(z), don d e r(z) — ( l + Z3) i + te 1 j +t— Osen ZSOLUCIÓN Según la de f in ic ió n I , e l límite d e r e s e l ve c tor c u y a s c omp o n e n t e s son loslímite s de las func ione s c omp o n e n t e s de r :!Ssr ( ,)= l- o < '+ ,!)] 1 + [ s ,e~V + [üi,j f i r ] k= i + k (según la ecuación 3.3.2)
  • 234. SECCIÓN 13.1 FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO 841F IG U R A 1C está trazada por la puntade un vector de posición r(f).EE3 En Visual 13.1A se muestran variascurvas trazadas por vectores de posición,incluyendo las de las figuras 1 y 2.Una función vectorial r es co n tin u a en a silím r(?) = r (a)t—itSegún la definición 1, r e s continua en a si y sólo si sus funciones componente s f g y h soncontinuas en a.Hay una estrecha relación entre funciones vectoriales continuas y curvas en e l e spacio.Supongamos que f g y h son funciones continuas de valores reales sobre un intervalo /.Entonces el conjunto C d e todos los puntos (x, y, z) en el espacio, dondem 9(0 h(t)y t varía en todo e l intervalo /, se llama c u rv a en el e sp ac io . Las e cuacione s en [T| recibenel nombre de e cu acio ne s p a ram é tric a s de C. y t se llama p arám e tro . Podemos pensar queC está trazada por una partícula en movimiento cuya posición en el tiempo te s f( t) , g(t), /?(/).Si ahora consideramos la función r(Z) = (f(t)y g(t), h(t)), entonces r ( / ) e s e l vector de pos i­cióndel punto P( f( t) , g(t), h(t)) sobre C. Por tanto, cualquier función vectorial continua rdefine una curva C en el espacio trazada por la punta del vector r(Z) que se desplaza, comose ilustra en la figura 1.□ E JEM P LO 3 Describa la curva que define la función vectorialr(f) = <1 + U 2 + 5f, - 1 + 61)SOLUCIÓN Las e cuacione s paramétricas correspondientes sonx =+ í y = 2 + 5t z = —+ 6ta las cuales se identifica de las e cuacione s 12.5.2 c omo e cuacione s paramétricas deuna recta que pasa por el punto ( 1 , 2 , — 1) y e s paralela al vector ( l , 5, 6). Otra opcióne s observar que la función se puede escribir c omo r = r 0 + t, donde r () = ( 1 ,2 , — 1)y v = ( 1 ,5 , 6), y ésta e s la ecuación vectorial de la recta c omo la que da la ecuación12.5.1.También se pueden representar c u n as planas mediante la notación de vectores. Por e jem­plo,la curva que representan las e cuacione s paramétricas x = t 2 — 2 t y y = t + 1 (véasee jemplo 1 en la sección 10.1) también se puede describir mediante Inecuación vectorialr ( 0 = (Z2 — 2/, t + 1>= (t2 —2t) i + ( Z + l ) jdonde i = (1, O) y j = (O, 1)□ E JEM P LO 4 Trace la curva cuya ecuación vectorial esr ( f ) = e o s t i -I- sen t j + t kSOLUCIÓN Las e cuacione s paramétricas para esta curva sone o s t sen tPuesto que x 1 + yr = e o s21 -I- sen21 = 1, la curva debe estar en el cilindro circularx 1 + y 2 = 1. El punto {x, y, z) se ubica directamente arriba del punto (x; y, O), e l cualse desplaza en e l sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de la circun­ferenciax 1 + y 2 = 1 en el plano xy. (La proyección de la curva sobre e l plano xy tienela ecuación vectorial r ( í) = (eos t, sen t, 0). Véase ejemplo 2 de la sección 10.1). Comoz = t, la curva se dirige en espiral hacia arriba siguiendo la forma d el cilindro amedida que t se incrementa. La curva se l lan a hélice y se ilustra en la figura 2.
  • 235. 842 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESF IG U R A 3Una hélice dobleEn la figura 4 se muestra el segmento PQde la recta del ejemplo 5.(2(2,-1,3)F IG U R A 4La forma de sacacorchos de la hélice del ejemplo 4 e s conoc ida porque se parece a losresortes. También se encuentra en el mode lo del ADN (ácido desoxirribonucleico, que esel material genético de las células de los seres vivos). En 1953, James Watson y Francis Crickmostraron que la estructura de la molécula del ADN es c omo un par de hélices paralelas peroconectadas c omo se ilustra en la figura 3.En los e jemplos 3 y 4 se proporcionaban ecuaciones vectoriales de curvas y se pedía unadescripción geométrica o un esquema. En los dos ejemplos siguientes, se da una descrip­cióngeométrica de una curva y se pide encontrar las e cuacione s paramétricas de la curva.Determine una ecuación vectorial y las e cuacione s paramétricas delEJEM PLO 5segmento rectilíneo que une el punto P( 1, 3, —2) con e l punto Q(2, —1,3).SOlUniÓN F.n ln sección 12.5 se d e te rmin ó nnn ecua ción vector ia l pa ra el segmen torectilíneo que une la punta del vector r0 con la del vector n :r ( t ) = (1 - t ) r 0 + t r i 0 ^ t ^ (Véase la e cuación 12.5.4.) En este caso se toma r0 = ( 1 ,3 , —2 ) y n = {2, — 1, 3) paraobtener una ecuación vectorial del segmento rectilíneo que va de P a Q:r ( / ) = ( l — / )<! , 3, - 2 > + / < 2 , - 1 , 3 ) 1o bien T ( t ) = <1 + í, 3 - 4 1, - 2 + 51) 0 =£ t ^ 1Las e cuacione s paramétricas correspondientes sonx =+ t y = 3 - 4 / z = - 2 + 5/ O í K 1Q Q H 5 Q Í B Determine una función vectorial que represente la curva de interseccióndel cilindro x 1 + y 2 = 1 y e l plano y + z = 2.SOI IJCIQN F.n la figura 5 se ilustra c ómo se intersecan el plano y el c ilindro, y la figura 6representa la curva C de intersección, que e s una elipse.2 )FIGURA 5 FIGURA 6
  • 236. SECCIÓN 13.1 FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO 8 4 3La p ro y e c c ió n d e C sobre el p lan o xy e s la c i rc u n fe re n c ia xr + y 2 = 1, z — O.En to n c e s , y a s a b emo s p o r e l e jemp lo 2 d e la sección 10.1 q u e p o d emo s e sc ribir.v = eos t y = sen t 0 =s / 2ttA pa r tir de la e cu a c ió n de l plano ten emo s2 — y = 2 — sen /De mo d o q u e p o d emo s e s c r ib i r e cu a c io n e s p a ramétr ica s p a ra C c omo.v = e o s t y = sen t 2 - sen t 0 ^ t ^ 2itLa e cu a c ió n ve c tor ia l c o r re sp o n d ie n te esr (t) = e o s / i + sen / j + (2 - sen 0 k 0 =£ t 2ttEs ta e cu a c ió n se l lama parametñzación de la c u rv a C. Las f lechas de la f igura 6 indic anla d i re c c ión en la c u a l C e s t ra z ad a co n fo rme el p a ráme t ro / se incrementa.Uso de las computadoras para trazar curvas en el espacioLas c u rv a s en e l e sp a c io son in h e re n temen te má s di f íc ile s d e t raz ar a m a n o q u e las curva sen el plano. Si q u e r emo s c o n s e g u i r u n a repre sentac ión exa c ta , n e c e s i tamo s re cur r ir a losa d e lan to s técnicos . Por e jemp lo , en la f igura 7 se i lus tra u n a g rá f ic a g e n e ra d a med ia n tec omp u t a d o r a d e la c u rv a c u y a s e cu a c io n e s p a ramétr ica s sonx = (4 -I- sen 20/) eos t y = (4 -I- sen 20/) sen / e o s 2 0/Se l lama e sp ira l to ro id a l p orque q u e d a sobre un toro. Ot ra c u rv a inte resante , el nudo detréb ol, c u y a s e cu a c io n e s sonx = (2 + e o s 1.5Z) eos / y = (2 + eos 1.5/) sen / sen 1.5/se gráfica en la figura 8. No sería fácil h a c e r la gráfica a m a n o d e cualquie ra de estas curvas.F IG U R A 7 Una espiral toroidal FIGURA 8 Un nudo de trébolAun c u a n d o se utiliza u n a c omp u t a d o ra pa ra t raz ar u n a c u rv a en el e spa c io, e s difícilo b ten e r la i lus ión óptic a que logra u n a b u e n a impre s ión de c óm o se ve la c u rv a en la r e a l i ­dad.(Es to e s muy c ie r to en la f igura 8. Véase e l e je rc ic io 50.) El e jemp lo s iguiente m u e s ­trac óm o e n f re n ta r este problema._____________ Mediante u n a c omp u t a d o ra trace la c u rv a c u y a e cu a c ió n ve c tor ia l esr(/) = {/, Z2, t3). E s ta c u rv a se d e n omin a cú b ic a to rc ida .SOLUCIÓN Emp ie c e p o r u sa r la c omp u t a d o ra p a ra t raz ar la c u rv a con e cu a c io n e sp a ramé t r ic a s x = t, y = t2, z = í3 p a ra — 2 =s / 2. El re sul tado se i lus tra en laf igura 9a), pe ro e s difícil v e r la v e rd a d e ra na tura le z a de la c u rv a ú n ic amen te a partir
  • 237. 8 4 4 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESde la gráfica. La m a y o r parte de los p ro g rama s para d ib u ja r en tres d ime n s io n e s cona y u d a de la c omp u t a d o ra pe rmite al usu a r io e n c e r ra r u n a c u rv a o super f icie en u n a c a jaen lu g a r d e mo s t r a r los e je s c o o rd en a d o s . Cuando se ve la m i sma c u rv a en u n a c a ja enla f igura 9b), se tiene mu c h o má s c la ra la imag en de la curva. Es pos ible ver quea sc iende d e sde u n a e sq u in a infe r ior de la c a j a h a s ta la e sq u in a má s c e r c a n a al p r ime rplano, y q u e se tuerce al ir a sc endiendo.a)d)FIGURA 9 Vistas de la cúbica torcida.B B ¡ | En Visual 13.1 B se puede hacer girar lacaja de la figura 9 para ver la cur/a desdecualquier ángulo.e)Se obtiene u n a me jo r id e a de la c u rv a c u a n d o es vis ta d e sde d is tintos ángulos .En e l inciso c) se i lus tra el re sul tado d e girar la c a ja p a ra tene r otra perspec tiva . Enlos inc isos d) , e) y f), se puede v e r las vistas que se tienen c u a n d o se o b se rv ad i re c tamen te la c a ra de la caja. En particula r , e l inciso d) e s u n a v i s ta d i re c tamen ted e sd e arriba de la caja. Es la pro y e c c ió n de la c u rv a d e l plano xy, a sabe r, la p a ráb o lay = x1. En e l inciso e) se mu e s t r a la pro y e c c ió n del plano xz, la c u rv a c ú b ic a z = x3.A h o r a es o bvio por q u é la c u rv a d a d a se l lama c u b ic a torcida.Otro mé to d o p a ra re p re se n ta r u n a c u rv a en el e spa cio e s d ib u ja r la sobre u n a superficie.Por e jemp lo , la c ú b ic a to rc id a d e l e jem p lo 7 e s tá en e l c i l in d ro p a r a b ó l ic o y = x2. (E l i ­mine e l p a r ám e t ro d e las d o s p r ime r a s e c u a c io n e s p a r amé t r ic a s , x = t y y = í2.) En laf ig u ra 10 se i lus tran tanto el c i l in d ro c om o la c ú b ic a to rc id a , y se ve q u e la c u rv a se d e s ­pl a z a h a c i a a r r ib a d e s d e e l o r ig en a lo la rg o de la su p e r f ic ie d e l c il in d ro . T am b i é n sere cur re a e s te mé to d o en el e jemp lo 4 p a ra imagina r la h é lic e q u e e s tá en e l c il in d ro c i r c u ­lar(v é a se la f ig u ra 2).
  • 238. SECCIÓN 13.1 FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO 8 4 5Un te rc e r mé to d o pa ra re p re s e n ta r u n a c ú b ic a torc ida e s da r se c u e n t a de que tambiéne s tá en el c il indro r = a 3. Es to se puede v e r c omo la c u rv a d e inte rse cc ión de los c il indrosy = r y : = / (Vé a s e la f igura 11.)K l ü En Visual 13.1C se muestra cómo surgenlas curvas como intersecciones de superficies.FIGURA 11Algunos sistemas algebraicos computarizadosproporcionan una imagen más clara de unacurva en el espacio encerrándola en un tubo.Estas gráficas permiten ver si una parte de lacurva pasa enfrente de otra parte de la curva oatrás de ésta. Por ejemplo, en la figura 13 seilustra la curva de la figura 12b) que se obtienemediante el comando t u b e p l o t de Maple.z 0Y a se vio que u n a c u rv a e sp a c ia l muy interesante, la hé lic e, se e n c u e n t r a en el mo d e lode l ADN. Otro e jemp lo notable de las c u rv a s en e l e sp a c io en la c ie n c ia e s la traye c tor ia deu n a pa r tícula con c a rg a p o s i t iva en c am p o s eléctr icos y mag n é t ic o s or ientados o r to g o n a l ­mente E y B. De p en d e de la v e loc idad inicial d a d a a la p a r tícula en e l or igen, la traye ctor iade la pa r tícula e s y a u n a c u rv a en e l e sp a c io c u y a pro y e c c ió n en el p lan o ho r izo n ta l es lacicloide que se e studió en la sección 10.1, figura 12a), o la curva c u y a proyección es la trocoidet ra tad a en el e je rc ic io 4 0 de la se c ción 10.1, figura 12b).a) r(/) = (/ - sen /, 1 - eos /, />FIGURA 12M o v im ie n t o d e una p a r t ícu la c a rg a d aen campos eléctricos y magnéticosorientados ortogonalmente.Si d e s e a m á s informa c ión re la c io n a d a con las p ro p ied a d e s físicas y las figuras a nimada sde las pa r tícula s , co n su l te las s iguiente s página s web:■ www.p h y .n tn u .e d u .tw/ ja v a /emF ie ld /emF ie ld .h tml■ w w w .p h y s ic s .u c la .e d u /p la sma -e x p /Be am/Ejercicios1-2 Determine el dominio de la función vectorial.1. r(/) = (N 4 — t 2,e~ 3', ln( / + l)}2. r(/) — —^ ~ i + sen / j + ln(9 — r ) k3-6 Determine el límite3. lím [ e~3t i + ---—j + eos 2 /k Jt— osen"/ t(T — t sen 777 i F >Jt + 8 j H------------- k I/ — 1 ln t jm Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugerid as dispon i ble sen stewartcalculus.com
  • 239. 846 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES5. lim/ ■( + r r, tan / ,1------------ /,—1 — ^ ' /6- JSl/ tc~, ’ ' ?+/ tsen~*)7-14 Grafique la curva con la ecuación vectorial dada. Indique conuna flecha la dirección en a cual / se incrementa.7. T(t) = (sen t, t > 8. r(f) = (/ t2)9. r(/) — ( t , 2 — t, 21) 10. r(f) = (sen irt, t, eos ttí)11. T(t) = ( l , eos t, 2 sen l) 12. r(/) = t2 i + / j + 2k13. r ( / ) = t2 i + t* j + ( ' k14. r(/) = eos t i — eos t j + sen t k15-16 Dibuje las proyecciones de la curva sobre tres planoscoordenados. Utilice estas proyecciones para ayudarse en el trazode la curva.15. r(f) = (/, sen t, 2 eos t) 16. r(f) = (/, /, i2)17-20 Determine una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricaspara el segmento rectilíneo que une P y Q.17 . />{2,0,0), g { 6 , 2 , - 2 ) 1 8 . P { - 1,2, - 2 ) , ^ (—3, 5, l)19 . P(0, - i , l ) . e ( U Í ) 2 0 . P (p ,b ,c ) , Q(u, v, w)21-26 Haga corresponder las ecuaciones paramétricas con lasgráficas 1 a VI. Explique las razones de su elección.21. x = t eos t, y = : = t sen t, t > 022. x ™ eos t, y ™ sen/, z ™ 1/(1 + r )23. .v = /, y = 1 /( 1 + r ) , 2 = r24. .v — eos /, y = sen/, z — eos 2 /25. .V ™ eos 8/, y ™ sen 81, z ™ e os / 026. x = eos2 /, y = sen2/, z = t27. Demuestre que la cun a con ecuaciones paramétricas x = t eos /,y = t sen /, z = / se encuentra en el cono z2 = x2 + y 2, y apartir de este hecho grafique la curva.29. D em u e s t r e qu e la cu rv a c o n e cu a c io n e s p a ram é t r ic a sx = sen t , y = eos f, r = sen2/ e s la cun-a de intersecciónde las superficies z = x 2y x 2 + y2 = I .A partir de este hechografique la cunra.29. ¿En qué puntos corta la curva r ( / ) = / i + (2/ — / ^ k alparaboloide r = x2 + y2?30. ¿En que puntos corta la hélice r (/) = (sen /, eos /, /) a la esferax 2 + y2 + z2 = 5?31-35 Mediante una computadora grafique la curva con la ecuaciónvectorial dada. Asegúrese de elegir un dominio para el parámetro yuna perspectiva que revelen la verdadera naturaleza de la curva.31. r{/) = (eos / sen 2/, sen / sen 2/, eos 2/ )32. r( /) — ( / 2, In /. /)33. r { / ) — ( / , / sen /, / eos / )34. r( /) = (/, e'y eos /}35. r{/) — (eos 2/, eos 3/, eos 4 / )I ® 3 6 . Grafique la curva con ecuaciones paramétricas x = sen /,y = sen 2/, z = eos 4/. Explique su forma graficando susproyecciones sobre los tres planos coordenados.m 37. Grafique la curva cuyas ecuaciones paramétricas sonx ™ (l + eos 16/) eos /y = (l + eos 16/) sen /z ™ 1 + eos 16/Explique el aspecto de la gráfica mostrando que queda sobreun cono.ÉK 38. Grafique la curva con ecuaciones paramétricas.v = v I — 0-25 e o s 2 10/ eos /y ™1 — 0.25 e o s 2 10/ sen/r ™ 0.5 eos 10/Explique la apariencia de la gráfica mostrando que está sobreuna esfera.
  • 240. SECCION 13.2 DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES 84739. Demuestre que la curva cuyas ecuaciones paramétricas sonx = t2, y = 1 - 3 Z, z = 1 + t3 pasa por los puntos (1, 4, 0) y(9, —8. 28), pero no por el punto (4, 7, —6).40-44 Encuentre una función vectorial que representa la curva deintersección de las dos superficies.40. El cilindro x 2 + y 2 = 4 y la superficie z = xy41. El cono r ™ s! x 2 + y 2 y el plano z = 1 + y42. El paraboloide z = 4a~ + y 2 y el cilindro parabólico y = x243. El hiperbaloide z = x 2 — y 2 y el cilindro x2 + y2 = 144. El semielipsoide x1 + y2 + 4z2 = 4, y ^ U, y el cilindrox2 + z2 = 1Intente hacer a mano la gráfica de la curva de interseccióndel cilindro circular x 2 + y2 = 4 y el cilindro parabólicoz = x2. Luego determine las ecuaciones paramétricas de estacurva y, con ellas y una computadora, grafique la curva.46. Intente graficar a mano la curva de intersección del cilindroparabólico y = x2 y la mitad superior del elipsoide x2 + 4y2+ 4z2 = 16. Luego determine las ecuaciones paramétricasde esta curva y, a partir de ellas y con la ayuda de unacomputadora, grafique la curva.47. Si dos objetos se desplazan por el espacio siguiendodos curvas distintas, a menudo es importante saber sillegaran a chocar. (¿Un misil tocará a este blanco móvil?¿Chocarán dos aviones?) Las curvas pueden cortarse,pero es necesario conocer si los objetos están en la mismaposición en e l mismo tiempo. Suponga que las trayectoriasde dos partículas están definidas por las funcionesvectorialesn ( 0 = (i2, 7/ - 12, t2) T2(t) = (41 - 3, z2, 5/ - 6)para t > 0 ¿Chocarán las partículas?48. Dos partículas recorren las curvas en el espacior ,(/) = <z, z2, t*) r 2(t) = <1 + 2Z, I + 6z, I + 14/)¿Chocarán las partículas? ¿Se cortan las trayectorias?49. Suponga que u y v son funciones vectoriales que poseenlímites cuando Z—¡* a y sea c una constante. Demuestre laspropiedades de los límites siguientesa) lím [>•(') + J—»i a v(/)]I ——»*l iím u{z)+ límv {z)b) lím cu(i) = c lím u(z)i—.» l—ac) lím [u{z) * v(z)] = lím u(z) ♦ lím v(z)i—* i—*it i—tid) lím [u{/) X v(z)] = lím u{/) X lím v(z)J—»« .•—•»! f—•*!50. La vista del nudo de trébol que se ilustra en la figura 8 esexacta, pero no revela toda la historia. Con las ecuacionesparamétricasx = (2 -I- e o s 1 .5 /)e o s Zy = (2 + e o s 1 5z) sen Zz — sen 1.5/grafique a mano la curva como si la viera desde arriba, conbrechas que indiquen dónde la curva pasa por arriba de símisma. Inicie demostrando que la proyección de la curva enel plano xy tiene coordenadas polares r — 2 + eos 1.5Zy9 = t, de modo que r varía entre 1 y 3. Luego demuestre quez posee valores máximos y mínimos cuando la proyecciónestá entre / = 1 y r = 3.Al terminar su gráfica, utilice una computadora paradibujar la curva vista desde arriba y compárela con la queusted dibujó. Luego, mediante la computadora, trace lacurva vista desde distintos ángulos. Puede obtener una mejorimpresión de la curva si gráfica un tubo de radio 0.2 querodee a la curva. (Use el comando t u b e p l o t de Maple o elcomando t u b e c u r v e o t u b e de M athematica.)51. Demuestre que lím,—„ r{/) = b si y sólo si para toda £ > 0hay un n úme ro S > 0 tal q u esi 0 < J / — a | < 6 entonces | r{/) — b | < 6Derivadas e integrales de funciones vectorialesMá s adelante , en este m i smo c apí tulo, se utilizan las func ione s ve c tor ia les p a r a d e s c r ib i r elmo v imi e n to d e los p lane ta s y d e otros objetos en e l e spacio. A q u í se p re p a ra la m a n e r a ded e s a r ro l la r e l c á lculo de las func ione s vectoriales.DerivadasLa d e riv a d a r ' de u n a función vectorial r e s tá definida de la m i sma m an e ra que pa ra las fun­cio n e s de va lore s reales.m
  • 241. 848 CAPÍTULO 13 FUNCIONE S VECTORI ALESf c lü f l En Visual 13.2de la figura 1.si e s te límite exis te. El s igni f ic ado g e omé t r ic o d e e s ta d e f in ic ió n se mu e s t ra en la f igura 1.Si los p u n to s P y Q tienen v e c to r e s de p o s ic ió n r(/) y r(/ + /i), e n to n c e s PQ re p re s e n tae l v e c to r r ( í + /?) — r(/), q u e p u e d e , p o r tanto, c o n s id e r a r s e c om o un v e c to r se c ante. Sih > 0, el múltiplo e sc alar (1 /h)(r(t + h) — r (0 ) tiene la mi sma direc ción q u e r(t + h) — r (t).Cu a n d o h —* 0 , pa rec e q u e e s te v e c to r se a p ro x ima a un ve c tor q u e e s tá sobre la re cta ta n ­gente.Por e s t a r a z ó n , e l v e c to r r ' ( í ) se d e n om in a v e c to r tangen te a la c u rv a q u e e s tád e f in id a p or r en e l p u n to P , siempre que r ' (t) exis ta y r '( í) ¥=■ 0. La re c ta tangente a C enP se d e f in e c om o la re cta q u e p a s a p o r P y e s paralela al ve c tor tangente r '(í) . Y a h a b ráoc a s ión de c o n s id e ra r el v e c to r tangente u n ita rio , que esT ( 0'{>)| r ' ( 0 |se muestra una animaciónF IG U R A 1El teo rema siguiente pro p o rc io n a un mé to d o conveniente pa ra c alcula r la d e r iv a d a de unafunc ión ve c tor ia l r: d e r iv a ju s tame n te c a d a c omp o n e n te d e r.|~2~| Teorema Si r ( / ) — ( / ( / ) , g(t), h(t)) “ f ( t ) i 4- <7(? )j -I- /?(/) k, d o n d e / , g y hson func ione s de r iv a b le s , e n to n c e s«•'(ó - < / ' ( ' ) . » ' ( ' ) . m - / ' ó ) ¡ + / « i +DEMOSTRACION•■'(') “ ¿ f™ ¿ 7 D'Ó + * ' ) ~ r ( ' ) ]“ lfrIln“7“ [</(' + A/). q(i + At). h(t -f A/)> - </(/), <?(')• '’(')>] Ar—0 A t= Iim / / ( ' + A ') ~ / O ) <?(' + A f) ~ <?(') h(' + A f) ~ h(>)Ar-oAí * At A/ /= ( lím lfm + * '> - r i ) lím '<(> + A») - Af—0 A t Af—o A t Af—o A t j= < / ’(')• / ( o . m )
  • 242. SECCIÓN 13.2 DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES 849FIGURA 2Observe en la figura 2 que el vector tangenteapunta en la dirección en la que crece t .IVéase el ejercicio 56.)La hélice y la recta tangerte del ejemplo 3se ilustran en la figura 3.F IG U R A 3□ E JEM P LO 1a) Ca lcule la d e r iv a d a d e r(Z) = (1 4- t3)i + te 1 j 4- sen 2 1 k.b) De te rmin e e l v e c to r tangente unita r io en el p unto d o n d e t = O.SOLUCIÓNa) Según el t e o r ema 2, se d e r iv a c a d a c omp o n e n te de r:r ' ( / ) — 3 12 i + (l — t)e~'} + 2 e o s 2 t kb) C omo r(O) = i y r'(O) = j + 2 k , el vector tangente unita r io en el p u n to (1, O, 0) e sr'ÍO) j + 2 k I 2T (0 ) = , J = .---------- = —= j + —= k |r'(o)| yf + 4 v /J J , / JEJEM PLO 2 En el c a s o de la c u rv a r (t) = ft i 4- (2 — t) j , d e te rmin e r'(Z) y gra fique elv e c to r d e p os ic ión r ( l ) y e l v e c to r tangente r ' ( l ) .SOLUCIÓN T e n emo sr'(0y/ti - j y r '( 1) = — i — jL a c u rv a e s u n a c u rv a p la n a y al e l imin a r e l p a ráme t ro de las e cu a c io n e sx = yft, y = 2 — t se obtiene y = 2 — x1, x 2= O. En la f igura 2, d ib u je el ve c tor depos ic ión r ( l ) = i + j con inicio en e l origen y el v e c to r tangente r ' ( l ) c u y o inicioe s el p unto co r re sp o n d ie n te (1, 1).n E H J H S H De te rmin e las e c u a c io n e s p a ramétr ica s de la re cta tangente a la h é lic e dee c u a c io n e s pa ramé t r ic a sx = 2 e o s t y = sen t z = ten el p unto (0, 1, 7t/2 ) .SOLUCIÓN L a e cu a c ió n ve c tor ia l de la hélice e s r ( ' ) = <2 cos t, sen /, /) , de mo d o quer '( f ) = {—2 sen f, cos /, I )El v a lo r d e l p a ráme t ro q u e c o r re sp o n d e al punto (O, 1, 7 t /2 ) e s t = 7 r /2 , d e mo d oque e l ve c tor tangente e s r ' (7 r /2 ) = ( — 2, 0, 1 ). La re c ta tangente e s la re cta q u e p a sapor (0, 1, 7 r /2 ) p a ra le la al v e c to r ( — 2, 0 , I ), de mo d o q u e de a cu e rd o con lase cu a c io n e s 12.5.2 sus e cu a c io n e s p a ramétr ica s son2 1 + t
  • 243. 8 5 0 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESEn la sección 13.4 se vera cóm or'(/)y i/'(/)se pueden interpretar como los vectoresvelocidad y aceleración de una partículaque se mueve por el espacio con vectorde posición r(/) en el tiempo i.Igual q u e con las fu n c io n e s d e v a lore s reales , la seg u nd a d e r iv a d a de u n a func ión v e c ­torialr es la d e r iv a d a de r ', e s d e cir , r" = (r ')'. Por e jemp lo , la s e g u n d a d e r iv a d a de la fu n ­ción de l e jemp lo 3 esr*(f) — ( — 2 e o s /, —sen /, O)Reglas de derivaciónEl t e o r ema s iguiente mu e s t ra q u e las fórmula s de de r iva ción p a ra func ione s de va lore s r e a ­lest ienen su equ iv a len te p a ra las func ione s de valor vectorial.|~3~| Teorema S u p o n g a q u e u y v son funciones ve c tor ia le s de r ivable s , c e s unescalar- y / e s u n a func ión de va lore s reales. Entonces ,d1. — [u(/) + v(/)] = u '(0 + v'(/)dtd2. — [cuín] = cu'(í)dt3. = / ’(/) uíf) + /( í)u '( í)dt4. [u(/) • v (/)] = u 'ú ) • v(r) + u ( n • v'(/)dtd5. — [ u (/) X vi /) ] = u'( /) X v(/) + u(/) X v'(/)dt6. [ u f / ( / ) ) ] = /'(/.) u'( / ( / ) ) (Regla de la cadena)dtEs te t e o r em a se p u e d e d em o s t r a r d i r e c tame n te c o n la d e f in ic ió n 1 o m e d ia n te e l t e o ­rem a 2 y las fó rmu la s co r re sp o n d ie n te s de deriva ción p a ra las func ione s de v a lore s reales.Se mu e s tra la d emo s tra c ió n de la fó rmu la 4: las s iguientes se d e jan c omo e jercicios .DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA 4 Seanu (/) = < / i ( / ) , /> ( /) ,/3</)> y {t) = < g ,( /) ,0 2(/),0 3 (/)>3E n to n c e s u(í) • v(/) = f,(t)g,(t) + / 2(/>gr2(M + fÁt)g,(t) = 2 f¡(t)g¡(t)1=1de mo d o q u e la r e g la d e l p ro d u c to ordina r io d a^-[uU) • v(f)] = ^ - 2 m g A t ) = 2dt dt i=i j=i dt3= 2 [ f ¡ ( t ) g i ( o + m 9mi=i3 3= 2 f.'WgAt) + 2 Ht)g'i(t)1=1 i=l= u'( /) • v(/) + u( /) • v '(t) HQ E U J H H l Demu e s tre q u e si | r(/) | = c (una cons tante ) , e n to n c e s r ' ( / ) e s or togonala r(/) pa ra to d a t.
  • 244. SECCIÓN 13.2 DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES 851SOLUCION Comor (t) • r (/) = | r(t) |2 = c 2y c2 e s u n a c o n s tan te , la fó rmu la 4 d e l teo rema 3 dadO = — [r(f) • r ( / ) ] = r'it) • r(/) + r ( / ) • r'ít) = 2r'(t) • r{t)dtPor tanto, r '(? ) • r(í) = O, la c u a l e s table c e que r ' ( t ) e s or to g o n a l a r(/).De sd e e l p unto de vi s ta geomé t r ic o , e s te re sultado e s table c e q u e si u n a c u rv a q u e d asobre u n a e s fe ra con c ent ro en e l origen, e ntonc e s e l ve c tor tangente r ' ( t ) s iempre esp e rp en d icu la r al ve c tor de pos ic ión r(t). ■ ■I n t e g r a l e sLa i n t e g r a l d e f in i d a d e u n a func ión vectorial c o n t in u a r (t) se puede d e f in i r cas i d e la m i s ­ma m a n e r a que p a ra las func ione s de valores re ales , e x c e p to q u e la integra l e s un vector.E n to n c e s p o d emo s e x p re s a r la integral de r en té rmin o s d e las integrale s de sus func ione sc om p o n e n t e s / , g y /? c omo sigue. (Se utiliza la nota c ión de l c ap í tu lo 5.)f r (t )dt = lím 2 r(/*)Aí= i™ ^ 2 / f r * ) A / ) ¡ 9 ( '* ) A ' ) J + />(',*) A / j k jy e n to n c e sEs to s ignif ic a que se puede e v a lu a r u n a integral d e u n a func ión ve c tor ia l in te g r an d o c ad afunc ión c omp o n e n te .Es pos ible g e n e ra l iz a r e l t e o r ema fun d ame n ta l de l c á lc u lo p a r a func ione s ve c to r ia le sc o n t in u a s c omo se seña la a continua c ión:P r ( 0 dt = R Ja ( / ) ] * = Rifo) - R í a )d o n d e R es u n a a n tid e r iv a d a de r , e s decir, R ' ( f ) = r(f)- Ut i liz amos la no ta c ió n J r (t) dtp a ra integrale s inde f inida s (antider ivadas ) .EJEM PLO 5 Si r ( í ) = 2 e o s t i + sen / j + 2.* k , e ntonc e sJ r(0 d t — ^ f 22 ee oo ss tt dt i + ^ [ sen t ¿//j j + ^ |* 2 1= 2 sen t i — e o s t j + t2 k + Cd o n d e C es un v e c to r c o n s tan te de integración, p o r lo queI r ( / ) dt = [2 sen t i — e o s í j + r k l = 2 i 4- j + kJo 4
  • 245. 8 5 2 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESEjercicios1. La figura muestra una curva C definida por una funciónvectorial r(/).a) Dibuje los vectores r(4.5) — r(4) y r(4.2) — r(4).b) Dibuje los vectoresr(4.5) — r!4)0.5r(4.2) — r(4)0.2c) Escriba las expresiones para r '(4) y el vector tangenteunitario T(4).d) Dibuje el vector T(4).2. a) Trace un diagrama grande de la curva que describe lafunción vectorial r(/) = ( t 2, t ) , 0 ^ t < 2, y dibuje losvectores r ( l ) , r ( l . l ) y r ( l . l ) — r ( l ) .b) Dibuje el vector r ' ( 1) con inicio en (1, I ) y compárelo conel vectorr i l . D ~ r i l l0.1Explique la razón de que estos vectores sean tan parecidosentre sí en cuanto a longitud y dirección.Dibuje la curva plana con la ecuación vectorial dada.Encuentre r '(t).Dibuje el vector de posición r(/) y el vector tangente r '( /) parael valor dado de /.r(/) = ( / — 2, t 2 + I >, / -------- 1r < / ) - ( r , / 3>, Z - lr(/) « sen / i + 2 eos tj, t — 77/4•(/) = e ‘ i + e~* j , / = 0r(/) ™ e 2t i + el j , / ™ 0r ( ') “ (> + eos /) i + (2 + sen /) j . / — 77/613. r{/) ™ e ' i — j + ln(l + 3 / )k14. r{/) = d t eos 3 / i 4- b sen3/ j + c e o s 3/ k15. r{ /) = a + / b 4- r e16. r(/) — / a X (b 4- c)17-20 Encuentre el vector tangente unitario T(/) en el punto con elvalor dado del parámetro /.17. r{/) = {te~ 2 arctan /, 2 e ') , t = 018. r< / )= </3 + 3 / . t2 -- 1 . 3 / + 4). / = I19. r{/) = eos / i + 3/j + 2 sen 2/ k, / = 020. r{/) ■■ sen2/ i + cos2/ j 4- tan2/k , / — 7 7 /421. Si r(t) = ( t , t 2, t 3), determine r'(/), T( 1), r"(/) y r '(/) X r"(í).22. Si r(t) = ( e 2t, e~2t, t e 2t) , determine T(0), r"(0) y r ’(t) • r"(Z).23-26 Determine las ecjaciones paramétricas de la recta tangente ala curva de ecuaciones paramétricas dadas en el punto especificado.23. a - 1 + 2 y/t, y - / 3 - t, : - / 3 + /; (3, 0, 2)24. x = ey = te1, z = te1'-, ( l , 0, 0)25. .v — e~' eos t, y — e~' sen /, z — e~’ ( l , 0, l)26. .v =t z + 3 , y = ln( /2 + 3), r = /; (2, ln 4, l)27. Encuentre una ecuación vectorial para la recta tangentea la curva de intersección de los cilindros .X2 + y 2 = 25y y 2 + z 2 = 20 en el punto (3, 4, 2).28. Encuentre el punto sobre la curva r ( / ) = (2 eos t, 2 sen /, e ').0 < t < 7T, donde la recta tangente es paralela al planov/Tv + y = I.[ÜD 29-31 Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente ala curva de ecuaciones paramétricas dadas en el punto especificado.Ilustre mediante gráficas tanto la curva como la recta tangente enuna misma pantalla.29. .v = t, y = e ~z = 2/ - / 2; (0, 1, 0)30. .r = 2 eos t, y = 2 sen /, z = 4 eos 2 / ; (^ 3 , 1 , 2 )31. x = / eos /, y = /, z = / sen /; (—77, 77, 0 )9-16 Calcule la derivada de la función vectorial.9. r{/} ■■ ( / sen /, / 2, / eos 2 / )10. r{/) * (tan /, sec /, l/.‘2)11. r { / ) = t i + j + 2 v 7 k1 /12. r</)1 + /i +1 + / j + 1 + /32. a) Encuentre el punto de intersección de las rectas tangentes ala curva r(/) = (sen 77/, 2 sen 77/, eos 77/)en los puntosdonde / = 0 y / = 0.5.b) Ilustre mediante gráficas la curva y ambas rectas tangentes.33. Las curvas r,(f) = (/, t 2, t s ) y r2(/) = (sen /, sen 2 / , /)secortan en el origen. Determine su ángulo de corte aproximadoal grado más cercano.Se requiere ca lculadora giaficadora o computadora |SAC| Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tarcas sugeridas d isponibles en stewartcalculus.com
  • 246. SECCIÓN 13.3 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 85334. ¿En qué punto se intersecan las curvasr,(f) = < / , ! - U3 + 12> y r 2(í) - <3 - St S - 2, s 2)?Encuentre su ángulo de intersección con una aproximación algrado más próximo.35-40 Evalúe la integral.35. £ ( / i - / 3j + 3.‘5 k) dt36. f ' ( _ í ^ j + _ ? L r k LJol + r 1 + r }(«y io (3sen2/ eos / i + 3 sen / e o s2/ j + 2 sen / eos / k) dt38. ( /2i + t j t — 1 j + / sen 7r/ k) dt39. [ (sec2/ i + / (/ 2 + l ) 3 j + / 2ln t k ) d t40. . í ( " * i + T ^ + 7 r M dt4 1 . Encuentre r (/) si r'fí) = 2t i + 3 f2j +t k y r ( l ) = i + j .4 2 . Encuentre r(/) si r'(t) — t i + e (j + t e rk y r ( 0 ) = i + j + k .4 3 . Demuestre la fórmula I del teorema 3.4 4 . Demuestre la fórmula 3 del teorema 3.4 5 . Demuestre la fórmula 5 del teorema 3.4 6 . Demuestre la fórmula 6 del teorema 3.4 7 . S i u (/) = (sen /,cos /, / ) y v ( /) = (/, eos /, sen /), utilice lafórmula 4 del teorema 3 para encontrard4 8 . Si u y v son las funciones vectoriales del ejercicio 47, utilice lafórmula 5 del teorema 3 para hallardt[u(/) X >•(/)]49. Encuentre/'(2), d onde / ( / ) = u(f) • v(f), u(2) = ( 1 ,2 , —1),u'(2) = ( 3 , 0 . 4 ) y v(/) = ( t , tt 3).5 0 . Si r(f) = u (/) X v(f), donde u y v son las funcionesvectoriales del ejercicio 49, encuentre r'(2).5 1 . Demuestre que si r es una función vectorial tal que r " existe,entoncesdt[ r (t) X r '(/)] = r (t) X r"(t)dt[u(f) * v(/)]5 2 . Encuentre una expresión para — [u(f) • ( v ( f ) X w(/))]. dt5 3 . Si r(f) 9* 0, demuestre que — | r{t)= r r(f) * r'(f).dt | r(f) |[Sugerencia:r í /) |2 = r(f) • r(í)]5 4 . Si una curva tiene la propiedad de que el vector de posiciónr(/) siempre es perpendicular al vector tangente r'(/),demuestre que la curva queda sobre una esfera con centroen el origen.5 5 . Si u(/) « r(/} ♦ [ r r(/) X demuestre queu'(/) = r(/) • [r'(/) X r'"(/)]5 6 . Demuestre que el vector tangente a la curva definida por unafunción vectorial r(/) apunta en la dirección en la que crece / .LSugerencia: Recurra a la figura 1 y considere los casos h > 0y h < 0, por separado.]Longitud de arco y curvaturaEn la sección 10.2 d e f in imo s la longitud de una c u rv a p la n a con e c u a c io n e s pa ramé t r ic a sx = / ( í ) , y = g(t), a t =s c om o el límite de las longitude s d e p o l íg o n o s insc r itos y, ene l c a s o d o n d e / ' y g' son co n tin u a s , se llegó a la fórmulam i = / ; v / i t w t w + *La longitud de u n a c u rv a en el e sp a c io se define e x a c tamen te d e la m i sma ma n e r a (véasela f igura 1). S u p o n g a q u e la c u rv a t iene la e c u a c ió n v e c to r ia l r ( / ) = ( f{ f)>g { t )y h ( t ) ) ,a t b, o bien, de fo rma p a ramé t r ic a x = / ( / ) , y = g(t)> z = h(t), d o n d e / ' , g' y /?' soncontinua s . Si la c u rv a se re cor re e x a c tamen te u n a vez c u a n d o t se in c reme n ta d e sd e « h a s t a6, e n to n c e s se puede d emo s t r a r q u e su longitud es0F IG U R A 1La longitud de una curva en elespacio es el límite de las longitudesde polígonos inscritos.L = ( V t / 'W P + [9'( í)J2 + [A'(í)]2 d t■fVdTWW d t13.3
  • 247. 854 CAPÍTULO 13 FUNCIONE S VECTORI ALESOb s e rv e q u e amb a s fó rmu la s d e la longitud d e l a rco Y y T] se p ueden e x p re s a r en u n afo rma má s c omp a c taap orque , en el c a s o d e las c u rv a s p lan a s r(/) = f( t) i 4- g(t) j ,I r '( í ) | = | / ' ( / ) i + gV ) i = V [ /W P + [ 3'tO]2y p a ra c u rv a s en el e sp a c io r(/) = f( t) i + g(t) j + h(t) k,I r '( f ) | = | f'(t) ¡ + gV) i + ht ) k | = v u w + [ g W - + W WEn la figura 2 se muestra el arco de la hélicecuya longitud se calcula en el ejemplo 1.Q | 2 H 3 í ¡ n Ca lcule la longitud de l a rco de la hé lic e c irc u la r d e la e cu a c ió n vector ia lr(J) = e o s t i + sen f j + / k d e sde el p unto ( 1 , 0 , 0 , ) h a s ta e l p u n to ( 1 ,0 , 2tt).SOLUCIÓN P ue s to q u e r ' ( / ) = —sen t i 4- e o s / j 4 k, ten emo sI r ' ( 0 | —( —sen / )2 + e o s 2/ + I — ¡2El a rco d e sde (1, 0, 0) h a s ta ( 1 , 0 , 2 tt) se de sc r ibe med ia n te el inte rva lo de l p a ráme t ro0 ^ t 2 i r y así, con la fó rmu la 3, ten emo sP > ' ( / ) | d í = f 2’ J 2 d t = 2 j 2Un a c u rv a s en c il la C se r e p re s e n ta p o r má s de u n a func ión vectorial. Por e jemp lo , lac ú b ic a torc ida[T] r,(í) = ( t , tt 3) I « t « 2también se p o dr ía re p re se n ta r con la función|~5~1 r 2(w) = ( e v, e 2v, e 3v) 0 w ln 2d o n d e la relación entre los p a ráme t ro s t y u e s t = é*. E n to n c e s las e c u a c io n e s 4 y 5 sonparametrizaciones de la c u rv a C. Si u s á ramo s la e cua c ión 3 p a ra c a lcula r la longitud de Cu s a n d o las e c u a c io n e s 4 y 5, o b t e n d r í amo s la mi sma re sp u e s ta . En ge n e ra l, se p u e d ed emo s t ra r q u e c u a n d o la e cu a c ió n 3 se u s a p a ra calcula r la longitud de a rco, la re sp u e s ta esin d ep e n d ien te de la pa rame t r iz a c ió n q u e se utilice.A h o r a su p o n g amo s q u e C es u n a c u rv a d a d a por u n a func ión vector ia lr(t) = f{t) i + g(t) j + h(t) k a =£ t bd o n d e r' e s c o n t in u a y C e s re cor r ida e x a c tamen te u n a vez c u a n d o t se in c reme n ta d e sde ah a s ta b. De f in imo s su función de longitud de arco s mediante[ § ] s(t) = f ' | r'(w) | du duPor tanto, s(/) e s la longitud de la p a r te de C e n t re r(a) y r(t) (vé ase la f igura 3). Si d e r iv a ­mos amb o s m iem b ro s d e la e c u a c ió n 6 u s a n d o la pa r te 1 d e l t e o r em a fu n d am e n ta l delc á lcu lo , o b ten emo s1—1 ds 1 , .m - ¡ ¡ -m
  • 248. SECCIÓN 13.3 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 8 5 5Con f re cuenc ia e s útil p a r am e t r iz a r u n a c u r v a respe c to a la longitud de a r co porquee s tá surge de fo rma n a tura l d e la c u rv a y no d ep en d e d e un s i s tema c o o rd e n a d o en p a r t icu ­lar.Si u n a c u rv a r(?) y a e s tá en func ión d e un p a ráme t ro t y s(t) e s la función de la longitudde a rco d e f in id a p o r la e cu a c ió n 6, e n to n c e s p o d r íamo s d e te rmin a r / c om o u n a func ión des: t = t(s). E n tonc e s la c u rv a se puede repa rame t r iz a r en té rmin o s d e s al sus tituir a / en sulugar t r = r (/(s)). Por co n s ig u ie n te , si s = 3, p o r e jemp lo , r (/(3 )) e s e l v e c to r d e posic iónde l p unto 3 u n id ad e s de longitud a lo la rgo de la c u rv a d e sd e e l p unto de inicio.Re p a rame t r iz a r la h é lic e r (t) = c o s í i + sen /j + /k re spe c to a la longitud deE JEM P LO 2a rco me d id a d e sde (1, 0, 0) en la d i rec ción en q u e se in c reme n ta t.SOLUCIÓN El p unto inicial (1, 0, 0) co r re sp o n d e al v a lo r d e l p a ráme t ro t = 0. Según ele jemp lo 1d*s- |r,' .0, li = V/2—y de este mo d o s = sit) = f I r'iu ciu = f2 du =í l tjo JoPor tanto, t = s//~2 y la reparame t r iz a c ión requerida se obtiene al sustituir el va lor de tr(t(s)) = c o s ( s / v 2 ) i + s e n ( s f y f l ) j + ( s f j 2 ) k Hf t iÜ f l En Visual 13.3A se muestrananimaciones de vectores initarios tangentes,como los de la figura 4, para una diversidadde curvas planas y curvas en el espacio.FIGURA 4Vectores unitarios tangentes enpuntos con igual separación sobre C.| CurvaturaUn a p a rame t r iz a c ión r (7 ) e s l lamad a sua v e sobre un inte rvalo / si r ' e s c o n tin u a y r'(/ ) ^ 0sobre I. Un a c u rv a se l lama sua v e si tiene una pa rame t r iz a c ió n suave. Un a c u rv a suave notiene p u ntos ag u d o s o cúspides : c u a n d o gira el v e c to r tangente , lo ha ce en fo rma continua .Si C e s u n a c u rv a suave d e f in id a por la función ve c tor ia l r , re cu e rd e que el v e c to r t a n ­genteunita r io T(Y) e s tá d a d o porT( /)rV )r V )e in d ic a la di re c c ió n d e la curva . De acue rdo c o n la figura 4 p u e d e ve rse q u e T(7) c am b i ade di re c c ió n mu y len tame n te c u a n d o C e s casi re c ta , p e ro su d i re c c ió n se mo d i f ic a c o nm a y o r rapide z c u a n d o C se f lexiona o gira m ás abruptamente .L a c u rv a tu ra de C en un p unto d a d o e s una m e d id a d e q u é tan rá p id o c am b i a la c u rv a dedi re c c ió n en e se punto. Esp e c í f ic ame n te , se define c om o la magni tud de la razón de c am ­bio de l ve c tor tangente unita r io re spe c to a la longitud d e arco. (Se u s a la longitud de a rcode tal m a n e r a que la c u rv a tu r a sea independiente d e la p a rame t r iz a c ión.)[~8~j Definición La c u r v a tu r a de u n a c u rv a esd Tdsd o n d e T e s un ve c tor tangente unitario.Es má s fácil d e c a lcu la r la c u rv a tu ra si está e x p r e s a d a en té rminos de l p a ráme t ro t enlugar de s, de m o d o q u e se aplic a la re g la de la c a d e n a ( te o rema 13.2.3, fó rmu la 6) parae sc ribird T d T ds d T d T /d tdt ds dt ds ds /dt
  • 249. 8 5 6 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESPero d s /d t = | r'(/) I proviene de la e cu a c ió n 7, por lo queS] Demu e s tre q u e la c u rv a tu r a d e una c i rc u n fe re n c ia d e radio a e s 1 /a.SOLUCIÓN Se puede h a c e r que la c i rc u n fe re n c ia tenga c omo c en t ro e l or igen y e ntonc e su n a pa rame t r iz a c ió n esr ( 0 = a e o s ta sen t jPor tanto.de mo d o que'O -a sen / i -+■ a e o s / jT ( ') — —sen t i -I- e o s t jI < - '« Iy e n to n c e s T ' ( / ) = —eos t i — sen t jEs to d a c om o r e sul tado | T'( f ) | = 1, p o r lo q u e al u sa r la e cu a c ió n 9| T'(/)| 1Kt)r'(t)El re sul tado d e l e jemp lo 3 mu e s t r a q u e las c irc u n fe re n c ia s p e q u eñ a s tienen gran c u r ­va tu ra , y q u e la c u rv a tu r a d e las c i r c u n f e r e n c i a s g r a n d e s e s p e q u e ñ a , de a c u e rd o c o n laintuición. Es posible v e r dire c tamente por la definición d e curva tura , q u e la c u rv a tu ra de u n are cta e s s iempre 0 p orque e l v e c to r tangente e s constante.Au n q u e la fó rmu la 9 se puede usa r s iempre para c a lcu la r la cu rv a tu ra , con f re cuenc ia esmá s c o n v en ien te aplic ar la fó rmu la d a d a p o r e l siguiente teorema.[To] Teorema La c u rv a tu ra de la c u rv a d a d a par la func ión ve c tor ia l r es| r'(/) X r "(/) |Kit)■'O) |3DEMOSTRACIÓN Pue s to q u e T = r ' / | r' | y r' | = ds/dty ten emo sr' = Ir' lT = — T1 1 dtde mo d o q u e la regla d e l p ro d u c to ( te o rema 13.2.3, fó rmu la 3) d ad 2s dsr" = — - T + — Td t2 dtDe a cue rdo c o n el h e c h o de q u e T X T = 0 (vé ase el e jemp lo 2 d e la sección 12.4), tenemos(T X T' )ir' X r
  • 250. SECCIÓN 13.3 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 8 5 7A h o r a | T(J) | = 1 p a ra to d a t, d e m o d o q u e T y T ' son o r togona le s de a cue rdo con ele jem p lo 4 de la sección 13.2. Por tanto, según e l teo rema 12.4.9,r' X r"Por c o n s iguiente ,y e ntonc e sT X T 'r' X r"T | | T 'r' X r"T '(ds/dt)2 | r ' | 2IT ' I Ir' X r"|EJEM PLO 4 Ca lcule la c u rv a tu ra d e la c ú b ic a torc ida r(/) = ( t, /~, t J ) en un puntogene ra l y en (0, 0, 0).SOLUCIÓN Pr ime ro se c alculan los e lementos requeridos:r'(í) = <1,2/, 3/2) r "(/) = (0,2,60| r '(/) I = y / + 4 12 + 9 / 4r ' ( t ) X r * (í)i j k1 2 / 3t 2 6 t 2 i - 6/j + 2k0 2 6/| r'(/) X r"(í) | = V 3 6 14 + 3612 + 4 = 2 y / 9 t 4 + 9 t 2 + 1Con el t e o r ema 10 se obtiene e n to n c e sKÍt)| r ' ( / ) X r"(/) | 2 V I + 9 12 + 9 14| r '(/) |3 (1 + 4 12 + 9t 4)V2fcn el origen, d o n d e / = 0, la c u rv a tu r a e s k(U)= 2. ■ ■En el caso especial de una curva p lana cuya ecuación es y = f ( x ), podemos e legir a a c o rn óp a r áme t ro y e s c r ib i r r(.v) = x i + f { x ) j. E n to n c e s r'(.v) = i + f ( x ) j y r"(.í) = f" {x ) j.Pu e s to q u e i X j = k y j X j = 0, se tiene q u e r'(.v) X r"(.v) = f" (x ) k. A s im i sm o ,| r'(.v) | =/ l + [/'(.v)]2 y e n to n c e s , d e acue rdo con e l t e o r ema 10,De te rmin e la c u rv a tu ra d e la p a ráb o la y = x 1 en los EJEM PLO 5 p u n to s (0, 0 ) , (1, 1) y (2,4)SOLUCIÓN P ue s to que y ' = 2 x y y" = 2, mediante la fó rmu la 11 se obtiene
  • 251. 858 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESL a c u rv a tu ra en (O, O) e s k(O) = 2. En (1, 1) es Kl 1) = 2 / 5 3/2 =» 0.18. En (2, 4) esk (2) = 2 / 1 7 3/2 ~ 0.03. Ob s e rv e q u e de a cue rdo con la e x p re s ió n pa ra k ( x ) o p o r lagrá fic a d e k en la f igura 5, q u e k (x ) —* 0 c u a n d o x —* ±co. Es to c o r re sp o n d e al h e ch ode q u e la p a ráb o la pa rec e ha c e r s e má s p la n a c uando x —* ±co.F IG U R A 5L a p a r á b o l a V = x 2 y s uf u n c i ó n d e c u r v a t u r a .Es posible pensar que el vector normal señalala dirección en la cual la curva está girando encada punto.Vectores normales y binormalesEn un p u n to d a d o d e u n a c u r v a su a v e r(/) en e l e s p a c io , hay m u c h o s v e c to r e s q u e sono r to g o n a le s al ve c tor tangente unita r io T(/). Podemos e le g i r u n o d e e llos al o b se rv a r que ,pue s to q u e | T (/ ) | = 1 p a ra to d a t, se tiene T ( í) • T ' ( í ) = 0 de a cu e rd o c o n el e jemp lo 4 dela sección 1 3.2, d e mo d o q u e T '(/ ) e s or to g o n a l a T (/ ). Note q u e T '( / ) en sí m i smo no e s unv e c to r unitario. Pero en cu a lq u ie r p unto d o n d e k ^ 0, p o d emo s d e f in i r e l v e c to r n o rm a lu n ita rio p r in c ip a l N(/), o s imp lemen te u n ita rio n o rm a l, c omoNi/)T'(f)|T ' ( Í ) |El ve c tor B (í) = T (/ ) X N(/) se llama v e c to r b in o rm a l. Es p e rp en d icu la r a T y N y t am ­biénes un ve c tor unitario. (Vé a s e la f igura 6.)En la figura 7 se ilustra el ejemplo 6. y muestralos vectores T . N y B en dos ubicaciones sobrela hélice. En general, los vectores T , N y B . cuyoinicio se encuentra en varios puntos de la curva,forman un conjunto de vectores ortogonales, quese llama esquema TN B y se desplaza a lo largode la curva a medida que / varía. Este esquemaTN B desempeña una función importante en larama de la matemática que se ccnoce comogeometría diferencial y en sus aplicaciones almovimiento de vehículos espaciales.EJEM PLO 6 De te rmin e los ve c tore s unita r io norma l y b in o rma l p a ra la h é lic e c ircula rr (/) = e o s / i + sen t j + t kSOLUCIÓN Pr ime ro c alcule los e leme n to s ne ce sa r ios p a ra el ve c tor n o rma l unitario:r '(/) = —sen f i ■+■ e o s / j + k |r#W | =' ^T ( ') — , _.. , — —— (—sen t i + e o s / j +| r '(')l v - ^k )T ' ( ' ) = ~ 7 r ( - c o s ' * - sen ' J ) I T ' ( ' ) I = ~7.N(/)T'O)lT ‘(')l—eos t i — sen / j ■" ( — eos /, —sen /, O)Es to d emu e s t r a q u e e l ve c tor n o rma l en cu a lq u ie r p unto de la hélice e s hor izonta ly s e ñ a la h a c ia el eje r. El v e c to r b in o rma l esFIGURA 7 (s e n /, —eos /, 1 }B 0 - T ( í) X N(/) - - =V Zi j k■sen t e o s t 1■eos t —sen / OV 2
  • 252. SECCIÓN 13.3 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 859U Ü f l En Visual 13.3B se muestra cómo laestructura TNB se desplaza a lo largo de variasEl p lan o d e f in id o por los ve c tore s n o rma l y b in o rma l N y B en un p u n to P en la c u rv a Cse l lama plano n o rm a l de C en P. Es tá cons t ituido p o r todas las re ctas q u e son or togona le sal ve c tor tangente T . El plano d e f in id o p o r los ve c tore s T y N se llama plano o s cu la d o r deC en P. El n omb re p ro v ien e d e la pa la b ra latina osculum, q u e q u ie re de c i r “b e s o ” . Es elp la n o q u e e s t á m á s c e r c a de c o n te n e r la parte de la c u rv a c e r c a d e P. (En e l c a s o d e u n ac u rv a plana, el plano o s c u lad o r e s s implemente el plano q u e c o n tie n e a la curva.)L a c ircunfe renc ia q u e se localiza en el plar.o osculador de C en P tiene la mi sma tangenteq u e C en P, se sitúa en e l lado c ó n c a v o de C (ha cia el c u a l a p unta N ), y su radio p = 1 / k(el r e c íproco d e la curva tura ) , se l lama c ir cu n fe re n c ia o s cu la d o ra de C en P (o c ir c u n ­fere n c ia de c u r v a tu r a de C en P). Es la c i rcu n fe ren c ia q u e me jo r de sc r ib e c ómo se c om ­po r ta C c e r c a d e P; c omp a r te la m i sma tangente, n o rma l y c u rv a tu r a en P.En la figura 8 se ilustran la hélice y el planoosculador del ejemplo 7.F IG U R A 8Q E Im m SXM De te rmin e las e c u a c io n e s del plano n o rma l y de l plano o s c u lad o r d e lahé lic e en el e jemp lo 6 en el p u n to P(Ot 1, tt/2).SOLUCIÓN El plano n o rma l en P tiene c om o ve c tor n o rma l a t '{tt/ 2 ) = < — 1, O, 1 ) , demo d o q u e u n a e cu a c ió n es1 f.v - O) + 0(y - 1) + 1 bien x +El plano o s c u lad o r en P contiene los vectores T y N , de mo d o que su v e c to r n o rma l esT X N = B. S e g ú n el e jemp lo 6, ten emo sB(í) = —— {sen f, —eos /, 1)Un v e c to r n o rm a l má s s imp le e s ( 1 , 0 , 1), de m o d o q u e u n a e c u a c ió n d e l p lan oo s c u lad o r es (x - o) + 0(y - 1) + 1 X +En cuentre y grafique la c i rcu n fe ren c ia o s c u la E JEM P LO 8 d o r a d e la p a r á b o l a yen el origen.SOLUCIÓN De a cu e rd o con el e jemp lo 5, la c urva tura de la p a ráb o la en e l or igen esk (0) = 2. Entonc e s , el radio de la c irc u n fe re n c ia o s c u lad o ra en el or igen e s 1/k = y y suc en t ro es (o, 4). Por tanto, su e cu a c ió n es•v2 + (y - = iPor lo q u e to c a a la g rá f ic a de la f igura 9, se usa ron e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s de suc ircunferencia :X = T COS t y = 21 _+L 11 sen tF IG U R A 9 He a q u í un re sumen d e las fó rmu la s d e los ve c tore s tangente unitar io, n o rma l unita r io yb in o rma l y d e curva tura .EE3 En Visual 13.3C se muestra cómo elcírculo osculador cambia según el movimientodel punto a lo largo de la curva.
  • 253. 8 6 0 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES| Ejercicios1-6 Determine la longitud de la curva.1. r(/) = ( / , 3 cos ty 3 sen / ), —5 «S / 52. r(f) = ( 2 t , t 2yt 3) , 0 S=f s =l3. r (/) = y f l t i + j + e~* k . O ^ < 14. r(/) — cos /¡ + sen /j + ln cos / k, O «S / ~¡45. r(/) = i + / 2 j -h / 3 k, O < t ^ 16. r(f) = I 2 f i + 8 f 3/2 j -I- 3 f 2 k , O ^ t ^ I7-9 Encuentre la longitud de la curva con una aproximaciónde cuatro lugares decimales. (Use calculadora para aproximar laintegral.)7. r{/) = ( t 2, t 3, t A) , 0 * t <£ 28. r (t) - (/,<?"', t e - ' ) , l < / < 39. r(/) = (sen t, cos /, tan /) , 0 < f < 77/4f f i 10. Grafique la curva con ecuaciones paramétricas ,v = sen t,y = sen 2/, z = sen 3 1 Encuentre la longitud total de estacurva con una aproximación de cuatro lugares decimales.11 . Sea C la curva de intersección del cilindro parabólico x2 = 2yy la superficie 3r = xy. Encuentre la longitud exacta de C delorigen al punto (6, 18,36).12. Encuentre, con una aproximación de cuatro lugaresdecimales, la longitud de la curva de intersección del cilindro4.x2 + y 2 = 4 y el plana x + y + z — 2.13-14 Reparametrice la curva respecto a la longitud de arco medidad e s d e e l pu n to t — O en la d i r e c c ió n en q u e se in c r em en ta t.13. r (t) - 2 t i + (1 - 3/ ) j + (5 + 4/) k14 . r{/) = e 2( cos 2 / i + 2 j + e 2‘ sen 2 / k15 . Suponga que empieza en el punto (0, 0, 3) y se mueve 5unidades a lo largo de la curv a x = 3 sen t, y = 4t, z = 3 cos ten la dirección positiva. ¿En dónde está ahora?16 . Reparametrice la curvar (/) = í - r ^ l ) i + , 2t j r + 1 / t 2 + 1 Jrespecto a la longitud de arco medida desde el punto (1, 0)en la dirección en que se incrementa t. Exprese lareparametrización en su forma más simple. ¿Cuálesson sus conclusiones respecto a la curva?17-20a) Determine los vectores tangente unitario y normal unitarioT(?)y N(/).b) Aplique la fórmula 9 para calcular la curvatura.17. r(/) ■■ (f, 3 cos /, 3 sen /)18. r ( / ) = ( f 2, sen t — t cos t, cos t + / sen t~> 019. r(/) = {yj~2 ty e', e ~ }20 . r ( / ) = { ^ / 2, r )21-23 Utilice el teorema 10 para calcular la curv atura.21. r (t) = t 3 j + t 2 k22. r(t) = M + f 2j + e f k23. r ( /) = 3 t i + sen / j + 4 cos t k24. Calcule la curvatura de r(t) = ( t 2, ln t, t ln t) en elpunto (1,0, 0).25. Calcule la curvatura de r (t) = ( t, f 2, t 3) en el punto (1, 1, 1).26. Grafique la curva de ecuaciones paramétricas x = cos /,y = sen t, z = sen 5/, y calcule la curvatura en elpunto (1,0, 0).27-29 Mediante la fórmula 1 1 determine la curvatura.27. y = ** 28. y = tan v 29. y = x e *30-31 ¿En qué punto la curva muestra una curv atura máxima?¿Qué sucede en la curvatura cuando x ^> <»?30. y = ln a 31. y = e *32. Encuentre la ecuación de la parábola cuya curvatura es 4 en elorigen.33. a) ¿La curv atura de la curva C de la figura es mayor en P queen Q? Explique,b) Estime la curvatura en P y en Q graficando lascircunferencias osculadoras en dichos puntos.Se requiere ca lculadora giaficadora o computadora |SAC| Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tarcas sugeridas d isponibles en stewartcalculus.com
  • 254. SECCIÓN 13.3 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 86134-35 Mediante una calculadora o una computadora grafiquela curva y su función de curvatura k ( x ) en la misma pantalla.¿Es la gráfica de k que usted esperaba?3 4 . y = x 4 - 2.x2 3 5 . y = . r 236-37 Grafique la cun a en el espacio y su función de curvaturak(í). Explique cómo la curvatura refleja la forma de la curva.3 6 . r(,) = {/ — sen t, 1 — eos /, 4 cos ( //2) ) . 0 «£ / ^ 8 tí37. r ( i ) - {/<?', sÍ2 t ) , - 5 / < 538-39 Se muestran dos gráficas, a y b. Una es la curva y = f ( x )y la otra es la gráfica de su función de curvatura y = k(x).Identifique cada una de las curvas y explique sus elecciones.3 8 . 39 .40. a) Grafique la curva r(f) = (sen 3í, sen 2/, sen 3 1). ¿Encuántos puntos sobre la curva parece que la curvaturatiene un máximo relativo o absoluto?b) Mediante un SAC. determine y grafique la función decurvatura. ¿Esta gráfica confirma sus conclusionesdel inciso a)?41. La gráfica de r { r ) — ( / — 4 sen /, 1 — j eos t, /) se ilustraen la figura I2b) de la sección 13.1. ¿Dónde cree que seencuentra la mayor curvatura? Utilice un SAC paradeterminar y graficar la función de la curvatura. ¿Para quévalores de t se presenta la curvatura más grande?42. Mediante el teorema 10, demuestre que la curvatura de unacurva paramétrica en el plano x = f (t), y = g(t) es= |* y - y * |K [ i 2 + y 2 ] ’ 2donde los puntos indican derivadas respecto a t.43-45 Con la fórmula del ejercicio 42, encuentre la curvatura.43. .x = ty = i 344. x = a eos 0)t, y = b sen (ot45. x = e f eos t, y = e* sen t4 6 . Considere la curvatura en x = 0 para cada miembro de lafamilia de funciones / ( a) = e,x. ¿Para cuáles miembros esmayor k(0 )?47-48 Calcule los vectores T , N y B en el punto dado.4 7 . r ( í ) = ( l , | , i )48 . r ( / ) = (eos t, sen t, ln eos t), (1, 0, 0)49-50 Determine las ecuaciones del plano normal y del plano oscu-ladorde la curva en el punto dado.49 . x = 2 sen 3 / , y = t, z = 2 eos 31 : (0, i r, —2)50. v = í, y = tz = t 3: (1, 1, 1)^ 5 1 . Determine las ecuaciones de las circunferencias osculadoras dela e l i p s e 9 a ’ + 4 y* — 3 6 e n l o s p u n i o s ( 2 , O) y ( 0 , 3 ) . M e d í a n l euna calculadora para bosquejar gráficas o una computadora,grafique la elipse y ambas circunferencias osculadoras en lamisma pantalla.5 2 . Determine las ecuaciones de las circunferencias osculadoras dela parábola >' = 3 * 2 en los puntos (0, 0) y ( 1*3). Grafiqueambas circunferencias osculadoras y la parábola en la mismapantalla.53 . ¿En qué punto de la curva a- = t3, y = 3í, r = t* el planonormal es paralelo al plano 6a + 6y — 8z = 1?Ü ] 5 4 . ¿Hay un punto sobre la curva del ejercicio 53 donde el planoosculadores paralelo al plano x + y + z — 1? {Nota: Necesitaun SAC para derivar, simplificar y calcular un producto cruz.)55 . Encuentre las ecuaciones de la normal y los planos osculadoresde la curva de intersección de los cilindros parabólicos x = y 2y : = r e n e l punto ( 1, 1, 1).56 . Demuestre qus el plano osculador de todo punto sobre la curvar(f) = (t + 2, 1 — L t ? 2) es el mismo plano. ¿Qué podemosconcluir en relación con la curva?57 . Demuestre que la curvatura k se relaciona con la tangente y losvectores normales mediante la ecuación58 . Demuestre que la curvatura de una curva plana esK = | d f ild s |. donde <j> es el ángulo de inclinación entre T e i:es decir, ó es el ángulo de inclinación de la recta tangente.Esto demuestra que la definición de curvatura es consistentecon la definición de curvas planas dada en el ejercicio 69 de lasección 10.2.59 . a) Demuestre que d t í / d s es perpendicular a B.b) Demuestre que d B / d s es perpendicular a T.c) Deduzca de los incisos a) y b) que dB/d s = — r (f)N paracierto número t(s) llamado torsió n de la c u n a. (La torsiónmide el grado en que se puede torcer una curva.)d) Demuestre que para una curva plana la torsión es r(s) = 0.
  • 255. 862 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES60. Las fórmulas siguientes, llamadas fó rmu la s de Frene t-Ser re t,son fundamentales en la geometría diferencial:1. dT/ds = kN2. dN/ds = - kT + tB3. dtí/ds = - r N(La fórmula 1 proviene del ejercicio 57 y la fórmula 3 delejercicio 59.) Utilice el hecho de que N = B X T para deducirla fórmula 2 a partir de las fórmulas 1 y 3.61. Mediante las fórmulas de Frenet-Serret demuestre cada una delas siguientes. (Los apostrofes indican derivadas respectoa /. Inicie como en la demostración del teorema 10.)a) r" = S"T +b) r ’ X r" = k ( j ' ) 3Bc) r"' = [sm - /c2(j')J]T + [ S k s 's " + k'(j')2]N + k t ( s ')3B(r' X r") • r"d ) t r' X r'62. Demuestre que la hélice circular r(/) = (a eos /, a sen /, bt)ydonde a y b son constantes positivas, es de curvatura y torsiónconstantes. [Use el resultado del ejercicio 61d).J63. Utilice la fórmula cel ejercicio 6 Id) para encontrar la torsiónde la curva r(/) = (/,t 2, -j/3).64. Encuentre la curv atura y la torsión de la curva x = senh t,y = cosh t, z = /en el punto (0, 1, 0).65. La molécula de ADN tiene la forma de una hélice doble(véase la figura 3 de la página 842). El radio de cada una delas hélices es de casi 10 unidades angstrom (1 A = 10“8 cm).Cada hélice se levanta 34 A durante cada giro completo,y hay casi 2.9 X 1G8 giros completos. Estime la longitudde cada hélice.66. Considere el problema del diseño de la vía de un ferrocarrilpara que haya una transición suave entre tramos de vía recta.Los tramos existentes en el eje x negativo se unirán consuavidad a uu ti amo a lo laigo de la ícela y — 1 paia x > 1.a) Encuentre una polinomial P = P(x) de grado 5 tal que lafunción F definida por0 si . v oF ( r ) = { p ( x ) si 0 < .V < 11 si X * Ies continua y tiene pendiente continua y curvaturacontinua.b) Mediante una calculadora para bosquejar gráficas o unacomputadora, dibuje la gráfica de F.Movimiento en el espacio: velocidad y aceleraciónEn e s ta sección se mu e s t ra d e q u é ma n e r a se pueden u sa r las idea s d e ve c tore s tangente s yn o rma le s y la c u rv a tu ra en la física p a ra e s tu d ia r el mo v imi e n to de un objeto, in c luyendosu ve loc idad y a ce le ra c ión, a lo largo de u n a c u rv a en el e spa cio. En particula r , s eguimoslos p a so s de Newto n u s a n d o e s to s mé to d o s pa ra d e d u c i r la p r ime r a ley d e Ke p le r de lmo v imi e n to de los planetas.S u p o n g a q u e u n a p a r tícula se d e sp la z a p or e l e spa cio d e mo d o q u e su ve c tor d e posic iónen el t iemp o t e s r(t). Según la f igura 1, note que, en el c a s o de v a lore s p e q u e ñ o s de h, elve ctorrí t + h) - rít)he s u n a a p ro x ima c ió n de la di re c c ión de la p artícula q u e se mu e v e a lo largo d e la c u rv a r(Y).Su magni tud mide el tama ñ o d e l ve c tor de de sp la z amien to por unidad de tiempo. El ve c torm d a la ve loc idad promed io sobre un intervalo d e longitud h y su límite e s el v ecto r v e lo c i­dadv (í) en e l t iemp o t:As í e l ve ctor veloc idad e s también el v e c tor tangente y a p unta en la direc ción de la re cta ta n ­gente.La ra p id e z de la pa r tícula en el t iemp o t e s la mag n i tu d de l v e c to r v e loc idad, e s decir,| v (í) |. Es to e s ap ro p ia d o p orque , según Y y la ecua ción 13.3.7, ten emo sKOI —lr’(')l ds — — — razón de c amb io de la d i s tan c ia re sp e c to al t iempo
  • 256. SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 863xFIGURA 2U i l En Visual 13.4 se muestran figurasanimadas de los vectores de velocidad yaceleración que se desplazan a lo largo devarias curvas.En la figura 3 se ilustra la trayectoriade la partícula del ejemplo 2 con vectores develocidad y aceleración ciando t = 1.FIGURA 3Como en el caso del m ovimiento unidimensional, la acele ración de la partícula se define c omola d e r iv a d a d e la velocidad:a (t) = v' (t) = r ”(t)El ve c tor d e pos ic ión d e un objeto que se mu e v e en el p lan o e s tá d e f inidoE JEM P LO 1p o r r(f) = ^i + /2j. Ca lcule la v e loc idad, la rapidez y la a c e le ra ción c u a n d o t = 1,e ilustre el p ro b l ema g eomé t r ic amen te .SOLUCIÓN La ve loc idad y la a ce le ra c ión en el t iemp o t sonv(/) = r'(t) = 3 / 2 i + 2 t ja( í) = r"( /) = 6M + 2 jy la rapide z|v ( / ) | = V(3 12)2 + (2 1)2 = y/914 + 4 12Cu a n d o t = 1 ten emo svi 1) = 3 i + 2 j a ( 1) = 6 i + 2 j | v ( l ) | = -n/T TEn la figura 2 se mue s tran es tos ve c tore s de acele ra ción y velocidad.__E_JE__M__P_L_O_ _2_ E n c u e n tr e la v e lo c id a d , a c e le r a c ió n y rap id e z d e u n a p a r tí c u l a c u y o v e c to rde pos ic ión e s r ( / ) = </2, ete*).SOLUCIONv(f) = r'(f) = ( 2 t , e ' , (I + t ) e ‘ )a(tl = v'(í) = ( 2 , e(2 + t ) e ‘ >| v (í) | = V 4 í 2 + e 2‘ + (1 + t)2e 2‘Se p u e d en utilizar las integrale s vector ia les q u e se e s tudia ron en la sección 13.2 con elfin de d e te rmin a r los ve c tore s d e pos ic ión c u an d o se co n o c e n los ve c to re s d e ve loc idad ya c e le ra ción, c omo en el e jemp lo siguiente.Un a p a r tícula pa r te de su posición inicial r(O) = ( 1 ,0 , O) c o n ve loc idadEJEM PLO 3inicial v(0) = i — j + k Su a ce le ra c ión e s a '/ ) = 4 / i + 6 / j + k. Ca lcule su ve loc idad ysu pos ic ión en e l t iemp o t.SOLUCIÓN Pue s to q u e a ( /) = v'( f ) ten emo s ( t ) = f a (/) d t = [ (4M + 6 / j + k ) dt= 2 t 2 i + 3 / 2j + t k + CPa ra d e te rmin a r el v a lo r de l ve c tor cons tante C, d e b em o s ap o y a rn o s en el h e c h o de quev(0) = i — j + k. La e cu a c ió n ante r ior d a v(0) = C, de mo d o q u e C = i — j + k yv(/) = 2 / 2 i 4- 3 / 2 j + / k + i - j + k- (2r + i)i + (3r - i ) j + (/ + i )k
  • 257. 864 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESLa expresión para r(/)que obtuvmos enel ejemplo 3 fue usada para graficar latrayectoria de la partícula en la fgura 4para O í í 3.vF IG U RA 4La rapidez angular del objeto que se desplazacon posición Pe sw = dti/di. cbnde ti es elángulo que se muestra en la figura 5.O --'TdF IG U R A 6C om o( t ) = r'(f), ten emo sr(í) = f v(/) dt= f [ (2 12 + 1) i + (312 - 1) j + (/ + 1) k] dtJ= ( j t 3 + t ) i + ( t 3 - t ) j + (t 2 + f ) k + DAl h a c e r / = O, se llega a D = r(O) = i, de m o d o q u e la pos ic ión en el t iemp o t e s tád a d a porr ( í ) = + / + l ) ¡ + (t1 - ti j + ( í t 2 + t ) k HEn genera l, las integrale s ve c tor ia les p e rmi ten d e te rmin a r la v eloc idad c u a n d o se co n o c ela a c e le ra ción y la pos ic ión c u a n d o se tiene la velocidad: { t ) rU0) + f a («) du r(í) = r(f0) + f v(m) duSi se c o n o c e la fue rz a q u e a c túa sobre u n a partícula, e n to n c e s se puede d e te rmin a r la a c e ­leracióna pa r tir de la seg u nd a ley de New to n del mo vimien to . La ve rs ión ve c tor ia l dee s ta ley es tablec e que , si u n a fuerza F (f) a ctúa sobre un objeto d e ma s a m y produc e u n a a c e ­leracióna(t) en c u a lq u ie r m ome n to t, e n to n c e sF (f) = ma(t)E H a a m Un objeto de ma s a m que se d e sp la z a e n u n a t raye c tor ia c irc u la r con rapide za n g u la r c o n s tan te (o tiene un v e c to r d e pos ic ión r(/) = a eos otx + a sen a)tj . Ca lcule lafue rz a q u e a c tú a sobre el objeto y d emu e s t re q u e se dir ige h a c ia el origen.SOLUCIÓN Pa ra e n c o n t ra r la fuerza, p r ime ro ne c e s i tamos c o n o c e r la aceleración:{ t) = r'(/) = —a (o sen (ot i + aoj e o s ú)t ja(t) —1 v*(f) ™ —«íü2cos (út i — ¿víu2sen (ot jPor tanto, la s e g u n d a ley de Newton seña la q u e la fue rz a e sF( / ) = ina(t) = —mo)a eos (út+ a sen (út j )Obs e rve q u e F(7) = - / k w t ( / ) . Es to d emu e s t ra que la fuerza a ctúa en la d irección opue s tael radio v e c to r r(f) y, p o r tanto, seña la al or igen (véase la f igura 5). E s ta fue rz a se llamafue rz a centrípeta (di r igida al c entro).Q E n a a n i Un proye c t il se d i sp a ra c o n un ángulo de e leva c ión a y veloc idadinicial v0. (Vé ase la f igura 6.) Si se su p o n e que la re s i s tenc ia de l aire e s ins ignif ic ante yq u e la ú n ic a fue rz a e x te rn a se d e b e a la g ravedad, d e te rmin e la función pos ic ión r ( í )del proyectil. ¿Qué v a lo r d e a ma x imiz a e l alcance (la di s tan c ia ho r izo n ta l re cor r ida )?SOLUCIÓN Dib u je u nos e je s d e tal mo d o q u e el proyectil inicie en el origen. Pue s to quela fue rz a d e la gravedad a c tú a h a c ia abajo, tenemosF = nía = —mg jd o n d e g = | a | =» 9.8 m / s 2. Por c o n s iguiente ,
  • 258. SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 865Si eliminamos a / de la ecuación 4, veremos quey es una función cuadrática de *. Entonces, latrayectoria del proyectil es parte de la parábola.C omo v ' ( / ) = a, ten emo sy ( 0 = - 9 * j + cd o n d e C = v (0 ) = vo. Por tanto,r '(t) = ( í) = —gtj + voSi in te g r amo s de n u e v o o b ten emo sr(f) = + ív0 + DPe ro D = r(O) = O, d e mo d o q u e el v e c to r de pos ic ión de l pro y e c t il e s tá d a d o por|~3~] r ( í ) = - j g t 2 j + toSi e s c r ib imo s | v0| = v0 (la rapide z inicial del proye ctil) , e n to n c e sv0 = v0 e o s a i 4- Vo sen a jy la e cu a c ió n 3 se t ran s fo rma enr{/) — (vocos a)t i + [(yo sen a)t — j g t2] jLas e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s d e la traye ctor ia son, por tanto,m x = (y0c o s a)t y = (y0 s e n a ) / —g t 2L a di s tan c ia ho r izo n ta l d e s e l va lor de * c uando y = O. Si y = O, e n to n c e s o b ten emo s/ = O, o bien, t = (2v0 sen a ) /g . El seg u n d o va lor d e t d a e ntonc e s2y0 sen a yo(2 sen a e o s a ) sen 2 ad = x = (uo e o s a ) ------------= ----------------------= -------------9 9 9E v id e n temen te , d mu e s t ra un v a lo r m á x im o c u a n d o sen a = 1, e s de cir , a = /tt/ 4 . ■Q U E U m n Se lanz a un proye c t il c o n veloc idad inicial de 1 50 m / s y ángulo dee le v a c ió n de 4 5 ° d e sd e un lu g a r a 10 m sobre e l nivel de l suelo. ¿Dó n d e to c a rá suelo elproye c t il y con qué rapide z ?SOLUCIÓN Si h a c emo s q u e el origen sea el nivel de l suelo, e n to n c e s la pos ic ión inicialde l proye c t il e s (O, 10) y e n to n c e s ne c e s i tamos ajus ta r la e cu a c ió n 4 s uma n d o 10 a sue x p re s ió n p a ra y . Con Vo = 150 m / s , a = 45°, y g = 9.8 m / s 2, ten emo s.v — 1 5 0 c o s ( tt/ 4 ) / - 7 5 V' T /y = 10 + 150 s e n ( i r / 4 ) t - { < 9 .8 ) r = 10 + 7 5 ^ 2 " / - 4 . 9 / 2El imp a c to ocur re c u a n d o y = 0, e s de cir , 4 .9 /2 — 7 5 / 2 ~t — 10 = 0. Al re solve r e s tae cu a c ió n cuadrá tic a , y u sa r sólo e l v a lo r positivo de t, o b ten emo s75 J l + J 1 1250 + 196t = ---------------- --------------------------~ 21.749.8En tonc e s X =« 7 5/ 2 (21.74) =« 2 306, de modo q u e el proye c t il to c a el sue lo a 2 306 mde l p unto de partida.
  • 259. 866 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESLa v e loc idad de l proye c t il esv(/) = r'ít) = 75v"2~ i + (75 v'T - 9.8/) jDe mo d o q u e la rapide z de imp a c to es|v ( 2 1 .7 4 ) | =l ( l5 y f2 ) 2 + ( 7 5 v,;2 - 9.8 • 2 1 .7 4 )2 ~ 151 m / sF IG U R A 7Componentes tangencial y normal de la aceleraciónCon f recuencia, c u a n d o se e s tu d ia el mo v imi e n to d e u n a p a r tícula e s útil re solve r la a c e le ­raciónen d o s c omp o n e n te s , a saber, u n a en la direc ción de la tangente y la o tra en la d i r e c ­ción de la normal. Si e s c r ib imo s v = | v | pa ra la rapidez de la p ar tícula , e ntonc e sT í/ )r 'í/l v(Z)I r'(7) | v (í| | vy de este mo d o v = vTSi d e r iv amo s amb o s miemb ro s de e s ta e cu a c ió n re spec to a /, o b ten emo s|~5~| a = v' = v 'T + vT'Si u s amo s la e xpre s ión p a ra la c u rv a tu r a d e f in id a por la e cu a c ió n 13.3.9, e n to n c e s ten emo sT' I IT'IE d e modo que KVEl ve c tor unita r io n o rma l fue de f in id o en la sección ante r ior c om o N = T ' / | T ' | , a s í q u e [ó]d aT ' = T ’ N = k vNy la e cu a c ió n 5 se t ra n s fo rma enm a = v 'T 4- K trNAl e s c r ib i r aT y U p a r a las cuiiiponenles tangencia l y n o n n a l d e la a c e le ra ción tenemosa = citT + ciNdon d eH a t y a u = k vEs ta re soluc ión se i lus tra en la f igura 7.E x amin emo s lo que p lan te a la fó rmu la 7. Lo pr ime ro q u e hay q u e o b se rv a r e s que noexis te el v e c to r b in o rma l B. No imp o r ta c ómo se d e sp la z a un objeto p o r e l e sp a c io , su a c e ­leracións iempre e s tá en e l plano fo rma d o por T y N (el plano osculador ) . (Re cu e rd e q u e Tp ro p o rc io n a la di re c c ió n de l mo v imi e n to y N apunta la d i re c c ión en q u e gira la cu rv a . ) Los iguiente q u e tiene q u e v e r e s que la c omp o n e n te tangencial d e la acele ra ción es vla razónde c am b io d e la rapide z, y que la c omp o n e n t e norma l de la a c e le ra ción es k v 2, la c u rv a tu ramu lt ip lic ad a p o r e l c u a d r a d o d e la rapidez. Es to tiene sentido si p iens a en e l pa sa je ro de unautomóvil: u n a v u e lta muy c e r r a d a en u n a c a r re te ra s igni f ic a un gran va lor d e la c u rv a tu rak , de mo d o q u e la c omp o n e n t e d e la a c e le ra ción pe rpendicula r al mo v imi e n to e s grande yel pa sa je ro e s lanz ado c o n t r a la p o r te z u e la de l automóvil. Un a a lta v e loc idad en la c u rv atiene el mismo e fecto: de he cho, si dup l ic a su velocidad, íjn se in c rementa en un factor d e 4.
  • 260. SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 867Hay ex p re s io n e s pa ra las c omp o n e n te s tangencial y n o rma l de la acele ra ción en las e c u a ­cio n e s 8, pe ro lo me jo r e s tene r e x p re s io n e s q u e d e p e n d a n sólo de r , r ' y r" . Con e s te fino b te n emo s el p ro d u c to p unto de v = t/T y a d e f in id a según la e c u a c ió n 7:v • a = vT • ( ü 'T + k v 2Ni= v v 'T • T + k v 3T • N= w ' (puesto que T • T = 1 y T • N = 0)Por tanto,0 Ü T = Vr ;(/) • r "(t)IrWlSi u s amo s la fó rmu la d e la curv a tura q u e pro p o rc io n a e l t e o r ema 13.3.10, ten emo s2 _ | r '(?) X r"(t) | | _ | r'(Q X r " ( 0 |a.N = KVr '(/)w | rW|E JEM P LO 7 Un a p a r tícula q u e se d e sp la z a tiene u n a func ión pos ic ión r (t) = (t2, Z2, Z3).De te rmin e las c omp o n e n t e s tangenc ia l y norma l d e la a celeración.SOLUCIÓN r ( t ) = t 2-P Z2j + Z3 kr'(Z) = 2 / i + 2 Z j + 3Z2 kr " ( t ) = 2 i + 2 j + 6 Z k| r'(f) | = V"8Z2 + 914Por tanto, la e cu a c ió n 9 d a la c omp o n e n t e tangencialr ’( t) • r ”(t) 8 1 + 18/a Tr'(Z) | V '8 Z 2 -I- 9Z ‘Puesto que r'(/) X r "(/)1 j k2/ 2t 3t 22 2 6 /6 /“ i - 6/“ jLa e cu a c ió n 10 p ro p o rc io n a la c omp o n e n t e normal:| r'(f) X r"(t) | 6 s / 2 t 2CLn| r'(/) I v 8 / 2 + 9 / 41 i Leyes de Kepler del movimiento de los planetasA c o n tin u a c ió n se e x p l ic a uno de los má s grandes logros de l c á lcu lo , mo s t ra n d o c ómo elmate ria l de e ste c apítulo se puede utilizar para demo s tra r las leyes de Kepler del mo vimientod e los p lane ta s . D e s p u é s d e 2 0 años de e s tudia r las o b s e rv a c io n e s a s t ro n ómi c a s de la s t ró n omo d a n é s T y c h o Bra h e , e l ma temá t ic o y a s t ró n omo a lemán Jo h a n n e s Ke p le r( 1 5 7 1 -1 6 3 0 ) fo rmu ló las tres leyes siguientes:
  • 261. 8 6 8 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESLeyes de Kepler1. Un p lan e ta gira a l rededor d e l Sol s iguiendo u n a órbita e líptic a, uno de cu y o sfocos e s el Sol.2. L a re cta q u e une al Sol c o n un plane ta, barre á reas iguale s en t iemp o s iguales.3. El c u a d r a d o de l p e r io d o d e re voluc ión de un p lan e ta e s p ro p o rc io n a l al c u b o dela longitud de l eje ma y o r de su órbita.mmyIsaac Newto n , en su libro Principia Mathematica, d e 1687, fue c apa z de d emo s t r a r quee s ta s tres leyes son c o n s e c u e n c ia s de d os de sus propias leyes, a saber, la s e g u n d a ley delmo v imie n to y la ley d e la g ravitac ión universal. A co n tin u a c ió n se d emu e s t r a la p r ime ra leyde Kepler. Las otras leyes se de jan c om o e jercicios , c o n a lguna s sugerencias .Pue s to q u e la fue rz a gi avila c ioua l d e l Sol sobre un p lan e ta e s mu c h o má s grande q u e lasfu e rz a s q u e e je rc e n ot ros c u e rp o s c e le s te s , e s pos ible ig n o r a r c o n to d a se g u r id ad to d o slos c u e rp o s de l un iv e r so e x c e p to al Sol y un plane ta q u e gira a su a lrededor. Utilice un sis­temac o o rd e n a d o con el Sol en el origen, y h a g a que r = r ( t ) sea el ve c tor de posic ión delplane ta. (El m i sm o re su l ta d o e f e c t iv o se obt ie n e si h a c e q u e r s e a el v e c to r d e p o s ic ió nde la L u n a o de un satélite q u e gira a l rededor de la T ie r ra o d e un c ome t a q u e gira a l re d e ­do r de u n a es trella.) El v e c to r v eloc idad es v = r ' y e l v e c tor a c e le ra ción e s a = r". Apl iquelas siguiente s leyes de Newton:S e g u n d a ley de mo v imien to : F — maGMm GMmLey de la gravitación: F = —d o n d e F e s la fue rz a de la gravitac ión d e un planeta, m y M son las ma s a s del p lan e ta y delSol, G e s la c o n s tan te de gravitac ión, r — | r |, y u = ( 1 f r ) r e s e l ve c tor u nita r io en la d i r e c ­ción de r.Pr ime ro se d emu e s t r a q u e el p lan e ta se mueve en un plano. Si ig u a lamo s las e x p re s io n e sde F d e las d os leyes de Newto n , e n c o n t ramo s queGMa = ry e n to n c e s a e s pa ralelo a r. Se infiere que r X a = 0. Us amo s la fó rmu la 5 de l teo r ema13.2.3 y e s c r ib imo sd— ( r X v ) = r ' X v + r X v'dt= v X v + r X a = 0 + 0 = 0Por tanto, r X v = hd o n d e h e s un v e c to r c o n s t a n t e . (P o d r í am o s su p o n e r q u e h 0 ; e s d e c i r , r y v n o sonpa ralelos .) Es to s ignif ic a q u e el v e c to r r = r(f) e s p e rp en d icu la r a h p a ra todos los va lore sd e t, d e m o d o q u e e l p l a n e t a s iemp re q u e d a en el p la n o q u e p a s a p o r e l o r ig en y e s p e r ­pe n d ic u la r a h. Por tanto, la órbita d e l p lan e ta e s una c u rv a plana.Pa ra d emo s t r a r la p r ime ra ley de Kepler , e sc r ibimos d e n u e v o el ve c tor h c omo sigue:h = r X v = r X r ' = r u X i r u)'= r u X ( ru ' + r 'u ) = r 2{u X u ') + r r '(u X u)= r 2(u X u'J
  • 262. SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 869Entonc e sF IG U R A 8- G Ma X h = — — u x (r ~u u ) = ~ G :M u X (u X u')= — GM [ {U • tT )u — (u * u l l l ' ] (según el teorema 12.4.11. propiedad 6)Pero u • u = | u |2 = 1 y p u e s to q u e | u(f) | = 1, e n to n c e s se infiere de l e jemp lo 4 d e ión 13.2 q u e u • u ' = O. Por tanto,a X h = G M u'y a s í (v X h ) ' = v ' X h = a X h = G M u'Al integra r amb o s miemb ro s de la e cu a c ió n , se llega a|~ÍT~| v X h = G M u + cd o n d e c e s un ve c tor constante.En e s te p unto e s c o n v en ien te e le g i r los ejes c o o rd e n a d o s de mo d o q u e e l ve c tor k delmo d e lo b a se apunte en la di re c c ión d e l v ector h. En tonc e s el plane ta se d e sp la z a en e l planoxy. Puesto q u e tanto v X h c omo u son pe rpendicula re s a h, la e cu a c ió n 1 1 mu e s t r a q u e cq u e d a en el p lan o xy. Es to s ignif ic a q u e puede e s c o g e r los e je s x y y de tal m a n e r a q u e elv e c to r i q u e d e en la di re c c ió n de c, c om o se ilustra en la f igura 8 .Si 0 e s e l á n g u lo entre c y r, e n to n c e s (r, 6) son las c o o rd e n a d a s p ola re s d e l planeta.Según la e cu a c ió n I I ten emo sr • (v X h) = r • I G M u + c = G M r • u + r • c= GM r u • u + I r I I c I e o s 6 = GM r -I- r e e o s 6d o n d e c = c . Entonc esr • (v X h) 1 r • (v X h)GM -l- c e o s 6 GM 1 -I- e e o s 6d o n d e e = c/{GM). Peror • (v X h ) = ( r X v) • h = h ■ h = | h |2 = h 2d o n d e h = | h |. De mo d o quehr/{GM) ehrfc1 -l- e e o s S l + e eos 0Si e s c r ib imo s d = Ir/c, o b te n emo s la ecua ción12ed1 -l- e eos 0Al c om p a r a r con el teo rema 10.6.6, e s c la ro que la e cu a c ió n 12 e s la e cu a c ió n polar de unasección c ó n ic a con foco en el or igen y excentr ic idad e. S a b emo s q u e la órbi ta de un plane tae s u n a c u rv a c e r ra d a , y e n to n c e s la c ó n ic a tiene q u e ser u n a elipse.Con e s to te rmin a la d ed u c c ió n de la p r ime ra ley de Kepler. Se le guia rá en la d ed u c c ió nde la s e g u n d a y la terc era leyes en e l p roye c to de aplicación de la p á g in a 872. Las d emo s t r a ­cio n e s d e e stas tres leyes ha c en evidente q u e los mé to d o s d e e s te c apí tulo p ro p orc ionan unah e r ramie n ta e f ic az p a ra e x p l ic a r a lg u n a s de las leyes de la n a turaleza.
  • 263. 870 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESEjercicios1. En la tabla se proporcionan coordenadas de unapartícula que se despieza por el espacio a lo largode una curva suave.a) Calcule las velocicades promedio sobre los intervalos[O, 1], LO.5, 1], 11,2] y [1, 1.5J.b) Estime la velocidad y la rapidez de la partículaen / = 1.t X y 20 2.7 9.8 3.70.5 3.5 7.2 3.31.0 ¿.5 6.0 3.01.5 5.9 6.4 2.82.0 7.3 7.8 2.72. La figura muestra la trayectoria de una partícula que se muevecon vector de posición r(t) en el tiempo t.a) Trace un vector que represente la velocidad promedio de lapartícula sobre el intervalo 2 < t < 2.4.b) Dibuje un vector que represente la velocidad promedio enel intervalo 1.5 ^ t ^ 2.c) Escriba una expresión para el vector de velocidad v(2).d) Dibuje una aproximación al vector v(2) y estime larapidez de la partícula en / = 2.3-8 Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de una partículacon la función de posición dada. Grafique la trayectoria de lapartícula y dibuje los vectores de velocidad y aceleración para elvalor especificado de t.3. r = , - 24. r(/) = {2 — /, 4 v t ), 1 = 15. r(/) = 3 eos f i + 2 sen / j , / = tt/36. r(/) ™ e 1 i ■+■ e * j , / ™ 07 . r(/) = /¡ + /2j + 2 k . t = 18 . r(/) = / i + 2 eos /j -I- sen t k , t = 09-14 Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula conla función de posición dada.9. r{/) = { /2 -I- /, f2 — t, / 3) 10. r(/) = (2 eos /, 3/, 2 sen11. r(z) ™ y/2 t+ e' j + e~‘ k 12. r(/) — t 2 ¡ + 2 / j + ln f k13. r{z) = <?'(cos t i + sen / j + / k)14. r { / ) — ( / 2, sen t — / eos t, eos t + / sen /) . / > 015-16 Determine los vectores de velocidad y posición de unapartícula que tiene la aceleración dada y la velocidad y posicióniniciales dadas.15. a(/) = i 4 2 j , v(3) = k, r(0) = i16. a(f) = 2 i + 6 / j 4 12 / 2 k, v(0) = i, r(0) = j - k17-18a) Encuentre el vector de posición de una partícula que tiene laaceleración dada y la velocidad y posición iniciales especificadas./H b) Mediante una computadora, grafique la trayectoria de la partícula.17. a{/) = 2 t i 4- sen /j + eos 2 / k, v(ü) = i, r(0) = j18. a(/) - / i + j + c " k, v(0) - k. r(0) - j + k1 9 . La función de posición de una partícula está definida porr(/í = ( t 2, 5t, t 2 — 16/). ¿Cuándo la rapidez es mínima?20. {,Cuánta fuerza se requiere para que la partícula de masa mtenga la función de posición r(/) = /*i 4 4 ^k ?2 1 . Una fuerza de magnitud de 20 N actúa en forma directa haciaarriba del plano xy sobre un objeto con masa de 4 kg. El objetoparte del origen con velocidad inicial v(0) = i — j. Determinela función de posición y su rapidez en el tiempo t.2 2 . Demuestre que si una partícula se desplaza con rapidezconstante, entonces los vectores de velocidad y aceleraciónson ortogonales.2 3 . Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 200 m / s yángulo de elevación 60°. Encuentre a) el alcance del proyectil,b) la altura máxime alcanzada y c) la rapidez en el impacto.2 4 . Vuelva a hacer el ejercicio 23, ahora considerando que elproyectil se lanza desde un lugar a 100 m sobre el nivel delsuelo.2 5 . Se arroja una pelota con un ángulo de 45° respecto al suelo. Sila pelota aterriza a 90 m de distancia, ¿cuál es la rapidez inicialde la pelota?2 6 . Se dispara una pistola con un ángulo de elevación de 30°.¿Cuál es la velocidad inicial del arma si la altura máxima delproyectil es de 500 m?2 7 . Un arma tiene una velocidad inicial de 150 m/s . Determine dosángulos de elevación que se puedan aplicar para alcanzar unblanco a 800 m de distancia.Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 264. SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 87128. Un bateador envía la pelota de béisbol a 3 pies por arribadel nivel del suelo hacia la valla del campo central, la cualmide 10 pies de altura y está a 400 pies de home. La bolaabandona el bate con una rapidez de 115 pies/s, con unángulo de 50° respecto a la horizontal. ¿Es un jonrón? (Enotras palabras, ¿la pelota podrá librar la valla?.)29. Una ciudad medieval tiene la forma de un cuadrado y estáprotegida por murallas con longitud de 500 m y altura de15 m. Usted es el comandante de un ejército atacante y lomás cerca de la muralla adonde puede llegar es 100 m. Suplan es prender fuego a la ciudad al lanzar piedras calientespor encima de la muralla (con una rapidez inicial de 80 m/s).¿A qué margen de ángulos debe decirles a sus hombres queajusten la catapulta? (Suponga que la trayectoria de laspiedras es perpendicular a la muralla.)30. Demuestre que un proyectil alcanza tres cuartos de su alturamáxima en la mitad del tiempo requerido para alcanzar sualtura máxima.31. Una pelota es lanzada al aire desde el origen hacia el este(en la dirección del eje x positivo). La velocidad inicial es50 i + 8 0 k, con una rapidez medida en pies por segundo.El giro de la pelota provoca una aceleración hacia el surde 4 p ie s /s2, por lo que el vector aceleración esa = —4 j — 3 2 k ¿Dónde caerá la pelota y con qué rapidez?32. Una pelota con masa de 0.8 kg se lanza al aire hacia el surcon una velocidad de 30 m / s a un ángulo de 30° respectoal suelo. Un viento del oeste aplica una fuerza continuade 4 N a la pelota en dirección del este. ¿En dónde cae lapelota y con qué rapidez?33. Por lo regular, el agua que corre por una parte recta de unrío fluye con mayor rapidez en el centro, y aminorahasta llegar a casi cero en las riveras. Considere un largotrecho que va hacia el norte con riveras paralelas conseparación de 40 m. Si la rapidez máxima del agua es de3 m/ s , podemos utilizar una función cuadrática como modelobásico para el caudal de agua x unidades desde la riveraoeste: f{x) = ¿5 *(40 - x).a) Una embarcación parte a una rapidez constante de 5 m/ sdesde un punto A en la rivera oeste mientras mantiene unrumbo perpendicular a la orilla. ¿Qué tan lejos río abajola embarcación tocará tierra en la orilla opuesta?Grafique la trayectoria del barco.b) Suponga que le gustaría llevar la embarcación hasta elpunto B en tierra en la orilla opuesta exactamente enfrentede A. Si mantiene una rapidez constante de 5 m / s y unrumbo constante, determine el ángulo que debe seguir laembarcación. Después grafique la trayectoria real que sigueel barco. ¿Parece ser real la trayectoria?34. Otro modelo razonable para la rapidez del agua del río delejercicio 33 es una función seno:/(.x) = 3 sen (ttx/40). Si unhombre en un bote quisiera cruzar el río desde A hasta B condirección constante y velocidad constante de 5 m/ s , calculeel ángulo al cual el bote debe partir.35. Una partícula tiene función posición r(/). Si r'{t) = c X r (t) ,donde c es un vector constante, describa la trayectoria de lapartícula.36. a) Si una partícula se mueve a lo largo de una recta, ¿quép o d em o s H e r ir en re la c ió n r o n su v e c to r a c e le r a c ió n ?b) Si una partícula se mueve con rapidez constante a lolargo de una curva, ¿qué podemos decir en relación consu vector aceleración?37-42 Calcule los componentes tangencial y normal del vectoraceleración.3 7 . r ( / ) - { 3 / - t 3) i + 3 / 2j3 8 . r(/) -(I + t ) i + ( r - 2/)j3 9 . r(/) ™ eos t i + sen / j + / k4 0 . + r j + 3 / k4 1 . r(/) - e ' i + v7 ' j - k4 2 . r(/) — / i + c o s " / j + senJ/ k4 3 . La magnitud del vector aceleración a es 10 cm / s 2. Mediantela figura, estime las componentes normal y tangencial de a .44. Si una partícula cuya masa es m se desplaza con un vector deposición r(/), entonces su c ant idad de movimiento angula rse define como L (/) = mr(t) X v(f) y su torque comor(f) = tr(t) X a(/). Demuestre que L'( f ) = r(t). Demuestreque si r (t) = 0 para toda /, entonces L(t) es constante. (Estaes la ley de la conservación de la cantidad de movimientoangular.)45. La función de posición de una nave espacial esr(f) = (3 + t) i + (2 + ln t) j + ^7 - ^ * | ^ ky las coordenadas de la estación espacial son (6, 4, 9).El capitán quiere que la nave espacial llegue a la estaciónespacial. ¿Cuándo se deben apagar los motores?4 6 . Un cohete que quema su combustible que lleva a bordomientras se desplaza por el espacio, tiene una velocidad v(/) yuna masa mif) en el tiempo t Si los gases de escape salencon una velocidad v,, en relación con el cohete, se puede deducira partir de la segunda ley de Newton del movimiento queddmm = v4dt dt. ?»(0)a) Demuestre que {t) = v(0) — l n ve.m(t)b) Para que el cohete acelere en una recta desde el reposo ados veces la velocidad de sus propios gases de escape,¿qué fracción de su masa inicial tendría que quemar elcohete como combustible?
  • 265. 8 7 2 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESPROYECTO DE APLICACIÓN LEYES DE KEPLERJohannes Kepler formuló las tres leyes siguientes para el movimiento de los planetas con base endatos sobre la posición de los planetas en diferentes tiempos.L e y e s de K e p le r1 . Un planeta gira alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica, uno de cuyos focos es elSol.2 . La recta que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.3 . El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de lalongitud del eje mayor de su órbita.Kepler formuló estas leyes porque se ajustaban a los datos astronómicos. No pudo ver por qué eranválidos o cómo se relacionaban entre sí. Pero Isaac Newton, en su libro Principia Mathematica, de1687, demostró cómo deducir las tres leyes de Kepler a partir de dos de las propias leyes de New­ton,a saber, la segunda ley del movimiento y la ley de la gravitación universal. En la sección 13.4,se demuestra la primera ley de Kepler usando el cálculo de funciones vectoriales. En este proyecto sele guía a través de las demostraciones de la segunda y tercera leyes de Kepler, y se exploran algu­nasde sus consecuencias.1. Siga los pasos siguientes para demostrar la segunda ley de Kepler. La notación es la mismaque en la demostración de la primera ley de la sección 13.4. En particular, use las coordenadaspolares de tal manera que r = ( r eos 9) i + (r sen 6) j., dda) Demuestre que h = r~ k.dtb) Deduzca que T~2 —M— = h,.dtc) Si A = A(t) es el área barrida por el vector del radio r = r(/) en el intervalo [/o, ?], comoen la figura, demuestre quedA , 2 d0_dt dtd) Deduzca quedA ,™ - h ™ constantedtEsto establece que la razón a la cual A es barrida es constante y demuestra la segunda leyde Kepler.2 . Sea T el periodo de un planeta que gira alrededor del Sol, es decir, T es el tiempo querequiere para dar una vuelta recorriendo su órbita elíptica. Suponga que las longitudesde los ejes mayor y menor de la elipse son 2a y 2b.a) Mediante el inciso d) del problema 1, demuestre que T = h r a b /h .h 2 b 2b) Demuestre q u e = e d = •.GM a■> 4-7T2c) A partir de los incisos a) y b), demuestre que T~ = a .GMEsto demuestra la tercera ley de Kepler. [Observe que la constante de proporcionalidad4 tt~/ (GM) es independiente del planeta.]
  • 266. CAPÍTUL013 REPASO 8733. El periodo de la órbita de la Tierra es aproximadamente de 365.25 días. Con esta informacióny la tercera ley de Kepler, calcule la longitud del eje mayor de la órbita terrestre. Necesita lamasa del Sol, M = 1.99 X 1030kg y la constante gravitacional G = 6.67 X 10-IIN • m2/ k g 2-4. Es posible colocar un satélite en órbita alrededor de la Tierra de tal modo que permanezca fijoen un lugar determinado sobre el ecuador. Calcule la altitud que requiere tal satélite. La masade la Tierra es de 5.98 X 1031 kg: su radio es de 6.37 X 106 m. (Esta órbita se llamó órbitageosíncrona de Clarke en honor al escritor Arihur C. Clarke, quien propuso la idea en 1945.El primero de tales satélites, Syncom II, fue lanzado en julio de 1963.)RepasoRevisión de conceptos1. ¿Qué es una función vectorial? ¿Cómo calcula su derivaday su integral?2. ¿Cuál es la relación entre las funciones vectorialesy las curvas espaciales?3. ¿Cómo calcula el vector tangente a una curva suave en unpunto? ¿Cómo determina la recta tangente? ¿Y el vectorunitario tangente?4. Si u y v son funciones vectoriales derivables, c esun escalar y / es una función de valores reales,escriba las reglas para derivar las funciones vectorialessiguientes.a) u (t) + {t) b) cu(t) c) f ( t ) u (t)d) u(f) • v(f) e) u (t) X v(í) f) u (/(*))5. ¿Cómo calcula t longitud de una curva en el espaciosi conoce una función vectorial r(/)?6. a) ¿Cuál es la definición de curvatura?b) Escriba una fórmula para curvatura en términos de r'(/)y T '(D .c) Escriba una fórmula para curvatura en términos de r '(/)y r "(f).d) Escriba una fórmula de una curva plana cuya ecuaciónes y = f(x).7. a) Escriba fórmulas para los vectores unitarios normal ybinormal de una curva suave r(/) en el espacio,b) ¿Cuál es el plano normal de una curva en un punto?¿Cuál es el plano osculador? ¿Cuál es la circunferenciaosculadora?8. a) ¿Cómo se calcula la velocidad, rapidez y aceleración deuna partícula que se desplaza a lo largo de una curva en elespacio?b) Exprese z aceleración en términos de sus componentestangencial y normal.9. Enuncie las leyes de Kepler.Examen rápido Verdadero-FalsoDetermine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique porqué. Si es falso, explique la razón o proporcione un ejemplo que contradiga elenunciado.1. La curva con ecuación vectorial r(f) = f 3i + 2 í 3j + 3 / 3kes una recta.2. La curva r(/) = (0, f 2, 4 1) es una parábola.3. La curva r(í) = 2t, 3 — t, 0 ) es una recta que pasa por elorigen.4. La derivada de una función vectorial se obtiene derivando cadafunción componente.5. Si u(/) y v(/) son funciones vectoriales derivables, entonces4 - [u(f) X v(f)] = u'(t) X v'(í)dt6. Si r (/) es una función vectorial derivable, entonces7. Si T(/) es el vector unitario tangente de una curva suave,entonces la curvatura es k = dT /d t.8. El vector bincrmal es B(r) = N(/) X T(/).9. Suponga que f e s dos veces derivable continuamente. En unpunto de inflexión de la curva y =f(x), la curvatura es 0.10. Si k(Í) = 0 para toda t, la curva es una línea recta.11. Si | r (t) | = 1 para toda /, entonces | r'(f) | es una constante.12. Si | r(í) | = 1 para toda t, entonces r'(/) es ortogonal a r(Z) paratoda t.13. La circunferencia osculadora de una curva C en un punto tieneel mismo vector tangente, vector normal y curvatura que C enese punto.^ rWl= | r ' ( í ) l14. Diferentes parametrizaciones de la misma curva resultan enidénticos vectores tangentes en un punto dado sobre la curva.
  • 267. 874 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALESEjercicios1. a) Grafique la curva cuya función vectorial esr(í) = ti + cos Tit j + sen 7r tk t > 0b) Encuentre r'(t) y r”(t).2. Sea r (f ) = ( N/2 - t , { e f - l ) / t ,n ( t + 1)>.a) Proporcione el dominio de r.b) Calcule l í m . r ( í )c) Determine r'(/).3. Determine una función vectorial que represente la curva deintersección del cilindro a 2 + y 2 = 16 y el plano x + z = 5.4 . Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta tangente ala curva x = 2 sen t, y = 2 sen 2t, z = 2 sen 3f en el punto( l , v 3 , 2). Grafique la curva y la recta tangente en una mismapantalla.5. Si r(t) = Z2i + / cos T/j + sen 7r/k. evalúe J0' r(Z) dt.6. Sea C la curva cuyas ecuaciones son x = 2 — t*, y = 2t — 1,r = ln t. Determine a) el punto donde C interseca al planoxz, b) las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en(1, 1, 0), y c) una ecuación del plano normal a C en (1, 1,0).7 . Utilice la regla de Simpson con // = 6 para estimar la longituddel arco de la curva CDn ecuaciones X = Z2, y = f 3, z = /*,0 ^ ^ 3.8. Calcule la longitud de la curva r(/) = ( 2 / 3^2, cos 2/, sen 2 ty0 ^ < 1.9. La hélice r <(') = cos t ¡ + sen f j + / k interseca a la curvar 2(f) = (1 + f) i + í 2j + Z3k en el punto (1 ,0 , 0). Calculeel ángulo de intersección de estas curvas.10. Reparametrice la curva r(z) — e ’ i + e ‘ sen / j + ? fc o s / krespecto a la longitud de arco medida desde el punto (1 ,0 , 1)en la dirección en que aumenta t.11. En el caso de la curva definida por r(Z) = (y /3, j / 2, /}, calculea) el vector tangente unitario,b) el vector normal unitario yc) la curvatura.12. Determine la curvatura de la elipse x = 3 cos t, y = 4 sen Jenlos puntos (3, 0) y (0,4).13. Calcule la curvatura de la curva y = a4 en el punto (1, 1).14. Plantee una ecuación de la circunferencia osculadora de lacurva y = xÁ — a2 en el origen. Grafique tanto la curva comosu circunferencia osculadora.15. Formule una ecuación para el plano osculador de la curvaa = sen 2t , y = t, z = cos 2í en el punto (0, 7r. 1).16. En la figura se ilustra la curv a C trazada por una partícula convector de posición r(/) en el tiempo ta) Trace un vector qae represente la velocidad promedio dela partícula en el intervalo 3 ^ t < 3.2.b) Escriba una expresión para la velocidad v(3).c) Escriba una expresión para el vector tangente unitarioT(3) y dibújelo.17. Una partícula se mueve con función de posiciónr(Z) = / I n / i + í j + e~f k. Calcule la velocidad, rapidezy aceleración de la partícula.18. Una partícula parte del origen con velocidad inicial i — j + 3 k.Su aceleración es a(/) = 6t i + 12^ j — 6/k. Calcule sufunción de posición.19. Un tirador dispara con un ángulo de 45° respectoa la horizontal a una velocidad inicial de 43 pies/s.La mano del tirador se sitúa a 7 pies por arriba del suelo.a) ¿Dónde está el disparo 2 s después?b) ¿Qué tan alto va el disparo?c) ¿Dónde aterriza el disparo?20. Calcule las componentes tangencial y normal del vector de laaceleración de una partícula con función de posiciónr(f)= íi + 2/j + r k21. Un disco de radio I gira en la dirección contraria a lasmanecillas del reloj a una rapidez angular constante co. Unapartícula parte del centro del disco y se desplaza hacia laorilla a lo largo de un radio fijo de tal modo que su posiciónen el tiempo í?5 3, está dada por r(t) = /R(/), dondeR(í) = cos cot i + sen cot ja) Demuestre que la velocidad v de la partícula esv = cos cot i + sen cot j + t4donde a = R'(/) es la velocidad de un punto en la orilladel disco.b) Demuestre que la aceleración a de la partícula esa = 2 ¿ + t a¿donde a¿ = R"(0 es la aceleración de un punto en elborde del disco. El término extra 2¿ se llama aceleraciónde Coriolis. Es el resultado de la interacción de larotación del disco y el movimiento de la partícula.Uno puede conseguir una demostración física de estaaceleración caminando hacia el borde de un carrusel.KM Se requiere calculadoragraíicadora o computadora
  • 268. CAPÍTUL013 REPASO 875c) Determine la aceleración de Coriolis de una partícula quese mueve sobre un disco que gira según la ecuaciónr(f) eos (üt i + e~‘ sen22. Al diseñar curvas de transición para unir partes rectas devías de ferrocarril, es importante darse cuenta de que laaceleración del tren debe ser continua para que la fuerzade reacción que ejerce el tren en la vía también lo sea. Debidoa las fórmulas para las componentes de la aceleración de lasección 13.4, éste será el caso si la curvatura varía en formacontinua.a) Un candidato lógico para curva de transición para unir víasexistentes dadas por y = 1 para y ^ 0 y y = y¡2 — X paraX >!Í2 podría ser la función/!*) = V 1 ~0 < * < 1 /^ 2 , cuya gráfica es el arco de la circunferenciamostrado en la figura. Esta parece razonable en una primeramirada. Demuestre que la funciónF(x) =1v Tsi v «S 0.r2 si 0 < .v <¡2si x * l /v 2es continua y tiene pendiente continua, pero su curvaturano es continua. Por t a n to , /n o es una curva de transiciónapropiada.b) Determine ur.a polinomial de quinto grado para que sirvacomo curva ce transición entre los siguientes segmentosrectilíneos: y = 0 para * ^ 0 y y = x para x > I . ¿Sepodría efectuar mediante una polinomial de cuarto grado?Mediante una calculadora graficadora o una computadora,grafique la función “conectada” y compruebe que luzcacomo la de la figura./ curva dey ^transición23. Una partícula P se desplaza con rapidez angular constante o>alrededor de un círculo cuyo centro es el origen y cuyo radio esR. Se dice que la partícula mantiene un movimiento circularuniforme. Supongamos que el movimiento es en sentidocontrario al de las manecillas del reloj, y que la partícula estáen el punto (R, 0) cuando / = 0. El vector de posición en eltiempo t > 0 es r (i) = R eos (ot i + R sen (ot j.a) Encuentre el vector velocidad v y demuestre que v • r = 0.Concluya que v es tangente a la circunferencia y apunta enla dirección cel movimiento.b) Demuestre que la rapidez | v | de la partícula e s la constante&>R. El periodo T de la partícula es el tiempo que requierepara completar una revolución. Concluya quec) Encuentre el vector aceleración a. Demuestre que esproporcional a r y que apunta hacia el origen. Unaaceleración con esta propiedad se llama aceleracióncentrípeta Demuestre que la magnitud del vectoraceleración es | a | = Reo2.Suponga que la partícula tiene masa m. Demuestre que lamagnitud de la fuerza F que se requiere para producir estemovimiento, llamada fuerza centrípeta, esd)F |m | v |:24. Una curva circular de radio R sobre una carretera estáperaltada con un ángulo 0 de modo que un automóvil puederecorrer la curva con seguridad sin patinar cuando no hayfricción entre la carretera y las llantas. La pérdida de fricciónpuede ocurrir, por ejemplo, si la carretera está cubierta con unacapa de agua o de hielo. La rapidez permitida V#de la curva,es la velocidad máxima que un automóvil puede conseguir sinpatinar. Suponga que un automóvil de masa m pasa por lacurva a la velocidad permitida l>*. Dos fuerzas actúan sobre elautomóvil: la fuerza vertical, mg, debida al peso del automóvil,y la fuerza F que ejerce la carretera y que es normal a ella(véase la figura).La componente vertical de F equilibra el peso del vehículo,de modo que ¡ F | eos 0 = mg. La componente horizontal de Fgenera una fuerza centrípeta sobre el vehículo, de modo que,según la segunda ley de Newloii y el inciso d) del pioblenia 23,F | sen 6 —mvRRa) Demuestre que v j = Rg tan $.b) Encuentre la rapidez permitida en una curva circular con400 pies de radio que está peraltada con un ángulo de 12°.c) Suponga que los ingenieros de diseño quieren mantenerel peralte a 12°, pero desean incrementar la velocidadpermitida en 50%.
  • 269. Problemas adicionalesF IG U R A PA R A E L P RO B L EM A 1F IG U RA P A R A E L P RO B L EM A 21. Se dispara un proyectil desde el origen con un ángulo de elevación a y rapidez inicial V(t.Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, y que la única fuerza que actúa sobreel proyectil es la gravedad g, en el ejemplo 5 demostramos en la sección 13.4 que el vector deposición del proyectil es r(/) — («ocos a ) / ¡ + [{t^sen a)t —q r ] j También mostramosque la distancia horizontal máxima del proyectil se alcanza cuando a = 45°y, en este caso,el alcance es R = v¿/g.a) ¿En qué ángulo se debe disparar el proyectil para alcanzar una altura máxima, y cuál es laaltura máxima?b) Fije la rapidez inicial V0 y considere la parábola x1 + 2Ry — R ' = 0, cuya gráfica seilustra en la figura. Demuestre que el proyectil puede dar en cualquier blanco dentro oen el límite de la región delimitada por la parábola y el eje x, y que no puede dar encualquier blanco fuera de esta región.c) Suponga que el arma se eleva a un ángulo de inclinación a con objeto de alcanzar unblanco que está suspendido a una altura h directamente sobre un punto D unidades abajodel alcance F.l hlanco se lihera en el momento en que se dispara el arma Demuestre queel proyectil siempre da en el blanco, sin que importe el valor de V0, siempre que elproyectil no golpee el suelo antes de D.2. a) Se dispara un proyectil desde el origen hacia un plano inclinado que forma un ángulo 9con la horizontal. El ángulo de elevación del arma y la rapidez inicial del proyectil son ay Vo, respectivamente. Encuentre el vector de posición del proyectil y las ecuacionesparamétricas de la trayectoria del proyectil como funciones del tiempo t. Ignore laresistencia del aire.b) Demuestre que el ángulo de elevación a que maximizara el alcance pendiente abajo es elángulo medio entre el plano y la vertical.c) Suponga que el disparo se ejecuta en un plano inclinado que sube y cuyo ángulo deinclinación es 6. Demuestre que con objeto de maximizar el alcance pendiente arriba,el proyectil debe ser disparado en la dirección media entre el plano y la vertical.d) En un trabajo que presento Edmond Halley, en 1686, resumió las leyes de la gravedad yel movimiento de proyectiles, y las aplicó a la artillería. Un problema que planteó serelacionaba con el disparo de un proyectil para dar en un blanco a una distancia R enun plano inclinado hacia arriba. Demuestre que el ángulo al cual el proyectil debe serdisparado para dar en el blanco, es el mismo que el ángulo del inciso c), pero use lamínima cantidad de energía. (Apóyese en el hecho de que la energía necesaria paradisparar el proyectil es proporcional al cuadrado de la rapidez inicial, de modo queminimizar la energía equivale a minimizar la tapidez inicial.)3 . Una pelota rueda por una mesa a una rapidez de 2 pies/s. La mesa tiene 3.5 pies de altura.a) Determine el punto al cual la pelota golpea el piso, y calcule la rapidez en el instante delimpacto.b) Encuentre el ángulo 9 entre la trayectoria de la pelota y la recta vertical dibujada porel punto de impacto. Véase la figura.c) Suponga que la pelota rebota desde el suelo con el mismo ángulo con el cual golpeael piso, pero pierde 20% de su rapidez debido a la energía que absorbe en el impacto.¿Dónde pega la pelota en el suelo en el segundo rebote?4. Calcule la curvatura de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son— f sen(47r02) d9 y — | cos(j7702)¿/0m 5. s¡ se dispara un proyectil con ángulo de elevación a y rapidez inicial V, entonces lasecuaciones paramétricas para su trayectoria son x ™ (y eos a ) t , y “ (y sen a) t —g t 2. (Veael ejemplo 5 de la sección 13.4.) Sabemos que el alcance (distancia horizontal recorrida) esmáxima cuando a = 45°. ¿Qué valor de a hace máxima la distancia total recorrida por elproyectil? (Exprese su respuesta con una aproximación al grado más cercano.)6. Un cable tiene un radio r y longitud L y está enrollado en un cilindro de radio R sin que setraslape. ¿Cuál es la longitud más corta en el cilindro que queda cubierta con el cable?7. Demuestre que la curva con ecuación vectorialr(f) = (cit2 + b tt + c u a 2t 2 + b2t + c2, a 3t 2 + b3t + c 3)está sobre un plano y encuentre la ecuación del plano.876
  • 270. 14 Derivadas parcialesLas gráficas de funciones de dos variables son superficies que pueden tomaruna variedad de formas, incluyendo algunas que tienen una silla o paso entremontaias. En este lugar, en Utah (conocido como ‘The wave"), puede verseun punto que es un mínimo en una dirección, pero es un máximo en otradirección. Superficies como éstas se discuten en la sección 14.7.© DreíristineHasta ahora, hemos estudiado el c álculo d e una función de una variable. Pero en el mundo real, lascantidades físicas dependen frecuentemente de dos o más variables, por lo que en este capítulo enfocaremosnuestra atención en las funciones de varias variables y extenderemos las ideas básicas del cálculo diferenciala tales funciones.877
  • 271. CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESFunciones de varias variablesEn e s ta sección se e s tudian func ione s de d os o más va r iable s d e sd e cua t ro p u ntos de vista:■ v e rb a lme n te (med ian te u n a de sc ripc ión h e c h a c o n pa labras )■ n umé r ic ame n te (mediante u n a tabla de valores)■ a lge b ra ic amen te (mediante u n a fórmula explícita)■ v i su a lmen te (med ian te u n a gráfica o curvas de nivel)Funciones de dos variablesLa t emp e r a tu r a T en un p u n to d e la super f icie de la T ie r r a en c u a lq u i e r m om e n to dad o ,d e p en d e de la longitud x y la latitud y d e l punto. Se p u e d e p e n s a r q u e T e s u n a func ión ded os variable s x y y, o c om o u n a func ión de l par (a, y). Es ta d e p e n d e n c i a func iona l se in d ic ae s c r ib ien d o T = f ( x , y).El v o lume n V de un c il in d ro c ircula r d e p e n d e de su radio r y de su a ltura h. De h e cho,s a b emo s q u e V = irrh. Se dice q u e Ves u n a función d e r y /í, y e s c r ib imo s V(t h ) = irrh.Definición Un a fu n c ió n / de d o s v a r ia b le s e s u n a regla q u e a s igna a c a d a paro rd e n ad o de n úme ro s reales (jc, y ) de un conjunto Z), un ú n ico n úm e ro real q u e sed e n o ta c o n / ( * , y). El c o n ju n to D e s el dominio d e f y su rango es e l c o n ju n to dev a lore s q u e t om a / , e s de cir , {/(.v, y) | (.v, y) E D}.A m e n u d o , e s c r ib im o s z = f ( x , y ) p a r a h a c e r e x p líc ito el v a lo r q u e t o m a / e n e l p unto(x , y). Las va r iable s x y y son v a r ia b le s independien tes y z e s la v a r ia b le dependiente.[Comp a re lo anter ior con la nota c ión y = f ( x ) para func ione s d e u n a va r iable ]Un a func ión d e d os va r iable s e s u n a func ión cuyo d omin io e s un su b c o n ju n to de IR2 yc u y o rango es un su b c o n ju n to de IR. Un a ma n e r a de re p re se n ta r tal func ión e s med ia n te und ia g r ama de Hechas (véase figura 1), don d e el dominio D se repre senta c omo un subconjuntode l p lano x y y el r ango e s un c o n ju n to de n úme ro s sobre u n a recta real, q u e se mu e s tra c omoun eje z. Por e jemp lo , si f ( x , y ) re p re se n ta la tempe ra tura en un p unto (x , y) en u n a pla c ame tá lic a p la n a con la forma d e D , p o d emo s c o ns ide ra r al e je r c om o un te rmóme t ro q u e v amo s t ra n d o e l regis tro de tempe ra turas .Si u n a f u n c i ó n / e s t á d a d a p o r u n a fó rmu la y no se e spe c i f ic a d omin io alguno, e n to n c e sse e n tie n d e q u e el d omin io d e / s e r á e l c o n ju n to de pa rejas (x , y) pa ra e l c u a l la e xpre s ión1 d a d a e s un n úme ro bien definido.EJEM PLO 1dominio.a) /(*, y)SOLUCIÓNa)Pa ra las func ione s siguiente s , e v a l ú e / ( 3 , 2 ) y d e te rmin e y grafique ely /x + y + 1b ) f [ x , y ) = .v ln( y 2 - x)v'3 + 2 + 1/ ( 3 , 2 í = ;--= VLa e x p re s ió n p a r a / tiene sentido si el d e n omin a d o r no es c e ro y la c ant idad d e n t ro delsigno de raíz c u a d r a d a es no negativa. Entonc e s , el d omin io de f e sD = {(.t.y) I x + y + 1 3= o , x * 1}La de s ig u a ld ad X + y + 1 5= 0, o y 3= — X — 1, de sc r ibe los p u ntos q u e q u e d a n en o por
  • 272. SECCIÓN 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 879AT+.V + 1 = 0/ '11j A = 111w-1 0-11 x1FIGURA 2Dominio d e / ( a: , VS ¡ x + y + 1A' — 1y,/0FIGURA 3Dominio d e f(x, Y — .v ln( y 2 — a )a r riba d e la re c ta y = — x — 1, mie n t ra s q u e x =£ 1 s ignifica que los p u ntos sobre la re ctax = 1 t ienen q u e ser e x c lu id o s de l d omin io (véase figura 2).Nuevo índice de temperatura de sensaciónSe instituyó un nuevo índbe de temperaturade sensación en noviembre de 2001, y es másexacto que el antiguo índbe para medir quétanto frío se siente cuando hace viento. Elnuevo índice se basa en un modelo de qué tanrápido la cara de una persona pierde calor. Sedesarrolló por medio de estudios clínicosen los cuales personas vo untarías fueronexpuestas a una diversidad de temperaturasy magnitudes de velocidad de viento en untúnel de aire refrigerado.b) / ( 3 , 2) = 3 ln(22 - 3) = 3 ln I = OPue s to q u e lníy2 — x) se define sólo c u a n d o y2 — x > O, e s de cir , x < y2, e l d omin io de/ e s D = {(*, y) | x < y 2}. Éste e s el co n ju n te de p u ntos a la izq u ie rd a d e la p a r áb o lax = y 2. Vé a s e figura 3.No toda s las func ione s se dan en fórmula s explíc itas . L a función de l e jemp lo siguientese de sc r ibe en fo rma ve rbal y med ia n te e s t ima c io n e s n umé r ic a s de sus valores.| 2 3 5 H ^ Q regione s don d e el invie rno es e x t remo s o , e l índice de temperatura des e n sac ión se ut il iz a a me n u d o p a ra repre sentar la intens idad e v id e n te de l frío. Este índiceW e s u n a temp e ra tu ra subje tiva q u e d e p en d e d e la temp e ra tu ra real T y de la rapide z delviento v. De e s te mo d o , W e s u n a func ión de T y de v, y se e sc r ibe W = / ( 7 , v). En latabla 1 se regis tran los va lore s de W que reunió e l Na t iona l We a th e r Se rvice de Es tadosUnidos y e l Me teo ro lo g ic a l Se rvice d e Canadá.TABLA 1 Indice de temperatura de sensación en función de la temperaturadel aire y de la velocidad del viento.Rapidez del viento (km/h)X 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 805 4 3 2 1 1 0 - 1 - 1 - 2 — 2 - 30 — 2 - 3 - 4 - 5 — ó - 6 - 7 - 8 - 9 - 9 - 1 0- 5 - 7 - 9 - 1 1 - 1 2 - 1 2 - 1 3 - 1 4 - 1 5 - 16 - 1 6 - 1 7- 1 0 - 1 3 - 1 5 - 1 7 - 1 8 - 1 9 - 2 0 -2 1 - 2 2 - 2 3 - 2 3 - 2 4- 1 5 - 1 9 - 2 1 - 2 3 - 2 4 - 2 5 - 2 6 - 2 7 - 2 9 - 3 0 - 3 0 - 3 1- 2 0 - 2 4 - 2 7 - 2 9 - 3 0 - 3 2 - 3 3 - 3 4 - 3 5 - 3 6 - 3 7 - 3 8- 2 5 - 3 0 - 3 3 - 3 5 - 3 7 - 3 8 - 3 9 - 4 1 - 4 2 - 4 3 - 4 4 - 4 5- 3 0 - 3 6 - 3 9 - 4 1 - 4 3 - 4 4 - 4 6 - 4 8 - 4 9 - 5 0 - 5 1 - 5 2- 3 5 - 4 1 - 4 5 - 4 8 - 4 9 -5 1 - 5 2 - 5 4 - 5 6 - 5 7 - 5 8 - 6 0- 4 0 - 4 7 - 5 1 - 5 4 - 5 6 - 5 7 - 5 9 - 6 1 - 6 3 - 6 4 - 6 5 - 6 7Por e jemp lo , la tabla 1 mu e s t ra q u e si la temp e ra tu ra e s — 5 °C y la rapide z de l vientoes de 50 k m / h , e n to n c e s su bje tivamente se sentiría tanto frío c om o si la temp e ra tu rafuera de casi — 1 5 °C sin viento. En tonc e s/ ( — 5 , 5 0 ) = - 1 5En 1928 Cha r le s Co b b y Paul Dougla s p u bl ic a ron un e s tudio en e l cualEJEMPLO 3mo d e la b an el c re c imien to de la e c o n om í a e s tad o u n id en s e d u ra n te el pe r io d o 1899-1922.Co n s id e ra ro n un p unto d e vi s ta s implif icado d e la e c o n om í a en el c u a l la produc c ióne s tá d e te rmin a d a p o r la c antidad de ma n o d e o bra r e la c io n a d a y la c antidad d e c apitalinvertido. Si bien hay mu c h o s otros fa ctores q u e afectan el re n d imien to e c o n ómic o , sumo d e lo re sultó ser n o tab leme n te exac to. L a función med ia n te la c u a l mo d e la ro n laproduc c ión e r a d e la forma[T ] P ( L ,K ) = bL “K '~ “d o n d e P e s la pro d u c c ió n total (el v a lo r mo ne ta r io de to d o s los b ien e s q u e se produc enen un año) , L e s la c ant idad d e ma n o de obra (la c antidad total de h o ra s -h omb re
  • 273. 880 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESTABLA 2Año P L K1899 100 100 1001900 101 105 1071901 112 1 10 1 141902 122 1 17 1221903 124 122 1311904 122 121 1381905 143 125 1491906 152 134 1631907 151 140 1761908 126 123 1851909 155 143 1981910 159 147 208191 1 153 148 2161912 177 155 2261913 184 156 2361914 169 152 2441915 189 156 2661916 225 183 2981917 227 198 3351918 223 201 3661919 218 196 3871920 231 194 4071921 179 146 4171922 240 161 431FIGURA 4Dominio de g(x, y) — v 9traba jada s en un año) y K e s la c antidad de c apital inve r t ido (el v a lo r mo n e ta r io de todala maq u in a r ia , e q u ip o y edificios). En la se c ción 14.3 se d em u e s t r a c ómo la forma de lae cu a c ió n I se infiere de c ie r ta s su p o s ic io n e s e conómic a s .Co b b y Do u g la s se apoya ron en d a to s q u e publicó el gob ie rn o p a ra obtene r la tabla 2.T oma ro n e l año 1899 c omo u n a l íne a d e re fe rencia y a P , L y K pa ra 1899 se les as ignóel v a lo r de 100. Los va lore s de otros años se e xpre sa ron c om o p o rc enta je s d e los valoresde 1899.Co b b y Do u g la s aplic aron e l mé to d o de los mínimos c u a d ra d o s p a ra ajus ta r los da tosde la tabla 2 a la funciónP (L, K ) = 1.01 LOJ5K ° 25(Vé a s e e je rc ic io 79 si d e s e a ma y o re s de ta lle s .)Si u s amo s el mo d e lo d a d o por la func ión en la e cu a c ió n 2 pa ra c a lcu la r la produc ciónen los años 1910 y 1920, o b te n emo s los va lore sPl 1 4 7 ,2 0 8 ) = 1.01 (14 7 )075(208)0JÍ5P í 194, 407) = 1.01(1 94)a75(407 )025~ 161.9~ 235.8q u e son muy c e rc a n o s a los v a lore s re ales , 159 y 231.L a func ión de la pro d u c c ió n T se u só pos te r iormente en mu c h o s co n tex to s , q u e vand e sd e c omp a ñ í a s individua le s h a s ta c u e s tio n e s e co n ómic a s globales. A h o r a se le co n o c ec omo la fu n c ió n de la p ro d u c c ió n de C o b b -D o u g la s . Su d omin io es{(L, K ) | L 3= 0, K 5= 0} p orque L y K representan m a n o de o bra y c ap i ta l y, por lo tanto,n u n c a son negativas.EJEM PLO 4 De te rmin e e l d omin io y e l ra n g o d e </(.í, y) = v"9 — .v2 — y 2 .SOLUCIÓN El d omin io de ¡¡7 esD = {(.v, y) | 9 - .v2 - y 2 s* 0} = {(.v, y) | x 1 + y 2 9}q u e e s el d i s c o c o n c en t ro (0, 0) y ra d io 3 (vé ase figura 4). El rango de g es{z | z = ¿ 9 - .v2 - y'-, (X, y) S £>}Pue s to q u e r e s u n a raíz c u a d r a d a pos itiva , r ^ 0. As imi smo , c om o 9 — .V2 — y 2 9,ten emo sy el ra n g o esGráficasy / 9 - x 2 - y 2 ^ 3{ z | 0 z SS 3} = [0, 3]Otro mo d o d e v i sua liz a r e l c omp o r tamie n to d e ur.a func ión d e d o s va r iable s es co n s id e ra rsu gráficaDefinición S i / e s u n a func ión de d o s variables con d omin io D , e n to n c e s la g r á f i c ad e / e s el c o n ju n to de todos los p u ntos (*, y, z) en R 3 tal que r = / ( * , y) y (x , y)e s tá en D.FIGURA 5As í c omo la gráfica de una función / d e u n a variable es una c u n a C con ecuación y = f ( x ),la g ráfica de u n a func ión / d e d o s va r iable s e s u n a superficie S c u y a e cu a c ió n e s : = f ( x ; y).P o d emo s v isua liz ar la gráfica S de /d i r e c t am e n t e sobre o abajo d e su d omin io D en el planox y (vé ase figura 5).
  • 274. SECCIÓN 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 881Grafique la f u n c ió n / ( x , y) = 6 — 3x — 2y.EJEMPLO 5SOLUCIÓN L a gráfica d e / tiene la e cu a c ió n z = 6 — 3 * — 2y, o 3x + 2y + z = 6, quere p re se n ta un plano. Pa ra graficar el plano, pr ime ro o b te n emo s las in te r se c c ione s conlos ejes. Ha c emo s y = z = O e n la e cu a c ió n y o b te n emo s x = 2 c om o la inte rse cc iónc o n el eje x. Con el m i sm o p ro c ed imie n to o b tenemos la inte rse cc ión con e l eje y , quee s 3, y la de l eje z, que e s 6. Ya con e s to puede t raz ar la parte de la gráficaque e s tá en el p r ime r oc tante (vé ase figura 6). ■La función de l e jemp lo 5 e s un c a so e spe cial de la funciónF IG U R A 6 f ( x , y) = ax + by + cq u e se llama fu n ció n line al. La gráfica d e d ich a función tiene p o r e cu a c ió nz = a x + by + c o ax + by — z + c = 0por lo q u e e s un plano. A s í c om o las func ione s line a le s de u n a sola va r iable son im p o r ­tantesen e l c á lcu lo de u n a va r iable , ve remos q u e las func ione s line a le s d e d o s va r iable sd e s emp e ñ a n un p ap e l fu n d ame n ta l en el c á lculo de va r ia s variables.F IG U R A 7Gráfica de g(x, y) = y 9 ~ x— y□ E JEM P LO 6 Tra c e la gráfica d e g{x, y) = v 9 — x 2 — y-SOLUCIÓN La e cu a c ió n de la gráfica e s z = v'9 — x 2 — y 2. Al e le v a r al c u a d r a d o ambosmiemb ro s de la e cu a c ió n obtiene z 2 = 9 — x1 — y 2, e s d e c i r j t + y 2 + z 2 = 9, q u e sere co n o c e c omo la e cu a c ió n de la e s fe ra c o n c entro en el origen y radio 3. Pero c omoz > 0, la gráfica de g e s sólo la parte superior de e s ta e s fe ra (vé ase figura 7). ■ ■NOTA No to d a e s fe ra puede ser repre sentada por u n a sola función de x y y. C omo se vioen el e jemp lo 6, el h emi s fe r io supe r ior d e la e s fe ra xr + y2 + z 2 = 9 e s tá re p re s e n tad o pol­lafunción g{x, y ) = v 9 — v2 — y 2 . El h emi s fe r io infer ior e s tá r e p re s e n tad o p o r la func iónh(x, y ) = - y 9 - .v2 - y 2 .Mediante u n a c omp u ta d o ra , trace la gráfica d e la func ión de la produc c iónEJEMPLO 7de C o b b -Do u g la s P (L , K) = 1.01 L0ri5K 025.SOLUCIÓN En la figura 8 se mu e s t ra la gráfica de P p a ra va lore s de la ma n o de o bra Ly e l c apital K que e s tá entre 0 y 300. La c omp u ta d o ra dib u jó la superficie con trazasverticales . Según e s ta s traz as el v a lo r de la produc ción P se in c reme n ta c u a n d o L o Kse in c reme n tan , c omo e ra de esperarse.F IG U R A 8n De te rmin e el d omin io y el rango y grafique /»(*, y) = 4 xr + y2.SOLUCIÓN Ob s e rv e q u e h(x, y ) e s tá d e f in id a por todos los pa res o rd e n ad o s p os ibles den úme ro s reales (x , y ), d e mo d o q u e e l domin io e s R 2, todo e l p lan o xy. El rango de h e s elc o n ju n to [0, co) de to d o s los n úme ro s re ales no negativos . [Obs e rve q u e xr 3= 0 y y 2 5= 0,de m o d o q u e h ( x , y) 5= 0 pa ra to d a x y y.]
  • 275. 882 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESLa gráfica d e h tiene la e cu a c ió n r = 4 x2 + y2, la c u a l e s e l pa rab o lo id e e lípt ico q u e sedib u jó en e l e jemp lo 4 de la sección 12.6. Las trazas h o r izo n ta le s son e lipse s y las v e r ti ­ca le s son pa ráb o la s (vé ase figura 9).F IG U R A 9Gráfica de h{x ,y ) = 4 a 2 + y 2Hay p ro g r ama s p a r a c om p u t a d o r a c o n los que se p u e d en o b te n e r las gráficas de fu n ­cio n e s de d o s va r ia b le s . En la m a y o r í a de d ic h o s p ro g r am a s las t ra z a s en los p la n o s v e r ­tica le s x = k y y = k se dibujan p a ra va lore s de k sep a ra d o s re g u la rme n te , y se e liminana lg u n a s pa r te s de la gráfica u s a n d o a lg u n a función q u e e limine líneas ocultas.En la figura 10 se ilus tran gráficas de varias funciones ge n e ra d a s med ia n te u n a c om p u ­tadora.Ob s e rv e que se c o n s ig u e u n a imag en e spe c ia lmente b u e n a d e u n a func ión c u a n d ose u s a la rotac ión p a ra tene r dife rente s p u ntos de vista. En los inc isos a) y b) la gráfica d e /a ) / ( a , v ) = (a 2 + 3 y 2) r b ) / ( A , v ) = (A 2 + 3 y Vs e n A' s e n Vc ) / ( a , V) = s e n a + s e n y d ) / ( a , V) = ------------ --— -FIGURA 10
  • 276. SECCIÓN 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 8 8 3es mu y p lan a y c e r c a n a al plano xy e x c e p to c e rc a de l origen. La razón e s que e x ~y e s muyp e q u e ñ a c u a n d o * o y e s grande.| Curvas de nivelHa s ta a h o ra se c u e n t a con d os mé to d o s pa ra re p re se n ta r funciones: d ia g rama s de Hechas ygráficas. Un te rc er mé to d o , toma d o pres tado de los c a r tógra fos , e s un ma p a de c u rv a s denivel en e l c u a l p u ntos de e le v a c ió n igual se unen pa ra fo rma r líneas de contorno o curvasde nivel.Definición Las c u r v a s de n iv e l de u n a f u n c i ó n / d e d os va r iable s son las curva sc u y a s e cu a c io n e s son f ( x , y) = k, don d e k e s u n a c o n s tan te (en e l ra n g o de / ) .Un a c u rv a de n i v e l / ( x , y) = k e s el conjunto d e todos los p u ntos en el d omin io d e / e nel c u a l / t o m a un v a lo r d a d o k. En otras pa labras , s e ñ a la d ó n d e tiene u n a a ltura k la gráficad e /P o d emo s v e r en la figura 11 la re la ción entre c u rv a s d e nivel y traz as hor izonta le s . Lasc u rv a s de nivel f ( x , y) = k son ju s tame n te las traz as de la gráfica d e / e n e l plano h o r i z o n ­tali = k pro y e c tad a s en e l plano xy. Entonc es , si d ib u jamo s las c u rv a s d e nivel d e u n a fu n ­ción y las re p re s e n tamo s c omo e le v a c io n e s de la superficie a la a ltura indic ada, e n to n c e sp o d em o s fo rma r m e n t a lm e n t e u n a ima g e n d e la gráfica. L a supe r f ic ie t iene p e n d ie n tea b ru p ta d o n d e las c u rv a s d e nivel están mu y c e rc an a s entre sí. Es a lgo má s p la n a d o n d e lasc u rv a s de separan.FIGURA 11 FIGURA 12l i u Visual 14.1A proporciona figurasanimadas de la figura 11 y muestra cómo sealzan las curvas de nivel hasta tener las gráficasde funciones.Un e jemp lo c omú n de las c u rv a s d e nivel son los ma p a s topográ f icos de regione s m o n ­tañosas, c om o el m a p a de la figura 12. Las curvas d e nivel son c u rv a s d e e le v a c ió n c o n s ­tantepor arriba de l nivel de l mar. Si c amin á r amo s p o r u n a de e sa s c u rv a s de nivel, n u n c aa s c en d e r íamo s ni d e s c en d e r íamo s . Otro e jemp lo c om ú n e s la función de temp e ra tu ra m e n ­cio n a d a en la in t roduc c ión de e s ta sección. En e s te c a so, las c u rv a s de nivel se d e n omin a nisotermas, y unen lo c a l id a d e s c o n la mi sma tempe ra tura . En la figura 13 se mu e s t r a un
  • 277. 884 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESm a p a c limá t ico de la c u e n c a de l Oc é a n o Pacífico, en el que se indic an las tempe ra tura s p r o ­mediode un me s cualquiera. Las isotermas son las curvas que separan las b andas d e coloresFIGURA 13Promedio detemperaturas del OcéanoPacífico en grados CelsiusEJEM PLO 9 Un m a p a d e líne a s de c o n to rn o de una f u n c i ó n / s e i lus tra en la figura 14.Úse lo p a ra e s t ima r los v a lore s d e / ( 1 , 3) y / ( 4 , 5).SOLUCIÓN El p unto ( 1 , 3 ) q u e d a entre las c u rv a s de nivel con v a lore s d e r d e 7 0 y 80.E s t imamo s que/ ( 1 , 3 ) ~ 73En fo rma similar , e s t im amo s q u e / ( 4 , 5) ** 56 IEJEMPLO 10 Grafique las c u rv a s de nivel de la función / ( * , y) = 6 — 3x — 2y p a ra losv a lore s k = —6, 0 , 6, 12.SOLUCIÓN Las c u rv a s de nivel son6 - 3.V — 2 y = k o bien 3.rí ++ 22 yv ++ ((kk —- 66)) = 03 É s t a e s u n a fami l ia d e r e c ta s c u y a p e n d ie n t e e s — j- Las c u a t ro c u rv a s de nive lp a r t i c u l a r e s c o n k = —6, 0, 6 y 12 son 3x + 2y — 12 = 0, 3 * + 2y — 6 = 0,3x + 2y = 0 y 3x + 2y + 6 = 0. Se grafican en la figura 15. Entre las c u rv a s de nivelh a y u n a se p a ra c ió n igual, y d ich a s c u rv a s son rectas p a ra le la s p o rq u e la g rá f ic a d e /e s un p lan o (vé ase figura 6).FIGURA 15Mapa de contomo def(x, y) = 6 - 3a- - 2y
  • 278. SECCIÓN 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 885Gra f ique las c u rv a s de nivel d e la funcióng{xy y) = y / 9 - X2 - y 2 p a ra k = O, 1, 2, 3EJEMPLO 11SOLUCIÓN Las c u rv a s d e nivel sony/9 - x 1 — y 2 = k o bien .v2 + y 2 = 9 - k 1És ta e s u n a fami l ia d e c irc u n fe re n c ia s c onc éntr ic a s con c en t ro (0, 0) y radio v'9 — k 2.Los c a so s k = 0, 1, 2, 3 se ilus tran en la figura 16. Intente ima g in a r e s ta s c u rv a s de nivele le v ad a s d e sd e la superficie, y c omp a re con la gráfica de g (un h emi s fe r io ) d e la figura 7.(Vé a s e T E C Vi su a l 14.1 A.)F IG U R A 16Mapa de contorno deg{x, y) =9 - - y2EJEMPLO 12 Gra f ique a lguna s c u rv a s de nivel de la función h(x, y) = 4 j t + y 2 + lSOLUCIÓN Las c u rv a s d e nivel son4 x 2 + y 2 + 1 = k o bien -¡----------------1 = 1¡i(k - 1) k - lla cual, p a ra k > I, de sc r ib e u n a fami l ia de e lipses con semie je s j y / k — 1 y y/k — 1En la figura 17a) se i lus tra un m a p a d e con to rn o de h d ib u ja d o med ia n te unac omp u ta d o ra . L a figura 17b) mu e s t ra e s ta s curvas d e nivel e le v ad a s p a r a obtene r lagráfica d e h (un pa rab o lo id e e líptico) , don d e se t ran s fo rman en traz as horizontale s .En la figura 17 apare ce c óm o se ve la gráfica de h a partir de las c u rv a s de nivel.l ü J Visual 14.IB muestra la conexión entrelas superficies y sus mapas de contorno.F IG U R A 17La gráfica de /;(*, y) = 4at + y 2 + lse forma elevando las curvas de nivel. a) M apa de contorno b) Trazas horizontales, son curvas de nivel elevadas
  • 279. 886 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALEST ra c e c u rv a s de nivel p a ra la función de la p ro d u c c ió n de Co b b -Do u g la sF IG U RA 18EJEM PLO 13de l e jemp lo 3.SOLUCIÓN En la figura 18 se ilus tran las c u rv a s que se obtuvie ron mediante u n ac omp u t a d o r a p a ra la func ión de produc c ión de Co b b -Do u g la sP (L ,K) = Í.OIZ.0-75* 025Las c u rv a s de nivel se ma rc an con e l va lor de la produc ción P. Por e jemp lo , la c u rv a denivel ma r c a d a con 140 mu e s t r a todos los va lore s de la ma n o d e o b ra L y las inve r s ione sde c apital K q u e d a n c om o re sul tado u n a produc ción de P = 140. En e l c a so de un va lorfijo de P, c u a n d o L se in c reme n ta K d i smin u y e , y viceversa.Pa ra a lg u n o s p ropós i tos , un ma p a d e c u rv a s d s nivel e s má s útil q u e u n a gráfica. Estoe s pa r ticu la rme n te c ie r to en el e jemp lo 13. (Con.pa je la figuia 18 con la figuia 8.) T am ­biéne s vá lido e s t ima r v a lore s d e las func ione s , c omo en e l e jemp lo 9.En la figura 19 se mu e s tra n a lguna s c u rv a s de nivel obtenida s med ia n te c omp u t a d o raju n to c o n sus g r á f ic a s c o r r e s p o n d i e n te s e la b o ra d a s de la m i sm a man e ra . O b s e rv e q u e lasc u rv a s de nivel de l inciso c ) se agrupan c e rc a d e l origen. L a ra zón e s que la gráfica d e l in ­ciso d) tiene u n a pendiente a b ru p ta c e r c a de l origen.a) Curvas de nivel de /(.v, v) = —a'VéT*' b) Dos vistas de /(.v, y) = — x'C~FIGURA 19 d ) /(a-, y)•3vx z + v- + 1Funciones de tres o más variablesUn a fu n c ió n de tre s v a r ia b le s ,/ , e s u n a regla que a s igna a c a d a te rna o rd e n a d a (x, y, z) enun d omin io D C R 3 un único n úm e ro real d e notado p o r / ( * , y, z). Por e jemp lo , la t em p e ­ratura T en un p unto sobre la superficie de la T ie r ra d e p en d e de la longitud x, latitud y delp unto y de l t iemp o í, de mo d o q u e puede e sc ribir T = f(x, y, t).
  • 280. SECCIÓN 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 887E J EM P LO 14 En cuentre e l d omin io d e / s i/ ( a , y, z) = ln(z - y) + xy sen zSOLUCIÓN La e x p re s ió n p a r a /(A , y, z) e s tá d e fin id a s iem p re q u e z — y > O, d e m o d o q u ee l d om in io d e / e sD = {(*♦ y , z) £ IR3 | z > y}Es un semiespacio q u e cons i s te en to d o s los p u ntos q u e se ubican p o r a r riba delp lan o z = y. ■ ■Es muy dif íc il ima g in a r u n a f u n c i ó n / d e tres va r iable s med ia n te su gráfica, y a q u e selo c a l iz a r ía cu un e s p a c io d e c u a t ro d ime n s io n e s . No o b s ta n te , e s p o s ib le sabe r má s d e /e x am in a n d o sus s u p e r f i c i e s d e n i v e l , las c u a le s son las su p e r f ic ie s c u y a s e c u a c io n e s son/ ( a , y , z) = k> d o n d e k e s u n a cons tante . Si e p u n to ( a , y, z) se d e sp l a z a por u n a superficiede nivel, e l va lor d e / ( a , y, z) sigue e s tan d o fijo.De te rmin e las superficies de nivel de la función/ ( a , y , z) = a 2 + y 2 + z2E J EM P LO 15SOLUCIÓN Las supe r f icies d e nivel son a 2 + y2 + z2 = k, d o n d e k 5= 0. Es to fo rma unafami l ia d e e s fe ra s c o n c é n tr ic a s c o n radio y/k (véase figura 20). As í, c u a n d o (a, y, z) va r íasobre c u a lq u ie r e s fe ra con c ent ro en O, e l va lor d e / ( a , y, z) se c o n s e rv a fijo.FIGURA 20T am b i é n se p u e d e n c o n s i d e r a r fu n c io n e s d e c u a lq u i e r n úm e r o d e v a r ia b le s . U n af u n c i ó n d e /i v a r i a b l e s e s u n a regla q u e a s igna un n úme ro z = f ( x í , a >, . . . , a ;,) a u n a /?-ada(a i, A2, . . . , Xi) d e n úme ro s reales. De n o tamo s con IR" el c o n ju n to de todas las /t-adas. Pore jemp lo , si u n a c om p a ñ í a utiliza n ingrediente s d is tintos al e la b o ra r un p ro d u c to a l ime n t i ­cio,Cj e s e l c o s to por unidad del í -és imo ingrediente, y si se usan a, u n id ad e s del t -és imoingrediente , e n to n c e s e l cos to total C d e los ingrediente s es u n a func ión de n va r iable s a i ,a 2, xh . . . , a ,:|~3~l C = f ( x l9 X2, . . . , * * ) = CXI + c 2x 2 + • • • + Cnx nL a f u n c i ó n / e s u n a fu n c ió n d e v a lo r e s r e a l e s c u y o d om in i o e s un s u b c o n j u n to deIR". A lg u n a s v e c e s se u s a u n a n o ta c ió n ve c tor ia l p a r a e s c r ib i r d i c h a s fu n c io n e s d e u n am a n e r a m á s c omp a c ta : si x = (aj, a 2, . . . , a«)» c o n f r e c u e n c i a se e s c r ib e / ( x ) en lu g a r de/ ( a , , a 2, . . . , x,)- Me d ian te e s ta nota c ión se vuelve a e sc ribir la func ión de f inida en la e c u a ­ción 3 c omo/ ( x ) = c • xd o n d e c = (ci, c 2, . . . , c„) y c • x d e n o t a e l p ro d u c to p u n to d e los v e c to r e s c y x en V„.En vis ta de la c o r re sp o n d e n c ia u n o a u n o entre los p u ntos (Ai, a2, . . . , x,,) en R" y sus v e c ­toresde pos ic ión x = <A|, a2, . . . , x,,) en V„, hay tres forma s de ver u n a func ión / definidasobre un su b c o n ju n to d e IR":1. C omo u n a función de n va r iable s reales Aj, a2, ... , a.2. C omo u n a función d e u n a sola variable en un p unto ( a i , A2, . . . , x,)3. C omo u n a función de u n a va r iable vectorial ú n ic a x = {ai, a 2, .. . , x,)Los tres p u ntos de vi s ta son útiles.
  • 281. 888 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESEjercicios1. En el ejemplo 2, se considera la función W = f (T , y), dondeW es el índice de temperatura de sensación, T es la temperaturareal, y y e s la rapidez del viento. Una representación numéricase proporciona en la tabla 1.a) ¿Cuál es el valor d e / (— 15, 40)? ¿Cuál es su significado?b) Explique el significado de la pregunta “¿Para qué valor dey e s / ( —20, y) = - 3 0 ? ” . Luego conteste la pregunta.c) Explique con sus propias palabras el significado de lapregunta “¿Para qué valor de T es (T, 20) = —49?”. Luegoconteste la pregunta.d) ¿Cuál es el significado de la función H7 = / ( — 5, y)?Describa el comportamiento de esta función.e) ¿Cuál es el signiñcado de la función W = f (T , 50)?Describa el comportamiento de esta función.2. El índice temperatura-humedad I (o humidex, para abreviar)es la temperatura del aire que se percibe cuando la temperaturareal es 7" y la humedad relativa es /?, de modo que es posibleescribir I = f (T , /?)• La tabla de valores siguiente de / es unaparte de una tabla que elaboró la National Oceanic andAtmospheric Administration.TABLA 3 Temperatura aparente como una funciónde la temperatura y la humedadHumedad relativa (°o)> < 20 30 40 50 60 7080 77 78 79 81 82 8385 82 84 86 88 90 9390 87 90 93 96 100 10695 93 96 101 107 114 124100 99 104 110 120 132 144¿Cuál es el valor d e / (9 5 , 70)? ¿Qué significa?¿Para qué valor de li e s / (9 0 , h) = 100?¿Para qué valor de T es f (T , 50) = 88?¿Cuál es el significado de las funciones / = / (8 0 , h) e/ = /(100, /»)? Compare el comportamiento de estas dosfunciones de h.3. Un fabricante ha modelado su producción anual como unafunción P (el valor monetario de toda su producción enmillones de dólares) como una función de Cobb-DouglasP(L,K) =.47L 0A5K ° 35donde L es el número de horas de mano de obra (en miles)y K es el capital invertido (en millones de dólares). EncuentreP(120, 20) e interprételo.4. Compruebe en el caso de la función de producción deCobb-DouglasP(L.K) = Í.OIL075* 025analizada en el ejemplo 3 que la producción se duplica si tantola mano de obra como la cantidad de capital se duplican.Determine si ésta es también válida para la función general dela producciónP(L,K) =5. Un modelo para el área de la superficie del cuerpo humano estádado por la función5 = f (w, h) = 0.1091 w0Á25h 012Sdonde W es el peso (en libras), h es la altura (en pulgadas), y 5es medida en pies cuadrados.a) Encuentre/(160, 70) e interprételo.b) ¿Cuál es el área de su propio cuerpo?6. El índice de temperatura de sensación W que se trata en elejemplo 2 se modeló mediante la función siguienteW T, y) = 13.12 + 0.62157* - 11.37y016 + 0.39657y° 16Compruebe para ver qué tanto concuerda este modelo con losvalores de la tabla I para unos pocos valores de T y y.7. La altura h de las olas en mar abierto depende de la rapidez ydel viento y del tiempo t e n que el viento ha estado soplandocon esa rapidez. Los valores de la función h = f ( v , t) seregistran en pies en la tabla 4.a) ¿Cuál es el valer d e / (4 0 , 15)? ¿Qué significa?b) ¿Cuál es el significado h = / (3 0 , /)? Describa elcomportamiento de esta función.c) ¿Cuál es el significado h = f ( v , 30)? Describa elcomportamiento de esta función.TABLA 4Duración (horas)5 10 15 20 30 40 5010 2 2 2 2 2 2 215 4 4 5 5 5 5 520 5 7 8 8 9 9 930 9 13 16 17 18 19 1940 14 21 25 28 31 33 3350 19 29 36 40 45 48 5060 24 37 47 54 62 67 698. Una compañía fabrica tres tipos de cajas de cartón: pequeñas,medianas y grandes. El costo para elaborar una caja pequeña esSe requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 282. de $2.50, para la mediana es de $4.00 y $4.50 para la cajagrande. Los costos fijos son de $8000.a) Exprese el costo de elaborar x cajas pequeñas, y cajasmedianas y z cajas grandes como una función de tresvariables: C = f ( x , y , r).b) Encuentre/(3000, 5000, 4000) e interprételo.c) ¿Cuál es el dominio d e / ?9 . Sea g(x, y) = cos(* + 2y).a) Evalúe 0(2, ” 1).b) Encuentre el dominio de g.c) Determine el rango de g.10. Sea F ( x y y) = 1 + v 4 - y 2.a) Evalúe F (3, 1).b) Determine y trace el dominio de F.c ) Determine el rango de F.11. Sea f ( x t y, z) = yfx + y/y + yfz + ln(4 - x 2 - y 2 - z 2).a) Evalúe / ( 1 , 1, 1).b) Determine y describa el dominio de /.1 2 . Sea g(x, y , z) = x 3y 2z y / 0 - x - y - z .a) Evalúe g( l , 2, 3).b) Determine y describa el dominio de g.13-22 Determine y grafique el dominio de la función.13. f ( x , y ) = v ' 2 i - y 14. f ( x , y) = ^fxy15. f ( x , y) = ln(9 - ,<2 - 9 y 2) 16. f { x , y) = J x* - y'-17. f ( x , y) = X —¿x2 - Vi - y 218. f ( x , y) = + /25 - .i2 - y J1 9 . f ( x , y) 1 - r20. /(.v, y) " a re se n {.v2 + y 2 — 2)■ 2 _ , . 2 _ - 2 21. f ( x , y , z ) = v 'l - .v2 - >■2 2 . f ( x , y , z ) = ln ( 16 - 4.t2 - 4 y 2 - z 2)23-31 Trace la gráfica de la función.2 3 . f ( x , y ) = I + y2 5 . f { x , y ) = 1 0 - 4 a - 5 y2 7 . / U , y ) = y 2 + 129 . f { x , y) = 9 - x 2 - 9 y 23 1 . f ( x , y) =4 - Ax2 - y 22 4 . / ( . x , y ) = 2 - x2 6 . / ( . x , y ) =2 8 . / (.x , y) = 1 + 2a-2 + 2 y 23 0 . / (.x , y) = /4.x2 + y 23 2 . Haga corresponder la función con su gráfica (marcadas deI a VI). Dé razones por su elección.a) / ( . x , y ) =x+ | y |c ) / ( . x , y )I + .x2 + y 20 / ( . x , y ) = (.x - y Yb ) / ( .x ,y ) = | .xy |d) / ( * , y) = (.x2 - y 2)2f ) / ( - v’ . v ) ™ s e n ( | . v | + | y | )S ECCION 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 8 8 9II3 3 . Se proporciona un mapa de contorno para una función / . Conéste estime los valores d e / ( —3, 3) y / ( 3 , —2). ¿Qué puededecir respecto a la forma de la gráfica?34 . El contorno de la figura siguiente corresponde a la presiónatmosférica en Norteamérica el 12 de agosto de 2008. Sobrelas curvas de nivel (llamadas isóbaras) la presión se indica enmilibares (mb).a) Estime la presión en C (Chicago), N (Nashville), S (SanFrancisco i y V (Vancouver).b) ¿En cuáles de estos lugares el viento es más fuerte?
  • 283. 890 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES35. Se muestran las curvas de nivel (isotermas) para la temperaturadel agua (en °C) en Long Lake (Minnesota) en 1998 comouna función de la profjndidad y el tiempo en años. Estime latemperatura en el lago el 9 de junio (día 160) a una profundidadde 10 m y el 29 de junio (día 180) a una profundidad de 5 m.39-42 Se muestra un mapa de contorno de una función. Apóyese enél para elaborar un esquema aproximado de la gráfica de f36. Se proporcionan dos mapas de contorno. Uno es para unafunción / cuya gráfica es un cono. El otro es para una función gcuya gráfica es un paraboloide. ¿Cuál es cuál y por qué?37. Localice los puntos A y B en el mapa de Lonesome Mountain(figura 12). ¿Cómo describiría el terreno cerca de Al ¿Y cercade B?38. Elabore un esquema aproximado de un mapa de contorno parala función cuya gráfica se muestra.43-50 Dibuje un mapa de contorno de la función mostrando variascurvas de nivel.43. /(.x, y) = (y - 2.x)! 44. f ( x , y) = .x3 - y45. f ( x , y) - yfx + y 46. /(.x, y) = ln(*2 + 4 y 2)47. /(.x, y) = ye* 48. /(.x, y) = y sec .x49. /(.x, y) = yjy1 - .x: 50. f ( x , y) = y/(.x2 + y2)51-52 Trace ambos mapas de contorno y grafique la función ycompárelos.51. f ( x , y) = .x2 + 9 y 2 52. f ( x , y) = v'36 - 9.x2 - 4 y 253. Una plancha delgada de metal, situada en el plano xy, está auna temperatura T(x, y) en el punto (x , y). Las curvas de nivelde T se llaman isotermas porque la temperatura es igual entodos los puntos sobre la curva. Trace algunas isotermas si lafunción de temperatura está dada porT x, y)1001 + .x2 + 2>’254. Si V(x, y) es el potencial eléctrico en un punto (x, y) del planoxy, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvasequipotenciales, porque en todos los puntos de dicha curvael potencial eléctrico es el mismo. Trace algunas curvasequipotenciales si Y(.X,y) = c // r 2 — .X2 — y 2, donde c esuna constante positiva.
  • 284. SECCIÓN 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 891KH 55-58 Mediante una computadora grafique la función usandovarios dominios y desde distintos puntos de vista. Imprima unade esas vistas que, según su opinión, sea muy buena. Si elprograma que usted maneja también genera curvas de nivel,grafique algunas curvas de nivel de la misma función ycompárelas con la gráfica.55- /(•*» y) = -*>’2 ” X3 (silla de mono)56. f ( x t y) = .xy3 - y * 3 (silla de perro)57. /(.v, y) = ’+y'^3(sen(.v2) + c o s (y ’))58. /(.x, y) = eos .x eos y59-64 Relacione la función a) con su gráfica (gráficas marcadasde A a F y b) con su mapa de contorno (mapas marcados de I aVI). Dé sus razones por qué hizo esa elección.59. r = sen(.vy) 60. r = e* eos y61. ~ — sen(.v — y)63. . = { ! - .v:)(l — y 2)v - ysen A' — sen y
  • 285. 892 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES65-68 Describa las superficies de nivel de la función.65. / ( .t , y, z) = x + 3y + 5z66. f { x , y, z) = x ' -+ 3y2 + 5z267. f { x , y. z) = y 2 + z268. f ( x , y, z) = .x2 - y 2 — z269-70 Describa cómo se obtiene la gráfica de g a partir de lagráfica de f69. a ) g(x, y)b) g( x, >’)c) g(x,y)d) g(x, y)70. a ) g(x, y)b) g(x,y)c) g(x,y)f ( x , y) + 22 /U y )- /U . y >2 - / ( A , y )/ ( x - 2, y)/ ( * , y + 2)f ( x + 3,y ■ 4)76. Use una computadora para investigar la familia de superficies= (ax2 + b y 2)e~xl- yl¿De qué modo depende la forma de la gráfica de los númerosa y b?BK 77. Use una computadora para investigar la familia de superficiesr = xr + y 2 + cxy. En particular, debe determinar los valoresde transición de c para los que la superficie cambia de un tipo desuperficie cuádrica a otro.78. Grafique las funciones/ <x,y) = v"a2 + y 2/ ( a, y) =KH 71-72 Mediante una computadora grafique la función usandovarios dominios y desde varias perspectivas. Imprima una vista enla que se vean claramente los “picos y los valles”. ¿Diría ustedque la función tiene un valor máximo? ¿Puede identificar algunospuntos en la gráfica que pudiera considerar como “ puntosmáximos relativos”? ¿Y “ puntos mínimos relativos”?71. / ( a , y ) = 3 a -4>2 - 10Ay72. / ( a , y) = xye~x'f { x . y) = iny'.v2 + y 2/ < * ,y) = s e n ( y ' . v 2 + y 2 )f{x’ y) = 7 ^ TWEn general, si g es una función de una variable, ¿cómo es lagráfica de/(.*, y) = g ( / i 2 + y 2)obtenida a partir de la gráfica de 0?79. a) Demuestre que, al calcular logaritmos, la función deCobb-Douglas P = bL^K1-* se puede expresar como73-74 Con la ayuda de una computadora, grafique la funciónusando varios dominios y desde diferentes puntos de vista. Analiceel comportamiento límite de la función. ¿Qué sucede cuando tantox como y se incrementan? ¿Qué sucede cuando (a, y) se aproximaal origen?73. /(A, y) •v + )a 2 + y74. / ( a , y)A ya2 + yKH 75. Investigue mediante una computadora la familia de lasfu n c io n e s / (a , y) = e (ila forma de la gráfica?;En qué manera depende de cInKIn b + a InKb) Si hacemos a = ln(L/A') y y = n (P/K ), la ecuación en elinciso a) se transforma en la ecuación lineal y = ax + ln b.Use la tabla 2 del ejemplo 3 para elaborar una tabla devalores de ln(LfK) y ln(P/K) para los años 1 8 9 9 a 1 9 2 2 .Luego utilice una calculadora grahcadora o unacomputadora para determinar la recta de regresión demínimos cuadrados que pase por los puntos (In(L/Af),ln (P/K)).c) Deduzca que la función de la producción segúnCobb-Douglas es P = 1.01L075K 025.Límites y continuidadC omp a r emo s e l c omp o r t am i e n to de las funci ones. sen ( a2 + y 2) . . a 2 — y./(■'• .9 = T ~.—!— y <! (■'■•>') = a + y a + yc u a n d o x y y tienden a 0 [p o r lo tanto, el p unto (a, y) se a p ro x ima al origen].Las tabla s 1 y 2 mue s tran v a lore s d e / (A , y) y g(a, y), c o n u n a a p ro x ima c ió n d e tres c ifrasd e c ima le s , p a ra los p u ntos (a, y) c e r c a d e l origen. (Obs e rve q u e n in g u n a func ión e s tá d e f i ­nid a en el origen.)
  • 286. TA B LA 1 Va lore s de f ( x y y)S EC C IÓ N 1 4 .2 LÍMITES Y CONTINUIDAD 8 9 3T A B L A 2 Va lore s de g(x, y)v.v X. -1.0 -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 1.0-1.0 0.455 0.759 0.829 0.841 0.829 0.759 0.455-0.5 0.759 0.959 0.986 0.990 0.986 0.959 0.759-0.2 0.829 0.986 0.999 1.000 0.999 0.986 0.8290 0.841 0.990 1.000 1.000 0.990 0.8410.2 0.829 0.986 0.999 1.000 0.999 0.986 0.8290.5 0.759 0.959 0.986 0.990 0.986 0.959 0.7591.0 0.455 0.759 0.829 0.841 0.829 0.759 0.455-1.0 -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 1.0-1.0 o.ooc 0.600 0.923 1.000 0.923 0.600 0.000-0.5 -0.600 0.000 0.724 1.000 0.724 0.000 -0.600-0.2 -0.922 -0.724 0.000 1.000 0.000 -0.724 -0.9230 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.0000.2 -0.922 -0.724 0.000 1.000 0.000 -0.724 -0.9230.5 -0.600 0.000 0.724 1.000 0.724 0.000 -0.6001.0 O.OOC 0.600 0.923 1.000 0.923 0.600 0.000Al pa rec er , c u a n d o (x, y) se a p ro x ima a (O, O), los va lore s d e / ( * , y) se a p ro x iman a 1, entanto q u e los valores de g(x, y) no tienden a n ingún número. Re sulta e n to n c e s que e stas c o n ­jetu ra s b a s a d a s en la e v id e n c i a n umé r ic a son cor re c ta s , por lo quesen{.v2 -|- v 2) x 2 — y 2lím -------^ t— = 1 y lím —--------^ n o exis te<w)— a- + y~ (*y)—P-P) -v" + y~En genera l, u s amo s la notac iónlím /(.v, v) = Lp a ra indic a r q u e los v a lore s d e / ( * , y) se aproximan al n úme ro L c u a n d o el p u n to (x, y) t ie n ­deal p unto (¿r, b) q u e e s tá en c u a lq u ie r traye ctor ia q u e se e n c u e n t r a d e n tro de l d omin io def En otras pa labras , p o d emo s h a c e r los valores d e / ( * , y) tan c e rc a n o s a L c omo q u e r amo sh a c ie n d o e l p unto (x, y) lo suf ic ientemente c e rc ano al p u n to (a , b)y p e ro no igual a («, b).Un a d ef inición má s e x a c ta se p re sen ta a continua ción.|~T~1 D e f in ic ió n S e a / u n a func ión d e d os variable s c u y o d omin io D contienep u ntos a rbit ra r iamente c e rc a n o s a (a, b). Entonc es , d e c imo s q u e el l ími te def ( x , y ) c u a n d o (x , y ) t i e n d e a (a, b) e s L y e s c r ib imo slím f(x, y) “ Lt*y.si p a ra todo n úm e ro e > 0 h a y un c or re spondiente n úme ro 8 > 0 tal quesi (.y, y) E D y 0 < y/(x - a)2 + (y - b)2 < 8 e n to n c e sf{x, y ) - L< eOtra s n o ta c io n e s p a ra el límite en la definición 1 sonlím f ( x , y) — L y /{ .v , y) —^ L c u a n d o (a; y ) {«, b)y —fbO b s e rv e q u e | f ( x , y) — Le s la d i s ta n c ia e n t r e los n úm e ro s f { x , y) y L, yy/(x — a)2 + ( y — b) 2 e s la d i s tan c ia entre el p unto (x, y) y el p unto (a , b). Por lo tanto,la def inición 1 e s table c e q u e la di s tan c ia entre /(a:, y) y L se p u e d e h a c e r arbitrar iamentep e q u e ñ a h a c ie n d o la d i s tan c ia d e sde (*, y) a («, b) suf ic ientemente p e q u eñ a , pe ro no cero.En la figura 1 se i lus tra la de f inición 1 mediante un d i a g r ama d e Hechas. Si cu a lq u ie r inter-
  • 287. 894 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESv a lo p e q u e ñ o (L — £, L + e) e s tá d a d o a lrededor de L, e n to n c e s p o d emo s e n c o n t r a r und i s c o Dt, con c en t ro en (a, b) y radio 8 > 0 tal q u e /m a p e a todos los puntos en D6 [exceptotal vez (a, b)] en el intervalo (L — £, L + e).Ot r a ilu s tra c ió n d e la d e f in ic ió n 1 se m u e s t r a en la f ig u r a 2, d o n d e la su p e r f ic ie S esla gráfica d e / Si £ > 0 e s tá d ada , p o d emo s encontrar 8 > 0 tal que si {x, y) e s tá restringidoa q u e d a r en el d i s c o y (at, y) ^ (a, b), e n to n c e s '.a pai te c o r re sp o n d ie n te de S q u e d a entrelos planos h o r izo n ta le s : = ¿ - e y : = L + e .En e l c a s o d e func ione s d e u n a sola v a r iable , c u a n d o h a c emo s q u e X t ie n d a a a, h a y sólod os p os ibles d i re c c io n e s de a p ro x ima c ió n , p o r la izq u ie rd a o p o r la de re cha . De a cue rdocon e l c ap í tu lo 2, si Um.*_„ - / ( .*) lím.,—,+ / ( v ) . e n to n c e s lím ,— , n o existe.En e l c a s o de func ione s d e d o s va r iable s , la situación no e s tan sencilla, p orque puedeh a c e r q u e (x, y) tiendan a (a, b) d e sd e un infinito de d i re c c io n e s de c u a lq u ie r m a n e r a (vé asefigura 3) s iempre q u e (x, y) p e rma n e z c a d e n tro del d omin io d e /La d ef inición 1 e s table c e q u e la d i s tan c ia entre/(AT, y) y L se puede h a c e r a rb i t ra r iame n ­tepeq u eñ a , h a c ie n d o la d i s ta n c ia d e sde (x, y) a (a, b) suf ic ientemente p e q u eñ a , p e ro no c e ­ro.La def inición se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y (a, b). No se refiere a la di rec ciónde ap ro x ima c ió n . Por c o n s ig u ie n te , si exis te e l límite, e n to n c e s f ( x , y) tiene q u e a p ro x i ­mar s e al m i smo límite sin q u e imp o r te c óm o (x, y) se a p ro x ima a (¿r, b). Por lo tanto, sie n c o n t r amo s d o s traye c tor ia s dis t inta s d e aproxima c ión a lo largo de las c u a le s la función/ ( * , y) tiene dife rente s límites, e n to n c e s se infiere que l ím y )—(«./>)/O*, y) n o existe.Si /( .v, y) L i c u a n d o (x, y) —» (a, b) a lo largo de u n a t raye c tor ia Ci, y/(.V, y) —* L-> c u an d o (jc, y) —» (a, b) a lo largo de u n a trayector ia C 2, don d e L, ^ L2,e n to n c e s lím<*y)—(*./,)/(-*, >’) no existe./ — 1/ = !□ EJEMPLO 1 Demu e s tre q u e líma- - y-(«.yj— x 2 + y 2no existe.SOLUCIÓN S e a / ( * , y) = (at’ — y2) / ( x 1 + y 2). Primero nos a p ro x imamo s a (0, 0) p o r eleje x. E n tonc e s y = 0 da/(AT, 0) = xt /x2 = 1 para to d a x ^ 0, de m o d o que/ ( . í , y) —* 1 c u a n d o (x, y) —» (0, 0) por el eje x•>- y -A h o r a n os a p ro x imamo s p o r el eje y h a c ien d o x = 0. E n to n c e s / (O , y) = — = — Ipa ra to d a y ^ 0, d e mo d o quef ( x , y) —* — 1 c u a n d o {x, y) —> (0, 0) por e l eje yFIGURA 4 (Vé a s e figura 4.) Pue s to q u e / tiene d os límites di ferente s a lo largo de d os rectas
  • 288. SECCIÓN 14.2 L Í MI T E S Y CONT INUIDAD 895l i x f l En Visual 142. una recta que gira en lasuperficie de la figura 6 muestra diferenteslímites en el origen a partir de distintasdirecciones.dis tinta s , el límite d a d o no exis te. [Esto conf irma la co n je tu ra h e c h a con ba se ene v id e n c i a n umé r ic a al pr inc ipio de e s ta sección.]EJEMPLO 2 Si f ( x , y) = x y / ( x 2 + y 2), ¿existe lím f(.x, y)?SOLUCIÓN Si y = O, e n to n c e s / (a : , O) = O/ a t = 0. Por lo tanto,/( .v, y) —* O c u a n d o (*, y) —* (O, 0) p o r el eje xSi x = O, e n to n c e s / (O , y) = O/y 2 = O, a s í que/( .v, y) —* O c u a n d o (*, y) —* (O, 0) p o r el eje yAu n q u e h emo s obtenido límite s idénticos a lo largo de los e je s , e so no d emu e s t r a q u e ell ími te d a d o s e a 0. A p r o x im ém o n o s a (0. 0) a lo l a rg o de o t r a re c ta , d ig am o s , y = x.P a r a to d a x ^ 0.f ( x , x )Por lo tanto f ( x , y)X + X- 2c u a n d o (A, y) —> (0, 0) por y = x(Vé ase figura 5.) Pue s to que h emo s obtenido d is tintos límites en dis tinta s traye ctor ias ,el límite d a d o no existe.L a figura 6 a r roja a lg u n a luz en el e jemplo 2. L a c re s ta q u e se fo rma p o r a r riba de lare cta y = ^ c o r r e s p o n d e al h e ch o d e q u e f ( x , y) = I pa ra todos los puntos (a; y) en e s a recta,e x c e p to en el origen./(*, y)FIGURA 6xyJV- + V*En la figura 7 se ilustra la gráfica de lafunción del ejemplo 3. Observe que hay unacresta por encima de la parábola .v = y .FIGURA 7□ EJEMPLO 3 Si /(-V, y)xy'T , ¿existe lím f ( x , v)--V2 + y 4 (*y>-»<M)SOLUCIÓN Con la solución del e jemp lo 2 en men te , tra temos de a hor ra r t iemp o ha c ien d o( a ; y) —» (0, 0) p o r cu a lq u ie r re cta no vertical q u e pa se p o r el origen. Entonc e s , y = mx,d o n d e m e s la pendiente yx imx f m 2x 3f { x , y) = /(.v, mx)m~xx 2 + (mx)4De e s te mo d o / ( . í , y) —» 0 c u a n d o ( a ; y) —* (0, 0) a lo la rgo de y = mxPor lo t a n t o , / t i e n e e l m i sm o v a lo r límite a lo largo de to d a re cta no ve r tica l quepa se por el origen. Pero e s to no d emu e s t r a que el límite d a d o s e a 0 , p orque si h a c emo s(at, y) —» (0, 0) a lo largo de la p a rá b o la x = y 2, ten emo s/(.v,y)=/(y2,y) (y 2)2 + y 2 y ‘
  • 289. 896 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESOtro modo de resolver el ejemplo 4 es aplicarel teorema de compresión en lugar de ladefinición 1. De 7] se infiere quelira 3 | y I — Oy entonces la primera desigualdad de [T|muestra que el límite dado es 0.p o r lo que c u a n d o (Xy y) —» (O, 0) a lo largo d e x = y 2Pue s to q u e p o r d is t inta s traye c tor ia s se obtienen di ferente s v a lore s límite, el límite da d ono existe.Ob s e rv e a h o r a los límite s q u e s í exis ten. Jus to c omo en e l c a s o d e las func ione s d e u n ava r iable , el c á lculo d e límites d e las func ione s d e dos va r iable s se puede simplif ica r en granm e d id a me d i a n te e l u so d e las p ro p i e d a d e s de los límites. Las ley e s d e los lími te s q u e selistan en la sección 2.3, se p ueden ge n e ra liz a r a las func ione s de d os va riables: el límite deu n a s um a e s la s um a d e los lími te s , e l l ími te d e un p ro d u c to e s e l p ro d u c to d e los límite s ,y a s í su c e s ivamente . En pa r ticula r , las e cu a c io n e s siguiente s son válidasm lím x — a(w )—í* 1’)lím y = b(x, y)— />> ■lím c = c(vv>—(<.,/<)El teo rema de c omp re s ió n también se cump le3 * 2yEJEMPLO 4 Ca lc u le mlímu —5---------T si existe .( vv)—£>.<}) x~ + ySOLUCIÓN Al igual q u e en el e jemp lo 3, demu e s t re q u e el límite a lo largo de cu a lq u ie rre cta q u e pa se por el origen e s 0. Es to no d emu e s t ra q u e e l límite d a d o sea 0, p e ro loslímite s a lo la rgo de las pa ráb o la s y = x2 y x = y también resultan se r 0 , de m o d o queso sp e c h amo s q u e e l límite exis te y e s igual a 0.S e a e > 0. Se b u s c a d e te rmin a r S > 0 tal que0 < a /v 2 + y 2 < 5 entonc es3.v2y.i- + y< ee s de cir , 0 < yjx2 + y 2 < 8 entonc es 3 v I y I.v2 + yT < £Pero x~ .v2 + y 2 p orque y 2 5= 0, d e mo d o q u e v2/ ( .v2 + y 2) ^ 1 y, por lo tanto,a3 * 2 | y |x~ + y 3|yI = 3V-Í2 + y2Por tanto, si e le g imo s 5 = e / 3 y h a c emo s 0 < V * 2 + y 2 < S, e ntonc e s3.v2y. t 0 x~ + y -De a q u í qu e , según la def inición 1,=£ 3 y/x2 + y 2 < 3 5 = 3(ilím3A -y,v- + y'ContinuidadRe cue rde que es fácil e v a lu a r los límite s d e funciones continuas con u n a var iable. Se r e a ­liz a su s ti tuyendo en fo rma d i re c ta p o rq u e la propiedad q u e define u n a función c o n t in u a eslím.v—.«/{.v) = / ( « ) . Las func ione s con tin u a s de dos variable s se definen también p o r mediode la p ropiedad de sustitución.
  • 290. SECCIÓN 14.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD 897|~4~| Definición U n a f u n c i ó n / d e d o s v a ria b le s se llam a c o n t in u a e n (a , b). lím , /(■<• y) = /(«.h)D e c im o s q u e / e s continua sobre D si / e s c o n tin u a en to d o s lo s p u n to s (a, b)en D.El s ignificado intuitivo de continuidad e s que si e l p unto (x, y ) c am b i a u n a p e q u e ñ a c a n ­tidad, e n to n c e s e l v a lo r d e f ( x, y) c am b i a una p e q u e ñ a c an t id ad . Es to s igni f ic a q u e u n asuperficie q u e e s la gráfica d e u n a func ión c o n tin u a no tiene aguje ros ni grietas.Al aplic ar las p ro p ied a d e s de los límites, p o d emo s v e r q u e las suma s , d i fe renc ia s , p ro ­du c to s y co c ien te s d e func ione s c o n t in u a s son c o n tin u a s sobre sus d omin io s . Se u s a esteh e ch o p a ra d a r e jemp lo s de func ione s continuas.Un a función polinomial de d o s variables (o po l in omia l , pa ra abreviar ) , e s u n a sumade té rmin o s d e la fo rma ca"*/', d o n d e c e s una c o n s tan te y m y n son e nte ros no negativos .Un a función racional es u n a razón de polinomiale s . Por e jemp lo ,f ( x , y) = x1 + 5x*y2 -I- 6xy* — l y + 6e s u n a func ión po l in omia l , mient ra s2xy + 1g{x, y) = - j - — Tx - + ye s u n a func ión racional.Los límites en Y demue s tran que las funciones f (x, y ) = x, g(x, y ) = y y h(x, y) = c soncontinua s . Pue s to que cu a lq u ie r p o l in omia l se p u e d e c o n fo rma r con las func ione s simple s/ , g y /? mediante mult iplic a c ión o adic ión, se infiere que todas las polinomiales son conti­nuassobre R 2. De igual ma n e r a , cu a lq u ie r función ra cional es c o n t in u a sobre su domin io ,p orque e s un coc iente de func ione s continua s .□ Eva lúe lím (.v 2y 3 - x 3y 2 + 3 * 4- 2 y ) .(v v ) — (1.2)SOLUCIÓN Pue s to q u e f ( x. y) = jdy2 — x*y2 -+ 3jc -h 2y e s u n a p o l in omia l y es c o n tinua ,e n to n c e s se puede e n c o n t ra r el límite mediante la sus titución directa:lím (A-2y 3 - x 3y 2 + 3a- + 2 y ) = 12 « 2 3 — 1 3 ♦ 2 2 + 3 ♦ l + 2 - 2 = 11 ■ ■EJEMPLO 6X~ — y~¿D ó n d e e s c o n tin u a la fu n c ió n ¡ (X, y ) = —^------- -?x- + y -SOLUCIÓN L a fu n c ió n / e s d is c o n tin u a en (0 , 0 ) p o rq u e a llí no e s tá d e fin id a . P u e sto q u e /e s u n a fu n c ió n ra c io n a l, e s c o n tin u a so b re su d om in io , q u e e s e l c o n ju n toD = {(x, y) | ( x , y ) ± ( 0 ,0 ) } . MEJEMPLO 7 S e ai ; - j i s, (.v, >.)*<<>, o )» ( ■ ' • = -t! + r s> {•'■• y) - {o. o)A q u í g se d e fin e en (0 , 0 ) p e ro g e s d is c o n tin u a a h í p o rq u e lím(.vv)^> ,c )^ (.v , v ) n o e x is te(v é a se e jem p lo 1). ■
  • 291. 898 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESEn la figura 8 se muestra la gráficade la función continua del ejemplo 8.EJEMPLO 8 SeaFIGURA 8FIGURA 9La función h(x, y) = arctan(y/jc)es discontinua donde x = 0.3 t2y . si ( v, y) * ( 0 , 0 )si (.v, y) = (O, O)A’ + yS a b emo s q u e / e s c o n tin u a pa ra (at, y) # (O, 0) puesto que e s igual a u n a función racional.As imi smo , según e l e jemp lo 43x2 1, lím /O * . y ) = Jim —{w>—(0,0) (*.y)—(0,0) x v +' 'y 7 = o = /(O , O)P o r lo t n n t o , / e s c o n tin u a en (O, O) y e n to n c e s e s c o n tin u a so h re R 2 ■ ■Igual que en el c a s o de u n a func ión de u n a variable, la c omp o s ic ió n e s otra ma n e r a d ec omb in a r d os func ione s c o n tin u a s p a ra o b ten e r una tercera. De h e ch o , se puede d emo s t r a rq u e si / e s u n a función c o n t in u a d e d os va r iable s y g e s u n a func ión c o n t in u a d e u n a v a r ia ­bleq u e e s tá d e f inida en e l rango de f e n to n c e s la función c omp u e s t a h = g ° / d e f i n i d a p orh(x, y) = g(f(x, y )) e s también u n a función continua.EJEMPLO 9 ¿Dó n d e e s c o n t in u a la func ión h(x, y) = arctan(y/;c)?SOLUCIÓN L a fu n c ió n / ( * , y) = y / x e s u n a fu n c ió n ra c io n a l y p o r lo tan to c o n tin u a ,e x c e p to so b re la r e c ta x = 0. L a fu n c ió n g(t) = a rctan t e s c o n tin u a en to d a s p a rte s.E n to n c e s la fu n c ió n c om p u e s tag(f(x> y)) = a rc tan (y/a:) = h(x, y)e s c o n tin u a e x c e p to d o n d e x = 0. L a g rá fic a de la fig u ra 9 m u e s tra u n a g rie ta en lag rá fic a de h a rrib a d e l e je y.M Punciones de tres o más variablesT o d o lo q u e h em o s v isto en e s ta se c c ió n se p u ed e g e n e ra liz a r a fu n c io n e s d e tre s o m á sv a ria b le s. L a n o ta c ió n, ¡fn¡ , / ( * . >. - ) = Lsig n ific a q u e los v a lo re s d e / ( A ; y, z) se ap ro x im an al n úm e ro L c u a n d o e l p u n to (a , y, z ) tiendeal p u n to (a, b> c) a lo larg o d e c u a lq u ie r tray e c to ria en e l d om in io d e / C om o la d istan c ia en tred o s p u n to s (a :, y , z ) y ( a , 6 , c) en IRJ e s tá d a d a p o r y/{x — a)2 + (y — b)2 + I z — c*)2 ,p o d em o s e s c rib ir la d e fin ic ió n e x a c ta c om o sig u e p a ra to d o n úm e ro e > 0 h ay un n úm e roc o rre sp o n d ie n te 8 > 0 ta l q u esi (x, y , z) e s tá en e l d omin io d e / y 0 < y/[x — a)2 + ( y — b)2 + (z — c)2 < 8e n to n c e s | / ( .v, y, z) — L< eL a func ión / e s c o n t in u a en (¿r, b, c) si, Jim f ( x , y. r ) - / («, b , , )C»vy. b' r)Por e jemp lo , la funciónf(x,y.z) X- + y- + z¿
  • 292. SECCIÓN 14.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD 899e s u n a función ra cional de tres va r iable s , y e ntonc e s e s c o n t in u a en to d o s los p u ntos en R e x c e p to d o n d e x2 + y 2 + z2 = 1. En otras palabras , e s d i s c o n t in u a sobre la e s fe r a con c e n ­troen e l or igen y radio 1.Si us amo s la notac ión ve c tor ia l introduc ida al final d e la sección 14.1, e n to n c e s po d emo se sc ribir la definición d e límite pa ra fu n c io n e sd e d os o tres v a r iable s en u n a sola forma c om ­pa c ta c omo sigue.|~5~| S i / s e define sobre un subconjunto D d e IR", entonc es l ím * _ a / ( x ) = L significaque p a r a todo n úm e ro e > 0 h a y un n úme ro co r re sp o n d ie n te 8 > 0 tal quesi x E D y 0 < |x — a | < 5 e n to n c e s | / ( x ) — L< eO b s e rv e q u e si n = 1, e n to n c e s x = x y a = a y y [3] e s ju s tam e n te la d e f in ic ió n d e unlímite para funciones de u n a variable. Para el caso n = 2, tenemos x = {.V, y ) , a = ( a , b ) yy |x — a = yf(x — a)2 + (y — b)2, d e mo d o q u e |3 ] se t ra n s fo rma en la de f inición 1. Sin = 3, e n to n c e s x = (.v, y, z ) , a = ( a , ¿?, c ) , y [3] se v u e lve la d e f inición d e un límite deu n a func ión de tres variables. En c a d a c a so, la def inición de con tin u id ad se puede e sc ribirc omoKm / ( x ) = / ( a )—aEjercicios1. Suponga que ,)/(* ,} ■ )= 6. ¿Qué puede decir ^ ^ y~ sen~ v ^ | im x y ~ -vrespecto al valor de /( 3 , I)? ¿Y si f e s continua? (>•»•)— (>-°) x* + y 4 (-r)— ('.<>) (.v — l}’ + y'2. Explique por qué cada una de las funciones es continua odiscontinua.a) La temperatura en el exterior como función de la longitud,.xy .v4 — y13. lím — ' 14. lím< > )-(.» ) VA2 + y 2latitud y tiempo. x 2y e y x 2 sen2y15. lím-----—:—:----- r 16. límb) Elevación (altura sobre el nivel del mar) en función de la (>.,)—fl>.o) x * + 4 y 2 («.r>— o) .r2 + 2y 2longitud, latitud y tiempo.c) El costo de un viaje en taxi en función de la distancia ^ v -v ^g -v.Vrecorrida y el tiempo. (*•>•)—(M) y jx 2 + y 2 + I — I Lrí-f>.o) .v2 + y 83-4 Mediante una tabla de valores numéricos de f ( x , y ) para (a, y) 19. lím ey tan(.vr)cerca del origen plantee alguna conjetura acerca del valor del (»°- lP)límite de f (x , y) cuando (x, y) —* (0, 0). Luego explique por qué x y + yz¿V. lim-------—:------ ;--------su conjetura es correcta. (i).o.o) x + y + -~x Y + x V - 5 2 x y x y + y z 2 + x z 22 - xy ^ ñ X ’ y) = 21 ■ ( « Í M *= + / + .-*5-22 Determine el límite, si existe, o demuestre que no existe.5. lím (5.r3 — v2y 2) 6. lím f “ iycos(.v -|- v)22. lím( v . y . 0.0) A1 + 4 y 2 + 9 z 24 — xv7. lími> .v2 + 3y:( KH 23-24 Mediante una computadora, grafique la función para expli* ~b >' 1 por qué el límite no existe.i . 2 C i *2+2 W 23. 1l1í1m11 ^ + , ^ V. , * ' 24. H11"m* - Sx Í t,g ,fm ~v ~ 4>’ 1Q ,ím - V c o s v < > ) - * > .o ) 3 a - + 5 y - x 2 + y (' <*.v) —(o.o) A 2 + 2v2Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en slewartcalculus.com
  • 293. 900 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES25-26 Encuentre h(x, y) = g(f(x,y)) y el conjunto en e! cual h escontinua.25. g(t) = t 2 + v'T, / ( a, y) = 2 x + 3y - 61 - Ay26. g(t) = t + ln t, / ( a, y)1 + x 2y 227. f ( x , y) =“ • / U y ) = 1i - a - y29. F(.v, y)31. F ía, y)1 +1 + a 2 + y30. F(a, y) = eos yj 1 + a - y1 — a — y-33. G(a, y) = InÍA2 + y 2 - 4)34. G(a, y) = tan-'íí.v + y ) '2)32. H( a , y)35. / { .y , y, z) — are sen ( a 2 + y 2 + z 2 )e x + e 336. / ( a , y, z) = y/y - x 2 ln z37. f ( x , y ) =■vV2a-2 + y 2 si (a, y) j* (0 ,0 )si (a , y) = (0. 0)Ay38. / { a, y) = { A2 + Ay + y ;0s i ( a , y) 7* (0 ,0 )si (a , y) - ( 0 ,0 )39-41 Mediante coordenadas polares determine el límite. (Si (r, 6)son las coordenadas polares del punto (a, y) con r > 0, observe quer —* 0+ cuando (a, y) —» (0, 0).]39. líma3 + y 327-28 Grafique la función y observe dónde es discontinua. Luegouse la fórmula para explicar lo que ha observado.í^y)—f).o) .v + y -40. lím (a2 + y 2)ln(A2 + y 2)(•>)-(!). 0)41. lím(..y)-(0.0) ,r - + y 729-38 Determine el conjunto de puntos en los cuales la función escontinua.A y42. Al inicio de esta sección se co n sid e ró la funciónsen ( a 2 + y 2).v. £ +i y 2y se conjeturó que /( a , y) — 1 cuando (a, y) —* (0, 0) con baseen evidencia numérica. Use coordenadas polares para confirmarel valor del límite. _uego grafique la función.43. Grafique y discuta a continuidad de la funciónsen Ay/< .v ,y ) = •vysi Ay' 0si Ay' — 044. Se;/<fo si y < 0 o y 5* a 4r, v) = 11 1 si 0 < y' < aa) Demuestre que (a , y) —■* 0 cuando (a, y) —* ( 0 , 0 ) a lo largode cualquier trayectoria que pase por (0, 0) de la formay = niA' con a < 4.b) No obstante el inciso a), demuestre que / es discontinuaen (0, 0).c) Demuestre q u e / e s discontinua sobre dos curvas enteras.45. Demuestre que la f jnción f dada por f ( x ) —x | es continuasobre R". [Sugerencia: Considere| a - a |2 = (a - a) • (a - a).]46. Si c E V„, demuestre que la fu n c ió n /d a d a po r/(A) = c • x escontinua sobre IR".Derivadas parcialesEn un d í a c a lu ro so la h ume d a d e x t r ema ha ce pensa r q u e la temp e ra tu ra e s m a y o r de lo queen realidad es, en tanto q u e si el aire e s tá muy seco, pa re c e q u e la temp e ra tu ra es má s ba jade lo q u e seña la el termómetro. El Na tiona l We a the r Service de Es tados Unidos h a di señ ad oel índice calorífico, q u e se d e n omin a también índice d e temp e ra tu ra -h umed a d o h umid e x ena lg u n o s pa íses , p a ra d e s c r ib i r los e fe c to s comb in a d o s d e temp e ra tu ra y h umed a d . El índicec alor íf ico I e s la t emp e ra tu r a de l aire q u e se siente c u a n d o la t emp e ra tu r a real e s T y lah ume d a d re la tiva e s H. De este mo d o , / e s u n a función de T y H y se puede e s c r ib i r c omo/ = f (T, H). La tab la s iguiente de v a lore s de / e s parte de u n a tabla q u e e la b o ró e l Na tionalWe a th e r Se rvice d e Es tados Unidos.
  • 294. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 901TABLA 1Indice calorífico / en funciónde la temperatura y la humedadHumedad relativa (%)Temperaturareal(°F)-5 0 5 5 6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 09 0 9 6 9 8 1 00 1 0 3 1 0 6 1 0 9 1 1 2 1 1 5 1 1 99 2 1 00 1 0 3 10 5 1 0 8 1 1 2 1 1 5 1 1 9 1 2 3 12 89 4 1 0 4 10 7 1 1 1 1 1 4 11 8 1 2 2 12 7 1 3 2 13 79 6 1 0 9 1 13 1 1 6 1 2 1 12 5 1 3 0 13 5 141 1 4 69 8 1 14 1 18 12 3 1 2 7 13 3 1 3 8 1 4 4 1 5 0 15 71 00 1 19 1 2 4 12 9 1 3 5 141 14 7 1 5 4 161 16 8Si nos c o n c e n t r amo s en la c o lum n a re sa l tada de la tabla, la cual c o r re sp o n d e a la h um e ­dadr e la tiv a d e H = 7 0%, e s tá co n s id e ra n d o el índice c a lor íf ico c om o u n a función de lava r iable ú n ic a T pa ra un v a lo r fijo d e H. Esc r ibimos g(T) = f ( T , 70). E n tonc e s g(T) d e sc ribec ómo el índice calorífico / se in c reme n ta c uando la temp e ra tu ra real T se in c reme n ta c uandola h ume d a d re la tiva e s d e 70%. La d e r iv a d a de g c u a n d o T = 96 °F e s la razón d e c amb iode / con re spe c to a T c u a n d o T = 96 °F:. . . <7(96 + h) - <7(96) . . / ( 9 6 + / . , 7 0 ) - / ( 9 6 , 7 0 )<7 (9 6 ) — l ím ; — l ím :----------------------9 ' ' h—Q h h - 0 hAp ro x im am o s g'{96) usa n d o los v a lore s de la tab la 1 y toma n d o h = 2 y —2:9(98) - 9 ( 9 6 ) / ( 9 8 , 70) — / ( 9 6 , 7 0 ) 133 - 1 2 5 ,9 (96) = = = = 49 ( 9 4 1 - 9(96) / ( 9 4 . 7 0 ) - / ( 9 6 . 7 0 ) 118 - 1 2 5q (961 ~ ------------------------ = --------------------------------------- = = 3 . 5- 2 - 2 - 2Al p rome d ia r los va lore s , la d e r iv a d a g96) e s a p ro x ima d ame n te 3.75. Es to quiere de c i rque c u a n d o la temp e ra tu ra real e s de 96 °F y la h ume d a d re la tiva e s 70%, la temp e ra tu raapa rente ( índice c alor íf ico) se e le v a cas i 3.75 °F ¡por c a d a grado q u e a ume n ta la t em p e ra ­turareal!A h o r a v e amo s e l renglón re sa l tado de la tab la 1, el c u a l c o r re sp o n d e a la temp e ra tu rafija de T = 96 °F. Los n úme ro s de este renglón son va lore s de la func ión G(H) = / ( 9 6 , / / ) ,la c u a l d e s c r ib e c óm o e l índic e c a lo r í f i c o a um e n t a c u a n d o la h um e d a d r e la t iv a H sein c r em e n t a c u a n d o la t emp e ra tu r a real e s 7 = 96 °F. L a d e r iv a d a de e s ta func ión c u a n d oH = 70% e s la razón de c amb io de / con respecto a H c u a n d o H = 70%:G ' (7 0 ) = ,fm G(7° + ft> ~ G(70) = , fm / ( 9 6 . 7 0 + / , ) - / ( 9 6 , 7 0 )h—O h h—Q flSi h a c emo s h = 5 y —5, a p ro x imamo s a G '(7 0 ) u s a n d o los v a lore s de la tabla:<7(75) - C7 (7 0 ) 7 ( 9 6 , 75) - / l 9 6 , 7 0 ) 1 3 0 - 125G'(70) ~ --------------------------- = = = 1<7(65) - (7(70) / 1 96, 55) - /<9 6 , 70) 121 - 125<7 (70) = = = 0.8
  • 295. 902 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESA l p rom e d ia r e s to s v a lo r e s o b te n em o s la e s tim a c ió n G'ilO) 0 .9 . E s to e s ta b le c e q u e ,c u a n d o la tem p e ra tu r a e s de 96 °F y la h um e d a d re la tiv a e s d e 7 0% , e l ín d ic e c a lo rífic o see le v a c a s i 0 .9 °F p o r c a d a p u n to p o rc e n tu a l q u e a um e n ta la h um e d a d re la tiv a .En g e n e ra l, s i / e s u n a fu n c ió n de d o s v a ria b le s x y y , su p o n g am o s q u e só lo h a c em o svar ia r x m ie n tra s m a n te n em o s fija a y, d ig am o s y = ¿>, d o n d e b e s u n a c o n sta n te . E n to n c e se stam o s c o n s id e ra n d o en re a lid ad u n a fu n c ió n d e u na so la v a riab le a; a sab e r, g(x) = f ( x , b).Si g tien e d e r iv a d a en a , e n to n c e s se d e n om in a d e riv a d a p a r c ia l d e / co n respecto a x en(a, b ) y la d e n o tam o s c o n f x(a, b). P o r c o n sig u ie n te0 /*{«, b) = ga) d o n d e g(x) = / ( a , b)De a c u e rd o c o n la d e fin ic ió n d e d e r iv a d a , ten em o s. . . q ( a + h ) — q ( a )g (ci) = lím — --------- -------o /.y e n to n c e s la e c u a c ió n 1 se tra n s fo rm a enfx(a, b) = lím• ' ' 1,^0f ( a + h ,b ) - f ( a , b)De ig u a l m a n e ra , la d e r iv a d a p a r c ia l d e / con respecto a y en (a, ¿>), d e n o ta d a p o r / .( « , b ),se o b tie n e al m a n te n e r fija la v a ria b le x { x = a) y d e te rm in a r la d e r iv a d a o rd in a ria d e b d ela fu n c ió n G(y) = / ( « , y):0C o n e s t a n o ta c ió n d e d e r iv a d a s p a r c i a l e s , p o d em o s e s c r ib i r la s r a z o n e s d e c am b iod e l ín d ic e c a lo r íf ic o I c o n r e s p e c to a la tem p e ra tu r a r e a l T y h um e d a d r e la tiv a H c u a n d oT = 96 °F y H = 7 0% c om o sigue:/ r (96, 70) ~ 3 .7 5 /* (9 6 , 70) ~ 0 .9Si a h o ra d e jam o s q u e e l p u n to (a , b) v a ríe en las e c u a c io n e s 2 y 3 , / y f y se tra n s fo rm a nen fu n c io n e s de d o s v a ria b le s.|~4~~| S i / e s u n a fu n c ió n d e d o s v a ria b le s, su s d e riv ad a s p a rc ia le s son las fu n c io n e sf x y fy, d e fin id a s p o ra< + y)_ /U y) M x t y ) = lím/»—0 kfy (-'» y) = lím/C v>y + '•) - / ( ' . y )A—O h
  • 296. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 9 0 3Hay mu c h a s otras n o ta c ione s p a ra las de r iv a d a s parciales. Por e jemp lo , en lugar de f xp u e d e e s c r ib i r / , o D , / p a r a in d ic a r la de r iva c ión re sp e c to a la primera va r ia b le , o bien,df/dx. Pero a q u í d f /dx no se puede interpretar c om o u n a razón d e diferencia le s .Notaciones para derivadas parciales Si i = / ( a , y ) , e s c r ib imo sfx(x, y ) = f x = - r ~= y ) = - r— = / i = Df = Dxfdx dx dxf, (x, y) = A = - r - = -7- f l x . y) = ^ ~ = h = D2f = D , foy dy oyPa ra c a lcula r d e r iv a d a s pa rciale s , todo lo que d e b e h a c e r e s re co rd a r qu e , según la e c u a ­ción 1, la d e r iv a d a pa rcial con re sp e c to a a es ju s tame n te la d e r iv a d a ordinaria d e la fu n ­ción g de u n a sola va r iable q u e se obt iene al man te n e r fija a y. Por lo tanto, ten emo s la reglasiguiente.Regla para determinar las derivadas parciales de z= / i a , v )1. Pa ra d e t e rm in a r / , , c o n s e rv a r a y cons tante y d e r iv a r / ( a , y) con re spe c to a a .2. Pa ra d e te rmin a r / . , c o n s e rv a r a a cons tante y d e r iv a r / ( a , y) c o n re spe c to a y.EJEMPLO 1 Si / ( a , y) = a 1 + a Y - 2 yde te rmine / { 2 , 1) y / ( 2 , 1).SOLUCIÓN Al c o n s id e r a r c om o c o n s tan te a y y d e r iv a r con re spe c to a a se obtiene/ * ( * , y) = 3.v2 + 2.vy3y e n to n c e s f x{ 2, 1) = 3 • 2 2 + 2 • 2 • 13 = 16Si c o n s id e ram o s c om o c o n s ta n te a r y d e riv am o s c o n re sp e c to a y e n to n c e sf y(x, y) = 3.v2y 2 - 4yfy{2, 1) = 3 • 2 2 • l 2 - 4 • 1 = 8FIGURA 1Las derivadas parciales de / en (a, b)son las pendientes de las tangentes aC | y C2.í 3 Interpretaciones de derivadas parcialesPa ra d a r u n a inte rpreta ción g e omé t r ic a de las d e r iv a d a s pa rciale s , re cue rde q u e la e cu a c ió ni = / ( a , y ) r e p r e s e n t a u n a su p e r f ic ie S (la g rá f ic a d e / ) . Si f (a, b) = c, e n to n c e s e l p u n toP(ay ¿>, c) e s tá s i tuado sobre S. Si ha ce y = by e s tá e n fo c a n d o la atención en la c u rv a C, enla c u a l e l p l a n o v e r tic a l y = b in te r s e c a a S (En otra s p a la b ra s , C, e s la t ra z a d e S en elp l a n o y = b). De igual man e ra , el p lan o vertical a = a in te r s e c a a S e n u n a c u rv a C 2. Tan tola c u rv a Ci c omo C2 pasan p o r el p unto P (véase figura 1).O b s e rv e q u e la c u rv a C, e s la g r á f ic a d e la fun c ió n g(x) = / ( a , b)y d e m o d o q u e la p e n ­die n te de su tan g e n te Tx en P e s g'(a) = f x ( a , b). L a c u rv a C2 e s la g rá f ic a de la func iónG(y) = f ( a , y ), d e m o d o q u e la p e n d ie n te de su tan g e n te 7en P e s G’(b) = f y(a, b).Por lo tanto, las de r iv a d a s p a r c i a l e s / ( ¿ i , b) y fy(at b) se p u e d en in te rp r e t a r e n fo rma g e o ­mét r ic a c om o las p e n d ie n te s de las tangentes en P(ay by c) a las traz as C | y C2 d e S en losplanos y = b y x = a.
  • 297. 904 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESC om o y a se vio en e l c a s o d e la func ión d e l índice calor íf ico, las d e r iv a d a s pa rciale stambién se pueden interpretar c omo razones de cambio. Si z — f ( x , y), e ntonc e s dz/dx r e p re ­sentala razón de c amb io d e z r e sp e c to a ^ c u a n d o y p e rma n e c e cons tante . De ma n e r a s imi ­lar,dz/dy re p re se n ta la ra zón de c amb io de r re spec to a y c u a n d o * e s cons tante .Si f ( x , y) = 4 — x1 — 2y 2, d e te rmin e fx( 1, 1) y j y ( l , 1), e inte rprete es tosn úme ro s c omo pendientes .SOLUCION T e n emo sfÁx, y)fÁ U 1)2x2f>(x, y ) = —Ay/>( 1, 1 ) = - 4La gráfica d e / e s el pa rab o lo id e z = 4 — x1 — 2y2 y e l p lan o ver tical y = 1 lo inte r se c aen la p a ráb o la z = 2 — x2, y = I . (Al igual q u e e.i e l análisis ante r ior , e s Cx en lafigura 2.) La pe n d ie n te de la re c ta tangente de esta p a ráb o la en e l p unto (1, 1, 1) es/ , ( 1 , 1) = —2. De la m i sma man e ra , la c u rv a C2 que se fo rma c u a n d o e l plano x = 1in te r se c a al pa rab o lo id e e s la p a rá b o la z = 3 — 2y2, x = 1, y la pe n d ie n te de la tangenteen (1, 1, 1) e s / ^ ( l , 1) = —4 (vé ase figura 3).L a figura 4 se gene ró med ia n te c omp u t a d o ra y e s an á lo g a a la figura 2. En e l inciso a)se i lus tra el plano y = 1 q u e in te r se c a a la superficie p a ra fo rma r la c u rv a C y en el incisob) se mu e s t r a Cx y 7 / [Hemo s us a d o las e cu a c io n e s ve c tor ia les r (t) = (t, 1 ,2 — t 2) p a raC| y r(í) = <1 + f, 1, 1 — 2t ) p a ra 7 V ] As imi smo , la figura 5 c o r re sp o n d e a la figura 3.FIGURA 3FIGURA 4 a)FIGURA 5
  • 298. SECCIÓN 14.3 DERI VAD AS PARCI ALES 905Algunos sistemas algebraicos computarizadostienen la capacidad de dibujar superficiesdefinidas por ecuaciones implícitas con tresvariables. En la figura 6 se presenta una gráficad e la s u p e r f ic ie d e f in id a p n r la e c u a c ió n d e lejemplo 4.f eXFIGURA 6i . df dfcalcule — y -----dx dy □ lifffiM'H ^ /(vSOLUCIÓN Al aplic ar la regla de la c a d e n a para func ione s d e u n a var iabledfdxdf_dy( _ J L _ ) ■ - ( — ) = c j — ) • 1 + y ) dx V 1 + y }1 + y ) 1 + y( _ J _ ) . ± ( . _ J L _ ) = _ C0Sp L _ ) : L _ 1 + y )1 + y /1 + y ) (1 + y)2Q Q H ü Q E D Ca lcule dz/dx y dz/dy si z se de f ine imp l íc i tamen te c om o u n a función dex y y m ed ia n te la e cu a c ió n.v3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1SOLUCIÓN Pa ra d e te rmin a r dz/dx, d e r iv amo s en fo rma impl íc i ta con re spe c to a x ,ten ien d o c u id a d o de tratar a y c om o constante:2 dz dz3.V + 3 r — + óy- + 6 x y— = Odx 7 7 dxRe so lv ie n d o e s ta e cu a c ió n pa ra dz/dx, obtenemosdz x 2 + 2 yzdx z ¿ + 2xyDe ma n e r a similar , la de r iva c ión impl íc i ta re spec to a y d ay 2 + 2xzdy z 2 + 2xyFunc iones de má s de dos var iablesTamb ié n se p ueden de f inir las d e r iv a d a s parciales p a ra func ione s de tres o má s variables.Por e jemp lo , s i / e s u n a func ión de tres variable s x, y y z, e n to n c e s su d e r iv a d a pa rcial conre spe c to a x se define c omof f r r ... Ifm /(.v + h, y, : ) - f ( x , y, :)/ . ( a , y, . ) = l ím ---------------------y se d e te rmin a c o n s id e ra n d o a y y a z c omo cons tante s y d e r iv a n d o f ( x , y , z ) c o n re sp e c to ax. Si w = f ( x , y, z ) , e n to n c e s f x = dtv/dx se puede inte rpre ta r c om o la razón de c amb io dew con re spe c to a ^ c u a n d o y y z se man t ien e n cons tante s . Pero no p o d emo s h a c e r u n a in te r ­pretacióngeomé tric a porque la gráfica d e / se encuentra en un e spa cio de cuatro d imensiones.En general, si u es u n a func ión de n variables, u = f í x i , *2, . . . , .í*), su d e r iv a d a p arcialcon re spe c to a la í -é s ima va r iable x¡ e sBu _ t '(.¥l, ■ • ■ , AV-I, Xj + ll, X j .H , . , -Y») - / (.V i, ■ ■ ■ , AV, ■ ■ ■ , A „ )9Xf *—0 /?
  • 299. CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESy también e s c r ib imo sdu dfEJEMPLO 5 De te rmin e f x, f y y / r, si /(*, y, z) = e** ln z.SOLUCIÓN Si ma n te n emo s c o n s tan te s a y y z y d e r iv amo s re sp e c to a x, ten emo sfx = yexy ln 2e xyDe m a n e r a similar , f y = x e xy ln z y f z = ------ ■ ■Derivadas de orden superiorS i / e s u n a función d e d o s va r iable s , e n to n c e s sus de r iv a d a s pa rciale s f x y / , son tambiénfunc ione s d e d os v ar iable s , de mo d o que se consideran sus de r iv a d a s p arciales (fx)„ (fx)y, (fy)xy (/,)>„ q u e se llaman s e g u n d a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s d e / Si z = f { x , y), u s amo s la notac iónsiguiente:( fx )x fx X — fI(fy)* = />» = fu— 1(Va . v 1U — 1fy . ’ay 1 a.v (— 1{£a . v ' d y ,— 1{J Lay 1i, ay,d2f _ d2zdx2 ~ dx27 a za.v ay dxd~f d~zdx dy dx dy_■), . •>a - / a~z(/y)y = Ay = /22 a y - ayPor lo tanto, la n o t a c i ó n / ^ (o bien, d2f / d y dx) significa q u e p r ime ro se d e r iv a re spe c to a xy d e sp u é s re spe c to a y , y q u e al c a l c u l a r / ^ el orden e s el inverso.EJEMPLO 6 De te rmin e las s e g u n d a s d e r iv a d a s p e jc iales de/ ( * , y ) = a 3 + j r y 3 - 2 y 2SOLUCIÓN En el e jemp lo 1 e n c o n t ramo s queÍÁX, y) = 3.V2 + 2 x y 2 f,(x, y) = l x 2y 2 ~ 4yPor lo tanto,
  • 300. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 907En la figura 7 se ilustra le gráfica de lafunción/ del ejemplo 6 y bs gráficas de suprimera y segunda derivadas parciales para- 2 í . t í 2, - 2 «S y € 2. Observe queestas gráficas son congruentes con lainterpretación de/ , y/y y las pendientes delas tangentes a las trazasde la gráfica de/.Por ejemplo, la gráfica de/decrece si iniciaen (O, - 2 ) y se desplaza en la direcciónpositiva de x. Esto se refleja en los valoresnegativos de f x. Compare as gráficas de/yx y/ con la gráfica de/ para ver las relaciones./ ,FIGURA 7Ob s e rv emo s q u e = / .* e n el e jemp lo 6. Es to no e s u n a coinc idenc ia . Re sul ta q u e lasd e r iv a d a s pa rc ia le s c omb in a d a s f v y f yx son iguale s p a ra la ma y o r ía de las func ione s queuno e n c u e n t r a en la práctica. El t e o r ema siguiente, e l c u a l fue d e s c u b ie r to p o r e l m a t em á ­ticof rancés Alexis Clairaut (171 3 -1765) , p re sen ta las co n d ic io n e s en las c u a le s e s posiblea firmar q u e / y = fyx. L a d emo s tra c ió n se p ro p o rc io n a en el apéndic e F.ClairautAlexis Clairaut fue un niñe prodigio enmatemática. Estudió el libro de texto deI Hospital sobre cálculo cuando tenía 1D añosy presentó un trabajo sobie geometría en laAcademia Francesa de las Ciencias cuandotenía 13 años. A la edad de 18 publicóñecherches sui les combes a Jouble couibuie,que fue el primer tratado sistemático sobregeometría analítica del espacio; entre otrascosas, presentaba el cálcilo de curvastridimensionales.Teorema de Clairaut S u p o n g a q u e / e s t á definida sobre un d i s c o D q u e contiene elp unto (a, b). Si tanto la función f v c o rn o / ,* son c o n t in u a s sobre D e n to n c e sfxy(a, b) = f yx(a, b)Las d e r iv a d a s pa rc ia le s d e orden 3 o superiores también se p ueden definir. Por e jemp lo ,fxyy = í/ty )y_d_a y/ a 2/= _t f d y d x ) d y 23f _dx
  • 301. 908 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESy med ia n te el t e o r ema de Clairaut se puede demo s tra r q u e = f yxy = fyyXs e s ta s func ione sson continua s .□ EJEMPLO 7C a l c u l e s i / ( * , y , z) = s e n(3* + yz).SOLUCIÓNf x = 3 cos (3.t + yz)f xx= - 9 se n (3 * + yz)f xxy = —9z cos(3.v + yz)ftxy: = — 9 c o s (3 * + yz) + 9yz se n (3 * + yz)FIGURA 8E c u a c io n e s d i f e renc ia le s pa r c i a le sEn las ecuaciones diferenciales parciales q u e expre san c ie r ta s leyes físicas apare cen d e r i ­vad a s parciales. Por e jemp lo , la e cu a c ió n diferencia l parciald~u d~uT P ~ dx2 dy-ose llama e c u a c ió n d e L a p l a c e en h o n o r a Pierre Laplac e (1749-1827) . Las soluc ione s dee s ta e c u a c ió n re c iben el n omb re de f u n c io n e s a rm ó n i c a s , y d e s emp e ñ a n un imp o r ta n tepapel en los p ro b lema s de c o n d u c c ió n d e calor , flujo de Huidos y potenc ia l eléctrico.Demu e s tre q u e la func ión u(xy y) = ex sen y es u n a soluc ión de la e cua c ión*-------.v------ *EJEMPLO 8de Laplace.SOLUCIÓN Pr ime ro c a lc u lamo s las d e r iv a d a s parc:ales de seg u n d o orden necesarias:ux “ e x sen y uy — e ' c o s yuxx ™ e x sen y uyy — —e ' s e n yA s í q u e uxx + uyy — ex s e n y — e x sen y — OP o r lo ta n to , u s a tis fa c e la e c u a c ió n d e L ap la c e .La e c u a c i ó n d e o n d ad2u _ 2 c udt2 ~ a dx2de sc r ibe e l m o v imie n to de u n a onda , q u e puede se: u n a o la de mar , u n a o n d a de sonido, u n ao n d a d e luz o u n a o n d a que viaja p o r u n a c u e rd a que vibra. Por e jemp lo , si u(x, t) repre sentael d e sp la z amie n to d e u n a c u e rd a d e violín q u e está vib ran d o en e l t iemp o / y a u n a d i s t a n ­cia x de un e x t r emo de la c u e rd a (c omo se i lus tra en la figura 8), e n to n c e s u(x, t) satis facela e c u a c ió n de onda . En e s te c a s o la c o n s t a n t e a d e p e n d e d e la d e n s id a d y d e la tens iónd e la c u e rd a .EJEMPLO 9de onda.SOLUCIÓNComp ru e b e q u e la func ión u(xy t) = sen(* — ai) sa tis face la e cu a c ió nux = cos(.v - a t )wxv = — sen(;c — at)u t = - a c o s ( . v - at)u „ = - a 2 sen (x — at) = ci2uxDe este mo d o u satis face la e cu a c ió n d e onda.
  • 302. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 909Las e c u a c io n e s di fe re n c ia le s pa rciale s involuc ran func ione s de tres va r iable s que sonmu y imp o r ta n te s en c ie n c i a e ingenie ría . L a e cu a c ió n de Lapla c e en tres d ime n s io n e s esd~u 0-h cru~ ~ + T - i" + T ~ dx~ b y bz~y un c a s o de frecuente aplic ac ión se d a en la Geof ís ica . Si u(x, y , z) r e p re s e n ta la in te n s i ­dadde c am p o mag n é t ic o en u n a pos ic ión (x, y , z), e n to n c e s sa tis face la e c u a c ió n 5. Laintens idad de c am p o mag n é t ic o in d ic a la d is tr ibuc ión de min e ra le s r icos en h ie r ro y reflejad i fe re n te s tipos d e roc a s y la loc a liz ac ión de fallas. La figura 9 mu e s t ra un ma p a de c o n ­tornode l c am p o ma g n é t ic o terrestre regis trado d e sde un avión e q u ip a d o con un mag n e tó -me t ro y vo lan d o a 2 0 0 m por e n c ima d e la superficie terrestre. El ma p a de c o n to rn o esm e jo r a d o p o r u n c o d i f i c a d o r d e c o lo r d e la s r e g io n e s e n tr e la s c u r v a s d e n iv e lFIGURA 9Intensidad del campomagnético de la TierraL a figura 10 mu e s t ra un ma p a de contorno p a r a la d e r iv a d a pa rcial de seg u n d o ordende u en la d i re c c ió n ve r tica l, u... De b id o a que los va lore s de las d e r iv a d a s pa rciale s m.„ yUyy son re la tivamente fáciles de me d i r en un map a d e l c am p o mag n é t ic o , los va lore s de u..p u e d en c a lcu la r s e a partir de la e cu a c ió n de Lapla c e [5].FIGURA 10Segunda derivada verticaldel campo magnético Narvo te tía tporm m
  • 303. 910 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESLa función de producción de Cobb-DouglasEn el e jemp lo 3 de la sección 14.1, se de sc r ib e e l t raba jo de Co b b y Do u g la s al mo d e l a r lapro d u c c ió n total P d e un s i s tema e c o n óm i c o c omo u n a función de la c antidad de ma n o deo b r a L y la invers ión de c apital K. En e s te c a s o se u tilizan d e r iv a d a s pa rciale s p a ra d em o s ­trarc óm o la fo rma p a r ticu la r d e l mo d e lo se infiere de c ie r ta s su p o s ic io n e s q u e plante aroncon re sp e c to a la e co n omía .Si la func ión de pro d u c c ió n se d e n o ta con P = P(L, K), e n to n c e s la d e r iv a d a parcialdP/dL e s la razón a la c u a l c am b i a la produc ción con re spe c to a la c antidad de ma n o deobra. Los e co n omi s ta s la llaman pro d u c c ió n margina l con re sp e c to a la m a n o d e o b r a op r o d u c t i v i d a d m a r g i n a l d e la m a n o d e o b r a . De ma n e r a similar, la d e r iv a d a parcialc'P/dK es la ra zón d e c amb io d e la p ro d u c c ió n con re spe c to al c apital y se d e n omin a p r o ­du c t i v i d a d m a r g i n a l d e l c a p i t a l . En e s tos té rminos las supos ic ione s q u e plante aron Cobby Do u g la s se p ueden fo rmu la r c om o sigue:i) Si la m a n o de o bra o e l c apital se de svane c e , e n to n c e s suc ede lo m i smo con laproduc ción.ii) La p ro duc tividad ma rg in a l d e la m a n o de o bra e s pro p o rc io n a l a la c ant idad depro d u c c ió n p o r unidad de m a n o de obra.iii) La p ro duc tividad ma rg in a l de l c apital e s proporc iona l a la c antidad de p ro d u c ­ción por unidad de capital.De b id o a q u e la p ro d u c c ió n p o r unidad de man o d e o b ra e s P /L , la supos ic ión ii) p l a n ­teaquedP_dLPa —Lp a ra a lguna c ons tante a. Si ma n te n emo s K cons tante (K = Ko), e n to n c e s e s ta e cu a c ió n d i f e ­rencialpa rcial se vue lve u n a e cu a c ió n d i fe renc ia l ordinar iadP P= Q' —dL LSi re so lv emo s e s ta e cu a c ió n d i fe renc ia l separable med ia n te los mé to d o s de la sección 9.3(vé ase tamb ién e je rc ic io 85), o b ten emo sP(L, Ko) = C{Ko)LaO b s e rv emo s q u e la c o n s tan te C apare c e c omo una func ión de Ko p o rq u e puede d e p e n d e rde l v a lo r de Ko.Igua lmente , la supos ic ión iii) p lan te a quey re so lv emo s e s ta e cu a c ió n d i fe renc ia l p a r a tenerP(Lo, K) = Ci(Lo)KeAl c omp a r a r las e cu a c io n e s 7 y 8, o b ten emo sP(L, K) = bL“K e
  • 304. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 9 1 1d o n d e b e s u n a c o n s ta n te q u e e s in d e p e n d ie n te ta n to d e L c om o d e K. L a su p o s ic ió n i)m u e s tr a q u e a > 0 y (B > 0.O b s e rv em o s q u e seg ú n la e c u a c ió n 9, si la m a n o d e o b ra y e l c a p ita l se in c rem e n ta n unfa c to r m, e n to n c e sPimL, m K ) = b im L )tt(m K )* = ma+^bLaK^ = ma+fiP iL , K )Si o¿ -I- (3 = 1, e n to n c e s P ím L , m K ) = mP (L t K ) , lo c u a l q u ie re d e c ir q u e la p ro d u c c ió ntam b ién a um e n ta un fa c to r d e rn. É sta e s la razón d e q u e C o b b y D o u g la s su p u s ie ro n q u ea + f í = 1 y , p o r lo tan to ,P (L ,K ) = bL “K '■*É s ta e s la fu n c ió n d e p ro d u c c ió n d e C o b b -D o u g la s q u e e s tu d iam o s en la se c c ió n 14.1Ejercicios1. La temperatura 7 (en °C) en un lugar del hemisferio nortedepende de la longitud *, latitud y, y el tiempo t, de modoque podemos escribir 7 = / ( * , y, /). Mida el tiempo en horasa partir del inicie de enero.a) ¿Qué significan las derivadas parciales dT/bx, dT/dy ydT/d t ?b) Honolulú tiene una longitud de 158° W y una latitud de21° N. Suponga que a las 9:00 a m el primero de enero, losvientos empujan aire caliente hacia el noreste, de modo queel aire del oeste y del sur e s caliente y el aire al norte y eleste e s más frío. ¿Esperaría q u e /^ 1 5 8 , 21, 9), jj.(158, 2 1 ,9 )y /( 1 5 8 , 21, 9) sean positivas o negativas? Explique.2. Al principio de esta sección, estudiamos la función I = / ( 7 , //) ,donde / es el índice calorífico, 7 la temperatura y H lahu nedad relativa. Mediante la tabla 1 e stim e /r(9 2 , 60) yfu i 92, 60). ¿Cuáles son las interpretaciones prácticas de estosvalores?3. El índice de temperatura de sensación IV'es la temperatura quese percibe cuando la temperatura real e s 7 y la rapidez delviento e s v, de modo que V = f (T , v). La tabla siguiente devalores es una parte de la tabla 1 de la sección 14.1.Rapidez del viento (km/h)- X .20 30 40 50 60 70- 1 0 - 1 8 - 2 0 -2 1 -2 2 - 2 3 - 2 3- 1 5 - 2 4 - 2 6 - 2 7 - 2 9 - 3 0 - 3 0- 2 0 - 3 0 - 3 3 - 3 4 - 3 5 - 3 6 - 3 7- 2 5 - 3 7 - 3 9 -4 1 -4 2 - 4 3 - 4 4b) En general, ¿qué puede decir con respecto a los signosde óW /d 7 y dW/d v lc) ¿Cuál parece ser el valor del límite siguiente?límBVBvLa altura h de una ola en el mar abierto depende de la rapidezy del viento y de la cantidad de tiempo / que el viento haestado soplando a esa rapidez. En la tabla siguiente se registranvalores de la íunción h = f ( v , /) en pies.Duración (horas)5 10 15 20 30 40 5010 2 2 2 2 2 2 215 4 4 5 5 5 5 520 5 7 8 8 9 9 930 9 13 16 17 18 19 1940 14 21 25 28 31 33 3350 19 29 36 40 45 48 5060 24 37 47 54 62 67 69a) ¿Cuáles son los significados de las derivadas parcialesd h /d v y d h /d t ?b) Estime los valores de /*(40, 15) y /t(40, 15). ¿Cuáles sonlas interpretaciones prácticas de estos valores?c) ¿Cuál parece ser el valor del límite siguiente?a) Estime los valores de f r ( —15, 30) y /*( —15, 30). ¿Cuálesson las interpretaciones prácticas de estos valores?Bhl ím -----f— dtm Se requiere calculadora graticadora o computadora | Se requiere sistem a algebraico com p u tarizad o 1 . Tareas su g erid a s d isponibles en stewartcalculus.com
  • 305. 912 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES5-8 Determine los signos de las derivadas parciales de la función/ cuya gráfica se ilustra.5. a) /*( 1,2) b)6. a) f Á -, 2) b) f y { - 1,2)7. a) / « ( - 1 . 2 ) b) f y y ( -U 2)8. a) M U 2) b) / * ( - ! . 2)10. Se presenta un mapa de contorno de una fu n c ió n /. Utilícelapara estimar f x{2, 1) y f y(2, 1).11. Si f ( r , y ) = 16 - 4X2 - y 2, d e t e rm i n e f x( I , 7 ) y / . ( I . 7 ) einterprete estos números como pendientes. Ilustre con gráficaselaboradas a mano o mediante una computadora.9. Las superficies siguier.tes, marcadas con a, b y c , son gráficasde una fu n c ió n /y de sus derivadas p a rc ia le s /t y f y. Identifiquecada superficie y explique el porqué de su elección.12. S i / ( a, y) = v 4 — .x2 — 4 y 2, determine /* ( l,0 ) y / y( l ,0 ) einterprete estos valores como pendientes. Ilustre con gráficaselaboradas a mano o mediante una computadora.13-14 Encuentre f x y fy grafique / , f x y f y con dominios y desdeperspectivas que le permitan ver las relaciones entre ellas.13. /(.v , y) = x y 14. f ( x , y)1 + x 2y 215-40 Calcule las primeras derivadas parciales de la función.15. f ( x , y ) = y > - 3xy17. f { x , t ) = ¿'"'eos 7T.X19. z = (2.x + 3y)‘°21. /(.x , y)23. / (.x , y)16. /(.x, y) = + S x y18. f (x, t) =/T l n t20. r = tan .xyxa x + by22. /(.x, y)24.(x + y)2ex + dy25. q{u, v) = (u 2v - v 1)527. R(p ,q ) = tan~‘(p q 2)29. F(x , y) = Jfy cos(^*) dt31. /(.x , y, z) = x z - 5x2y V33. w = lnÍJC + 2y + 3z)35. u = xy sen- l (y r)u + v~26. ;/(/•. — sen{/' eos $)28. / (.x, y) = A‘y30. F ia , (i) =f y /t3 + 1 dt37. h(x, y, z y /) = .x2y c o s (z /í) 38. <f>{x,y,zyt)Ja32. f { x , y, z) - x sen (y - z)34. w = ze**36. u = x y/:a x + f i y 2y z + Bt239. u =X 2 + x¡ + • • • + .x„240. u = sen (.vi + 2 a'2 + • »* + / i . r „ )41-44 Determine las derivadas parciales indicadas.41. f ( x , y) = ln(.í + v.vJ + y 2 ); f Á4)
  • 306. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 9 1 342. / ( .X ,y ) = arctan(yA); /* (2 ,3 )4 3 ./ ( x ,y , z ) ■; />(2, i , - i )x + y + z44. /{.v, y, ;) =sen2.v + sen2y + sen2; ; f. (O, O, ir /4 )45-46 Use la definición de las derivadas parciales como límites[4~| para determinar / / .X , y) y f y(x, y).46. / (.x, y).x + y51-52 Calcule d z /d x y dz/dy.51. a) - = /(.x) + g(y)52. a) ; = /(* )$ ( y)c) - = f ( x / y )b) z = /(.x + y)b) ; = f ( x y )56. v57. ; = aretan £ + y1 - xyx - y758. v = e62. u = ln( x + 2y)63-70 Encuentre la derivada parcial indicada.63. f ( x, y) = x*y2 - x*y-, f xxx, f vx64- f { x , y ) = sen(2 a- + 5y); f yxy6 5 . f ( x ,y , z ) = e ^f xy:66. <?(/•, s, /) — e r sen(jf); grilB3u67. u = e sen 0; — 768. z = uv69.du dvdtvd 3w d sw70. u = x*y*ze,td x d y d z71. Si f ( x , y, z) — .vy2-3 + arcsen(.vN/T ), obtenga f^y.[Sugerencia: ¿cuál orden de derivación es más fácil?]47-50 Mediante derivación implícita determine d z /d x y dz/dy.47. x2 + 2 y 2 + 3z2 = 1 48. v2 - y 2 + z 2 - 2z = 449. e : = x y z 50. yz + .x ln y = z272. Si <7( .x, y, z) = V i + Xz + v i — *>', encuentre gxy:.[Sugerencia: utilice un diferente orden de derivación paracada término ]73. Con la tabla de valores de /( .X , y) estime los valores de f x(3, 2),f x(3 , 2 .2 ) y /x y(3 , 2 ).1.8 2.0 2.22.5 12.5 10.2 9.33.0 18.1 17.5 15.93.5 20.0 22.4 26.153-58 Determine las segundas derivadas parciales.53. f { x , y ) = .x3y 5 + 2.X*y 54. / ( a , y ) = sen2(m.v + ny)x y74. Se muestran las curvas de nivel para una fu n c ió n /. Determinesi las siguientes derivadas parciales son positivas o negativasen el punto P.b) f y c) f xxe ) fyya) f xd) fxy59-62 Compruebe que la conclusión del teorema de Clairaut secumple, es decir, Uxy = líyx.59. u = x*y* — y* 60. ¡I = e xysen y61. u = cos(.x2y)de la ecuación de la conducción de calor u.76. Determine si cada una de las funciones siguientes es unasolución de la ecuación de Laplace W XX + lfyy ~ °-a) u = .x2 + y 2 b) u = x 2 - y 2c) u = x 3 + 3.xy2 d) u = ln y/x2 + y 2e) u = sen arcos hy + eos x sen hyf) a = e~x eos y - e~y eos xy + 2 z ’ dz d y dx ’ d x 2 d y77. Verifique que la función U = I f¡X 2 + y 2 + z 2 es unasolución de la ecuación tridimensional de LaplaceUxx + Uyy + «rz = 0.78. Demuestre qiK cada una de las funciones siguientes e s unasolución de la ecuación de onda Utt = d h l ^ .a) u = sen(Ar.v) sen (akt) b) U = t f { a 2t 2 — .X2)c) u = (.x - a t f + (.x + at)*d) u ™ sen ( a — ai) + !n{.v + a /)79. Si / y g son funciones de una sola variable derivables dosveces, demuestre que la función!f(.x, t) = f ( x + a t ) + g(x - a t )es una solución de la ecuación de onda del ejercicio 78.
  • 307. 9 1 4 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES). Si u = e*'x,+aixz+ +‘''x donde a f + a ; + • • • + a 2 = I,demuestre qued~H d~i<~ ñ íd n+ — r = w dx281. Verifique que la función r = Inte* + e y) e s una solución de lasecuaciones diferencialesLa constante R es la constante universal del gas y a y b sonconstantes positivas características de un gas en particular.Calcule dT/dP y dP/dV.La ley de los gases para una masa fija m de un gas ideal atemperatura T, presión P y volumen V absolutos esPV = mRT, donde R es la constante de los gases.Demuestre quedx + dydx2 dy2d x d y j82. La temperatura en un punto (x, y) en una plancha de metalplana está dada por TU, y) = 60/(1 + x 2 + y 2), donde T semide en °C y x, y en metros. Calcule la razón de cambio de latemperatura con respecto a la distancia en el punto (2, 1) ena) la dirección de x y b) la dirección de y.83. La resistencia total R producida por tres conductores conresistencias R i, R2 y R} conectadas en un circuito eléctricoen paralelo está definida por la fórmulaI 1 i* 7Calcule dR/dR84. Demuestre que la función de Cobb-Douglas para laproducción P = bl^K* satisface la ecuacióndP dPLü + K K = (a + li)P85. Demuestre que la función de Cobb-Douglas para laproducción satisface P(L, K0) = C |(/l0)L“ resolviendola ecuación diferencialdP P_d L ~ * L(Véase ecuación 6.)86. Cobb y Douglas usaron la ecuación P{L, K) = 1.01L075X 025para modelar la economía americana de 1899 a 1922, donde Les la cantidad de mano de obra y K es la cantidad de capital(ver ejemplo 3 de la sección 14.1).c)Calcule PL y PR.Encuentre la productividad marginal de la mano de obray la productividad marginal del capital en el año 1920,cuando L = 194 y A' = 407 (comparado con las valoresasignados L = 10C y K = 100 en 1899). Interprete losresultados.En el año 1920, ¿qué producción tendría más beneficio, unincremento de inversión de capital o un incremento en elgasto en mano de obra?87. La ecuación de Van der Waats para n moles de un gas es('*£))( V - nb) = tiRTdonde P es la presión, V el volumen y T la temperatura del gas.dP dV dTdV dT dP ~ _ l89. En el caso del gas ideal para el ejercicio 88, demuestre que7dT dT90. El índice de temperatura de sensación se modela mediante lafunciónW = 13.12 + C .6 2 l5 r - 1 1.37y016 + 0 .3 9 6 5 7 V 6donde T e s la temperatura (°C) y y es la rapidez del viento(km /h ). Cuando T = — 15 °C y y = 30 km /h , ¿cuántoesperaría con certeza usted que cayera la temperaturaaparente V si la temperatura real disminuye 1 °C?¿Y si la rapidez del viento se incrementa 1 km /h ?91. La energía cinética de un cuerpo cuya masa m y velocidad y esj K i n v 2. Demuestre quedK d2Kd?n dv2K92. S i a , b y c son los lados de un triángulo, y A, B y C son losángulos opuestos, determine dA.¡dci, dAfdb, dA/dc mediantela derivación implícita de la ley de los cosenos.93. Le dicen que hay una fu n c ió n /c u y a s derivadas parciales sonfxix, y) = x + 4y y fy{x, y) = 3* - y. ¿Debe creerlo?94. El paraboloide r = 6 — x — x1 — 2y 2 interseca el plano x = 1en una parábola. Encuentre las ecuaciones paramétricas de latangente a esta parábola en el punto ( 1 ,2 , —4). Con unacomputadora grafique el paraboloide, la parábola y la tangenteen la misma pantalla.95. El elipsoide 4.xr + 2y2 + z2 = 16 interseca el plano y = 2en una elipse. Encuentre las ecuaciones paramétricas de latangente a esta elipse en el punto (1 ,2 , 2).96. En un estudio de penetración del congelamiento se encontróque la temperatura T en el tiempo / (medido en días) a unaprofundidad x (medida en pies) se puede modelar con lafunciónT(x, t) ~ 7o + Tie~Xx sen (a s — A v)donde 0) = 27t/365 y A es una constante positiva.a) Determine dT/dx. ¿Cuál es el significado físico?b) Determine dT/dt. ¿Cuál es el significado físico?
  • 308. SECCIÓN 14.4 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 915c) Demuestre que 7 satisface con la ecuación del calorTt = kTxx para una cierta constante k.d) Si A = 0.2, To = O y T = 1 0 , mediante unacomputadora grafique 7(.X, /).e) ¿Cuál es el significado físico del término — A.X en laexpresión sen ((út — Ax)?97. Aplique el teorema de Clairaut para demostrar que si lasderivadas parciales de tercer orden de / s o n continuas,entoncesf*yy = fy*y = fyy*98. a) ¿Cuántas derivadas parciales de n-ésimo orden tiene unafunción de dos variables?b) Si estas derivadas parciales son continuas, ¿cuántas deellas pueden ser distintas?c) Responda el inciso a) para el caso de que la función seade tres variables.99. Si /(.v, y) = -v(.v2 + y 2) - ^ V w"^Jv), determine f x{ 1,0).LSí/gt're/jeñr: en lugar de hallar primero fx(x, y), observe quee s más fácil aplicar la ecuación 1 o la ecuación 2.J100. Si /(.x, y) = t f x 3 + y 3, determine /,(0 , 0).101. SeamSAC/ f r y )x- vy + y 2s i ( y, y ) 5 ¿ { 0 , 0 )(x, y) = (o, 0)a) Grafique / mediante una computadora.b) Encuentre f x(xy y) y f y(x, y) cuando (.x, y) # (0 ,0 ).c) Calcule f x(0 ,0 ) y f y{0, 0) usando las ecuaciones 2 y 3.d) Demuestre que /*y(0, 0) = — I y f yx(0, 0) = 1.¿El resultado del inciso d) contradice el teorema deClairaut? Mediante gráficas de f xy y f yx ilustre surespuesta.e)Planos tangentes y aproximaciones linealesU n a d e las id e a s m á s im p o r ta n te s en e l c á lc u lo d e u n a v a ria b le , e s q u e a m e d id a q u e sea c e rc a a un p u n to d e la g rá fic a d e u n a fu n c ió n d e riv a b le , la g rá fic a se v u e lv e in d is tin g u ib led e sd e su ta n g e n te y p u e d e a p ro x im a r s e a la fu n c ió n m e d ia n te u n a fu n c ió n lin e a l (v é a sese c c ió n 3 .1 0 ). A h o ra se d e s a rro lla n id e a s sim ila re s en tre s d im e n s io n e s . A m e d id a q u e sea c e rc a h a c ia un p u n to so b re la su p e rfic ie q u e e s la g rá fic a de u n a fu n c ió n d e riv a b le d e d o sv a ria b le s , la su p e rfic ie se p a re c e m á s y m á s a u n p la n o , su p la n o ta n g e n te , y e s p o sib le a p ro ­xim a rs e a la fu n c ió n m e d ia n te u n a fu n c ió n lin e a l d e d o s v a ria b le s . T am b ié n se g e n e ra liz ala id e a de u n a d ife re n c ia l a fu n c io n e s de d o s o m á s v a ria b le s.FIGURA 1El plano tangente contiene lasrectas tangentes 7, y Tz.Planos tangentesS u p o n g a q u e u n a su p e rfic ie S tie n e p o r e c u a c ió n a : = f ( x , y ), d o n d e las p r im e r a s d e r i ­va d a s p a r c ia le s d e / son c o n tin u a s , y se a P(xo, yo, ¿o) un p u n to so b re S. A l ig u a l q u e en las e c c ió n a n te r io r , s e a C y C2 las c u rv a s q u e se o b tie n e n al in te r s e c a r lo s p la n o s v e rtic a le sy = yo y X = Aocon la su p e rfic ie S. E n to n c e s , e l p u n to P se e n c u e n tr a ta n to en C 1 c om oen C 2. S e an T 1 y T2 la s re c ta s ta n g e n te s a las c u rv a s C 1 y C 2 en e l p u n to P. E n to n c e s , e lp l a n o t a n g e n t e a la su p e rfic ie S en e l p u n to P se d e fin e c om o e l p lan o q u e c o n tie n e las re c ­tasta n g e n te s Ti y T j (v é a se fig u ra 1).En la se c c ió n 14.6 v e rem o s q u e si C e s c u a lq u ie r o tra c u rv a q u e q u e d a en la su p e rfic ieS y p a s a p o r P , e n to n c e s su ta n g e n te en P tam b ién e s tá en e l p la n o ta n g e n te . P o r lo ta n to ,p o d em o s p e n s a r q u e e l p la n o ta n g e n te a S en P c o n s is te d e to d a s las ta n g e n te s p o s ib le s enP a c u rv a s q u e q u e d a n en S y p a sa n p o r P. El p la n o ta n g e n te en P e s e l p la n o q u e m á s sea p ro x im a a la su p e rfic ie S c e r c a d e l p u n to P.S a b em o s , p o r la e c u a c ió n 1 2 .5 .7 , q u e c u a lq u ie r p la n o q u e p a se p o r e l p u n to P(xoy yo, ro)tie n e u n a e c u a c ió n d e la fo rm aA(.v - .vo) + B ( y - yo) + C( z - zo) = 0A l d iv id ir e s ta e c u a c ió n e n tre C y h a c e r a = —A / C y b = —B / C , p o d em o s e s c rib ir la en lafo rm am a { x - -v0) + b i y - y0 )
  • 309. 916 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESSi la e c u a c ió n 1 r e p r e s e n t a d p la n o tan g e n te en P, e n to n c e s su in te r s e c c ió n con e l planoy = yo d e b e ser la re cta tangente Ti. Al h a c e r y = yo en la e cu a c ió n 1 o b ten emo sz - z o — a(x - xq) d o n d e y = yoe identif ic amos e s ta s e x p re s io n e s c om o la e cua c ión de u n a re cta (en la fo rma p u n to -p e n ­diente) con pendiente a. Pero d e a cue rdo c o n la sección 14.3, s a b emo s q u e la pendiente dela re c ta tangente T e s fJ^Xo, yo). Por lo tanto, a = o, yo)De m a n e r a similar , al h a c e r x = xq en la e cua c ión 1, z — r 0 = b(y — yo), la c u a l d e b ere p re se n ta r a la re cta tangente Ti, de mo d o q u e b = fy(xo, yo).Observe la similitud entre las ecuaciones delplano tangente y de una recta tangente:>• - y» = /'(-*.)(* - x.)|~2~| S u p o n g a q u e las d e r iv a d a s pa rciale s d e / s o n continua s . Un a e cu a c ió n delp l a n o t a n g e n t e a l a s u p e r f i c i e “ = f ( x y y) e n e l p u n t o P (xo> yo, "o) «sz - z0 = Uxo, y0)(x - x q ) f y(x<>, y o )(y - yo)Q Ca lcule e l plano tangente al paraboloide e lípt ico z = 2x- + y2 en el p unto(1 , U 3 ) .SOLUCIÓN Se a f ( x , y ) = I x 1 + y2. En tonc e sfx(x, y ) = 4x fy(x, y ) = 2 yf x( 1, 1) = 4 / ,( 1 , 1) = 2E n to n c e s [T] d a la e cu a c ió n de l plano tangente en (1 , 1, 3) c omoo bien,3 = 4(x — ) + 2(y - 1)z = 4x + 2y - 3En la fig u ra 2 a ) se ilu s tra e l p a ra b o lo id e e líp tic o y su p la n o ta n g e n te en (1, 1, 3) d e te rmin a d o en e l e jemp lo 1. Los inc isos b) y c) se acercan al p unto (1, 1, 3) re s t r in g ien d o elD 9 En Visual 144se pueden ver imágenes d omin io de la func ión f ( x, y) = 2 ¿ 4- y1. Observe q u e a me d id a que se ace rca , pa re c e má sanimadas de las figuras 2 y 3. p la n a la gráfica y má s se a seme ja a su plano tangente.40-20-o--2 0 -- 4FIG U RA 2 El paraboloide elíptico r = 2x~ + y parece coincidir con su plano tangente a medida que se acerca a (I, 1, 3).
  • 310. SECCIÓN 14.4 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 917En la figura 3 se c om p r u e b a e s t a impre s ión al a c e rc a r se al p u n to (1, 1) sobre un m a p ade c o n to rn o de la func ión f ( x , y) = 2 x + y . Ob s e rv e q u e a m e d id a q u e n os a c e r c amo s ,las c u rv a s d e nivel se pa re c en má s a re ctas paralelas c o n igua l s e pa ra c ión, lo c u a l e s c a r a c ­ter ís tico de un plano.1.5 1.2 1.05FIGURA 3Acercamiento a (1, l)enun mapa de contorno def { x , y ) = 2a:2 + y 21.5 1.2FIGURA 4/(-V, y)x z + ysi (.v, y) # (0,0),/<0, 0 ) = 0Aproximaciones linealesEn e l e jemp lo 1 e n c o n t ramo s q u e u n a e cua c ión d e l plano tangente a la gráfica d e la funciónf ( x , y) = 7.x- + y en el p unto (1, 1, 3) e s z = 4x + 2y — 3. Por lo tanto, en vis ta d e la e v i ­de n c ia d e las figuras 2 y 3, la func ión lineal de d os va r iable sL(xy y) = Ax + 2 y - 3e s u n a b u e n a a p ro x ima c ió n a f ( x , y) c u a n d o (x , y) e s t á c e r c a d e (1, 1). L a func ión L sec o n o c e c omo linealizcición d e / e n (1, 1) y la apro x ima c ió n/( .v , y) ~ 4.v + 2 y - 3recibe el n omb re de aproximación lineal, o bien, aproximación del plano tangente de / en(1, 1 )•Por e jemp lo , en el p unto (1.1, 0.95) la aproxima c ión lineal d a/ ( 1 .1 , 0.95) * 4(1.1) + 2(0.95) 3.3q u e e s m u y c e r c a n a al v a lo r v e rd a d e ro d e / ( 1 .1, 0 .9 5 ) = 2 (1 .1)2 + (0 .9 5 )2 = 3 .3 2 2 5 . Perosi tom am o s un p u n to a le ja d o d e (1 , 1), tal c om o (2 , 3 ) , y a n o c o n s e g u im o s u n a b u e n a a p ro ­xim a c ió n . En e fe c to . L(2 . 3 ) = 11 y / ( 2 . 3 ) = 17.En g e n e ra l, sa b em o s a p a rtir de [T| q u e u n a e c u a c ió n d e l p la n o ta n g e n te a la g rá fic a deu n a fu n c ió n / d e d o s v a ria b le s en e l p u n to (a. byf ( a , b)) e sz = / ( « , b) + f ¿ a y b) (x - a) 4- fy(a, b) (y - b)L a fu n c ió n lin e a l c u y a g rá fic a e s e ste p la n o ta n g e n te , a sa b e r,f~3~1 L( x , y) = f ( a , b) + f ¿ a y b) ( x - a) + /,(«, b) (y - b)se llam a l in e a liz a c ió n d e / e n (a, b) y la ap ro x im a c ió n|~4~1 f ( x , y) « f i a , b ) + f x(a, b ) {.x - a) + f y( a y b ) { y - b)se llam a a p r o x im a c i ó n l in e a l o a p r o x im a c ió n d e l p l a n o t a n g e n t e d e / en (a, b).Y a h em o s d e fin id o p la n o s ta n g e n te s p a ra su p e rfic ie s z = f { x , y), d o n d e las p rim e ra s d e r i­va d a s p a rc ia le s d e / s o n c o n tin u a s . ¿Q u é su c ed e si f x y fy no son c o n tin u a s ? En la fig u ra 4 seilu s tra tal fu n c ió n : su e c u a c ió n e ssi {.r, y) + (0, 0)si (xy y) — (0, 0)
  • 311. 9 1 8 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESÉsta es la ecuación 3.4.7.El teorema 8 se demuestra en el apéndice F.En la figura 5 se ilustran lasgráfcasde lafunción/y su linealización L del ejemplo 2.F IG U R A 5P o d emo s c om p ro b a r (vé ase e je rc ic io 4 6 ) q u e exis ten sus d e r iv a d a s pa rc ia le s en el or igeny, de h e c h o , / * ( 0 , 0 ) = O y fy(O, 0 ) = O, p e ro f xy f y no son co n tin u a s . La apro x ima c ió n linealse r ía (x, y) O, p e ro / ( .v , y) = j e n todos los puntos sobre la re cta y = x. De e s te m o d o u n afunc ión d e d o s va r iable s se p u e d e c omp o r t a r e r rá t ic amen te aun c u a n d o amb a s de r iv a d a spa rciale s exis tan. Pa ra e v i ta r d ic h o c omp o r tamie n to , se p lan te a la id e a de u n a func ión d i f e ­re n c i a r e d e d o s variables.Re cu e rd e q u e p a r a u n a función d e u n a var iable, y = f ( x ) , si x p a s a de a a a + A*, sedefine el in c reme n to d e y c omoAy = f i a + A.v) - f ia)En e l c apí tulo 3 se d emo s t ró que si / e s de r ivable en a, e n to n c e s|~5~| Ay = f í a ) A.v + cA.v d o n d e e —* 0 c u a n d o A * —>0A h o r a c o n s id e r em o s u n a func ión de d o s va r ia b le s , z = /(at, y) , y s u p o n g am o s q u e xc am b i a d e a a a +x y q u e y p a s a d e b a b + Ay. E n to n c e s el i n c r em e n t o c o r r e s p o n ­die n te d e z e s|~6~| Az = f i a + A.v, b + Ay) - f ia, b)Por co n s ig u ie n te , el in c reme n to Az r e p re s e n ta e l c amb io de l v a lo r d e / c u a n d o (x, y) p a s ade (a, b) a (a 4- Aat, b + Ay). Por ana logía con [3] se define la d i fe renc iabil idad de u n a fu n ­ción de d os va r iable s c om o sigue.|~7~| Definición Si z = f ( x , y), e n t o n c e s / e s d iF e re n c ia b le en (a, b) si Az se puedee x p re s a r en la formaAz = fxia, b) A.v + fyia, b) Ay + ei A.v -»- £2 Ayd o n d e £i y £2 —» 0 c u a n d o (A.v, Ay) —* (0, 0).La de f inición 7 e s table c e q u e u n a func ión diferenciable e s u n a p a ra la c u a l la a p ro x im a ­ción line a l 4] es u n a b u e n a a p ro x ima c ió n c u an d c (*, y) e s tá c e rc a d e (a, b). En otras p a la ­bras , el plano tangente se a p ro x ima a la gráfica d e /m u y c e r c a al p unto de tangencia .Alg u n a s ve c e s es difícil aplic a r d i re c tamen te la d ef inición 7 p a ra c omp ro b a r la d i f e r e n ­ciabilidad d e u n a función, p e ro el t e o r ema siguiente p ro p o rc io n a u n a c o n dic ión suficientey p rá c t ic a p a r a la diferenc iabil idad.|~8~| Teorema Si las de r ivada s parciales f x y f y existen c e rc a de (a, b) y son continuasen (a, b), e n t o n c e s / e s di fe re n c ia b le en (¿7, b).Q I 5 H H 3 E H Demu e s tre q u e / ( * , y)= xe'y e s diferenciable en (1, 0) y de te rmin e sul ine a liza c ión ahí. L u eg o ú s e la p a ra a p ro x im a r / ( 1 .1 , —0.1).SOLUCIÓN Las de r iv a d a s pa rciale s son/ , ( . v , y) = e xy + xy e17 fy{x, y) = x 2e xyfx{ 1 ,0 ) = I A(l» 0 ) = 1T a n to f x c om o f y son func ione s co n tin u a s , de modo q u e / e s di fe re n c ia b le según e l t e o ­rema8. L a line a liza c ión esL(xt y ) = / ( 1, 0) + A ( i , o ) ( . v - 1) + / y( i , o ) ( y - o )= 1 + l(.v - 1) 4- 1 • y = x + y
  • 312. SECCIÓN 14.4 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 919La a p ro x ima c ió n lineal co r re sp o n d ie n te esxeiy « x + yde mo d o q u e / ( 1 . 1 , —0.1) 1.1 — 0.1 = 1Comp a r e lo ante r ior con el va lor real de / ( 1 .1 , —0.1) = l . l £ “011 0.9 8 5 4 2 . IAl inicio de la sección 14.3, e s tu d iamo s e l índice calor íf ico ( temp e ra tu rape rc ibida ) / c omo u n a func ión de la temp e ra tu ra real T y la h ume d a d r e la tiv a H y sep re sentó la tabla s iguiente d e v a lore s de l National We a th e r Service.Humedad relativa (%)EJEMPLO 3Temperaturareal(°F)X 50 55 60 65 70 75 80 85 9090 96 98 100 103 106 109 112 115 11992 100 103 105 108 112 115 119 123 12894 104 107 111 1 14 118 122 127 132 13796 109 113 116 121 125 130 135 141 14698 114 118 123 127 133 138 144 150 157100 119 124 129 135 141 147 154 161 168Ca lcule u n a a p ro x ima c ió n lineal p a ra el índice calor íf ico / = f(T, H) c u a n d o T e s tá c e r c ade 96 °F y H e s tá c e r c a de l 70%. Mediante ella e s t ime el índice c a lor íf ico c u a n d o latemp e ra tu ra e s d e 97 °F y la h ume d a d relativa e s 72%.SOLUCIÓN En la tabla se ve q u e / ( 9 6 , 70) = 125. En la sección 14.3 u s amo s los va lore sde la tabla p a ra e s t ima r q u e / r ( 9 6 , 70) ** 3.75 y /h{96, 70) 0.9. (Vé an s e pág in a s 901y 902.) Entonc e s , la a p ro x ima c ió n lineal es/ ( T , H) ** / ( 9 6 , 70) + fT{9 6 , 10)(T - 96) + fH( 96, 7 0 ) (H - 70)a* 125 + 3 .7 5 (7 - 96) + 0 .9 (7 / - 70)En particula r ,/ ( 9 7 , 7 2 ) ** 125 + 3.75(1) + 0.9 (2 ) = 130.55Por lo tanto, c u a n d o T = 97 °F y H = 7 2%, el índice calor íf ico es/ 131 ° fDiferencialesEn e l c a s o de u n a func ión de r iv a b le de u n a var iable, y = / ( x ) , de f inimos la d i fe renc ia l dxc om o u n a va r iable independiente : e s de c i r , dx puede ten e r el v a lo r de c u a lq u i e r n úme roreal. La d i fe renc ia l de y se define e n to n c e s comody = f ' { x)dxFIGURA 6(Vé ase sección 3.10.) En la figura 6 se mue s tra la relación entre el in c reme n to A y y la d i f e ­rencialdy. Ay re p re se n ta e l c am b io en a ltura de la c u rv a y = f ( x) y dy re p re se n ta e l c amb ioen a ltura d e la tangente c u a n d o j r c am b i a una c ant idad dx = A xEn el c a s o d e u n a fun c ió n d i f e r e n c ia b le de d o s v a r ia b le s , z = / ( x , y), d e f in im o s lasd i f e r e n c i a l e s dx y dy c om o v a r ia b le s in d ep e n d ien te s : e s d e c i r , p u e d en toma r c u a lq u i e r
  • 313. 920 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESFIGURA 7En el ejemplo 4. dz está cerca de A r porqueel plano tangente es una buena aproximacióna la superficie r = .r* + 3.ty - y cerca de(2, 3, 13). (Véase figura 8.)valor . E n to n c e s , la d i f e r e n c i a l dzy t amb ié n c o n o c id a c om o d i f e r e n c i a l to t a l , se d e f in ec omo(Comp a re con la e cu a c ió n 9.) Alg u n a s ve c e s se usa la notac ión d f e n lu g a r d e dz.Si tomamo s dx = A* = x — a y dy = Ay = y — b d e la e cu a c ió n 10, e n to n c e s la d i f e ­rencialde z e sdz = faa, b) (x - a) + fy(ci, b) (y - b)De e s te m o d o , en la n o ta c ió n d e d ife re n c ia le s , la ap ro x im a c ió n lin e a l [4 ] se p u e d e e s c rib irc om o/ ( * . y) ** b) + dzLa figura 7 e s el equ iv a len te tr id imen s io n a l d e la figura 6 y en e lla se mu e s t ra la in te rp re ta ­ción g e omé t r ic a de la d i fe renc ia l dz y de l inc remento Az: dz re p re se n ta e l c am b io en a lturade l plano tangente, y Az re p re se n ta el c amb io en la a ltura de la superficie z = / ( a , y) c u an d o(a, y) p a s a de (a, b) a (íí + A*, b + Ay).Q H Ia) Si z = / ( a , y) = a 2 + 3^y — y 2, d e te rmin e la d iferencia l dz.b) Si a c am b i a d e 2 a 2.05 y y p a s a d e 3 a 2.96, c omp a re los va lore s de Az y dz.SOLUCIÓNa) L a def inición 10 d ad T d Tdz = — dx + — dy = (2x + 3y) dx + Í3.v - 2y) dydx dyb) Si h a c emo s x = 2 , d x = A a = 0 .0 5 , y = 3 y dy = Ay = —0.04, o b ten emo sFIGURA 8 dz = [2(2) + 3 (3) ]0.05 + [3(2) - 2 ( 3 ) ] ( - 0 . 0 4 ) = 0.65
  • 314. SECCIÓN 14.4 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 921El in c r eme n to de z esA - = / ( 2 .0 5 , 2 .9 6 ) - / ( 2 , 3)= [ (2.05)2 + 3(2.05) (2.96) - (2.96)2J - [22 + 3(2) (3) - 32]= 0 .6 4 4 9Ob s e rv emo s q u e Az dz p e ro dz e s má s fácil de calcular.I 2 2 2 H I H El radio d e la b a se y la a ltura de un c o n o c i rc u la r re cto miden 10 cm y 25cm, re sp e c t iv amen te , con un pos ible e r ro r en la med ic ió n de 0.1 cm en c a d a uno. Utilicedi fe renc ia le s pa ra e s t ima r el m á x im o e r ro r en el v o lume n c a lcu la d o de l cono.SOLUCIÓN El v o lume n V d e un c o n o d e radio en la b a se r y a ltura h e s V = Trrh/3. Demo d o q u e la d i fe re n c ia l d e V es. . . dV dV 2iü'h 7TJ'2 dV = dr H dh = dr H dhdr dh 3 3Pue s to que c a d a e r ro r e s d e 0.1 cm c omo máx imo , t e n emo s | A / ’ | =s 0.1, | Ah | =s 0.1. Pa rae s t ima r e l e r ro r má s grande en el v o lume n , tomamo s el e r ro r má s grande en la medic iónde r y de h, e n to n c e s dr = 0.1 y dh = 0.1 junto c o n r = 10, /? = 25. Es to d a5 0 0 t t 1 OOttd V = ----------( 0 .1 1 4 ------------(0.1) = 2 0 t r3 3Por lo tanto, el e r ro r má x imo en el vo lume n c alculado e s de casi 207t cm 3 63 cm 3.Si Funciones de tres o más variablesSe p u e d e n d e f in i r de m a n e r a s im i l a r las a p r o x im a c io n e s l in e a le s , la d i f e r e n c i a b i l id a dy las d i f e r e n c i a l e s p a r a fu n c io n e s d e m á s de d o s v a r ia b le s . U n a fu n c ió n d i f e r e n c i a b l ese d e f in e c om o u n a e x p r e s ió n s im i l a r a la d e f in i c ió n 7. P a r a ta le s fu n c io n e s la a p r o ­xim a c i ó n l in e a l es/(.v, y, z) ~ f (a, b, c) + f x(a, b, c)(x - a) + f y{a, b, c)(y - b) + f :(a, b, c)(z - c)y la l in e a l iz a c ió n L{x, y, z) e s e l s e g u n d o m iem b ro d e e s t a e x p re s ió n . Si tv = f ( x , y, r ) ,e n to n c e s e l in c r em e n t o d e tv esA w = f ( x + A.v, y + Ay, z + Az) - f ( x , y, z)La d i f e r e n c i a l dvo se define en func ión d e las d i fe re n c ia le s d e dx, dy y dz de las variable sin d ep e n d ien te sd t v d t v d wdio = dx + dy + — dzdx dy dzLas d ime n s io n e s de u n a c a ja re ctangula r son 75, 60 y 4 0 cm, y c a d a m e d id aEJEMPLO 6no d ifiere 0.2 cm de l v a lo r real. Mediante diferencia le s e s t ime el e r ro r má s grande posiblec u a n d o el v o lume n de la c a ja se c a lc u la a partir de e sa s medida s .SOLUCIÓN Si las d ime n s io n e s d e la c a j a son x, y y z, e n to n c e s su v o lume n e s V = xyz porlo que
  • 315. 9 2 2 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESS a b emo s q u e | A.v | ^ 0.2, | Ay | 0.2 y | A ~ | 0.2. Por lo tanto, pa ra e s t ima r e l e r rormá s grande en el v o lume n , u t il iz amos dx = 0.2, dy = 0.2 y dz = 0.2 ju n to c o n x = 75,y = 60 y z = 40:A V* * d V = (60) (40) (0.2) + (75) (40) (0.2) + (75) (60) (0.2) = 1980Por co n s ig u ie n te , un e r ro r d e sólo 0.2 cm al medi r c a d a u n a de las d ime n s io n e s p o dr íal leva r a un e r ro r de ¡tanto c omo 1980 cm 3 en e l volumen c alculado! Es to p a re c e r ía ungran e r ror , pe ro sólo e s a l rededor d e 1 % de l volumen de la caja. ■EjerciciosI -G Determine una ecuación Hel plano tangente a la superficie Hadaen el punto específico.1. z = 3 y 2 - 2 x 2 + x, ( 2 , - 1 , - 3 )2. z = 3{a - l ) 2 + 2(y + 3)2 + 7, (2, - 2 , 12)3. z = yfxy , (1, I, 1)4 . z = xe* (2 ,0 ,2 )5. : = x s e n (v + y ), (— 1, 1 ,0 )6. - = I n ú — 2y), (3 ,1 ,0 )KH 7-8 Grafique la superficie y el plano tangente en el punto dado.Elija el dominio y el ángulo desde donde obtenga una buenavista de la superficie y del plano tangente. Luego efectúe unacercamiento hasta donde la superficie y el plano tangente sevuelven indistinguibles.7. Z = .x2 + x y + 3 y 2, (1 ,1 ,5 )8. r = a rc tanU y 2), (1 ,1 , 7t/4 )I 9-10 Grafique / y su plano tangente en el punto dado. (Use unsistema computarizado de álgebra para calcular las derivadasparciales y para graficar la superficie y su plano tangente.) Luegoefectúe un acercamiento hasta donde la superficie y el planotangente se vuelven indistinguibles.x y sen(.v — y)9 - /(•'■• y ) = t + 4 + — ( M . 0 )10. f{x , y) = e-*/m(Vx + y/y + J x y ) , ( 1 , 1 , 3 ? - " ')II-16 Explique por qué la función es diferenciable en el puntodado. Luego determine la linealización L(x ,y ) de la función enese punto.11. f ( x , y) = 1 + x n ( x y - 5), (2 ,3 )12. f { x , y) = * 3y 4, (1,1)13- f ( x , y ) = —x ^+ y14. f ( x , y) = y/x + e*>, (3 ,0 )15. f ( x , y) = p ^ c n s y , (tt, 0)16. f ( x , y) — y + sen(.v/y), (0, 3)17-18 Verifique la aproximación lineal en (0 ,0 ).2x + 31 7 . * 3 + 2x - I2y4 y + 118. y/y + eos “A’ 1 + jy19. Dado q u e / e s una función diferenciable c o n /( 2 , 5 ) = 6,f x{2, 5) = 1, y fy(2, 5) = — 1, utilice una aproximación linealpara e stim a r/(2 .2 , 4 .9 ) .20. Calcule la aproximación lineal de la función/ ( a , y) = 1 — A>'eos 7ry en (1, 1) y utilícela para aproximar/ ( 1 .0 2 , 0 .9 7 ) . G ra fiq u e /y su plano tangente.21. Calcule la aproximación lineal de la función/ ( a , y, z) =/ a 2 + y 2 + z 2 en (3, 2, 6) y con ella aproxime elnúmero ^(3 .0 2 ) 2 + (1.97)2 + (5.99)2.22. La altura h de una ola en el mar abierto, depende de la rapidezy del viento y del tiempo / en que ha estado soplando el aire aesa rapidez. Los valores de la función h = f ( v , t) se registranen la tabla siguiente. Con ayuda de la tabla, determine unaaproximación lineal a la función de la altura de la ola cuando vestá cerca de 40 nudos y / e s casi de 20 horas. Luego estime lasalturas de las olas cuando el viento ha estado soplando durante24 h a 43 nudos.Duración (horas)5 10 15 20 30 40 5020 5 7 8 8 9 9 930 9 13 16 17 18 19 1940 14 21 25 28 31 33 3350 19 29 36 40 45 48 5060 24 37 47 54 62 67 69Se requiere ca lculadora giaficadora o computadora Se requiere sistema algebraico computarizado 1 . Tarcas su g erid a s d isponibles en steixartcalculus.com
  • 316. SECCIÓN 14.4 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 92323. Mediante la tabla del ejemplo 3, determine una aproximaciónlineal para la función del índice calorífico cuando latemperatura se acerca a 94 °F y la humedad relativa esde casi 80%. Luego estime el índice calorífico cuando latemperatura e s de 95 °F y la humedad relativa es de 78%.24. El índice de temperatura de sensación W es la temperatura quese percibe cuando la temperatura real e s 7"y la rapidez delviento y, de modo que W = f (T , v). La tabla de valoressiguiente es tan sólo una parte de la tabla 1 de la sección 14.1.Con esta tabla determine una aproximación lineal a la funcióndel índice de temperatura de sensación cuando T es casi de— 15 °C y v es casi de 50 km /h . Después estime este mismoíndice cuando la temperatura e s — 17 °C y la rapidez del vientoe s de 55 km /h .Velocidad del viento (km/h)20 30 40 50 60 70- 1 0 - 1 8 - 2 0 -2 1 —22 - 2 3 - 2 3- 1 5 - 2 4 - 2 6 - 2 7 - 2 9 - 3 0 - 3 0- 2 0 - 3 0 - 3 3 - 3 4 - 3 5 - 3 6 -3 7- 2 5 - 3 7 - 3 9 -4 1 - 4 2 - 4 3 - 4 425-30 Determine la diferencial de la función.25. r = £ -2acos 2-77Í 26. u =' x 2 + 3 y 21 + uvw27. m = p sq 3 28. T29. R = a¡3 2 cos y 30. L = xze~31. Si z = 5xr + y2 y (xr, y) cambia de (1, 2) a ( 1.05, 2.1), comparelos valores de Ar y dz.32. S i z = .r2 — x y + 3 y 2 y (.v, y ) cambia de (3 , — I ) a(2.96, —0.95), compare los valores dez y dz.33. El largo y el ancho de un rectángulo miden 30 cm y 24 cmrespectivamente, con un error máximo en la medición de0.1 cm en cada una de las dimensiones. Use diferencialespara estimar el error máximo en el área calculada delrectángulo.34. Use diferenciales para estimar la cantidad de metal en unalata cilindrica cerrada que mide 10 cm de altura y 4 cm dediámetro. El metal para la parte superior y el fondo esde 0.1 cm de grueso y el metal de los lados tiene0.05 cm de espesor.35. Use diferenciales para estimar la cantidad de estaño en una latacerrada de estañe cuyo diámetro e s 8 cm y altura de 12 cm si elestaño tiene 0.04 cm de espesor.36. El índice de temperatura de sensación está modelado por lafunciónW = 13.12 + 0 .6 2 1 5 r - 11.37y016 + 0.39657V0 16donde T es la temperatura (en °C) y y e s la rapidez del viento(en km/h). La rapidez del viento es medida como 26 km /h , conun posible error de ± 2 km /h y la temperatura e s medida como— 1 1 °C, con un posible error de ± 1 °C. Use diferenciales paraestimar el error máximo en el valor calculado de W debido aerrores en la medición de T y y.37. La tensión T en la cuerda del yo-yo en la figura es_ m q R _2 r ~ + R 2donde m es la masa del yo-yo y g e s la aceleración debida ala gravedad. Utilice diferenciales para estimar el cambioen la tensión si R es incrementada de 3 cm a 3.1 cm y r esincrementada de 0.7 cm a 0.8 cm ¿La tensión crece odecrece?38. La presión, volumen y temperatura de un mol de un gas ideal,están relacionados mediante la ecuación PV = 8.317", dondeP se mide en kilopascales, V en litros y T en kelvin. Mediantediferenciales determine el cambio aproximado en la presiónsi el volumen pasa de 12 litros a 12.3 litros y la temperaturadisminuye de 310 K a 305 K.39. Si R e s la resistencia total de tres resistores, conectados enparalelo, con resistencias R. R2, R j, entoncesR R Ri R^Si la resistencia se mide en ohms como Ri = 25 í l , Ri = 40 f ly R i= 50 f l con un posible error de 0.5% en cada caso, estimeel error máximo en el valor calculado de R.40. Cuatro números positivos, cada uno menor de 50, se redondeana la primera cifra decimal, y luego se multiplican todos.Mediante diferenciales, estime el error máximo posible en elproducto calculado que podría resultar por el redondeo.41. Un modelo pera el área superficial de un cuerpo humano estádado por 5 = 0.1091 ty0-425/»0725, donde ty e s el peso (en libras),h e s la estatura (en pulgadas), y 5 se mide en pies cuadrados.Si los errores en la medición de w y h son a lo sumo un 2%,use diferenciales para estimar el máximo error porcentualen el área superficial calculada.42. Suponga que necesitamos conocer una ecuación del planotangente a la superficie 5 en el punto P(2, 1 ,3). No tenemosuna ecuación para 5 pero sabemos que las curvasr,(?) = <2 + 37, 1 - í 2, 3 - 4 t + t 2)r2(u) = < 1 + i r , 2u3 - 1 ,2 » + 1)se encuentran ambas en 5. Encuentre una ecuación del planotangente en P
  • 317. 9 2 4 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES43-44 Demuestre que la función es diferenciable determinando Ios-valoresde £| y e2 que satisfacen la definición 7.43. f ( x , y) = .l2 + y2 44. f ( x , y ) = x y - 5y245. Demuestre que si / es ana función de dos variables que esdiferenciable en (íi, b). e n to n c e s /e s continua en (a, b ).Sugerencia: demuestre quelím f(a + A-V, b + Áv) = f ia , b)46. a) La función*"77 x + y 7 si (x> .v) ^ í0’ ° )0 si {.v, y ) - (0, 0)se gráfica en la figura 4. Demuestre que existen tanto0, 0) c om o /y ;0, 0), p e ro / no es diferenciable en (0, 0).[Sugerencia: use el resultado del ejercicio 45 Jb) Explique por q u é /* y f y no son continuas en (0, 0).Regla de la cadenaRe cue rde q u e la r e g la de la c a d e n a p a ra func ione s de u n a va r iable d a la regla p a ra d e r iv a ru n a func ión c ompue s ta : si y = f ( x ) y x = g(t), d o n d e / y g son func ione s de r ivable s , e n to n ­ce s y e s in d ire c tame n te u n a func ión de r iv a b le de .‘ y0 d y _= dy_ dx_dt dx dtPa ra func ione s d e má s d e u n a va r iable , la regla de la c a d e n a tiene va r ia s v e r s ione s , c a d au n a de e llas d a u n a regla p a ra d e r iv a r u n a func ión comp u e s ta . La p r ime ra v e rs ión ( teo rema2) se r e la c io n a con e l c a s o d o n d e z = f ( x , y) y c ad a va r iable x y y es a su vez u n a funciónde la va r iable t. Es to s ignifica q u e z e s indire c tamente u n a func ión d e /, : = /»(/)), yla regla d e la c a d e n a d a u n a fó rmu la p a ra d e r iv a r - c omo u n a func ión de t. S u p o n g amo s que/ e s de r ivable (definición 14.4.7). Re cu e rd e que éste e s el c a s o c u a n d o f x y f y son con tin u a s( teo rema 14.4.8).|~2~| Regla de la cadena (caso 1) S u p o n g a que z = f ( x , y) e s u n a func ión de r ivablede x y y, d o n d e x = g(t) y y = h(t) son func ione s d i f e r e n c i a b a s de t. E n to n c e s z e su n a func ión de r iv a b le de t ydz _ df dx d f dydt dx dt dy dtDEMOSTRACIÓN Un c am b io d e Ai en t p ro d u c e c amb io s de A * e n x y Ay en y. És tos , a suve z, pro d u c en un c am b io de Az en z, y d e acue rdo c o n la d ef inición de 14.4.7 ten emo sdf dfAz = — A.v -I Ay + s i A.v -I- £2 Aydx dyd o n d e £| —> 0 y £2 —> 0 c u a n d o (A.v, Ay) —> (0, 0). [Si las func ione s £1 y £2 no estánde f inida s en (0, 0), p o d emo s de f inir que son 0 allí.J Al div id i r amb o s miemb ro s de e s tae cu a c ió n entre Ai, ten emo sAz _ df A.v df Ay A.v AyA t ~ dx A t + dy M 81 A t + 82 A tSi a h o ra h a c emo s A / —» 0, ¡x = g(t + Ai) — g(t) —» 0 p orque g e s de r iv a b le y,
  • 318. SECCIÓN 14.5 REGLA DE LA CAD EN A 925Observe la similitud con la definición de ladiferencial:d z = — d x + ^ - d yd x d y(0,1)FIGURA 1La curva x- = sen 2/, y = eos /por lo tanto, continua . De igual man e ra , Ay O. A su ve z, e s to s ignifica q u e £| —* Oy £2 —* 0 d e mo d o quedz A -— — lím ——dt Ar—<i A tBf A.v Bf Ay {A.v /Av= — lím — h —^ lím —— |- lím &i 1 lím —— + í lím lím ——Af—O A / dy A'—O A/ A'—O /A i—o A í Ar—o / Ar—o AiBf dx Bf dy dx dy= —---------H— -— — + O + 0 * ^3x dt dy dt dt dt0 L — + d y3-v dt By dtC omo se e sc r ibe a me n u d o dz/dx en lugar de df/dx9 p o d emo s v o lv e r a e s c r ib i r la reglade la c a d e n a en la formadz dz dx dz dydt dx dt ' dy dtEJEMPLO 1 Si z — icy + 3xy4, don d e x = ser. 2ty y = eos i, d ete rmine dz /dt c u an d o t = O.SOLUCIÓN La regla d e la c a d e n a d adz _ dz dx dz dydt dx dt dy dt= (2xy + 3 y 4){2 e o s 2 / ) + (x 2 + 1 2 x y 3) (—sen i)No e s n e c e sa r io e s c r ib i r las e x p re s io n e s para x y y en té rminos de t. S imp lemen teobse rve q u e c u a n d o / = O ten emo s x = sen 0 = O y y = eos 0 = 1 . Por lo tanto,dz_dt= (O + 3)(2 eos C) + {O + 0 ) (—sen O) = 6/—OLa d e r iv a d a del e jemp lo 1 se p u e d e interpretar c omo la razón d e c amb io d e - con re sp e c ­toa i c u a n d o el p unto (x, y) se d e sp l a z a por la c u rv a C c u y a s e c u a c io n e s p a ramé t r ic a s sonx = sen 2 1, y = e o s t (vé ase figura 1). En particular, c u a n d o t = 0, e l p unto (x, y) e s (0, 1)y dz /d t = 6 e s la razón de l in c reme n to c u an d o u n o se d e sp l a z a p or la c u rv a C q u e p a sa porel p unto (0, 1). Si, p o r e jemp lo , z = T(x, y) = jcy + 3xy4 r e p re s e n ta la temp e ra tu ra en elp unto (x, y ), e n to n c e s la func ión c om p u e s t a z = T(sen 2 i, eos t) re p re se n ta la temp e ra tu raen los p u ntos sobre C y la d e r iv a d a dz /dt repre senta la razón a la c u a l la temp e ra tu ra c am ­bia a lo largo d e C.Q Q J J 2 Q S Q La pre s ión Py en kilopa sc a le s , el v o lume n V (en litros) y la temp e ra tu r aT (en ke lvin) , de un mo l de un gas ideal, están re la c io n a d o s med ia n te la e cua c iónPV = 8.31 T. De te rmin e la ra zón a la c u a l la pre s ión c amb i a c u a n d o la temp e ra tu ra e s de300 K y se in c reme n ta a razón de 0.1 K / s y el v o lume n e s de 100 L y se in c reme n ta arazón de 0.2 L / s .SOLUCIÓN Si t r e p re s e n ta e l t iemp o q u e transcurre en segundos , e n to n c e s en e l instanted a d o T = 300, dT/ dt = 0.1, V = 100, dV/ d t = 0.2. Pue s to queTP = 8.31 —
  • 319. 926 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALEScon la regla de la c a d e n adP dP dT dP_dV__ S3^_dT_ 8 .3 1 7 dVdt ~ 3 7 dt + dV dt V dt V 2 dt8.31 8.31(300)= ------- ( 0 . 1 ----------------- ó— I0 .2 i = - 0 .0 4 1 5 5100 100-La pre s ión d i smin u y e a ra zón d e cas i 0.042 k P a / s .A h o ra c o n s id e r emo s la s i tuac ión en d o n d e z = / ( x , y) p e ro c a d a x y y e s u n a func ión ded os va r iable s s y t x — g(s, t), y = h(s, i). Entonc e s z e s in dire c tamente u n a func ión de 5 yde t y d e s e am o s h a l l a r dz/ds y dz/dt. Re cu e rd e que al c a l c u l a r dz/dt m a n t e n em o s fija a5 y c a lc u lamo s la d e r iv a d a ordina r ia d e z c o n re spec to a t. Por lo tanto, p o d emo s aplic ar elt e o r ema 2 p a r a obtene rdz _ dz dx dz dydt ~ dx dt ~dy dtUn ra z o n amie n to s imila r se e fe c tú a p a ra dz/ds y así se d emu e s t r a la ve rs ión s iguiente de laregla d e la c adena.|~3~| Regla de la cadena (caso 2) S u p o n g am o s q u e z = / ( x , y) e s u n a fun c ió nde r iv a b le de x y y, d o n d e x = g(s, t) y y = h(s, t) son func ione s d e r iv a b le s de s y t.En tonc e sdz _ dz dx dz dy dz _ dz dx dz dyds dx ds dy ds dt dx dt dy dtEJEMPLO 3 Si z = ex sen y, d o n d e x = si1 y y = s2t> c a lcu le dz/ds y dz/dt.SOLUCIÓN Al aplic ar el c a so 2 de la regla d e la c adena, o b ten emo s= + ’a " = ( e ' s e n y ) { r ) + ( f ' c o s v)(2.v/) ds dx ds dx ds= t2e* sen{.?2/) + 2 ste* c o i ( s2t)dz dz dx . Bz dxdtH — = (e vseny)(2s/) 4* (^^cosyM.?2)dx dt dx dt f = 2 ste* sen(.v2í) + s 2e s‘ e o s (s2t)El c a s o 2 d e la r e g la d e la c a d e n a c o n t i e n e :res t ip o s d e v a r ia b le s : s y t son v a r i a -9z_ b l e s i n d e p e n d i e n t e s , x y y se llaman va r iable s in t e rm e d i a s y z e s la v ar iable d e p e n d i e n t e .Ob s e rv e q u e el t e o r ema 3 tiene un té rmin o pa ra z ada va r iable inte rmedia , y c a d a uno dee s tos té rmin o s e s s imila r a la regla d e la c a d e n a un id ime n s io n a l de la e cu a c ió n 1.ffr- /^ iPa ra re co rd a r la regla d e la c ad e n a , e s útil dibuja r e l d i a g r am a d e á r b o l d e la figura 2.>fDibujamos ramas de sde la variable d ependiente z a las variables intermedias x y y para indicarq u e z e s u n a fu n c ió n de x y y. L u e g o d ib u j am o s r ama s d e s d e x y y a las v a r ia b le s in d e -FIGURA 2 p e ndiente s s y t. En c a d a rama e s c r ib imo s la d e r iv a d a pa rcial cor re sp o n d ie n te . Para de te r -
  • 320. SECCIÓN 14.5 REGLA DE LA CADENA 9 2 7min a r dz/ds c a lc u lamo s e l pro d u c to de las de r iv a d a s pa rc ia le s en c a d a t raye c tor ia d e sde zha s ta 5 y luego sumamo s los produc tos :dz _ dz ex dz dyds dx es dy dsDe la m i sma m a n e r a d e te rmin amo s dz/dt mediante las traye c tor ia s d e : a /.Ah o r a c o n s id e ramo s la situación general en la cual u n a var iable dependiente u e s u n a fun­ción de n va r iable s in te rmed ia s . t i , . . . , X n , c ad a u n a de las cua le s , a su vez, e s u n a funciónde m v a r iable s in d ep e n d ien te s 11, . . . , tm. Obs e rve q u e hay n té rmin o s , u n o p a ra c a d a v a r ia ­bleinte rmedia . La d emo s t ra c ió n e s s imila r a la d e l c a s o 1.| 4 | Regla de la cadena (versión general) S u p o n g amo s q u e u e s u n a funciónde r iv a b le de n va r iable s .ti, .t2, . . . , V» y c ad a Xje s u n a función de r ivable delas m va r iable s 11, te, , tm. E n to n c e s u es u n a func ión d e fi, te, ■ ■ ■ , tm ydu _ du dX du dX2 du dxndti d.ti dti dx2 dti dx„ dUp a ra c a d a i = 1, 2, . . . , m.////U V U V U V U VFIGURA 3Q Q S Ü Q E Q Expre s e la regla d e la c ad e n a p a ra el c a s o d o n d e w = f ( x , y, r , /) y.v = x(u, v), y = y (w, v), z = z{u, v), y t = t(u, v).SOLUCIÓN Utilice el teo rema 4 c o n n = 4 y m = 2. L a figura 3 mu e s t ra el d i a g r ama deárbol. Au n q u e no h a e sc r i to las d e r iv a d a s en las rama s , se so b re en t ien d e q u e si u n a ramav a d e sde y a w, e n to n c e s la d e r iv a d a pa rcial para e s a rama e s dy/du. Con la a y u d a deld i a g r ama de árbol, p o d emo s e s c r ib i r las expre s ione s necesarias:dw dtv dx dtv dtv _d_z_ i_ dtv dtdu ~dx du dy du ~dz du dt dudw dtv a a dw dy dtv dz dtv dt-----= ----- + — + ----- — + ----- ----dv dx dv dy dv dz dv dt dv/l /l /l r S t r S I r S tFIGURA 4Q E H J H E H Si u = x 4y + y V , d o n d e x = rsey = r s2ey z = r s sen t,d e te rmin e el v a lo r d e du/ds c u a n d o r = 2, S = 1, t = 0.SOLUCIÓN Con la a y u d a d e l d i a g r ama d e árbol de la figura 4 , ten emo sdu _ du 0.t du dy du dzds dx ds dy ds dz ds— (4jr3y )(ref) + (.v4 + 2yz3)(2rse~t) + (3 y 2z2) ( r 2 s e n / )Cu a n d o r = 2, S = 1, y t = 0, ten emo s x = 2, y = 2 y z = 0, d e m o d o que(64) (2) + (1 6)(4) + (0)(0) = 192duds
  • 321. 928 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES/As r S — ( — ) = — ) — + — [ —^ = - f ¥ - ( 2 r ) + ¥( 2 s )FIGURA 5EJEMPLO 6 Si g{st t) = f ( s 2 — t 2, t2 — s 2) y / e s de r ivable , d emu e s t re q u e g sa tis face lae cua c ióndq dqt — + S — = Ods dtSOLUCIÓN Se a x = s2 — t2 y y = t2 — s2. Entonc es , g(s, t) = f ( x , y) y la regla d e lac a d e n a dan* i y = t f ( 2 s ) + t f ( _ 2 s )ds dx ds dy ds dx dydg df dx d f dy df df— = —---------+ —— - = — - 2 7 ) + — (2t)dt dx dt dy dt dx dyPor lo tanto,t ^ + S ^ds dt( df d fí df d /2 s t— - 2 s t—+ - 2 s t— + 2 s t— = O dx dydx dyEJEMPLO 7 Si z = / ( * , y) tiene d e r iv a d a s parciales de seg u n d o orden con tin u a s yx = r 2 + s r y y = 2 rs, c alcule a) dz/dr y b) d2z /dr 2.SOLUCIÓNa) L a regla d e la c a d e n a d adz dz dx dz dy dz dz ,— ------------- 1---------------—------(2 /’) H--------- (2 s)dr dx dr dy dr dx dyb) Al aplic ar la regla de l pro d u c to a la e x p re s ió n en el inciso a) o b tenemosd ydr0z d ( dz d z — = — 2 ; • — + 2 5 —r~ d rdx d y )dz d= 2 — + 2 r —dx drOl Pero al aplic a r la re g la d e la c a d e n a u n a vez má s (vé ase figura 5), lle g amo s aflxd { d zd ( d zdx d ( dzdy d¿z d-zdr [ d x j ~ dxa.v / dr + dy [ d x l dr ~ dx2 21 ] + dydx 2S)( = —(— ^ — — ( i i 'drd y ) dx dx d d y ) dr dr + dyd dy y jf dr dxdy dy~Al sus tituir e s ta s e x p re s io n e s en la e cu a c ió n 5 y usar la igualdad de las d e r iv a d a s deseg u n d o orden c omb in a d a s , o b ten emo sdf* „ dz „— - = 2 — + 2rdr~ dx( 2r^ + 2sJ l+ J 2rj ^ + 2s^ ) dx- d y d x )dxdy dy~)dz , d~z d~z 0 d~z= 2 — + 4r~ — 7 + 8/-5 -----------+ 45" — r ■ ■dx dx2 dxdy dy2Derivación implícitaLa re g la de la c a d e n a se p u e d e aplic ar p a ra tene r una d e sc r ip c ió n má s c omp l e ta d e l p ro c e ­sod e la d e r iv a c ió n imp l íc i ta q u e se emp e z ó a tratar en las se c c ione s 3.5 y 14.3. S u p o n emo sq u e u n a e cu a c ió n de la fo rma F(x, y) = O define a y en fo rma impl íc i ta c omo u n a funciónde r iv a b le de x, e s de cir , y = f(x) , d o n d e F(x,f ( x) ) = 0 p a ra to d a Aren el d omin io de / Si F
  • 322. SECCIÓN 14.5 REGLA DE LA CADENA 929La solución del ejemplo 8 se debe compararcon la del ejemplo 2 de la sección 3.5.e s d e r iv a b le , a p l i c amo s e l c a s o 1 de la regla d e la c a d e n a p a r a d e r iv a r amb o s m iem b ro sd e la e cu a c ió n F(xy y) = O con re spe c to a x. Puesto q u e tanto x c om o y son func ione s de xo b ten emo sdF dx dF dy _dx dx dy dxPero dx /dx = 1, de este mo d o si dF/dy ^ O re so lv emo s p a ra d y / d x y obtene rPa ra d e d u c i r e s ta e cu a c ió n , su p o n emo s que F(x, y) = O d efine a y imp l íc i tamen te c omou n a función de x. El t e o r em a d e la f u n c ió n im p l í c i t a , q u e se d emu e s t r a en c á lculo a v a n ­zado, p ro p o rc io n a co n d ic io n e s en las c ua le s es vá lid a e s ta supos ic ión. Es table c e q u e si F sedefine sobre un di sco q u e c o n tie n e («, b ), don d e Fia , b) = O, Fy(a, b) # O, y Fx y Fy sonc o n tin u a s sobre e l di sco, e n to n c e s la ecua ción F(x, y) = 0 de f ine a y c omo u n a func ión dea c e r c a d e l p unto (a, b) y la d e r iv a d a d e e s ta func ión e s tá d a d a por la e cu a c ió n 6.De te rmin e y' si x 3 + y 3 = 6xy.SOLUCIÓN La e cu a c ió n d a d a se p u e d e e scribir c omoFf.v, y) = x 3 + y 3 - 6xy = Ode mo d o q u e la e cu a c ió n 6 d a c om o resultadody _ Fx _ 3.v2 - 6 y _ .v2 - 2ydx ~ Fy ~ 3 y 2 - ó.v ~~ y 2 - 2xEJEMPLO 8A h o r a se supone q u e z e s tá d a d a en forma impl íc i ta c omo u n a func ión z = f (x . , y) m e ­dianteu n a e cu a c ió n de la fo rma F{x ; y, z) = O. Es to s ignifica q u e F ( x , y , f ( x , y)) = O paratodo (x , y ) en el d om in i o / Si F y / son der ivable s , e n to n c e s u s amo s la regla de la c a d e n ap a ra d e r iv a r la e cu a c ió n F(a:, y , z) = 0 c om o sigue:dF dx ^ dF dy ^ dF dz _ ^dx dx dy dx dz dxd dPe ro — W = 1 y — (y) = °ox oxa s í q u e e s t a e cu a c ió n se t ra n s fo rma endF dF dzdx + ~d7~dx~Si dF/dz # O, re so lv emo s p a ra dz/dx y o b tenemos la p r ime ra fó rmu la d e las e cu a c io n e s 7de la p á g in a 930. La fó rmu la p a r a dz/dy se obtiene de u n a ma n e r a parecida.
  • 323. 930 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESLa solución del ejemplo 9 se debe compararcon la del ejemplo 4 de la sección 14.3.mdF dFdz dx dz dydx dF dy dFdz dzUn a vez má s , u n a vers ión del t e o r em a d e la fu n c ió n imp l í c i t a d a co n d ic io n e s en las c u a ­lesla supos ic ión es válida. Si F e s tá d e f inida dentro de u n a e s fe ra q u e c o n tie n e (a, b, c),d o n d e F í a , b, C) = O, FÁa, b, c) O, y Fx, Fy y F: son c o n t in u a s d e n t ro d e la e s f e r a , e n ­ton c e s la e c u a c ió n F(.v, y, z) = O d e f in e a z c omo u n a fu n c ió n de x y y c e r c a de l p u n to(a , b, c) y e s ta func ión e s de r iv a b le , con derivada» pa rc ia le s d a d a s p o r [T].EJEMPLO 9 d ~ d ~D e t e r m i n e y si A 3 -I- y 3 + - 3 + ó . r y ra.v aySOLUCIÓN Se aF( .v , y, z) = x 3 + y 3 + z3 + 6x y z — 1. E ntonc e s , de a cue rdo con lase cu a c io n e s 7, ten emo sÍ ia.vi idyF*_F;I IF.3.v" + 6yz3z2 + ó.vy3 y 2 + ó .y z3z2 + ó.vy+ 2 y zz 2 + 2.vyy 2 + 2.vzz 2 + 2.vyEjercicios1-6 A p liq u e la r e g la de la c a d en a para h a lla r dz/dt o dw/dt. 13. S i z = /(.V, y ) , d on d e f e s d e r iv a b le ,1. z = x 2 + y 2 + x y , x = sen t , y = e* x = g ( t ) y = h i t )C-lIIrn0»h(3 ) = 72. z = cosía - + 4 y ) , x = 5/4, y= l / t<0^UJII<-/1*'(3) = - 4fx(2, 7 ) = 6 A ( 2 , 7 ) = - 83. z = y/ 1 + a 2 + y 2 , x — ln t , y = e o s td e te rm in e d z / d t cu and o t == 3.4. z = ta n -1 (y / a ) , a = ey = 1 - e~f 14. S ea W f r , f) = F(u(:, t ) , vis, / )), d o n d e F , u y v son5. w = x e y / z , x — t 2 , y = 1 - t , z = 1 + 2?6. w = ln y j x 2 + y 2 + z 2, x = sen t , >' = e o s t , z = tan t7-12 M e d ia n t e la r e g la d e la c a d en a en cu en tr e d z / d s y d z / d t .7. z = X 2 y 3, x = s e o s f, y = s sen t8. z ™ arcsen(.v — y ) , x ™ j 2 + t2, y — I — 2 j /9- z ™ s e n f l c o s ^ . “ s 2 t10. z = e * + 2 y , x = s / t , y = t / s11. r = e r c o s 0 , r = s t , d = J s 2 + t 212. z = tanUz/p), u = 2 s + 3t , v = 2>s — 2 td e r iv a b le s ,2 / ( 1 ,0 ) = 2 o ( l , 0 ) = 32M 1 ,0 ) = —2 % ( I , 0 ) = 5Z/e( 1 , 0 ) = 6 y f ( 1 , O) = 4F , ( 2 , 3 ) = - 1 FJ 2 , 3 ) = 10D e te rm in e Ws{ 1, 0 ) y Wt{ 1 , 0 ) .15. S u p o n g a qu e f e s una fu n c ió n d e r iv a b le d e a: y y , y qu eg ( u , v ) = f ( e u + sen v , e ? + e o s v ) . M e d ia n t e la ta b la dev a lo r e s c a lc u le g.v( 0 , 0 ) y 0 , ( 0 , 0 )./ 9 /, f y(0 ,0 ) 3 6 4 8(1 ,2 ) 6 3 2 516. S u p o n g a qu e / e s una fu n c ió n d e r iv a b le d e a y y , y qu eg í r , s ) = f { 2 r — s , s 2 — 4 r ) . M e d ia n t e la ta b la d e v a lo r e s d e le je r c ic io 15 c a lcu le g r ( 1, 2) y g T { 1, 2).1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
  • 324. SECCIÓN 14.5 REGLA DE LA CADENA 93117-20 M e d ia n t e un d ia g ram a d e á rb o l, e s c r ib a la r e g la d e la c a d en ap a ra e l c a s o d a d o . S u p on g a q u e tod a s la s fu n c io n e s son d e r iv a b le s .17. u = f ( x, y), d on d e x = x(r, s, /), y = y(r, s, t)18. R = f ( x, y, r , t), d o n d e x = .x(tí, v, tu), y = y (u, v, w),z = z{u, v, tu), t = t(u, u, tu)19. tu = f(r, s, t) , d on d e r = r(x, y), s = *{.x, y), t = t(x, y)20. t = / (u, v, tu), d on d e u = u(p, q, r, s), v = v(p, q, r, s),tu = tuip, q,r,s)21-26 U s e la r e g la de la c a d en a para c a lc u la r la s d e r iv a d a sp a r c ia le s qu e se in dican.21. z = x* + x 2y, x = s + 2t - u, y = stu2:dz dz dz, -----, d on d e S = 4 , t = 2 , U = 1ds dt du22. T = ----------, u = p q j r , v = p x qr.donde p = 2, q = 1, r — 42 u + vdT dT dT~dp' ~dq' ~ür23. tu = x y + yz + :x, x = r eos $, y = r sen 6, z = r[dtu dtu~dr~' ~ d édonde T — 2, $ = 7t/224. P = y/u2 + v2 + tu2, u = x e y, v = y e x, w = e xydP dPdx ’ dydonde X = 0 , y = 2p + q25. N = ----------, p = u + vtu, q = v + u tu, r = tu + uv:p + rdN dN dNdu ' d u ' dtu26. u = x e ty, x = a 2fi, y = (Z2y, t = y 2<x.du du dudonde U = 2, v = 3, tu = 4d a ' 0/3’ dydonde a = — 1, /3 = 2, 7 = 127-30 Aplique la ecuación 6 para encontrar dy/dx.27. y e o s * = X 2 + 28. cos(.vy) = 1 + sen y29. tan“ *(.x2y) = .v + .xy2 30. e y sen.v ™ x + xy31-34 Con las ecuaciones 7 halle 0r/0.x y 0 z /0 y .31. .x2 + 2 y 2 + 3z2 = 1 32. x 2 - y 2 + z2 - 2z = 433. e z = xyz 34. yz + .x ln y = z235. La temperatura en un punto (x , y) e s T(x, y), medida en gradoscelsius. Un insecto se arrastra de tal modo que su posicióndespués de t segundos está dada por .X = v 1 + t , y = 2 + 7/,donde ory y se miden en centímetros. La función temperaturasatisface Tx{2, 3) = 4 y Ty{2, 3) = 3. ¿Qué tan rápido seeleva la temperatura del insecto en su trayectoria despuésde 3 segundos?36. La producción de trigo en un año dado, W, depende de latemperatura promedio T y de la precipitación pluvial anual R.Los científicos estiman que la temperatura promedio se eleva arazón de 0.15 °C/ año, y que la precipitación está disminuyendoa razón de 0.1 cm /añ o . También estiman que, a niveles deproducción actuales, dW/dT = —2 y dW/dR = 8.a) ¿Cuál e s el significado de los signos de estas derivadasparciales?b) Estime la razón de cambio actual de la producción de trigo,d W / d t .37. La velocidad del sonido que viaja a través del agua del mar consalinidad de 35 partes por millar, está modelada por la ecuaciónC = 1 4 4 9 .2 + 4 .6 7 ’ - O .O S S r 2 + 0 .0 0 0 2 9 7 ’ J + 0 .0 1 bDdonde C e s la velocidad del sonido (en metros por segundo),T es la temperatura (en grados celsius) y D es la profundidadpor abajo de la superficie del mar (en metros). Un buzo enescafandra autónoma empieza a sumergirse en el agua delmar: la profundidad del buzo y la temperatura del agua quelo rodea con respecto al tiempo se registran en las gráficassiguientes. Estime la razón de cambio, con respecto al tiempo,de la velocidad del sonido a través del agua de mar queexperimentó el buzo durante una inmersión de 20 min. ¿Cuálesson las unidades?y20 30 40 1(min)20 30 40 I(min)38. El radio de ur. cono circular recto se incrementa a una razón de1.8 p u lg /s , mientras su altura disminuye a razón de 2.5 p u lg/s.¿A qué razón cambia el volumen del cono cuando el radio es120 pulg y la altura es de 140 pulg?39. La longitud C. ancho w y altura h de una caja cambia con eltiempo. En un cierto instante, las dimensiones son C = 1 m ytu = Ii = 2 m , y € y tu se incrementan a razón de 2 m /s , en tantoque h disminuye a razón de 3 m /s. Encuentre en ese instantelas razones a las cuales las siguientes magnitudes cambian.a) El volumenb) El área superficialc) La longitud de la diagonal40. El voltaje V e n un circuito eléctrico sencillo disminuye conlentitud a medida que la batería se gasta. La resistencia Rse incrementa lentamente cuando el resistor se calienta.Mediante la ley de Ohm, V = IR, determine cómo cambia lacorriente / en el momento en que R = 400 f l, / = 0.08 A,d V /d t = -0 .0 1 V /s y dR /d t = 0.03 Q/s.41. La presión de un mol de un gas ideal se incrementa a razón de0.05 k P a /s y la temperatura aumenta a razón de 0.15 K/s.Utilice la ecuación del ejemplo 2 para determinar la razónde cambio del volumen cuando la presión es de 20 kPa y latemperatura es de 320 K.42. Un fabricante ha modelado su producción anual como unafunción P (el valor de toda la producción en millones dedólares) come una función de Cobb-DouglasP(L,K) = 1.47L0jaX 0J5donde L es el número en horas de mano de obra (en miles) y K es
  • 325. 932 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESel capital invertido (en millones de dólares). Supongamosque cuando L = 30 y K = 8, la fuerza laboral disminuye arazón de 2000 horas de mano de obra por año y el capitalestá creciendo a razón de $500 000 por año. Encuentre larazón de cambio de la producción.43. Un lado de un triángulo está creciendo a razón de 3 cm /s y unsegundo lado está decreciendo a razón de 2 cm /s . Si el área deltriángulo permanece constante, ¿a qué razón cambia el ánguloentre los lados cuando el primer lado mide 20 cm de largo, elsegundo lado es de 30 cm, y el ángulo es 77/ 6?44. Si un sonido de frecu en cia/, es producido por una fuenteque se desplaza a lo largo de una recta con rapidez v, y unobservador se mueve con rapidez v„ a lo largo de la mismarecta desde la dirección opuesta hacia la fuente, entonces lafrecuencia del sonido escuchado por el observador es50. Si U = / ( * , y), donde X = e s cos t y y = e’ sen /, demuestre que(Sí)f sdonde c e s la velocidad del sonido, de unos 332 m /s . (Éste esel efecto Do ppler). Suponga que, en un momento en particular,usted está en un tren que corre a 34 m /s y que acelera a1.2 m /s 2. Un tren se aproxima desde la dirección opuesta enla otra vía a 40 m /s , acelerando a 1.4 m /s 2, y hace sonar susilbato, que tiene una frecuencia de 460 Hz. En ese instante,¿cuál es la frecuencia percibida que usted escucha y con quérapidez está cambiando?45-48 Suponga que todas las funciones dadas son derivables.45. Si r = f { x y y), donde X = r eos d y y = r sen 9, a) determinedz /dr y d z /d d y b) demuestre que(£/(£)■-(fHfe)'46. Si U = f ( x , y), donde X = e*cos t y y = e' sen /, demuestre que47. Si48. Sif { x — y), demuestre q u e 1---------- 0 .dx dyf { x y y), donde ,t = í + / y y = i — t, demuestre que(éM*)' ds dt49-54 Suponga que todas las funciones dadas tienen derivadasparciales continuas de segundo orden.49. Demuestre que cualquier función de la formaz = f { x + at) + g(x - at)es una solución de la ecuación de onda— = a 2 —d t2 ° d x 2Sugerencia: sea u = x + at, v = x — at.]a í / a i /~dx2 ~dy2d~u a i /~ds2 + ~dtT51. Si z = f(Xy y ) , donde x = r 2 + s 2 , y = 2 r s y determined 2 z ( d r d s . Compare con el ejemplo 7.52. Si c = f(Xy y), donde X = r e o s $ y y = r sen 9, determinea) d z /d r , b) d z /dd , y e ) d2z / d r d¿.53. Si r = f(Xy y), donde X = r e o s $ y y = r sen 9, demuestre qued h _¿2_= _ a ^ L O La * 2 + ay2 d r 2 + r 2 d d 2 + r dr54. S u p o n g a qu e r = f { x , y ) , d o n d e X = g ( s , t ) y y = h ( s , t ) .a) Demuestre qued2z d2z / d x2 + 2 d2z dx dy | d2z í dy Vd t2 ~ d x 2d t ) + 2 dx dy dt dt + ay2dt )+ Í i i l i + i i i Zdx dt2 dy d t2b) Encuentre una fórmula similar para d2z /d s dt.55. Una fu n c ió n /s e llama homogénea de g ra d o n si satisface laecuación f { t x , ty) = t nf { x , y) para toda t, donde n e s un enteropositivo y / ti e n e derivadas parciales continuas de segundoorden.a) Compruebe que f ( x , y ) = x2}’ + 2xy2 + 5yJ es homogéneade grado 3.b) Demuestre que si / es homogénea de grado n, entoncesx f x + y ^ n n , , y )[Sugerencia: aplique la regla de la cadena para derivarf ( tx , ty) con respecto a /.J56. S i / e s homogénea de grado /?, demuestre que57. S i / e s homogénea de grado n, demuestre quef j tx. ty) = f - ' f A : t , y )58. Suponga que la ecuación F(x, y, z) — 0 define en formaimplícita cada una de las tres variables x , y y z como funcionesde otras dos: r = f ix , y), y = g(x, z), x = h(y, r). Si F esderivable y F.x, Fy y F~ son diferentes de cero, demuestre quedz_ a^_ay_a.v a y dz59. La ecuación 6 es una fórmula para la derivada d y /d x de unafunción definida implícitamente por una ecuación ^(.V, y) = 0 ,siempre que F sea derivable y que Fy 0. Demuestre que si Ftiene segundas derivadas continuas, entonces una fórmula parala segunda derivada de y esd j _ = F„Fy2 - 2FxyFxFy + F„F*d x 2 FJ
  • 326. SECCIÓN 14.5 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 933Derivadas direccionales y el vector gradiente(Distanciaen millas)FIGURA 1En el m a p a de l c l im a d e la figura l , se mues tra un ma p a d e c o n to rn o de la func ión t em p e ­ra tu r a T (x, y ) p a r a los e s t a d o s d e Ca l i fo rn ia y N e v a d a a las 3 :00 p m , d e un d í a d e o c tu ­bre . La s c u rv a s d e n iv e l o i so te rma s , uner. lo c a l id a d e s c o n la m i sm a temp e ra tu ra . Lad e r iv a d a pa rcial Tx en un lu g a r c omo Reno es la razón de c am b io de la temp e ra tu ra r e s ­pe c to a la d i s tanc ia si v ia jamo s h a c ia e l este d e sde Reno: Ty e s la razón d e c amb io de latemp e ra tu ra si v i a j am o s h a c i a e l nor te. Pero, ¿ q u é su c e d e si q u e r em o s s a b e r la r a zó n dec am b io d e la t em p e r a tu r a c u a n d o v i a j a h a c ia e l sure s te : e s d e c i r , h a c i a Las Ve g a s , o ena lguna o tra d i re c c ión? En e s ta sección se e s tudia un tipo de d e r iv a d a , que se d e n om in a deri­vadadireccional, q u e p e rmi te c a lc u la r la razón d e c am b io de u n a func ión de d o s o má sva r iable s en cu a lq u ie r d irec ción.Derivadas direccionalesRe cue rde que si z = f ( x, y), e n to n c e s las de r ivada s pa rc ia le s f x y fy se de finen c omoFIGURA 2Un vector unitarioU = (¿ I, ¿>) = { e o s $ , s e n 9 )U U Visual 14.6A incluye figuras animadas dela figura 3 al hacer girar u y, por lo tanto T.fX x (), y0) = límo/v (-V o , yo) — lím/j—»0f(xo 4- h, yo) - f(xo, yo)/(•ve, y0 + h ) - / (.v q , y0)y repre sentan las ra zo n e s de c amb io d e z en '.as d i re c c io n e s x y y: e s de cir , en las d i r e c c io ­nes de los ve c tore s unita r ios i y j.S u p o n g am o s q u e a h o ra q u e r em o s e n c o n t r a r la ra zón de c am b io de z en (ao, yo) en ladi re c c ión de un v e c to r unita r io a rbitrario u = (a, b ) . (Vé a s e figura 2.) Pa ra h a c e r e s to c o n ­sid e remo s la superficie S c u y a e cu a c ió n e s z = f ( x , y) (la gráfica de / ) , y sea zo = (Ao, yo).E n to n c e s e l p u n to P(xo, yo, ¿o) q u e d a sobre S. El plano ver tical q u e p a s a p o r P en la d i r e c ­ción d e u in te r se c a a S en u n a c u rv a C (véase figura 3.) La pendiente de la re c ta tangente Ta C en el p unto P e s la razón de c amb io de z e n la di re c c ión de u.F IG U R A 3
  • 327. 9 3 4 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESSi Q(x, y, z) e s otro punto sobre C y P Q son las proye cc ione s d e P, Q sobre el plano xy,e n to n c e s el v e c to r e s pa ra le lo a u y e ntonc e sP Q = h u = (ha, hb)pa ra algún e s c a la r h. Por tanto, x — .Vo = ha, y — yo = hb, por lo q u e x = .v0 + ha,y = yo + hb, yA r _ -- ~ £o _ [ { xq + ha, yo + hb - / i aq, y0 ■h ~ h hSi tom am o s e l l ími te c u a n d o h —* 0, o b t e n em o s la ra zón d e c am b io d e r c o n re sp e c to ala d i s t a n c i a en la d i re c c ió n d e u, la c u a l se d e n omin a d e r iv a d a d i r e c c io n a l d e / e n la d i r e c ­ción de u.|~2~| Definición L a d e r i v a d a d i r e c c io n a l de / e n (.r0, yo) en la d i re c c ió n de unve c tor unita r io u = (a, b) esr r i s ,, / ( Duf{xo, yo) = l ím * > + h a > + - -h--h---)- ----- ----------y--o--)-/»—o hsi este límite existe.Al c omp a r a r la d ef inición 2 c o n las e cu a c io n e s Y, o b s e rv amo s q u e si u = i = ( 1 , 0 ) ,e n to n c e s D f = f x y si u = j = (0 , 1 ), e n to n c e s D¡ f = f y. En otras pa labras , las d e r iv a d a sp a rc ia le s de / c o n r e sp e c to a x y y son ju s t ame n te c a s o s e s p e c i a l e s d e la d e r iv a d a d i r e c ­cional.Con a y u d a d e l m a p a d e l c l im a ilus trado en la figura 1 e s t ime el v a lo r d e laEJEMPLO 1d e r iv a d a d i r e c c iona l de la func ión de la temp e ra tu ra en Reno en la di re c c ión sureste.SOLUCIÓN El v e c to r unita r io d i r igido h a c ia e l sureste e s u = (i — j ) // 2 , pe ro no esn e c e sa r io re cur r i r a e s ta e xpre s ión. Inicie dib u ja n d o u n a re c ta q u e pa se por Reno y quese d i r ija h a c ia el sureste (vé ase figura 4).F IG U R A 4Ap ro x im am o s a la d e r iv a d a d i re c c iona l DmT mediante e l p rome d io d e la razón dec amb io d e la tempe ra tura entre los puntos don d e la recta inte rse ca las i sotermas T = 50 y
  • 328. SECCIÓN 14.5 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 9 3 5T = 60. La temp e ra tu ra en el p unto al sureste d e Reno e s T = 60 °F y la temp e ra tu r a enel p u n to noroe s te de Reno es T = 50 °F. Al parecer, la d i s tan c ia entre es tos p u ntos e s decas i 75 millas. De este mo d o , la razón d e c amb io d e la temp e ra tu ra en la d i rec ciónsureste e s60 - 50 10Dn T « ---------------= ------ « 0 . 1 3 °F /m i75 75Cu a n d o c a lc u lamo s la d e r iv a d a di rec ciona l de u n a func ión que e s tá d e f in id a por mediode u n a fórmula , en gene ra l a p lic amo s e l teo rema siguiente.|~3~| Teorema S i / e s u n a func ión de r ivable de x y de y, e n t o n c e s / t i e n e u n ad e r iv a d a d i re c c iona l en la di re c c ión de cua lquie r v e c to r unita r io u = <a, b) yA i / ( . v , y) = A U , y)a + f y(x, y)bDEMOSTRACIÓN Si d e f in imo s u n a func ión g de u n a va r iable h medianteg(h) = f ( x o + ha, y 0 + h b )e n to n c e s según la d e f inición de la d e r iv a d a[71 g'(0) - lím ^ ~ ^ - lím / ( 'V° + ^ V" + ~ ^ ^I 1 J y 1 h 0 h= Dnf { x o,yo)Por otro lado, p o d emo s e s c r ib i r g(h) = f ( x , y ), d o n d e .v = ,v0 + ha, y = y 0 + hb, demo d o q u e la regla d e la c a d e n a ( teo rema 14.5.2) d ag'(h) = 4 - ■ § - + - r - 7 " = U x , y )a + fy(x, y)bdx dh d y dhSi a h o ra h a c emo s h = 0, e n to n c e s x = Xo, y = yo, yg'(0) = fx(xo, yo ) a + f y(xo, y o ) bAl c om p a r a r las e c u a c io n e s 4 y 5, obse rve queDüf (xo, y 0 ) = f x{xo, y 0 ) a + f y(x0, y0)bSi el v e c to r unita r io u fo rma un á n g u lo 0 con el eje p o s i t iv o x (c omo en la figura 2),e n to n c e s po d emo s escribir u = {eos 6, sen 6) y a s í la fórmula del teorema 3 se trans forma en[6~1 Dn f { x , y) = fx(x, y ) e o s $ + f y(x, y ) sen $__E_J_E_M__P_L_O_ _2_ D e t e rmin e la d e r iv a d a d i r e c c io n a l Dnf ( x, y) si/( .v, y) = .v3 - 3.vy + 4 y 2y u es e l ve c tor unita r io d a d o p o r el á n g u lo 9 = 7r/6. ¿Qué es Z ) « / ( l , 2)?
  • 329. 9 3 6 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESLa derivada direccional D u f ( l , 2) delejemplo 2 representa la razón de cambiode - en la dirección de u . Es la pendiente dela recta tangente a la curva de irtersecciónde la superficie r = x ' - 3xy + A y 2 y el planovertical que pasa por (1 ,2 ,0 ) en la direcciónde u mostrada en la figura 5.6FIGURA 5i r 7rSOLUCIÓN Con la fórmula 6 se tiene£>nf{x, y) - f x(x, y ) eos — + /.{.X-, y) sen —f j= (3 * 2 - 3 y ) — + ( —3.v + S y ) j= j [ 3 v T v2 - 3.v + (8 - 3y3~)y]Por lo tantoD . f ( 1 , 2 ) = t [ 3 V 3 “( 1 ) 2 - 3 ( 1 ) + ( 8 - 3 ^ ) ( 2 ) ] = — Z J . v 3El vector gradienteOb s e rv e q u e d e a cue rdo c o n e l t e o r ema 3, la d e r iv ad a d i re c c iona l de u n a func ión de r ivablese puede e sc r ibi r c om o el p ro d u c to p unto de d os vectores:T £> , f ( x , y) = f x(x, y) a + f y(x, y) b= (AU,y),/(T,y)> • (a,b)= { fx (x ,y ) , fy( x ,y ) ) • uEl p r ime r v e c to r en este p ro d u c to p unto se pre senta no sólo al c a lcula r las d e r iv a d a s dire c -c iona les , sino también en mu c h o s otros contextos . Por e so se le d a un n omb re e spe c ia l , g ra ­diented e / , y u n a nota c ión e sp e c ia l ( g r a d f o V / , que se lee “ n a b l a / ” ).|~8~| Definición S i / e s u n a fu n c ió n d e d o s v a ria b le s x y y , e n to n c e s e l g r a d ie n ted e / e s la fu n c ió n v e c to ria l V / d e fin id a p o rV /(.v , y) = </*(*, y ) , / , ( * ,> ) ) = 5 i i jdx dyEJEMPLO 3 Si f ( x , y) = sen x + e^ e n to n c e sV / ( . T , y ) = = (e o s x + yex x e * y)V / ( O, 1) = (2 ,0 )C o n e s ta n o ta c ió n p a ra e l v e c to r g ra d ie n te , p o d em o s e s c rib ir la e x p re s ió n (7 ) p a r a lad e r iv a d a d ire c c io n a l c om o£ > ./ ( * , y ) = V/(.v , y) • uE sta e c u a c ió n e x p r e s a la d e r iv a d a d ire c c io n a l en la d ire c c ió n de un v e c to r u n ita rio u c om ola p ro y e c c ió n e s c a la r d e l v e c to r g ra d ie n te en u
  • 330. SECCIÓN 14.6 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 937Vector gradiente V / (2, - I ) del ejemplo 4 semuestra en la figura 6 con punto inicial (2,21).También se muestra el vector v que da ladirección de la derivada direccional. Ambosvectores se superponen sobre el mapa decontorno de la gráfica de/.FIGURA 6Q De te rmin e la d e r iv a d a dire c c iona l de la func ión f ( x , y) = j r y 3 — 4y en elp unto (2, — 1) en la d i re c c ión de l v e c to r v = 2 í + 5 j.SOLUCIÓN Pr ime ro c a lc u lamo s el ve c tor gradiente en (2, — 1):V f ( x , y ) = 2.vys i + ( 3 j r y 2 - 4 ) jV / ( 2 , - 1 ) = - 4 i + 8 jNote que v no e s un v e c to r unitar io, p e ro c omo | v | = %/29~, el v e c to r unita r io en ladi re c c ión de v esv 2 5iiIV | s/29 v/29Por lo tanto, según la e cu a c ió n 9, ten emo sDmf(2, — I ) = V /(2 , - 1 ) • u = ( - 4 1 + 8 j)- 4 • 2 + 8 • 5 32( v Í9 - Í+y¡29 V 29"] Funciones de tres variablesPa ra func ione s d e tres va r iable s p o d emo s definir las d e r iv a d a s d i re c c io n a le s d e u n a ma n e r asimilar. Ot ra vez, Düf ( x, y, r) puede interpretarse c omo la razón de c amb io d e la función enla di re c c ió n de un v e c to r unita r io u.[TÓ] D efinicion La derivada direcc iona l d e / en (xo, yo, ro) en la d i re c c ió n de unv e c to r unita r io u = ( a , b, c) e s^ „ v f ( x o + ha, y0 + hb, z0 + he) - / ( .v 0, y0, -o)Da flxo, yo, ro) = l ím -------------------------------------o hsi e s te límite existe.Si u t il iz amos la nota c ión de ve c tore s , entonc es p o d emo s e sc r ibi r amb a s de f inic ione s , 2y 10, de la d e r iv a d a d i re c c io n a l en la fo rma c omp a c taOí]D . / f r o ) = límh—* O/ ( x o + h u ) - / ( x o )d o n d e xo = (.Vo, yo) si n = 2 y xo = (.to, >o, ro) si n = 3. E s to e s r a z o n a b le p o rq u e lae c u a c ió n v e c to r ia l d e la r e c t a q u e p a s a p o r xo en la d i r e c c ió n d e l v e c to r u e s t á d a d a porx = xo + íu (e cua ción 12.5.1) y de e s te m o d o /(x o + hu) r e p re s e n ta e l v a lo r d e / e n unp unto sobre e s ta recta.
  • 331. 938 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESSi / ( X , y , z) e s de r iv a b le y u = ( a , b, c)> entonc es utilice e l m i smo mé to d o q u e se a p l i ­có en el teo rema 3 pa ra d emo s t r a r que12 £>„/(*, y, z) = fx(x, y; z) a + fy(x y, z) b + f :(x, y, z) cPor lo q u e to c a a la func ión / d e tres va r iable s , el v e c to r gradien te , d e n o ta d o por V / og ra d / , e se s decir,V/(.v , y, z) = ( f x(x, y, z), f J x , y, z), f s(x, y, z ) )V/= </-/>’£> = T57/ * + T5 /H + ^a /ko.v d y d zEn to n c e s , ju s to c om o en las func ione s d e d o s var iable s , la fó rmu la 12 de la d e r iv a d a d i r e c ­cio n a l se puede v o lv e r a e x p re s a r c omo0 £> ./ (* , y , z) = V / ( .v ,y ,z ) • uQ E E 2 H E H Si / ( x , y , z) = a : sen yz, a) de te rmine e l gradiente de f y b) e n cu e n tre lad e r iv a d a d i r e c c iona l d e / e n (1, 3, 0) en la di rec ción v = i 4- 2 j — kSOLUCIONa ) E l g ra d ie n te d e f e sV / ( .v , y , z) = ( f x(x, y , z), f y% y , z), f s(x, y , z))= (sen y z , x z eos y z , xy e o s y z )b ) En (1 , 3, 0 ) te n em o s V / ( 1, 3, 0 ) = (0 , 0 , 3 ) . El v e c to r u n ita rio en la d ire c c ió n dev = i + 2 j — k esu = —1^ i + 2 1 — kV 6 V 6 V6P o r lo ta n to , la e c u a c ió n 14 d aD u/ ( 1, 3, 0 ) = V / ( 1, 3, 0 ) • uk ' ( v t Í + v V j jzk)(-7 t) = -¡ÍMaximización de la derivada direccionalS u p o n g a q u e ten emo s u n a func ión / de d os o tres v a r iable s y c o n s id e ramo s todas las d e r i ­vad a s d i re c c io n a le s p o s ible s d e / e n un p unto dado. És tas dan las ra zo n e s d e c am b io d e / e ntodas las dire c c ione s posibles. Cabe entonc es , plantear las preguntas: ¿en cuál d e e stas d i re c ­ci o n e s / c am b i a má s rá p id o y c u á l e s la m á x im a razón de c amb io ? Las re spue s ta s las p ro ­po rc io n a e l t e o r ema siguiente.
  • 332. SECCIÓN 14.6 DERIVADAS DIRECCION A LES Y EL VECTOR GRADIENTE 9 3 9l u i f l Visual 14.6B proporciona confirmaciónvisual del teorema 15.FIGURA 7En (2 ,0 ) la función del ejemplo 6 seincrementa más rápido en la dirección delvector gradiente V / (2 ,0 ; = (1 ,2 ) . Observeque según la figura 7 este vector, al parecer,es perpendicular a la curva de nivel quepasa por (2 ,0 ). En la figura 8 se ilustrala gráfica de/y el vector gradiente.FIGURA 815 Teorema S u p o n g amo s q u e / e s u n a función de r iv a b le de d os o tres variables.El v a lo r m á x im o d e la d e r iv a d a d i r e c c i c n a l Dn/ ( x ) e s | V / ( x ) | y se p r e s e n t ac u a n d o u tiene la m i sm a di re c c ión q u e el v e c to r gradiente V/ (x ) .DEMOSTRACIÓN Según la e cu a c ió n 9 o la 14 ten emo sDmf= V / • u = | V / || u | e o s 6 = | V / | e o s 9d o n d e 6 e s e l á n g u lo entre V / y u. El va lor má x imo d e e o s O e s 1 y e s to ocur re c u a n d o0 = 0. Por lo tanto, el v a lo r m á x im o de £)u/ e s l * / l y se p re s en ta c u a n d o 0 = 0,e s de cir , c u a n d o u tiene la m i sma di re c c ió n que V / IEJEMPLO 6a) Si f ( x , y) = xev, d e te rmin e la razón de c amb io d e / e n e l p unto P{2, O) en la direc ciónd e f a Q ( l 2).b) ¿En q u é di re c c ión / tiene la m á x ima razón d e c amb io ? ¿Cu á l e s e s ta m á x im a razónde c amb io ?SOLUCIÓNa) Pr ime ro c a lc u lamo s e l v e c to r gradiente:V / ( .v , y ) = < / „ / ,> = ( ex e ’ )V / ( 2 , 0 ) = ( 1 , 2 )El v e c to r unita r io en la d i re c c ión de PQ = < — 1.5, 2 ) e s u = (— f-, j ) , de mo d o q u e larazón de c amb io d e / e n la di re c c ión d e P a Q esDu/ (2,0) = V/(2, O) • u = <1,2) • (—J, j)= l ( —i ) + 2 ( j ) = 1b) De a cue rdo con el t e o r ema 1 5 , / s e in c rementa má s rápido en la di re c c ión de l ve c torgradiente V / ( 2, 0) = {1, 2 ) . La ra zón d e c amb io m á x ima es|V / ( 2 , 0 ) | = | ( 1 , 2 ) | = sf5EJEMPLO 7 S u p o n g am o s q u e la temp e ra tu ra en un p unto (x, y, z) en e l e sp a c io e s tád a d o p o r T(x, y, z) = 8 0 / (1 + xr + 2yr + 3z1), d o n d e T se mid e en grados c els iusy x, y, z en metros . ¿En q u é di re c c ión se in c rementa má s rá p id o la temp e ra tu ra en elp unto (1,1, —2 )? ¿Cu á l e s la razón de inc remento má x ima ?SOLUCIÓN El gradiente de TesdT dT dTVT = i + j + kdx dy dz160.V 320y 4 8 0 rT j k(1 + .v2 + 2 y 2 + 3 z 2 )2 (1 + .v2 -b 2 y 2 + 3 z 2 ) 2 (1 + x 2 + 2y2 + 3 r 2 )2160--------------- ^ ^ i — v i - 2 y j — 3 - k i(1 + .v + 2 y + 31 - f y
  • 333. 940 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESEn el p u n to (1, 1, —2) e l ve c tor gradiente esYTU, 1, -2) = jg(-¡ - 2j + Okl = |(- i - 2j + 6 k )De a cu e rd o c o n el t e o r ema 15, la temp e ra tu ra se in c rementa má s rá p id o en la d i re c c iónde l ve c tor gradiente V Z * ( 1 , 1, —2) = §( —i — 2 j + 6 k ) o bien, en fo rma eq u iv a len te , enla d i re c c ió n d e — i — 2 j + 6 k o de l v e c to r unitario ( —i — 2 j + 6 k ) / v '4 1 . La m á x imarazón de in c r eme n to e s la longitud de l v e c to r gradiente:| v r ( l , 1, —2) I = | | - i - 2 J + 6 k | = r v 4 Í "Por lo tanto, la m á x ima razón de in c reme n to d e tempe ra tura e s f ^ / i T 4 °C /m . MPlanos tangentes a superficies de nivelS u p o n g a q u e S e s u n a superficie c u y a e cu a c ió n e s f ( x, y , z) = k, e s de c i r , e s u n a superficiede nivel de u n a función F d e tres v a r iable s , y sea P(xo, yo, ro) un p unto en S. Se a Cu n a c u rv aq u e q u e d a en la superficie S y p a s a p o r e l p unto F. Re cue rde q u e según la sección 13.1, lac u rv a C se de sc r ib e med ia n te u n a func ión vector ia l c o n t in u a r(f) = (Jl'(0, y(f), z(t)). Se a toel v a lo r de l p a ráme t ro q u e c o r re sp o n d e a P. e s decir, rf/o) = (.ío, yo, ¿o)- Pue s to q u e C e s tásobre S, cu a lq u ie r p unto (x(f), y (/), z(t)) d e b e sa tis facer la e cu a c ió n de S, e s decir,[Í6¡ y(t), z(í)) = kSi x , y y z son func ione s d e r ivable s de t y Fes también de r ivable , e n to n c e s se aplic a la reglade la c a d e n a p a r a d e r iv a r amb o s miemb ro s d e la ecua ción 1 6 c omo sigue:,— . dF dx dF dy dF dzL—1 dx dt dy dt dz dtPero, c om o Y F = (Fx, Fy> F:) y r '( f ) = (x'{t)> y'(f), z'(t) ) , la e cu a c ió n 17 se puede e s c r i ­bir en func ión de un pro d u c to p u n to c omoY F • r '(/) = OEn particula r , c u a n d o t = t0 ten emo s r(f0) = {-To, yo, ¿o), de mo d o que[~18~| YFÍ.Vo, yo, z0) • r'(f0) = O•v0, yo» -o)tangenteLa e cu a c ió n 18 e s table c e q u e el vector gradiente en P, YFU'o, y o , ¿o), es perpendicular alvector tangente r'(/<>) ci cualquier curva C sobre S que pasa por P (v é a se figura 9). SiYF(.r0, y o , ^ o ) ^ O, e s p o r lo tanto n a tura l definir el plano tangente a la superficie de nivelF ( a ; y , z) = k en P(xo , y o , Z o) c om o e l p la n o q u e p a s a p o r P y t iene v e c to r n o rma lYFÍ.Vo, y o , Z o ) . Si a p lic amos la e cu a c ió n e s tán d a r de un plano (e cua ción 12.5.7), p o d emo se sc r ibi r la e cu a c ió n de e s te FIGURA 9 p l a n o t a n g e n te c om o[Í9] Fx(xo, y0, z0)(x - .v0) + Fy(.v0, y0, z0)(y - y0) + F ;(.v0, y0, z0)(z — z0) = O
  • 334. SECCIÓN 14.6 DERIVADAS DIRECCION A LES Y EL VECTOR GRADIENTE 941En la figura 10 se muestra el elipsoide, el planotangente y la recta normal del ejemplo 8.FIGURA 10L a r e c t a n o rm a l a 5 en P e s la re c ta que p a s a por P y e s p e rp en d icu la r al plano t a n ­gente.La di re c c ión de la re cta n o rma l e s tá definida, p o r lo tanto, p o r el v e c to r gradienteVFU'o, yo, zo) y, de este mo d o , med ia n te la e cua c ión 12.5.3, sus e cu a c io n e s s imétr ica s son■v - .vo y - y 0 z - z020F r ( .Vo, yo, Zo) Fy(xo, y 0 , r 0 ) F ;(.v0, y 0, z0)En el c a so e spe c ia l en e l c u a l la e cu a c ió n d e u n a superficie S e s de la fo rma z = f ( x , y )(es decir, S es la gráfica de u n a f u n c ió n / d e dos variables), p o d emo s v olver a e scribir la e c u a ­ción c omoF (.v , y , z ) = /(.v, y ) - z = Oy c o n s id e ra r 5 c om o u n a superficie de nivel de F , c o n k = O. E n tonc e sF r ( .v 0, yo , zoi = fx(x o, y o )F y í.v o , yo , zo i = fy(x o, y o )F / . v o , yo , zo i = - 1de mo d o q u e la e cu a c ió n 19 se vuelvefxCv0, y o )(.v - .vo) + f y(xo, y0 ) ( y - y 0 ) - ( z - z0 ) = oque e q u iv a le a la e cu a c ió n 14.4.2. Por lo tanto, la n u e v a def inición má s gene ra l d e un planotangente e s c o n g ru en te con la de f inición q u e se d io pa ra e l c a so e sp e c ia l d e la sección 14.4.] De te rmin e las e cu a c io n e s del p lan o tangente y re cta n o rma l en el p unto( — 2, 1, —3) al elipsoide.v2 z 2— + y - + — = 34 9SOLUCIÓN El e lipsoide e s la superficie de nivel (con k = 3) d e la función:.2 2F(x ,y , z ) = ^ - + y 2 + YPor lo tanto,v 2 zF * ( .v, y , z ) = — Fy( .v, y , z ) = 2 y F .(,v , y , z ) = —-F , ( - 2 , 1, - 3 ) = - 1 Fy[ —2, 1 , - 3 ) = 2 F _ - ( -2, 1, - 3 ) = - jEn tonc e s la e cu a c ió n 19 d a la e cu a c ió n de l plano tangente en ( — 2, 1 , - 3 ) c u a n d o- l ( . v + 2 ) 4- 2 ( y - 1) - f ( z + 3) = Olo c u a l se simplif ica a 3x — 6y + 2z 4- 18 = 0.Según la e c u a c ió n 20, las e cu a c io n e s d e la re cta n o rma l son.v + 2 y - 1 z + 3
  • 335. 942 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESSignificancia del vector gradienteA h o ra se re sumen los mo d o s en los q u e el v e c to r g radiente e s impor tante . Pr ime ro se c o n ­siderau n a función / d e tres variables y un punto P(xo, yo, "o) en su dominio. Por otro lado, d ea cu e rd o con el t e o r ema 15, el v e c to r gradiente Vf(xo» yo, zo) in d ic a la di re c c ión de l in c re ­men to m á s rá p id o d e / Ad emá s , también s a b emo s q u e V/(jto, yo, zó) e s or togona l a la s u p e r ­ficiede n iv e l S d e / q u e p a s a p o r P (ref ié rase a la figura 9). E s ta s d os p ro p i e d a d e s sonc omp a t ib l e s in tu i t iv ame n te p o rq u e , a m e d id a que se a le ja d e P en la su p e r f ic ie d e nivelS, e l v a lo r d e / no c amb ia . As i, p a re c e ra zonable q u e si n os m o v em o s en d i re c c ió n p e r ­pe n d ic u la r , se c o n s ig u e el in c reme n to máximo.De m a n e r a s imila r se c o n s id e ra u n a f u n c ió n / d e d os va r iable s y un p unto P(xo, yo) en sudomin io . Un a v ez má s , el v e c to r g radiente V/(xo, yo) seña la la di rec ción de l in c reme n to m á srá p id o de / A s imi smo , med ia n te c o n s id e ra c io n e s s imila re s al análisis de los planos ta n ­gentes,se puede demo s lia i q u e V / ( A o , y o ) e : * peipei.diculai a la c u rv a de nivel / ( a , y ) — A quep a s a p o r P. Ot ra vez e s intui t ivamente pos ible porque los va lore s d e / s i g u e n siendo c o n s ­tantes a me d id a que se mu e v e a lo la rgo de la c u rv a (vé ase la figura 11).v,FIGURA 11 FIGURA 12Si c o n s id e ramo s un m a p a topográf ico d e u n a co lin a y re p re s e n tamo s m e d i a n t e / ( a , y) la0a ltura por a r riba de l nivel d e l ma r d e un p u n to de c o o rd e n a d a s (x, y), e n to n c e s se pueded ib u ja r u n a c u rv a d e m á x im a pendiente c omo en la figura 12, h a c ié n d o la p e rp en d icu la r atodas las curvas d e nivel. Este fe n óme n o también se puede obse rva r en la figura 12 de la sec­ción 14.1, d o n d e Lo n e some Cre ek sigue u n a c u rv a c o n el d e s c e n so má s empinado.Los s i s tema s a lg e b ra ic o s c omp u t a r i z a d o s poseen c om a n d o s p a ra d ib u ja r mu e s t ra s dev e c to re s gradiente . C a d a v e c to r gra d ie n te V/(¿?, o) se g rá f ic a de tal m a n e r a q u e inic ie ene l p unto {a, b). En la figura 13 se i lus tra u n a gráfica d e é s ta s (que se d e n omin a n campo delvector gradiente) p a r a la f u n c i ó n / ( a , y) = x1 — y2 s o b r e p u e s t a en un m a p a d e c o n to rn od e / C om o e r a d e e s p e r a r s e , los v e c to r e s g ra d ie n te a p u n ta n “ p e n d ie n t e a r r ib a ” y sonp e rp e n d ic u la r e s a las c u rv a s de nivel.
  • 336. SECCIÓN 14.6 DERIVADAS DIRECCION A LES Y EL VECTOR GRADIENTE 943Ejercicios1. Se muestran curvas de nivel para la presión barométrica (enmilibares), para las 6:00 AM del 10 de noviembre de 1998.Una zona con una presión de sólo 972 mb se mueve la regiónnoreste de lowa. La distancia a lo largo de la línea roja de K(Kearney, Nebraska) a S (Sioux City, lowa) es 300 km. Estimeel valor de la derivada direccional de la función presión enKearney en la dirección de Sioux City. ¿Cuáles son lasunidades de la derivada direccional?7-10a) Determine el gradiente d e / .b) Evalúe el gradiente en el punto P.c) Encuentre la razón de cambio d e / e n P en la direccióndel vector u.7. f(x, y) = senilx + 3 y ) , P ( - 6, 4 ) , u = 4(N/3~i - j )8. / ( .v , y ) = y 2/x, P( 1, 2), u = ^ ( 2 i + ¿5 j )9. f ( x, y, z) = x y z - x y zP(2 , - 1 , 1 ) , u = (o, - | )10. f ( x , y,z ) = y V * 5* , P (0, 1, - 1) , u = ( ^ í r J )2. El mapa de contornos muestra el promedio de temperaturamáxima para noviembre de 2004 (en °C). Estime el valor dela derivada direccional de esta función temperatura en A, en ladirección de B. ¿Cuáles son las unidades?0 0 0 2CX) 3 0 0(Distanciaca kilómetros)303. Una tabla de valores para el índice de temperatura desensación W = f ( T , v) se proporciona en el ejercicio 3de la página 911. Mediante esta tabla, estime el valor deD „ /( —20, 30), donde u = (i + j ) / v 'T .4-6 Determine la derivada direccional de / en el punto dado en ladirección que indica el ángulo 0.4. f{x ,y) = x 3y* + x*y s, (1 ,1 ), 6 =r/65. f ( x , y) = y e ~(0 ,4 ), 6= 2 tt/36 . / ( .X, y) = e 'co s )', (0 ,0 ), $ = 7t/411-17 Calcule la derivada direccional de la función en el puntodado en la dirección del vector v.11. f(x, y) = ex sen y , (0 , 7t/3), v = < - 6 , 8 >12. / ( * , y) = ( 1 , 2 ) , v = < 3 , 5 >13. g(p, q) = p l - p 2q(2 , 1), v = i + 3j14. g(r,s) = tan_ l ( r í ) , (1 ,2 ), v = 5 i + 10 j15. f { x , y , z ) = x e y + y e ** + z e( 0 ,0 ,0 ) , v = <5, I, —2>16. f ( x , y, z) =rxyz, (3, 2, 6 ) , v = < - 1 , - 2 , 2>17. h ( r , s , t ) = ln(3r + 6j + 97), (1, 1, 1), v = 4 i + 12j + 6 k18. Use la figura para estimar Dmf ( 2, 2).19. Calcule la derivada direccional de f ( x , y) = y/xy en P(2, 8)en la dirección de Q(5, 4).20. Encuentre la derivada direccional de f ( x , y, r) = xy + yz + zxe n P ( l , — 1, 3) en la dirección de Q(2, 4, 5).21-26 Determine la máxima razón de cambio d e / e n el punto dadoy la dirección en la cual se presenta.21. f ( x, y ) = 4 y v/T, (4 ,1 )22. / ( f , t) = te*, (0, 2)23. / ( x ,y ) = sen(x,y), (1 ,0 )24. f ( x , y, z) = (x + y)/z, (1, 1 , - 1 )25. f { x , y , z) = Jx~ + y 2 + - 2, (3, 6, - 2 )26. f { p , qy r) = arelanípqr), ( 1, 2, 1)If f i Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en slewartcalculus.com
  • 337. 9 4 4 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES27. a) Demuestre que una función d e riv a b le /d ism in u y e másrápidamente en x en la dirección opuesta al vectorgradiente, es decir, en la dirección de — V/(x).b) Mediante el resultado del inciso a), determine la direcciónen que la función /(x , y ) = x*y — x*y* decrece másrápidamente en el punto (2, —3).28. Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccionalde /( x , y) = y e -Jy en el punto (0, 2) tiene el valor de 1.29. Encuentre todos los puntos en los cuales la dirección delcambio más rápido de la función f ( x , y) = x2 + y 2 — 2x — 4yes i + j.30. En las cercanías de una boya, la profundidad de un lago en elpunto de coordenadas (x, y) e s : = 200 + 0 .0 2 ;r — 0.00 ly J,donde x, y y : se miden en metros. Un pescador en un botepequeño parte del punto (80, 60) y se dirige hacia la boya,la cual se ubica en (0 ,0 ). ¿El agua bajo el bote se hace mássomera o más profunda cuando el pescador parte? Explique.31. La temperatura T en una bola de metal es inversamenteproporcional a la distancia desde el centro de la bola, el cual seconsidera como el origen. La temperatura en el punto (1, 2, 2)es 120°a) Determine la razón de cambio de T en (1, 2, 2) en ladirección hacia el punto (2, 1, 3).b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la direcciónde incremento más grande de temperatura está dado por unvector que apunta hacia el origen.32. La temperatura en un punto (x, y, z) está dada porT(x, y, z) = 200<TJfl- 3>1- * ’donde T se mide en °C y x, y, ; en metros.a) Determine la razón de cambio de la temperatura en el puntoP(2, — 1, 2) en la dirección hacia el punto (3, —3, 3).b) ¿En qué dirección la temperatura se incrementa más rápidoen P?c) Encuentre la razón máxima de incremento en P.33. Suponga que en una cierta región del espacio el potencialeléctrico V está dado por V(x, y , z) = 5sr — 3xy + xyz.a) Determine la razón de cambio del potencial en P{3, 4, 5 ) enla dirección del vector v = i + j — k.b) ¿En qué dirección cambia V con mayor rapidez en Ptc) ¿Cuál e s la razón máxima de cambio en P?34. Suponga que escala una montaña cuya forma la da laecuación r = 1000 — 0.005 — 0.0 ly2, donde x, y, z se danen metros, y usted está parado en un punto cuyas coordenadasson (60, 40, 966). El eje de las x positivas va hacia el este y eleje de las y positivas va hacia el norte.a) Si camina directo hacia el sur, ¿empezará a ascender odescender? ¿Con qué rapidez?b) Si camina hacia el noroeste, ¿empezará a ascender odescender? ¿Con qué rapidez?c) ¿En qué dirección es la máxima pendiente? ¿Cuál es larazón de cambio en esa dirección? ¿En qué ángulo porarriba de la horizontal la trayectoria inicia en esa dirección?35. S e a / una función de dos variables con derivadas parcialescontinuas y considere los puntos A( 1, 3), B(3, 3), C( 1, 7) yD(6, 15). La derivada direccional d e / e n A en la dirección delvector AB es 3 y la derivada direccional en A en la direcciónde AC es 26. Calcule la derivada direccional de / e n A en ladirección del vector AD .36. Se muestra un mapa topográfico de Blue River Pine ProvincialPark en British Columbia. Dibuje curvas de mayor descensoa partir del punto A (descendiendo a Mud Lake) y desde elpunto B.oír tes'a del Ca ito de kitoroaccn Topográfica.37. Demuestre que la operación de obtener el gradiente de unafunción tiene la prcpiedad dada. Suponga que u y v sonfunciones derivables de x y y y que a , b son constantes,a) Yíízzz + bv) = au + b V v b) Y(zzy) = zzYv + vYzz(uvu - u Yv- ) - — p — nz/"-1 Yzz38. Trace el vector gradiente Y /(4 , 6) para la fu n c ió n /c u y a scurvas de nivel se muestran. Explique cómo selecciona ladirección y la longitud del vector.39. La segunda derivada direccional d e /(x , y) esD2f (x, y) = D u[Da /(.x, y)]Si /(a-, y) = .v3 + 5x2y + y J y u = { |, | ) , calcule D¿f ( 2, I).
  • 338. SECCIÓN 14.6 DERIVADAS DIRECCION A LES Y EL VECTOR GRADIENTE 94540. a) Si u = (a, b) es un vector unitario y f tiene segundasderivadas parciales continuas, demuestre queD ; f = f „ a 2 + 2 f ya b + f„ b 2b) Encuentre Iz segunda derivada direccional def { x , y ) = x e 2* en la dirección de v = (4 , 6).41-46 Determine las ecuaciones de a) el plano tangente y b) de larecta normal a la superficie dada en el punto especificado.41. 2{x - 2) 2 + (y - 1 )2 + ( z - 3) 2 = 10, (3, 3, 5)42. y = x 2 - z 2, 1 4 ,7 ,3 )43. x y z 2 = 6, (3 ,2 ,1 )44. x y + yz + zx = 5 , (1 ,2 ,1 )45. x + y + z = e (0 ,0 , 1)46. x A + y* + z 4 = 3.x2y 2z 2, ( I , 1, 1)47-48 Mediante una computadora grafique la superficie, elplano tangente y la recta normal en la misma pantalla. Escojacuidadosamente el dominio para evitar planos verticales extraños.Elija la perspectiva que le permita visualizar bien los tres objetos.47. x y + yz + z x = 3, ( 1 ,1 ,1 ) 48. x y - = 6, (1 ,2 ,3 )56. Demuestre que el elipsoide 3 a t + 2 y 2 + z 2 = 9 y la esferaxr + y 2 + z2 - 8 x — 6 y — 8 r + 2 4 = 0 son tangentes entre s íen el punto (1, 1, 2) . (Esto significa que tienen un planotangente común en ese punto.)Demuestre que todo plano que e s tangente al cono a t + y 2 = zpasa por el origen.5758. Demuestre que toda recta normal a la esfera x 2 + y 2 +59.60.pasa por el centro de la esfera.¿Dónde la recta normal al paraboloide z = xr + y 2 en el punto(1, 1,2) interseca al paraboloide por segunda vez?61.62.63.64.49. S i/(x , y) = xy, determine el vector gradiente V /(3, 2) ycon éste determine la recta tangente a la curva de nivelf ( x , y ) = 6 en e punto (3, 2). Dibuje la curva de nivel, la rectatangente y el vector gradiente. 05.50. Si g(x, y) = x2 — y 2 — 4x, determine el vector gradienteVg( 1, 2) y utilícelo para encontrar la recta tangente a la curvade nivel g(x, y) = I en el punto (1, 2). Dibuje la curva de nivel,la recta tangente y el vector gradiente.51. Demuestre que la ecuación del plano tangente al elipsoidex2/ a 2 + y 2f b 2 + z2f c 2 = l en el punto (xo, y0, r 0) se puedeescribir como¿En qué puntos la recta normal que pasa por el punto (1,2, 1)sobre el elipsoide 4at + y2 + 4z2 = 12 interseca la esferax2 + y 2 + z2 = 102?Demuestre que la suma de las intersecciones con los ejes x, yy z de cualquier plano tangente a la superficieJ~X + v y +fz = yfe es una constante.Demuestre que las pirámides cortadas desde el primer octantepor cualesquier planos tangentes a la superficie xyz = 1, enpuntos del primer octante, deben tener todas el mismovolumen.Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a lacurva de intersección del paraboloide z = x2 + y 2 y el elipsoide4at + y 2 + z2 = 9 en el punto (—1, 1, 2).a) El plano y + z = 3 al cortar al cilindro x2 + y 2 = 5 formauna elipse. Determine las ecuaciones paramétricas de larecta tangente a esta elipse en el punto ( 1 ,2 , 1).b) Grafique el cilindro, el plano y la recta tangente en lamisma pantalla.a) Dos superficies son o rto g o n a le s en un punto deintersección si las rectas normales son perpendiculares enese punto. Demuestre que las superficies con ecuacionesF(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 son ortogonales en un punto Pdonde V F ^ 0 y V G # 0 si y sólo siF.G, + FyGy + F-G- 0 en P.xvo yy<>a £ b~- - oc 66.52. Encuentre la ecuación del plano tangente al hiperboloidea t/íí2 + y 2f b 2 —z2f c 2 = 1 en (a», yo, zo) y exprésela en formasimilar a la del ejercicio 51.53. Demuestre que la ecuación del plano tangente al paraboloideelíptico z / c = ¿ j a 2 + y 2/ b 2 en el punto (a^, y0, z0) puedeexpresarse como67.2 xxo 2yy0i » . •>+ Zob) Con ayuda del inciso a) demuestre que las superficiesz2 = x2 + y 2 y x2 + y 2 + z2 = r2 son ortogonales en cadapunto de intersección. Sin usar el cálculo, ¿se da cuenta porqué esto es cierto?a) Demuestre que la función /( .X , y) =/ x y es continua y quelas derivadas parciales f x y f y existen en el origen, pero queno existen las derivadas direccionales en todas las otrasdirecciones.b) G ra fiq u e /c e rc a del origen y comente cómo la gráficaconfirma el inciso a).Suponga que las derivadas direccionales d e /(x , y) se conocenen un punto dado en dos direcciones no paralelas dadas por losvectores unitarios u y v. ¿Es posible determinar V /e n esepunto? Si e s así, ¿cómo lo haría?54. <fEn qué punto del paraboloide y = a t + z2 el plano tangente esparalelo al plano x + 2y + 3z = 1 ?Demuestre que sientonceslímf ( x , y) e s derivable en xo = (.Xo, >'o),/{ * ) “ / ( * >) - V/<xo) - (x - x<>)55. ¿Existen puntos sobre el hiperboloide A ~ -y 2 -plano tangente es paralelo al plano z = x + y?1 do n d e el |x — Xo|[Sugerencia: use directamente la definición 14.4.7.J
  • 339. 9 4 6 CAPITULO 14 DERIVADAS PARCIALESValores máximos y mínimosFIGURA 1C omo se e stablec ió en el capitulo 4, u n a de las principales aplicaciones de las de r ivada s ordi ­nar ia s e s h a lla r los v a lore s má x imo s y mínimos . En e s ta sección a p rende rá c óm o usa r lasde r iv a d a s parciales pa ra localizar los má x imo s y mínimos d e func ione s d e d os variables. Enpa r ticula r , e l e jemp lo 6 trata de c óm o ma x imiz a r el v o lume n de u n a c a ja sin tap a sin tene ru n a c ant idad fija d e c a r tón p a ra hacerla.Ob s e rv e las c o lin a s y los va lle s en la gráfica d e /m o s t r a d a en la figura 1. Hay d os p u n ­tos(m, b) p a r a los c u a l e s / t i e n e un máximo local, es de cir , d o n d e f (a, b) e s ma y o r q u e losva lore s c e rc a n o s d e / ( * , y). El ma y o r d e e s tos valores es el máximo absoluto. A s im i sm o , /tiene d os mínimos locales, d o n d e / ( « , b) es má s pequeña q u e los v a lore s cerc anos . El men o rde es tos d o s v a lore s e s el mínimo absoluto.|T | Definición Un a func ión d e d os va r iable s tiene un m á x im o lo c a l en (m, b)si f ( x , y) / ( a , b) c u a n d o (*, y) e s tá c e r c a de (a, b). [Es to s ignifica quef ( x , y) / ( a , b) p a ra todos los p u ntos (x, y) en algún di sco con c ent ro (a, b ).JEl n úme ro f ( a , b) recibe el n omb re de v a lo r m á x im o local. Si f ( x , y) 5= f ( a y b)c u a n d o (x, y) e s tá c e r c a d e (m, b), e n t o n c e s / t i e n e un m ín im o loca l en (a, b)y f (a, b) e s un v a lo r m ín im o local.Si las d e s ig u a ld ad e s de la definición 1 se cumplen pa ra todos los puntos (at, y) en el d om i ­niod e / , e n t o n c e s / t i e n e un m á x im o a b s o lu to , o un m ín im o a b s o lu to , en («, b).Observe que la conclusión del te)rema 2 sepuede establecer con la notación de losvectores gradiente como V / (a ,¿ ) = 0.|~2~| Teorema S i / t i e n e un má x imo local o un mínimo local en (a , b) y las de r ivadaspa rciale s de p r ime r orden de / e x i s t e n ahí, e ntonc e s f ^ a , b) = 0 y f y( a , b) = 0.DEMOSTRACIÓN Se a g(x) = f{x, b). Si / t i e n e un má x imo local o un mín im o local en(a, b), e n to n c e s g tiene un m á x im o local o un mín imo local en a, así q u e g'(a) = 0 segúnel t e o r ema d e Fe rma t (vé ase t e o r ema 4 .1.4). Pero g'(a) = fj¡<a, b) (vé ase e cu a c ió n 1 4 .3 .1)de mo d o q u e / / « , b) = 0. De igual man e ra , al aplicar e l t e o r ema d e Fe rma t a la funciónG(y) = / ( « , y), o b te n emo s f y(a, b) = 0.( 1 .3 ,4 )F IG U R A 2■ = X 2 + Y"Si h a c emo s f x(ay b) = 0 y f y(ay b) = 0 en la e cua c ión de un p lan o tangente (e cua ción14.4.2), o b te n emo s r = "o. Por lo tanto, la interpretación g e omé t r ic a d e l t e o r ema 2 e s quesi la gráfica d e / t i e n e un plano tangente en un má x imo local o en un mín imo local, e n to n ­ce s el p lan o tangente d e b e ser hor izontal.Un p u n to (a, b) se l lam a p u n t o c r í t i c o (o punto es tacionaño) d e / si f x(a, b) = 0 yf y(a, b) = 0, o si u n a d e e s ta s d e r iv a d a s pa rciale s no exis te. El t e o r ema 2 dice que s i / tieneun m á x im o local o un mín imo local en (a, b), e ntonc e s (a, b) e s un p unto crítico d e / Sinemb a rg o , c om o en e l c á lc u lo de u n a va r ia b le , no to d o s los p u n to s c r í t ic o s g e n e ra n unm á x im o o un mín imo . En un p u n to c r í t ic o , u n a fun c ió n p o d r í a te n e r un m á x im o loca l oun mín imo local o n in g u n o d e los dos.EJEMPLO 1 Se a f ( x, y) = x 1 + y 2 — 2x — 6y + 14. Entonc es ,f*(x, y ) = 2 .Í - 2 />(.V, y ) = 2y - 66 v + 14Es tas d e r iv a d a s pa rc ia le s son igua le s a 0 c u a n d o x = 1 y y = 3, de m o d o que el únicop unto c r ít ico e s (1, 3). Al c omp l e ta r el c u ad ra d o , se e n cu e n t ra quef ( x , y ) = 4 + ( x - l / + ( y - 3 ) 2Puesto que (.V — 1 )2 2* 0 y (y — 3)2 ^ 0, tenemos que f (x, y) 5= 4 para todos los valores dex y y. Por lo t a n t o , / ( l . 3) = 4 es un mín imo local y. de he cho, es el mín imo absoluto d e /
  • 340. © (ttMIIKtlMHSECCIÓN 14.7 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 947FIGURA 3Z = y - — _v -Es to se p u e d e c o n f irma r en forma g e omé t r ic a a partir de la gráfica d e / l a c u a l e s el p a r a ­boloidee lípt ico con vé r tic e (1, 3, 4) c om o se mu e s t ra en la figura 2. ■ ■EJEMPLO 2 Ca lcule los va lore s e x t remo s d e f ( x , y) xr.SOLUCIÓN Pue s to q u e , /* = —2 x y f y = 2y, el único p unto c r ít ico e s (0, 0). Ob s e rv e quep a r a los p u n to s en e l e je x, y = 0, d e m o d o q u e /(at, y) = — a t < 0 (si x # 0). Noo b s ta n te , pa ra p u ntos en el eje y, x = 0, de modo q u e f ( x, y) = y2 > 0 (si y 0). Por lotanto, todo d i s c o c o n c en t ro en (0, 0) contiene p u ntos d o n d e / t o m a va lore s pos i t ivos , a s íc om o puntos d o n d e / t o m a v a lore s negativos. Por lo ta n to , / (O, 0) = 0 no puede ser unv a lo r e x t r emo d e / , de mo d o q u e / n o tiene valor extremo.El e jemp lo 2 i lus tra el h e c h o d e q u e u n a función no n e c e s a r iamen te tiene v a lo r m á x imoo mín imo en un p unto crítico. En la figura 3 se ilus tra la ma n e r a c omo e s to es pos ible. Lagráfica de / e s el pa rab o lo id e h ip e rb ó l ico r = y2 — a t , por l a q u e p a sa un p lan o tangente h o ­rizo n ta l (z = 0) en el origen. P o d em o s v e r q u e / (O , 0) = 0 e s un m á x im o en la d i re c c ió nd e l eje x p e ro un m ín im o e s la d i re c c ió n del eje y. C e r c a d e l or ig en , la g rá f ic a tiene lafo rma de u n a silla de mo n ta r y por e so (0, 0 ) se l lama punto silla d e /Un pa so d e mo n ta ñ a tamb ién tiene la forma d e silla de monta r . C om o se ve en la figura,la fotograf ía de u n a formac ión geológic a ilustra, p a ra la gente en un s e n d e ro en u n a d i r e c ­ción, el p u n to d e silla e s un mín imo en su ruta, mie n t ra s q u e p a ra otra q u e se mu e v e enu n a di re c c ión dife rente , el p unto de silla e s un p unto máximo.Es n e c e s a r io ser c apa z de d e te rmin a r si la fun c ió n tiene o no un v a lo r e x t r emo en unp unto crítico. L a p ru e b a s iguiente , q u e se d emu e s t ra al final de la se c ción, e s an á lo g a a lap ru e b a d e la s e g u n d a d e r iv a d a p a ra funciones d e u n a variable.|~3~| Prueba de la segunda derivada S u p o n g amo s q u e las s e g u n d a s de r iv a d a spa rc ia le s d e / s o n c o n tin u a s sobre un disco de c en t ro (a, b), y s u p o n g amo s que/*(«, b) = 0 y f y(a, b) = 0, e s de c i r , (a, b) e s un p unto c r ít ico de / Se aD í a , b) = f xx{a, b)fyy(a, b) - [ f xy(a, b)]2a) Si D > 0 y fio(at b) > 0, e n to n c e s f ( a , b) e s un mín im o local.b) Si D > 0 y fxÁ.a y b) < 0, e n to n c e s f ( a , b) e s un m á x im o local.c ) Si D < U, e n to n c e s f ( a , b) no e s un má x imo local ni un mín imo local.NOTA 1 En c a s o de c) el p unto (a, b) se llama p u n t o s i l la d e f y la gráfica d e / c r u z a elplano tangente en (a, b).NOTA 2 Si D = 0, la p ru e b a no p ro p o rc io n a informa ción: / p o d r ía tene r un má x imolocal o un mín imo local en (a, b), o bien, en [ay b) p o d r ía h a b e r un p unto silla d e /NOTA 3 Pa ra re co rd a r la fó rmu la d e D es útil e sc r ibi r la c om o un de te rminante :f x x f x yfy x fy yfx x fy y ~ ( f x y fQ E H U J I D De te rmin e los va lore s má x imo y mín imo loca les y los p u n to s silla de/ ( a t , y) = x4 + y4 - 4xy + 1.SOLUCIÓN Pr ime ro loc a l iz amos los p u ntos críticos:f x = 4.v3 - 4y fy = 4 y 3 - 4xAl igua la r a e s ta s d e r iv a d a s pa rc ia le s con 0, se obtienen las e cu a c io n e sx 3 - y = 0 y y 3 - .v = 0
  • 341. 948 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESFIGURA 4z = x 4+A 4av + 1Pa ra re so lv e r e s ta s e c u a c io n e s , sus ti tuimos y = ¿ d e la p r ime ra e cu a c ió n en la segunda ,y o b ten emo sO = .r9 - .V = x(x* - 1) = x ( x 4 - l)(.v4 + 1) = x ( x 2 -) {x2 + l)(.v4 + 1)de mo d o que hay tres raíces reales: x — O, 1, — 1. Los tres p u ntos c r ít icos son (0, 0),(1 , 1) y ( - 1 , — 1).Lu eg o c a lc u lamo s la s e g u n d a deriv ada pa rcial y D(x, y):12.VD(x yy) = f xxfyy - ( f xy)2 = 144.v2y 2 - 16Pu e s to q u e D(O, 0) = — 1 6 < 0, se inf ie re de l caso c) de la p ru e b a de la s e g u n d ad e r iv a d a q u e el or igen e s un p u n to silla: e s d e c i r , / n o t iene m á x im o ni mín im oloca l en (0, 0). C om o D(, 1) = 128 > O y/c*(l* 1) = 12 > O, se ve q u e según elc a s o a) d e la p ru e b a q u e / ( 1 , 1) = —1 e s un mín imo local. De igua l man e ra ,D ( - 1, - 1 ) = 128 > O y / * ( — 1, - 1 ) = 12 > O, de m o d o q u e / ( - l , - 1 ) = - 1e s también un mín imo local.La gráfica d e / s e i lus tra en la figura 4.En la figura 5 se ilustra el mapa de contorno dela función/del ejemplo 3. Lascirvasde nivelcerca de (1 ,1 ) y de ( - 1 , - 1 ) son de formaoval e indican que a medida que se aleja de(1, 1) o ( - 1 , - 1 ) en cualquier dirección, losvalores de/son crecientes. Las curvas de nivelcerca de (0 ,0). por otra parte, sa asemejan ahipérbolas y dejan ver que cuando se aleja delorigen (donde el valor de/ es I ), los valores de/ decrecen en algunas direcciones pero crecenen otras. Por lo tanto, el mapa de contornosugiere la presencia de los mínimos y del puntode silla que se encontró en el ejemplo 3.FIGURA 5U ü f l Module 14.7 puede utilizar mapas decontomo para estimar las ubicaciones de lospuntos críticos.EJEMPLO 4 De te rmin e y cla s if ique los p u ntos críticos de la función/ ( * , y) = ICtory - 5 ; r - 4y2 - x4 - 2y4Ad emá s , e n cu e n tre e l p unto má s alto en la gráfica d e /SOLUCIÓN Las d e r iv a d a s pa rciale s de p r ime r orden sonf x = 20xy - lO.v - 4.v3 f y = lO.v2 - 8y - 8 y 3De mo d o que p a ra d e te rmin a r los puntos c r íticos , n e c e s i tamo s re so lv e r las e cu a c io n e s[T | 2 . r ( l 0 y - 5 - 2 . r ) = OESegún la e cu a c ió n 45 .V - 4 y - 4 y = O.v = O o bien 1 0 y - 5 - 2x
  • 342. SECCIÓN 14.7 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 949FIGURA 6EE3 Visual 14.7 muestra varias familias desuperficies. La superficie de las figuras 7 y 8 esun miembro de una de estas familias.En el p r ime r c a s o (x = O), la e cu a c ió n 5 se vue lve — 4 y ( l + y2) = O, d e mo d o quey = O y t e n emo s el p unto c r ít ico (O, 0).En el seg u n d o c a so, lOy — 5 — 2 at = O, o b tenemos[ 6 ] x~ = 5y - 2.5y al llevar e s to a la e cu a c ió n 5, o b te n emo s 25y — 12.5 — 4y — 4y 3 = O. Entonc e s , hayq u e re so lv e r la e cu a c ió n c ú b ic a[ 7 ] 4 y 3 - 21 y + 12.5 = OMediante u n a c a lc u la d o r a gra f ic adora o u n a c omp u t a d o ra o b te n emo s la gráfica de lafuncióng(y) = 4y 3 - 2 1 y + 12.5c omo en la figura 6, la e cu a c ió n 7 tiene tres ra íc es reales. Al a c e rc a r se a los va lore s ,e n c o n t r amo s las ra íc es con u n a aproximac ión d e c u a t ro cif ra s de cimales :y « - 2 . 5 4 5 2 y ~ 0 .6 4 6 8 y » 1.8984(Ot ra opc ión e s aplic ar e l mé to d o de Newton o un b u s c a d o r d e ra íc es p a ra loca liz are s tos va lore s .) De a cu e rd o con la e cu a c ió n 6, los v a lore s de * co r re sp o n d ie n te s estánde f inidos porX = ± v 5 y - 2.5Si y —2.5452, e n to n c e s * n o tiene va lore s reales cor re sp o n d ie n te s . Si y 0.6468,e n to n c e s x ± 0.8567. Si y 1.8984, e ntonc e s x ± 2.6442. De este mo d o se tieneun total de c in co p u ntos cr íticos , los c ua le s se analizan en la tabla siguiente. T o d a s lasc an t id ad e s están r e d o n d e a d a s a d o s cif ra s de cimales .Punto crítico V alor de / Jxx D Conclusión(0 ,0 ) 0.00 - 10.00 80.00 máximo local(± 2 .6 4 , 1.90) 8.50 -5 5 .9 3 2488.72 máximo local(± 0 .8 6 ,0 .6 5 ) - 1 .4 8 -5 .8 7 -1 8 7 .6 4 punto sillaEn las figuras 7 y 8 se dan d o s p a norámic a s d e la gráfica d e / d o n d e se ve q u e lasuperficie se abre h a c ia abajo. [Es to también se puede v e r en la e x p re s ió n p a r a / ( * , y):los té rmin o s d omin a n te s son — x4 — 2y4 c u an d o | x | y | y | son grandes.] Al c om p a r a r losv a lore s d e / e n sus p u ntos má x im o s loca les , se ve q u e el v a lo r m á x im o a bsoluto d e / e s/ ( ± 2 . 6 4 , 1.90) 8.50. En otras pa labras , los puntos má s altos en la gráfica d e / s o n( ± 2 . 6 4 , 1.90, 8.50)FIGURA 7 FIGURA 8
  • 343. 950 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALESLos cinco puntos críticos de la función/del ejemplo 4 se muestra en colcr rojo en elmapa de curvas de nivel de/en a figura 9.FIGURA 9Q Ca lcule la d i s tanc ia má s cor ta d e sde el p unto ( 1 ,0 , —2) al planox + 2y + z = 4.SOLUCIÓN La d i s tan c ia d e sde cu a lq u ie r p u n to (x, y, z) al p u n to ( 1 ,0 , —2) esd = s/[x - l ) 2 + y 2 + (z + 2y-pero si (x, y, z) se e n cu e n t ra en el p lan o x 4- 2 y + z = 4, e n to n c e s “ = 4 — x — 2y y setiene d = /(.v — l )2 4- y 2 4- (6 — x — 2 y )2. Podemos min imiz a r d min imiz a n d o lae xpre s ión má s sencillad 2 = /(.v, y) = (.v - l)2 + y2 4- (6 - * - 2 y )2Al re so lv e r las e cu a c io n e sf x = 2(x - 1) - 2(6 - v - 2y) = 4.v + 4y - 14 = 0f y = 2y - 4 (6 - .v - 2y) = 4.v + lOy - 24 = 0e n c o n t r amo s q u e el ú n ico p unto c r ít ico e s Puesto q u e / « = 4 , / ^ = 4 y fyy = 10,ten emo s D(.X, y) = f x x f y y — {fx y) = 2 4 > 0 y f xx > 0 , de este mo d o , d e a cue rdo con lap ru e b a d e la s e g u n d a d e r iv a d a / tien e un m ín im o lo c a l en ( 77, 7). In tu itiv am e n te , sed e sp re n d e q u e este mín imo local e s en realidad un mín imo a bsoluto p orque debe h a b e run p u n to en el p lan o d a d o q u e e s tá má s c e r c a a (1, 0, —2). Si x = 77 y y = 3 , e n to n c e sEl ejemplo 5 se puede resolver tambiénusando vectores. Compare con les métodosde la sección 12.5.d — yj{x - 1 )2 + y 2 + (6 - .v - 2y)2 — v ( | ) 2 + ( j)2 + d ) 2 — i v 6 ~La di s tan c ia má s c o r ta d e sd e ( 1 , 0 , —2) al plano x + 2y + z = 4 e s I v ’^ -Q U E H E U Un a c a j a re c tan g u la r sin t a p a se fabrica c o n 12 m 2 de c ar tón. Ca lcule elv o lume n m á x im o de la caja.SOLUCIÓN Sean x, y y z la longitud, el a ncho y la altura d e la c a j a en me t ros , según semu e s t r a en la figura 10. Entonc e s , e l v o lume n d e la c a j a esV = xyzEx p r e s amo s V c omo u n a func ión de sólo d o s variable s x y y re cu r r ien d o al h e ch o de queel á rea de los c u a t ro lados y e l fondo d e la c a j a esF IG U R A 10 2 x z + 2 y z + x y = 12
  • 344. SECCIÓN 14.7 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 951Al re solve r la e cu a c ió n p a ra z, o b ten emo s ze x p re s ió n p a ra V se t ran s fo rma en12xyxy(12 — xy) /[2(x + y)], de m o d o q u e la12.vy - x~y-2(x + y) 2(x + y )Ca lc u lamo s las d e r iv a d a s parciales:dV y 2( 1 2 - 2 .v y - x 2)dx 2(x + y)2dV _ x 2{2 - 2xy - y 2)~ d y ~ 2(x + y)2Si V e s un má x imo , e n to n c e s dV/dx = dV/dymo d o q u e d e b emo s re solve r las e cu a c io n e sO, pe ro x = 0 o y = O d a V = 0, de12 - 2 Ay 0 12 xy 0Es to imp l ic a q u e a2 = y 2 y x — y. (Note que x y y amb a s d e b en ser pos i t iva s en estep ro b lema . ) Si h a c emo s x = y en cu a lq u ie r e cua c ión o b te n emo s 12 — 3 a2 = 0, lo cuald a a = 2, y = 2 y z = (12 - 2 • 2 ) / [ 2 ( 2 + 2)J = 1.Po d r íamo s utiliza r la p ru e b a de la s egunda d e r iv a d a pa ra d emo s t r a r q u e e s to d a unm á x im o local de V, o bien, p o d r íamo s a rg ume n ta r s imp lemen te que p o r la na tura le z afísica d e e s te p ro b lema d e b e h a b e r un vo lume n má x imo absoluto, lo c u a l tiene queocur rir en un p unto c r ít ico de V, de mo d o que se debe p re s en ta r c u a n d o x = 2 ,y = 2 , z = 1. E n to n c e s V = 2 • 2 • 1 = 4, de mo d o q u e e l v o lume n m á x im o d e lac a ja e s 4 m 3. ■a) Conjuntos cerradosrb) Conjuntos que no son cerradosFIGURA 11Valores máximos y mínimos absolutosEn e l c a s o d e u n a f u n c i ó n / d e u n a v a r iable el t e o r ema d e l v a lo r e x t remo e s table c e q u e si /e s c o n t in u a sobre un inte rva lo c e r ra d o [a, bJ, e n to n c e s / t i e n e un v a lo r mín imo a bsoluto yun v a lo r m á x im o a b so lu to . S e g ú n e l mé to d o d e l in te rv a lo c e r r a d o d e la s e c c ió n 4 .1 , sec a lcu la n e v a l u a n d o / n o sólo en los n úme ro s c r ít icos , sino tamb ién en los e x t remo s a y b.Hay u n a s ituac ión s imila r en el c a so d e las func ione s de d os variables. Al igual q u e uninte rva lo c e r ra d o c o n tie n e sus e x t remo s , un co n ju n to c e r ra d o en IR2 e s u n o q u e contienetodos sus p u ntos frontera. [Un p unto f ro n te r a d e D e s un p unto («, b) tal q u e todo d i s c o conc en t ro (a, b) c o n tie n e puntos en D y también p u ntos q u e no están en D.] Por e jemp lo , eldi scoD = {(x, y ) | x 2 + y 2 «s 1}el c u a l c o n s i s te en to d o s los p u ntos sobre y dentro de la c i rc u n fe re n c ia a 2 + y2 = 1, e s unc o n ju n to c e r ra d o p o rq u e c o n tie n e to d o s sus puntos límite, que son los p u ntos sobre la c i r ­cu n fe re n c ia a 2 + y2 = 1. Pero si aun un punto en la c u rv a límite se omitiera , el c o n ju n to nose r ía c er rado. Vé a s e figura 11.Un co n ju n to acotado en R 2 e s uno q u e e s tá c o n te n id o d e n t ro d e algún disco. En otraspa labra s , su extens ión e s finita. E ntonc e s , en té rmin o s de c o n ju n to s c e r ra d o s y acotados ,p o d emo s e s tab le c e r la s iguiente e q u iva lenc ia d e l t e o r ema de l v a lo r e x t r emo en d o s d im e n ­siones.|~8~| Teorema del valor extremo para funciones de dos variable s Si / e s c o n tin u asobre un c o n ju n to D c e r ra d o y a co tad o en IR2, e n to n c e s / a lc anz a un v a lo r má x imoa b s o lu to / (a i , yi) y un v a lo r mín imo a b so lu to / (A2, y2) en a lgunos p u ntos (*i, yi) y(*2, y2> en D.
  • 345. 9 5 2 CAPÍTULO 14 DERI VADAS PARCI ALESPa ra d e te rmin a r los v a lore s e x t r emo s que garantizan el t e o r ema 8, note qu e , según elt e o r ema 2, si / tiene un va lor e x t r emo en (jci, yi), e ntonc e s (*i, y i) e s un p unto crítico d e / , obien, un p unto límite o c o ta de D. Por lo tanto, o b tenemos la s iguiente gene ra liz a c ión delmé to d o de l inte rva lo c er rado.0 Pa ra e n c o n t ra r los va lore s má x imo y mín imo a b solutos d e u n a funciónc o n t in u a / sobre un c o n ju n to c e r ra d o y a cotado D1. Se c alculan los v a lore s d e / e n los p u ntos críticos d e / e n D2. Se d e te rmin a n los va lore s e x t r emo s d e / s o b r e la frontera de D.3. El má s grande d e los v a lore s d e los pa sos 1 y 2 e s e l va lor m á x im o absoluto: elmá s p e q u e ñ o de e s to s v a lore s e s el v a lo r mín imo absoluto.De te rmin e los v a lore s m á x im o y mín imo a b solutos de la funciónE JEM P LO 7f ( x , y) = x 1 — 2xy + 2y sobre e l re c tán g u lo D = {(.v, y) | 0 .t ^ 3, 0 y ^ 2).SOLUCIÓN P ue s to q u e / e s u n a p o l in omia l , e s co n tin u a sobre el re c tán g u lo c e r ra d o ya co tad o D, de m o d o q u e el t e o r ema 8 e s table c e que hay tanto un m á x im o a bsoluto c omoun mín imo absoluto. De a cue rdo con el p a so 1 de [9], p r ime ro c a lc u lamo s los puntoscríticos . Es tos p u ntos ocur ren c u a n d of x = 2 x - 2y = 0 fy 2 x + 2 = 0y,(0,2) ¿3 (2* 2) (3,2)¿4 L z(0,0» ¿i (3,0) ade mo d o que e l ú n ico p u n to c r ít ico e s (1, 1), y el v a lo r d e / a h í e s / ( l , 1) = 1.En el p a so 2 o b s e rv amo s los va lore s d e / e n la f rontera d e D, que cons i s ten en losc u a t ro s e gmen to s re ctilíneos Li, L i , L j y La mos t rados en la figura 12. Sobre L ten emo sy = O y/ ( . x, 0) = .vF IG U R A 12És ta e s u n a función c re c iente de x , de mo d o q u e su v a lo r mín imo e s / (O, 0) = 0 y suvaloi m á x im o e s / ( 3 , O) — 9. Sobre Li ten emo s x — 3 y/(3, y) 4 y O í yÉs ta e s u n a función c re c iente de y, de mo d o q u e su v a lo r má x imo e s / ( 3, 0) = 9 y suv a lo r mín imo e s / ( 3 , 2) = 1. Sobre Lj ten emo s y = 2, y/(-V, 2) 4.V + 4FIGURA 13/(-v , y ) = a-2 - 2 a .v + 2 yMe d ian te e s to s mé to d o s d e l c ap í tu lo 4, o bien, s implemente o b s e rv a n d o que/ ( * , 2) = ( x — 2)2, v emo s q u e e l v a lo r mín imo de e s ta función e s / ( 2 , 2) = 0 yq u e e l v a lo r m á x im o e s / (O , 2) = 4. Pa ra finalizar, sobre L4 t e n emo s x = 0 ym y) O í y í 2con v a lo r má x imo / (O , 2) = 4 y v a lo r m ín im o / (O , 0) = 0. Por lo tanto, sobre la frontera,el v a lo r mín im o d e / e s 0 y e l má x imo e s 9.En el p a so 3 d e [9] , c omp a r am o s e s tos valores c o n e l v a l o r / ( l , I) = 1 en e l puntocrítico y c o n c lu imo s q u e e l v a lo r m á x im o absoluto de / e n D es / ( 3 , 0) = 9 y el valormín imo a bsoluto e s / (O , 0 ) = / ( 2, 2) = 0 . En la figura 13 se ilus tra la gráfica d e /
  • 346. SECCIÓN 14.7 VALORES M Á X IM O S Y M ÍN IM O S 9 5 3Es ta se c ción c o n c lu y e con la demo s tra c ió n de la p r ime r a pa r te de la p ru e b a de la s e ­gu n d a deriv ada. La parte b) se d emu e s t r a d e m a n e r a similar.DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3, PARTE a) Ca lcu lamo s la d e r iv a d a d i re c c iona l de segundoorden d e / e n la d i re c c ión de u = (h, k ) . L a d e r iv a d a d e p r ime r orden e s tá d a d a por elt e o r ema 14.6.3:Dmf = f j l + f y kAl aplic ar este t e o r ema u n a s e g u n d a vez, obtenemosD ¡ f = D „ ( D „ / ) = -^—{D, f )h + - ^ - Daf ) kdx dy= (fxxh I fyx%)h I ( fxyh I fyyk)k= f x x h r + 2 f x y h k -I- f y y k 2 (según el teorema d e Clairaut)Si c omp l e tamo s e l c u a d ra d o en e s ta e xpres ión, e l re sul tado es0 D Í f = f J h + - ^ - k ) + L ( / „ / „ _ ) ¡XX f JXXEs tamo s d a n d o q u e / tt(«, b ) > O y D ( a , b) > O. P e r o y D = f xxfyy — fxy sonfunc ione s co n tin u a s , de m o d o que h a y un disco B con c en t ro (¿r, b) y radio 8 > 0 talq u e fxx(x, y ) > 0 y D(x , y ) > 0 s iempre q u e (x, y ) e s tá en B. Por lo tanto, al e x am in a r lae cu a c ió n 10, o b s e rv amo s q u e D á f U', y) > O s iempre q u e (x , y ) e s tá en B. Es to s ignificaq u e si C e s la c u rv a q u e se obt ie n e c u a n d o se in te r s e c a la g rá f ic a d e / c o n el p lan ove r tic a l q u e p a sa por P(a, b,f(a> b )) en la d irec ción de u, e n to n c e s C e s c ó n c a v a h a c iaarriba sobre un inte rva lo de longitud 26. Esto se c ump le en la d i re c c ión de todo ve c tor u,d e m o d o q u e si r e s t r in g imo s a (x , y ) en B , la g rá f ic a d e / q u e d a p o r a r r ib a de su p lan otangente ho r izo n ta l en P. Por c o n s ig u ie n t e , / (x , y) 5= / ( « , b ) , s iempre q u e (x> y ) e s táen B. Es to d emu e s t r a q u e f ( a , b) e s un mín imo local.Ejercicios14.71. Suponga que ( I, 1) es un punto crítico de una función/ consegunda derivada continua. En cada caso, ¿qué puede decircon respecto a / ?a) M 1, 1) = 4. f xy{ I, I) = 1, /„.( ! , I) = 2b) M U I) = 4. f xy( I, 1) = 3, /„.( ! , I) = 22 . Supongamos que (0, 2) es un punto crítico de una función gcuyas segundas derivadas son continuas. En cada caso, ¿quépuede decir con respecto a <7?a) (M 0 ,2 ) = - 1 , gxy(0 ,2 ) = 6, ^ ( 0 , 2 ) = 1b) gxx(0, 2) = - 1, gxy{0, 2) = 2, 0yy(O, 2) = - 8C) gxx{o , 2) = 4. gxy{0, 2) = 6, ^ . (0, 2) = 93-4 Utilice las curvas de nivel de la figura para pronosticar laubicación de los puntos críticos de / y si / tiene un punto silla oun máximo local o un mínimo local en cada uno de esos puntoscríticos. Explique su razonamiento. Luego aplique la prueba de lasegunda derivada para confirmar su pronóstico.3. f ( x , y) = 4 + .X3 + y 3 - 3xySe requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en slewartcalculus.com
  • 347. 9 5 4 CAPÍTULO 14 DERI VADAS PARCI ALES4 . / ( a , y ) = 3 A - A 3 - 2 y 2 + y 45-18 C a lc u le lo s v a lo r e s m á x im o y m ín im o lo c a le s , y pu n to opu n to s s illa s d e la fu n c ión . S i d is p o n e d e p r o g ram a s parag r a f ic a c ió n t r id im en s io n a l, g r a fiq u e la fu n c ió n c o n un d om in ioy d e s d e o tra p e r s p e c t iv a qu e r e v e le to d o s lo s a sp e c to s im p o r ta n te sd e la fu n c ión .5 . f ( x , y ) = x 2 + .xy + y2 + y6 . f ( x , y ) = x y - 2x - 2 y - a 2 - y 27 - f ( x , y ) — (x — y ) ( l - .xy)8. f ( x , y) = x e ' 2^ - 2^9. f ( x , y ) = y 3 + 3 a 2y - 6 a 2 - 6 y 2 + 21 0 . f { x , y ) = xy( - x - y)11. / ( a, y ) = a 3 - 12.vy -I- 8 y 312. / ( a , y) = xy + — + -x y13. / ( x , y) = e * c o s y14. f ( x , y) = y e o s a1 5 . f ( x , y ) = U 2 + y V V16. / ( jc ,y ) = e > ( y 2 - . x 2)17. / ( a , y ) = y 2 - 2 y c o s a " , - 1 < x ^ 718. / (a , y ) = sen a- sen y , — t t < x < t t , — t t < y < t t19. D em u e s t r e qu e / (a , y ) = x 2 + 4y 2 — 4 a>’ + 2 t ien e un in fin itod e pu n to s c r ít ic o s y que D = 0 en c a d a uno. A c o n t in u a c ió nd em u e s t re q u e / tien e un m ín im o lo c a l (y a b s o lu to ) en ca d apun to c r ít ic o .20. D em u e s t r e q u e / (a , y ) = A‘ 2y £ -Jt’ ~>J tien e v a lo r e s m á x im o s en( ± 1, l//2 ) y v a lo r e s m ín im o s en ( ± 1, — l / J l ) . D em u e s t r etam b ién q u e / t ie n e m u ch o s o t r o s pu n to s c r í t ic o s y D = 0 enca d a uno d e e llo s . ¿C u á l d e e l lo s d a lu g a r a v a lo r e s m á x im o s ?¿ Y a v a lo r e s m ín im o s ? ¿ Y a pu n to s d e s illa ?& 21 24 U t i l ic e una g r á f ic a o unas cu r v a s d e n iv e l o am b a s parae s t im a r lo s v a lo r e s m á x im o y m ín im o lo c a le s y e l pun to o lo spu n to s s illa d e la fu n c ión . L u e g o m e d ia n te e l c á lc u lo en cu en trelo s v a lo r e s e x a c to s .21. / ( a , y) = x 2 + y 2 + x~2y~222. / ( a , y ) = x y e - ^ 123. f ( x , y) = s e n x + s e n y + s e n ÍA + y ) ,0 A sS 2 tt, 0 ^ V ^ 2 tt24. / ( a, y ) = sen a + sen y + c o s (a + y ) ,0 ^ A ^ 77-/4, 0 ^ y ^ 77-/4KH 25-28 M e d ia n t e una c a lcu la d o ra g r a fic a d o ra o una c om p u ta d o rac om o en e l e jem p lo 4 (o e l m é to d o d e N e w t o n o b u s c a d o r der a íc e s ), d e te rm in e lo s puntos c r ít ic o s d e / a p r o x im a d o s a cu a t roc if r a s d e c im a le s . L u e g o c la s ifiq u e lo s pu n to s c r ít ic o s y d e te rm in elo s pu n to s m á s a lto s o más b a jo s en la g rá fic a .25. / ( a , y) = a 4 + y 4 - 4 a 2y -I- 2 y26. / ( a , y) = y 6 - 2y4 + a 2 - y 2 + y27. / ( a , y ) = a 4 + y 3 - 3 a 2 + y 2 + a - 2 y + 128. / ( a , y) = 20e~*2~yI sen 3 a e o s y , | A | ^ I , | y | I29-36 D e te rm in e lo s v a lo r e s m á x im o s y m ín im o s a b s o lu to s d e /s o b re e l c o n ju n to D.29. / ( a , y ) = x2 + y 2 — 2 a , D e s la r e g i ó n t r i a n g u l a r c e r r a d a c o nv é r t i c e s (2 , 0 ) , (0 , 2) y (0 , —2 ).30. / ( a , y ) = a + y - xy, D e s la r e g ió n t r ia n gu la r c e r ra d a c o nv é r t ic e s (0 , 0 ) , (0 , 2) y (4 , 0 ).31. / ( a , y ) = a 2 + y 2 + A 2y + 4 ,D = { ( a , y ) | |x| < 1, |y| ^ 1}32. / (a , y) = 4 a + 6y - a 2 - y 2,D = { ( a , y) | 0 ^ a ^ 4 , 0 < y ^ 5 }33. / ( a , y) = a 4 + y 4 - 4 Ay + 2,D = { ( a , y ) | 0 .i íS 3 , 0 s í y sS 2 }34. / ( a , y) = Ay2, D = { ( a , y ) | a 2= 0, y 2= 0 , a 2 + y 2 ^ 3}35. / ( a , y) = 2 a 3 + y 4. D = { ( a , y ) | a 2 + y 2 ^ 1}36. / ( a , y ) = a 3 — 3 a - y 3 + 12y, D es e l c u a d r ilá te r o c u y o sv é r t ic e s son ( — 2, 3), (2, 3), (2, 2) y ( — 2, —2).37. P a ra fu n c io n e s d e una s o la v a r ia b le e s im p o s ib le , en e l c a s od e fu n c io n e s con tin u a s , ten e r d o s m á x im o s lo c a le s y n ingúnm ín im o lo c a l. P e r o si la s fu n c io n e s son de d o s v a r ia b le s , síe x is te n e s a s fu n c ion e s . D em u e s t r e q u e la fu n c ió n/ ( a , y ) = - ( a 2 - l ) 2 - (A ay - a - l ) 2tien e s ó lo d o s puntos c r ít ic o s , p e r o si t ien e m á x im o s lo c a le s enam b o s puntos. L u e g o , m e d ia n te una c om p u ta d o ra g r a fiq u e c o nun d om in io e s c o g id o c o n to d o cu id a d o y á n gu lo s qu e p e rm itanv e r c óm o e s p o s ib le e s to .í^rl 38. S i una fu n c ió n d e una v a r ia b le e s c o n t in u a sobre un in te r v a lo ytien e s ó lo un v a lo r c r ít ic o , e n to n c e s un m á x im o lo c a l t ien e que
  • 348. SECCIÓN 14.7 VALORES M Á X IM O S Y M Í N IM O S 9 5 5ser un máximo absoluto. Pero esto no se cumple para funcionesde dos variables. Demuestre que la funciónf ( x , y) = 3.X<?y - A3 -tiene exactamente un punto crítico, y q u e / t ie n e un máximolocal allí que no es un máximo absoluto. Luego use unacomputadora para generar una gráfica con un dominioescogido cuidadosamente y perspectiva que permita vercómo es esto posible.39. Calcule la distancia más corta desde el punto (2,0, —3) alplano x + y + r = 1.40. Determine el pur.to sobre el plano x — 2y + 3z = 6 que estámás cerca al punto (0, 1,1).41. Encuentre los puntos sobre el cono r 2 = x2 + y 2 más cercanosal punto (4, 2, 0)42. Determine los puntos sobre la superficie y 2 = 9 + xz que estánmás cercanos al origen.43. Encuentre tres números positivos cuya suma es 100 y cuyoproducto es un rráximo44. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 12 y la sumade cuyos cuadrados es tan pequeña como sea posible.45. Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscritaen una esfera de radio r.46. Encuentre las dimensiones de la caja con volumen de 1000 cm3que tiene mínima área superficial.47. Calcule el volumen de la caja rectangular más grande en elprimer octante con tres caras en los planos coordenados y unvértice en el plano x + 2y + 3r = 6.48. Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayorvolumen si el área superficial total es de 64 cm2.49. Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumenmáximo tal que la suma del largo de sus 12 aristas es unaconstante c.50. La base de un acuario de volumen V está hecho de pizarray los lados son de vidrio. Si la pizarra cuesta cinco veces máspor unidad de área que el vidrio, determine las dimensionesdel acuario que minimizan el costo de los materiales.51. Una caja de cartón sin tapa debe tener 32 000 cm3. Calcule lasdimensiones que minimicen la cantidad de cartón utilizado.52. Está en proceso de diseño un edificio rectangular para queminimice las pérdidas de calor. Los muros oriente y ponientepierden calor a razón de 10 unidades/m2 por día, los muros delnorte y del sur pierden 8 unidades/m2 por día, el piso pierde1 unidad/m2 por día, y el techo pierde 5 unidades/m2 por día.Cada muro debe medir por lo menos 30 m de largo, la alturadebe ser por lo menos de 4 m y el volumen debe serexactamente 4 000 m3.a) Determine y grafique el dominio de la pérdida de calorcomo una función del largo de los lados.b) Encuentre las dimensiones que minimizan la pérdida decalor. Compruebe tanto los puntos críticos como los puntosen el límite del dominio.c) ¿Podría diseñar un edificio con menos pérdida de calorsi las restricciones de las longitudes de los muros seeliminaran?53. Si la longitud de la diagonal de una caja rectangular debe ser L,¿cuál es el volumen más grande posible?54. Tres alelos (otras versiones de un gen), A, B y O determinanlos cuatro tipos de sangre, a saber, A (A A o A O), B(BB o BO),0 ( 0 0 ) y AB. La ley de Hardy-Weinberg establece que laproporción de individuos de una población que llevan dosalelos diferentes esP = 2 pq + 2 p r + 2 rqdonde p , q y r son las proporciones de A, B y O en lapoblación. Use el hecho de que p + q + r = 1 para demostrarque P es cuando mucho y.55. Suponga que un científico tiene razón en creer que dos cantidadesa- y y están relacionadas linealmente, es decir, y = mx + b, porlo menos en modo aproximado, para algunos valores de m yb. El hombre de ciencia ejecuta un experimento y refinainformación en la forma de puntos (.Xi, >’|), (.í2, y2), • • •»(•*„,y luego grafique los puntos. Los puntos no quedan exactamentesobre una recta, de modo que el científico quiere hallar lasconstantes m y b de modo que la recta y = mx + b se “ ajuste”a los puntos tanto como sea posible (véase la figura).Sea di = y i — (to.v * + b) la desviación vertical del punto(x¡, y,) a partir de la recta. El método de los mínimos c u adradosdetermina m y b de modo que se minimice Z " _ | d i , la suma delos cuadrados de estas desviaciones. Demuestre que, deacuerdo con este método, la recta del mejor ajuste se obtienecuandon nm 2 x¡ + bn = Y y,-l-l 1-1n n nm 2 x i + b 2 Xi = 2 *«y«.'-I i-l «-IPor lo tanto, la recta se determina al resolver estas dosecuaciones y determinar las dos incógnitas m y b (véasesección 1.2 en donde se encuentra una explicación yaplicaciones del método de los mínimos cuadrados).56. Determine una ecuación del plano que pasa por el punto(1,